空間向量與立體幾何-學(xué)習(xí).探究.診斷(選修2-1)

第三章空間向量與立體幾何測試十一空間向量及其運算AⅠ學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會進行空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算．2．會利用空間向量基本定理處理向量共線，共面問題以及向量的分解．3．會進行空間向量數(shù)量積的運算，并會求簡單的向量夾角．Ⅱ基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題1．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，＝()(A) (B)(C) (D)2．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC和BD的交點，若，則下列式子中與相等的是()(A) (B)(C) (D)3．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量是()(A)有相同起點的向量 (B)等長的向量(C)共面向量 (D)不共面向量4．已知空間的基底{i，j，k}，向量a＝i＋2j＋3k，b＝－2i＋j＋k，c＝－i＋mj－nk，若向量c與向量a，b共面，則實數(shù)m＋n＝()(A)1 (B)－1 (C)7 (D)－75．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，則()(A)1 (B)0 (C)3 (D)－3二、填空題6．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，化簡______.7．已知向量i，j，k不共面，且向量a＝mi＋5j－k，b＝3i＋j＋rk，若a∥b，則實數(shù)m＝______，r＝______.8．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，所有的棱長均為2，且，則,＞＝_______；異面直線AB與CC1所成的角的大小為______.9．已知i，j，k是兩兩垂直的單位向量，且a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b＝______．10．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，所有棱長均為1，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AB⊥AD，則AC1的長度為______三、解答題11．如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，，E為A1D1中點，用基底{a，b，c}表示下列向量(1)；(2)在圖中畫出化簡后的向量．12．已知向量a＝2i＋j＋3k,b＝－i－j＋2k，c＝5i＋3j＋4k，求證向量a，b，c共面．13．正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1，E為CC1(1)求；(2)求．Ⅲ拓展性訓(xùn)練14．如圖，點A是△BCD所在平面外一點，G是△BCD的重心，求證：．(注：重心是三角形三條中線的交點，且CG∶GE＝2∶1)第三章空間向量與立體幾何測試十一空間向量及其運算A1．D2．C．3．C∵共面．4．Bc＝a＋b＝－i＋3j＋4k＝－i＋mj－nk，m＝3，n＝－4，m＋n＝－1．5．C．6．．7．，．8．120°；60°．9．－2．10．＝1＋1＋1＋0＋2cos60°＋2cos60°＝5．11．(1)；．(2)．12．解：設(shè)c＝ma＋nb，則5i＋3j＋4k＝m(2i＋j＋3k)＋n(－i－j＋2k)＝(2m－n)i＋(m－n)j＋(3m＋2n)，解得，所以c＝2a－b，所以向量a，b，c共面．13．．．14．證明∵∴．測試十二空間向量及其運算BⅠ學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會進行向量直角坐標(biāo)的加減，數(shù)乘，數(shù)量積的運算．2．掌握用直角坐標(biāo)表示向量垂直，平行的條件．3．會利用向量的直角坐標(biāo)表示計算向量的長度和兩個向量的夾角．Ⅱ基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題1．a(chǎn)＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，則a＋6b－8c(A)(14，－3，3) (B)(14，－3，35)(C)(14，－3，－12) (D)(－14，3，－3)2．下列各組向量中不平行的是()(A)a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) (B)c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)(C)e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) (D)g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，則x＝()(A)2 (B)－2 (C) (D)4．與向量(－1，－2，2)共線的單位向量是()(A)和 (B)(C)和 (D)5．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a與b的夾角余弦為，則λ等于()(A)2 (B)－2 (C)－2或 (D)2或二、填空題6．已知點A(3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，則點B的坐標(biāo)為______，｜｜＝______．7．已知3(2，－3，1)－3x＝(－1，2，3)，則向量x＝______．8．若向量a＝(2，1，－2)，b＝(6，－3，2)，則cos<a，b>＝______．9．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k10．若空間三點A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共線，則p＝______，q＝______．三、解答題11．已知向量a＝(1，－1，2)，b＝(－2，1，－1)，c＝(2，－2，1)，求(1)(a＋c)·a；(2)｜a－2b＋c｜；(3)cos〈a＋b，c〉．12．已知向量a＝(2，－1，0)，b＝(1，2，－1)，(1)求滿足m⊥a且m⊥b的所有向量m．(2)若，求向量m．13．已知向量a＝(－2，1，－2)，b＝(1，2，－1)，c＝(x，5，2)，若c與向量a，b共面，求實數(shù)x的值．14．