高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義線共點(diǎn)

數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試平面幾何講義第四講線共點(diǎn)班級(jí)姓名一、知識(shí)要點(diǎn)：1.線共點(diǎn)的證明證明線共點(diǎn)可用有關(guān)定理(如三角形的3條高線交于一點(diǎn))，或證明第3條直線通過另外兩條直線的交點(diǎn)，也可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)共線的問題給予證明。2．布利安雙定理：設(shè)一六角形外切于一個(gè)圓，那么它的三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。證明：記六邊形ABCDEF外切于圓O，AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A上的切點(diǎn)分別是G，H，I，J，K，L。設(shè)AB，DC交于X，AF，DE交于Y。則四邊形AXDY外切于圓O，切點(diǎn)分別是G，I，J，L。圓外切四邊形對(duì)邊切點(diǎn)連線與主對(duì)角線交于一點(diǎn)，有AD,GJ,LI共點(diǎn)(記為點(diǎn)P)。同理，BE,GJ,KH共點(diǎn)(記為點(diǎn)R),CF,LI,KH共點(diǎn)（記為點(diǎn)Q），則命題可轉(zhuǎn)為證明DP,BR,FQ共點(diǎn)。3．笛沙格定理;在和中，若相交于一點(diǎn)，則與，與，與的交點(diǎn)共線。證明：和梅尼線，；和梅尼線，；和梅尼線，，三式相乘，得。得證4．帕斯卡（Pascal）定理：如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，邊BC、EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，邊CD、FA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K。則H、G、K三點(diǎn)共線。證明：延長(zhǎng)AB、CD、EF，分別交直線CD、EF、AB于M、N、L三點(diǎn)，構(gòu)成△LMN。直線BC截LM、MN、NL于B、C、H三點(diǎn)，則…①直線DE截LM、MN、NL于G、D、E三點(diǎn)，則|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1…②直線AF截LM、MN、NL于A、K、F三點(diǎn)，則…③連BE，則LA·LB=LF·LE，∴…④。同理…⑤，…⑥。將①②③④⑤⑥相乘，得?！唿c(diǎn)H、G、K在△LMN的邊LN、LM、MN的延長(zhǎng)線上，∴H、G、K三點(diǎn)共線。二、例題精析：例1.以△ABC的兩邊AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG?！鰽BC的高為AH。求證：AH，BF，CD交于一點(diǎn)。例2.設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又設(shè)D，E分別是△APB及△APC的內(nèi)心。證明：AP，BD，CE交于一點(diǎn)。例3.在直線l的一側(cè)畫一個(gè)半圓T，C，D是T上的兩點(diǎn)，T上過C和D的切線分別交l于B和A，半圓的圓心在線段BA上，E是線段AC和BD的交點(diǎn)，F(xiàn)是l上的點(diǎn)，EF垂直l。求證：EF平分∠CFD。三、精選習(xí)題：1.(1999年聯(lián)賽)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G．求證：∠GAC=∠EAC.2.ABCD是一個(gè)平行四邊形，E是AB上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)。AF交ED于G，EC交FB于H。連接線段GH并延長(zhǎng)交AD于L，交BC于M。求證：DL=BM.四、拓展提高：3.O1與O2外切于P點(diǎn)，QR為兩圓的公切線，其中Q，R分別為O1，O2上的切點(diǎn)，過Q且垂直于QO2的直線與過R且垂直于RO1的直線交于點(diǎn)I，IN垂直于O1O2，垂足為N，IN與QR交于點(diǎn)M。證明：PM，RO1，QO2三條直線交于一點(diǎn)。