直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分別是A1B1，A1(1)求的坐標(biāo)及BN的長；(2)求的值；(3)求證：A1B⊥C1M測試十二空間向量及其運算B1．A2．Db＝－2aa∥b；d＝－3cd∥c；而零向量與任何向量都平行．3．C4．A5．C或6．(5，1，6)，7．8．9．10．p＝3，q＝211．；12．所以m＝(a，2a，5a)(a∈(2)，得a＝±2，所以m＝(2，4，10)或m＝(－2，－4，－10)．13．因為c與向量a，b共面，所以設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)(x，5，2)＝m(－2，1，－2)＋n(1，2，－1)，，所以14．(1)解：依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴．(2)解：A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴，∴∴(3)證明：∵C1(0，0，2)，，∴∴∴A1B⊥C1M．測試十三直線的方向向量與直線的向量方程Ⅰ學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會寫出直線的向量參數(shù)方程以及利用它確定直線上點的坐標(biāo)．2．會用向量共線定理處理四點共面問題．3．會利用直線的方向向量和向量共線定理證明線線平行、線面平行，線線垂直、線面垂直．4．會利用向量求兩條異面直線所成的角．Ⅱ基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題1．向量=（1，2，0），=（－1，0，6）點C為線段AB的中點，則點C的坐標(biāo)為()(A)(0，2，6) (B)(－2，－2，6) (C)(0，1，3) (D)(－1，－1，3)2．已知點A(2，－2，4)，B(－1，5，－1)，若,則點C的坐標(biāo)為()(A) (B) (C) (D)3．下列條件中，使點M與點A，B，C一定共面的是()(A) (B)(C)0 (D)04．正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為2，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點，則異面直線OE與FD1(A) (B) (C) (D)5．已知A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1．2，－1)，下列四個點中在平面ABC內(nèi)的點是()(A)(2，3，1) (B)(1，－1，2) (C)(1，2，1) (D)(1，0，3)二、填空題6．已知點A(1，2，0)，B(－2，1，3)，若點P(x，y，z)為直線AB上任意一點，則直線AB的向量參數(shù)方程為(x，y，z)＝______，若時，點P的坐標(biāo)為______.7．已知A，B，C三點不共線，O是平面外任意一點，若有確定的點與A，B,C三點共面，則λ＝______．8．若直線l1∥l2，且它們的方向向量分別為a＝(2，y，－6)，b＝(－3，6，z)，則實數(shù)y＋z＝______9．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M是DC的中點，點N在CC1上，且D1M⊥AN，則10．正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則A1C與BC三、解答題11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1(1)求異面直線AC1與CB1所成角的大??；(2)證明：BC1⊥AB1．12．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點．求證：EF⊥平面PCD．13．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1AC⊥BC，點D是AB的中點．(1)求證：AC1∥平面CDB1；(2)求異面直線AC1與B1D所成的角的大?。?4．正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是AB，A1D1的中點，求證：MN∥平面BB1D1D測試十三直線的方向向量與直線的向量方程1．C2．B3．C．4．B如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz,，,．5．D所以向量共面，點(1，0，3)在平面ABC內(nèi)．6．(x，y，z)＝(1，2，0)＋t(－3，－1，3)；(－5，0，6)，此時t＝2．7．；因為．8．5．9．1．10．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則,11．解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz則A(1，0，0)，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)(1)，，異面直線AC1與CB1所成角為60°．(2)，得，所以BC1⊥AB1．12．證：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AB＝2，則：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，∵E為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，∴E(1，0，0)，F(xiàn)(1，1，1),∵∴EF⊥CD．∵＝0∴EF⊥PD．因為PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．13．解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz，設(shè)AC＝BC＝CC1＝2，則C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，D(1，1，0)．(1)設(shè)BC1與B1C的交點為E，則E(0，1，1)∵，∴,∴DE∥AC1．∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．(2)設(shè)異面直線AC1與B1D所成的角為，=(－2，0，2)，=(1，－1，－2)，，所以＝30°異面直線AC1與B1D所成的角為30°14．設(shè)則，因為MN平面BB1D1D，所以MN∥平面BB1D1D．測試十四平面的法向量和平面的向量表示Ⅰ學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會求平面的法向量．2．會利用平面的法向量證明兩個平面平行和垂直問題．Ⅱ基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題1．過點A(2，－5，1)且與向量a＝(－3，2，1)垂直的向量()(A)有且只有一個 (B)只有兩個且方向相反(C)有無數(shù)個且共線 (D)有無數(shù)個且共面2．設(shè)平面內(nèi)兩個向量的坐標(biāo)分別為(1，2，1)，(－1，1，2)，則下列向量中是平面的法向量的是()(A)(－1，－2，5) (B)(－1，1，－1) (C)(1，1，1) (D)(1，－1，－1)3．已知空間中三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，若向量a分別與都垂直，且，則a＝()(A)(1，1，1) (B)(1，－1，1)(C)(－1，1，1) (D)(－1，－1，－1)或(1，1，1)4．已知⊥，平面與平面的法向量分別為m＝(1，－2，3)，n＝(2，3λ，4)，則λ＝()(A) (B) (C) (D)5．平面的法向量為m，若向量，則直線AB與平面的位置關(guān)系為()(A)AB (B)AB∥ (C)AB或AB∥ (D)不確定二、填空題6．已知∥，平面與平面的法向量分別為m，n，且m＝(1，－2，5)，n＝(－3，6，z)，則z＝______．7．如圖，在正三棱錐S－ABC中，點O是△ABC的中心，點D是棱BC的中點，則平面ABC的一個法向量可以是______，平面SAD的一個法向量可以是______．8．若A(0，2，1)，B(1，1，0)，C(－2，1，2)是平面內(nèi)的三點，設(shè)平面的法向量a＝(x，y，z)，則x∶y∶z＝______．9．如圖AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上非A，B的任意一點，則圖中直角三角形共有______個．三、解答題10．正方體ABCD－A1B1C1D1(1)在圖中找出平面ABCD，平面ADD1A1，平面BDD1B1(2)以點D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出(1)中三個法向量的坐標(biāo)．11．如圖，四棱錐P－ABCD中,底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD＝2．AB＝4，E，F(xiàn)分別為CD,PB的中點．求平面AEF的一個法向量的坐標(biāo)．12．如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E，F(xiàn)，M，N分另是A1D1，D1D，BC，BB1求證：平面EFC1∥平面AMN．13．正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分別是DC，CC1，求證：平面PA1A⊥平面MN測試十四平面的法向量和平面的向量表示1．D2．B3．D4．C5．C6．－157．8．x∶y∶z＝2∶－1∶39．4個，△PAC，△PAB，△ABC，△PBC10．解：(1)由正方體可得：DD1⊥平面ABCD，AB⊥平面ADD1A1平面ABCD的一個法向量為，平面ADD1A1的一個法向量為，連接AC，AC⊥BD，AC⊥BB1，得AC⊥平面BB1D1D，平面BDD1B1的一個法向量為．(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，可得D1(0，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)．11．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)AD＝2，可得A(0，2，0)，B(4，2，0)，C(4，0，0)，P(0，0，2)，E(2，0，0)，F(xiàn)(2，1，1)．平面AEF的一個法向量為m＝(x，y，z)，，，令x＝1，得y＝1，z＝－1，m＝(1，1，－1)．12．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，可得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，C1(0，2，4)，E(1，0，4)，F(xiàn)(0，0，2)，M(1，2，0)，N(2，2，2)．平面EFC1的一個法向量為m＝(x，y，z)，,，所以，令y＝1，得x＝2，z＝－1，m＝(2，1，－1)．設(shè)平面AMN的一個法向量為n＝(a，b，c)．，所以．令b＝1，得a＝2，c＝－1，n＝(2，1，－1)．因為m＝n，所以平面EFC1∥平面AMN．13．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)AB＝2，可得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1，2，0)．平面PA1A的一個法向量為m＝(x，y，z)，，令x＝1，得y＝2，m＝(1，2，0)，同理，平面AMN的一個法向量為n＝(a，b，c)，，所以．令b＝1，得a＝－2，c＝－2，n＝(－2，1，－2)．因為m·n＝0，所以m⊥n，所以平面PA1A⊥平面MND測試十五直線與平面的夾角、二面角Ⅰ學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會利用定義求直線與平面的夾角，二面角．2．會利用平面的法向量求直線與平面的夾角，二面角．3．會根據(jù)所給的幾何體，合理的建立空間直角坐標(biāo)系解決相關(guān)角度問題．Ⅱ基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題1．若直線l與平面成角為，直線a在平面內(nèi)，且直線l與直線a異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是()(A) (B) (C) (D)2．已知二面角－l－的大小為，異面直線a，b分別垂直于平面，，則異面直線a，b所成角的大小為()(A) (B) (C) (D)3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BC1與平面BDD1B1(A) (B) (C) (D)4．正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1中點，平面A1EC與平面ABCD(A) (B) (C) (D)5．ABCD為正方形，E是AB中點，將△DAE和△CBE折起，使得AE與BE重合，記A，B重合后的點為P，則二面角D－PE－C的大小為()(A) (B) (C) (D)二、填空題6．設(shè)n1，n2分別為一個二面角的兩個半平面的法向量，若，則此二面角的大小為______.7．棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，P是棱CC1上一點，CP＝m，且直線AP與平面BB1D1D所成的角的正弦值為，則m＝______．8．正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為3，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為______．9．在三棱錐O－ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中點，則OM與平面ABC所成角的余弦值是______．10．如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1三、解答題11．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點，求BC1與平面A1EF12．正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為AB中點，求二面角A1－EC－B