4.如圖，已知兩個(gè)半徑不相等的⊙O1與⊙O2相交于M、N兩點(diǎn)，且⊙O1、⊙O2分別與⊙O內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證：OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點(diǎn)共線。高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試平面幾何講義第四講線共點(diǎn)例1以△ABC的兩邊AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG?！鰽BC的高為AH。求證：AH，BF，CD交于一點(diǎn)。證如圖。延長(zhǎng)HA到M，使AM=BC。連CM，BM。設(shè)CM與BF交于點(diǎn)K。在△ACM和△BCF中，AC=CF，AM=BC，∠MAC+∠HAC=180°，∠HAC+∠HCA=90°，并且∠BCF=90°+∠HCA，因此∠BCF+∠HAC=180°，∠MAC=∠BCF。從而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB。所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°，即BF丄MC。同理CD丄MB。AH，BF，CD為△MBC的3條高線，故AH，BF，CD三線交于一點(diǎn)。例2設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又設(shè)D，E分別是△APB及△APC的內(nèi)心。證明：AP，BD，CE交于一點(diǎn)。證如圖，過P向三邊作垂線，垂足分別為R，S，T。連RS，ST，RT，設(shè)BD交AP于M，CE交AP于N。易知P，R，A，S；P，T，B，R；P，S，C，T分別四點(diǎn)共圓，則∠APB－∠ACB=∠PAC+∠PBC=∠PRS+∠PRT=∠SRT。同理，∠APC－∠ABC=∠RST，由條件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST。又RT=PBsinB，ST=PCsinC，所以PBsinB=PCsinC，那么。由角平分線定理知。故M，N重合，即AP，BD，CE交于一點(diǎn)。法2延長(zhǎng)交△ABC的外接圓與一點(diǎn)例3在直線l的一側(cè)畫一個(gè)半圓T，C，D是T上的兩點(diǎn)，T上過C和D的切線分別交l于B和A，半圓的圓心在線段BA上，E是線段AC和BD的交點(diǎn)，F(xiàn)是l上的點(diǎn)，EF垂直l。求證：EF平分∠CFD。證如圖，設(shè)AD與BC相交于點(diǎn)P，用O表示半圓T的圓心。過P作PH丄l于H，連OD，OC，OP。由題意知Rt△OAD∽R(shí)t△PAH，于是有.類似地，Rt△OCB∽R(shí)t△PHB，則有.由CO=DO，有，從而.由塞瓦定理的逆定理知三條直線AC，BD，PH相交于一點(diǎn)，即E在PH上，點(diǎn)H與F重合。因∠ODP=∠OCP=90°，所以O(shè)，D，C，P四點(diǎn)共圓，直徑為OP.又∠PFC=90°，從而推得點(diǎn)F也在這個(gè)圓上，因此∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP，所以EF平分∠CFD。法2建立直角坐標(biāo)系三、精選習(xí)題：1.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G。求證：∠GAC=∠EAC.證明連結(jié)BD交AC于H，對(duì)⊿BCD用Ceva定理，可得eq\f(CG,GB)·eq\f(BH,HD)·eq\f(DE,EC)=1．因?yàn)锳H是BAD的角平分線，由角平分線定理，可得eq\f(BH,HD)=eq\f(AB,AD)，故eq\f(CG,GB)·eq\f(AB,AD)·eq\f(DE,EC)=1．過點(diǎn)C作AB的平行線交AG延長(zhǎng)線于I，過點(diǎn)C作AD的平行線交AE的延長(zhǎng)線于J，則eq\f(CG,GB)=eq\f(CI,AB)，eq\f(DE,EC)=eq\f(AD,CJ)，所以，eq\f(CI,AB)·eq\f(AB,AD)·eq\f(AD,CJ)=1．從而，CI=CJ．又因CI∥AB，CJ∥AD，故ACI=π-BAC=π-DAC=ACJ，因此，⊿ACI≌⊿ACJ，從而IAC=JAC，即GAC=EAC．