13．正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，D是BC(1)求直線BB1與平面AC1D所成的角余弦值；(2)求二面角C－AC1－D的大小．14．三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC．(1)求AC與平面SBC所成角的大?。?2)求二面角A－SC－B的大小．測試十五直線與平面的夾角、二面角1．C2．B3．A建立空間直角坐標(biāo)系，平面BDD1B1的法向量為．4．C5．CEP⊥PD，EP⊥PC，∠DPC是二面角D－PE－C的平面角，且PD＝PC＝CD，二面角的平面角的大小為．6．或．7．．建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)P(0，1，m)，得＝(－1，1，m)，平面BB1D1D．8．9．以為原點，OA，OB，OC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA＝2，得＝(1，1，0)，平面ABC的法向量為m＝(1，1，1)，則10．11．解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，AB＝2，則A1(2，0，2)，E(1，0，0)，F(xiàn)(2，1，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2),．設(shè)平面A1EF的法向量為m＝(x，y，z)，則．令z＝1，則x＝－2，y＝2，所以m＝(－2，2，1)．設(shè)BC1與平面A1EF所成角為，則，BC1與平面A1EF所成角的大小為．12．解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)AB＝2，則A1(2，0，2)，E(2，1，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)．因為DD1⊥平面EBC，所以平面EBC的法向量為．設(shè)平面A1EC的法向量為m＝(x，y，z)，，則．令z＝1，則y＝2，x＝1，所以m＝(1，2，1)，．因為二面角A1－EC－B為鈍角，所以二面角A1－EC－B的余弦值為．13．解：取BC的中點D，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)AB＝BB1＝2，A，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，C1(0，－1，2)，(1)設(shè)平面AC1D的法向量為m＝(x，y，z)，，則．令z＝1，則y＝2，所以m＝(0，2，1)．設(shè)直線BB1與平面AC1D所成的角為，，則，所以AC與平面SBC所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ACC1的法向量為n＝(x，y，z)，則．令x＝1，則，所以．因為二面角C－AC1－D為銳角，所以二面角A－SC－B余弦值為．14．解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B－xyz，設(shè)AB＝1，則B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，S(0，1，1)．(1)設(shè)平面SBC的法向量為m＝(x，y，z)，則．令z＝1，則y＝－1，所以m＝(0，－1，1)．設(shè)AC與平面SBC所成角為，,則．AC與平面SBC所成角為．(2)設(shè)平面ASC的法向量為n＝(x，y，z)，則．令x＝1，則y＝1，所以m＝(1，1，0)，．因為二面角A－SC－B為銳角，所以二面角A－SC－B為．測試十六距離(選學(xué))Ⅰ學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握點到直線距離，點到平面的距離的向量公式．2．會求兩點之間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，直線到平面的距離．Ⅱ基礎(chǔ)性訓(xùn)練一、選擇題1．已知a，A，點A到平面的距離為m，點A到直線a的距離為n，則()(A)m≥n (B)m＞n (C)m≤n (D)m＜n2．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，M是棱A1A的中點，O是BD1的中點，則(A) (B) (C) (D)3．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則P到矩形對角線BD的距離()(A) (B) (C) (D)4．已知直線a∥平面，且a與平面的距離為d，那么到直線a的距離與到平面的距離都等于d的點的集合是()(A)一條直線 (B)三條平行直線 (C)兩條平行直線 (D)兩個平面5．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D(A) (B) (C) (D)二、填空題6．棱長為4的正方體內(nèi)一點P，它到共頂點的三個面的距離分別為1，1，3，則點P到正方體中心O的距離為______.7．線段AB在平面外，A，B兩點到平面的距離分別為1和3，則線段AB的中點C到平面的距離為______．8．二面角－l－為60°，點A∈，且點A到平面的距離為3，則點A到棱l的距離為9．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，則直線BC到平面AB1C10．如圖，正方體的棱長為1，C，D分別是兩條棱的中點，A，B，M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是______．三、解答題11．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，點E，F(xiàn)分別是CC1，A1D1(1)求EF的長；(2)求點A到直線EF的距離．12．正四棱錐S－ABCD的所有棱長均為2，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，SB的中點．(1)求證：BD∥平面EFG，并求出直線BD到平面EFG的距離；(2)求點C到平面EFG的距離．13．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，BB1求兩個平行平面AB1D1與平面BDC1之間的距離．14．如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AEC1F為平行四邊形且AB＝4，BC＝2，CC1＝3，(1)求BF的長；(2)求點C到平面AEC1F