法2設(shè)法3調(diào)和點(diǎn)列2.ABCD是一個(gè)平行四邊形，E是AB上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)。AF交ED于G，EC交FB于H。連接線段GH并延長(zhǎng)交AD于L，交BC于M。求證：DL=BM.證如圖，設(shè)直線LM與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)J，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)I。在△ECD與△FAB中分別使用梅涅勞斯定理，得，.因?yàn)锳B∥CD，所以，.從而，即，故CI=AJ.而，且BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以BM=DL。3.O1與O2外切于P點(diǎn)，QR為兩圓的公切線，其中Q，R分別為O1，O2上的切點(diǎn)，過Q且垂直于QO2的直線與過R且垂直于RO1的直線交于點(diǎn)I，IN垂直于O1O2，垂足為N，IN與QR交于點(diǎn)M。證明：PM，RO1，QO2三條直線交于一點(diǎn)。證如圖，設(shè)RO1與QO2交于點(diǎn)O，連MO，PO。因?yàn)椤螼1QM=∠O1NM=90°，所以Q，O1，N，M四點(diǎn)共圓，有∠QMI=∠QO1O2。而∠IQO2=90°=∠RQO1，所以∠IQM=∠O2QO1，故△QIM∽△QO2O1，得同理可證。因此①因?yàn)镼O1∥RO2，所以有②由①，②得MO∥QO1。又由于O1P=O1Q，PO2=RO2，所以，即OP∥RO2。從而MO∥QO1∥RO2∥OP，故M，O，P三點(diǎn)共線，所以PM，RO1，QO2三條直線相交于同一點(diǎn)。4.如圖，已知兩個(gè)半徑不相等的⊙O1與⊙O2相交于M、N兩點(diǎn)，且⊙O1、⊙O2分別與⊙O內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證：OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點(diǎn)共線。證明：過S、T分別作相應(yīng)兩圓的公切線，交于點(diǎn)P，則PS=PT，點(diǎn)P在直線MN上(根軸)．且O、S、P、T四點(diǎn)共圓．⑴若S、N、T三點(diǎn)共線，連O1N，O2N，則OS=OT，O1S=O1N，于是∠S=∠T，∠S=∠O1NS，∴∠O1NS=∠T，O1N∥OT，同理，O2N∥OS，即OS=O2N+O1S．即⊙O的半徑=⊙O1與⊙O2的半徑的和．∴∠PTS=∠TSP=∠NMS，∴S、P、T、M共圓，故O、S、P、T、M五點(diǎn)共圓．∠OMS=∠OTS=∠OST．∴∠OMN=∠OMS+∠SMN=∠OST+∠TSP=∠OSP=90°．∴OM⊥MN．⑵反之，若OM⊥MN，則OM∥O1O2，由OO2－OO1=(R－r2)－(R－r1)=r1－r2=O1M－O2M．即O、M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的雙曲線的不同兩支上．由雙曲線的對(duì)稱性，知O1O2MO是等腰梯形．∴OO2=O1M．即OT=r1+r2，∴O1N=OO2，OO1=O2N，于是OO1NO2為平行四邊形．由于△OST、△O1SN、△O2NT都是等腰三角形．∴∠SO1N=∠O=∠NO2T，∴∠OST=∠OSN．∴S、N、T三點(diǎn)共線．另法：設(shè)與交于，，所以與相似，所以，即，與對(duì)照，重合。學(xué)好高中數(shù)學(xué)的方法和技巧包括：掌握基礎(chǔ)知識(shí)。確保熟練掌握基本概念、公式和定理，特別是代數(shù)、幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和積分等重要知識(shí)點(diǎn)。重視預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)。在上課前預(yù)習(xí)教材，梳理知識(shí)點(diǎn)，對(duì)不理解的內(nèi)容做好標(biāo)記；課后及時(shí)復(fù)習(xí)，通過復(fù)習(xí)和整理筆記來加深理解。提高聽課效率。在課堂上緊跟老師思路，積極參與討論，做好筆記，記錄重要的思路和方法。多做練習(xí)題。通過練習(xí)來鞏固和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，可以選擇有代表性的題目進(jìn)行練習(xí)，