測試十六距離(選學(xué))1．C2．B3．A4．C5．B6．以共頂點的三條棱為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得點P的坐標(biāo)為(1，1，3)，中心O的坐標(biāo)為(2，2，2)，所以．7．1或2分A，B兩點在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論．8．9．10．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得=(0，1，0)，平面ABCD的法向量為m＝(－2，2，－1)，．11．解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(2，0，0)，E(0，2，2)，F(xiàn)(1，0，4)．=(0，－2，2)，所以．．所以，，即點A到直線EF的距離為．12．解：(1)因為E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點，所以EF∥BD．又EF平面EFG，BD平面EFG，所以BD∥平面EFG．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(，0，0)，B(0，，0)，D(0，－，0)，S(0，0，)，E(，，0)，F(xiàn)(，－，0)，G(0，，)．設(shè)平面EFG的法向量為m＝(x，y，z)，,可得m＝(1，0，1)，，所以點B到平面EFG的距離為．即直線BD到平面EFG的距離．(2)．13．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(1，0，0)，B(1，2，0)，B1(1，2，3)，D1(0，0，3)，C1(0，2，3)，設(shè)平面AB1D1與平面BDC1的一個法向量為m＝(x，y，z)，(－1，0，3)，＝(1，2，0)．，設(shè)x＝6，則y＝－3，z＝2，所以m＝(6，－3，2)．平面AB1D1與平面BDC1之間的距離等于點到B平面AB1D1的距離，＝(0，2，0)，所以．平面AB1D1與平面BDC1之間的距離等于．14．解：(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)．設(shè)，F(xiàn)(0，0，z)．∵AEC1F∴，(－2，0，z)＝(－2，0，2)∴z＝2．∴F(0，0，2)．∴＝(－2，4，2)，．(2)設(shè)n1為平面AEC1F的法向量，顯然n1不垂直于平面ADF所以設(shè)n1＝(x，y，z)．由，得設(shè)y＝1，則x＝－4，z＝－4，∴n1＝(－4，1，－4)．又∴C到平面AEC1F的距離為.

測試十七角和距離的綜合運算(選學(xué))Ⅰ學(xué)習(xí)目標(biāo)會建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系處理角度和距離的綜合問題．Ⅱ基礎(chǔ)性訓(xùn)練解答題1．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝1，BB1＝2，連接B1C，過B作B1C的垂線交CC1于E，交B1(1)求證：A1C⊥平面EBD(2)求點A到平面A1B1C(3)求直線DE與平面A1B1C2．已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝，M是PB的中點。(1)證明：平面PAD⊥平面PCD；(2)求AC與PB所成的角的余弦值；(3)求平面AMC與平面PMC所成二面角的余弦值．3．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，點D是A1(1)求A1B1與AC所成的角的大??；(2)求證：BD⊥平面AB1C(3)求二面角C－AB1－B的余弦值．4．如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1(1)求證：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B的余弦值；(3)求點C到平面A1BD的距離．5．在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝，M，N分別為AB，SB的中點．(1)證明：AC⊥SB；(2)求二面角N－CM－B的余弦值；(3)求點B到平面CMN的距離．6．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E為PD中點．(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角E－AC－D的余弦值；(3)在線段BC上是否存在點F，使得點E到平面PAF的距離為若存在，確定點F的位置；若不存在，請說明理由．測試十七角和距離的綜合運算(選學(xué))1．解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz．.，即A1C⊥BE，A1C⊥DE∵BE∩DE＝E所以A1C⊥平面EBD(2)設(shè)平面A1B1C的一個法向量為m＝(x，y，z則，，令z＝1，得m＝(0，2，1)．=(0，0，2)，所以，所求的距離為．(3)由(2)知，m＝(0，2，1)．，設(shè)與m所成角為，則．所以直線ED與平面A1B1C所成角的正弦值為.2．解一：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．∵AB⊥AD，∴AB⊥底面PAD．∵AB∥DC，∴DC⊥底面PAD．∵DC平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．解二：(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，P(0，0，1)，D(1，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，M(0，1，)可求出平面PAD法向量為＝(0，2，0)，平面PDC法向量為a＝(1，0，1)，·m＝0，所以平面PAD⊥平面PCD．(2)＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)，AC與PB所成的角的余弦值為．(3)設(shè)平面AMC的一個法向量為m＝(x，y，z)，，令z＝2，則y＝－1，x＝1，所以m＝(1，－1，2)．同理