2023屆高考前復(fù)習(xí)（上海）1-3函數(shù)四大考點(diǎn)與真題訓(xùn)練 （解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海地區(qū)專用））

專題1.3函數(shù)四大考點(diǎn)與真題訓(xùn)練

考點(diǎn)一：函數(shù)及其性質(zhì)

一、單選題

1.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)雙），=》+丫+卜-訊必），=》+丁-卜-3，若正實(shí)數(shù)α,b,c,"滿

aAb<CAd

足：WC<Wd,則下列選項(xiàng)一定正確的是（）

??c<Nd

A.d>bB.b>c

C.h?c>aD.dVc>a

【答案】D

a≥ba≥ba<ba<b-

【分析】對新定義進(jìn)行化簡，分別在條件c≥d下化簡.M3

c≥dyc<dyc<d'

結(jié)合所得結(jié)果，進(jìn)一步確定滿足條件的關(guān)系，由此判斷各選項(xiàng).

2x,x≥y

【詳解】因?yàn)閄yy=X+y+∣χ-y∣=

2y,x<y,

2y,x≥y

2x,x<y,

a?b<CN(I

又<cNc<?VJ,

b?c<αVd

a+b-a-b<c+d-c-d?

所以,a+c+a-c<b+d+b-d?

h+c-h-c?<a+d+a-d?

(1)若α≥6,cN"貝Ij,不等式。+6-,一百<c+d—上一《

可化為%<2d,貝同<",所以c2d>b,

<X)^a≥c≥d>b,則α+c+∣?！猚∣<6+d+∣6-d可化為α<d,矛盾,

②若c>“≥d>6,貝[]a+c+∣α—c∣<6+d+M-d∣可化為c<4,矛盾，

③若c≥d>α≥O,則α+c+∣"—d<6+d+∣6-"∣可化為c<”,矛盾，

(2)若α≥0,c<d貝[],不等式α+6-∣α-b∣<c+d-∣C-M

可化為6<c,所以d>c>b,

①若α2d>c>8,則“+c+∣4—c∣<6+d+∣6-d∣可化為“<d,矛盾,

②若Q>α≥c>6,貝[ja+c+∣4-d<6+d+M-M可化為“<d,；茜足,

b+c-?b-c?<a+d+?a-d?∏Γ{L??<i/,滿足，

③若d>c>α≥6,貝IJa+c+∣α-c∣<Z>+d+M-4可化為c<4,滿足，

b+c-?b-c]<a+d+?a-d?p]^^)b<d,滿足，

(3)a<b,c<dIjJI],不等式ia+b—1<7-?∣<c+d—∣c—d∣

可化為"c,所以d>c>α

①若b≥d>c>α,則α+c+∣α-c∣<6+d+∣6—d]可化為CCb,滿足,

力+c-∣b—d<α+d+∣α-d∣可化為c?<4,滿足，

②若">6≥c>α,則α+c+∣4—4</?+"+自一”|可化為c<4,滿足，

8+c-∣A-d<α+d+∣α-d∣可化為c<”，滿足，

③若d>c>b>α,則α+c+∣ɑ-d<0+d+∣b-4可化為c<d,滿足，

b+c-∣-d<α+d+∣α-d∣可化為6<d,滿足,

⑷若“<AcNd則，不等式a+b-,一.<c+d-∣c-M

可化為αvd,所以CNd>〃，

(D^b≥c≥d>a,貝(Ja+c+∣α-c∣<8+α+M-M可化為c<8,滿足，

λ>+c—M-d<α+"+∣α—d]可彳匕為c<d,矛盾，

②若C≥??2d>α,貝|]4+。+|4—4<力+”+|8一4/|可化為<7<6,矛盾，

(3)?c≥d≥b>a,則4+c,+∣ɑ—d<6+d+∣b-M可化為c<”，矛盾，

綜上，b≥d>c>a^d>b≥c>a^d>c>b>a^d>a≥c>b^d>c>a≥b,

由6≥d>c>α矢口，A錯(cuò)誤；

由d>c>b>α知，B專笥吳；

當(dāng)d>.≥c>〃時(shí)，bΛc=b+c-?b-c?=b+c-c+b=2b,

取d=7,α=6,c=2,b=l可得，滿足條件但bAc=2<4,

C錯(cuò)誤；

當(dāng)6≥d>c>α?xí)r,dVc=d+c+?d-c^=2d>a,

當(dāng)d>匕之c>“時(shí),cΓ7c=d+c-i-?d-c?=2d>a

當(dāng)d>c>b>4時(shí),dVc=d-?-c+?d-c?=2d>a,

當(dāng)d>αNc>∕)時(shí),dVc=d+c+?d-c?=2d>a,

j

當(dāng)d>c>”≥∕)時(shí),cNc=d+ct-?d-(?=2d>ai

故選:D.

【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后

根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的

透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是

“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

二、填空題

2.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)函數(shù)y=lg(2-χ)的定義域是.

【答案】(-2)

【詳解】由題設(shè)有2-x>O,解得x<2,故函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,2),填(-8,2).

3.(2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/")(XeR)是奇函數(shù)，且當(dāng)

x>O時(shí)，fW=2x-[,不等式/(x)>-g的解集為.

31

【答案】3-τ<x≤O或

44

【分析】先求出X<O時(shí)的解析式，然后分X>O,X<O,X=O分別解不等式即可.

【詳解】當(dāng)X<O時(shí)，-x>O,/(x)=-∕(-x)=-[2(-x)-l]=2x+l

由/W>--∣得

x>0x<0x=O

2*+1>」或()>」

222

31

解得｛工1一；<?^^0或%>：｝

44

31

故答案為：｛χ∣-7<χ≤0或工>;｝

44

4.(2023?上海統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=x+hιx-l,則不等式/(x)<0的解集是

【答案】(0,1)

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及/(1)=0即可求解.

【詳解】函數(shù)"x)=x+∣nx-1的定義域?yàn)?0,+e).

因?yàn)閥=x-l在(0,+紇)上為增函數(shù)，》=111》在(0,+(?)上為增函數(shù)，

所以/(x)=x+lnxT在(0,+功上為增函數(shù)，

又/⑴=l+lnl-1=0,所以不等式/(x)<0的解集為(0,1).

故答案為：(OJ)

5.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)f(x)在R上非嚴(yán)格遞增，滿足

“x+l)=∕(x)+l,g(x)=J累席：28,若存在符合上述要求的函數(shù)"x)及實(shí)數(shù)司，滿足

g(%+4)=g(3)+1,貝[]”的取值范圍是.

【答案】(T-2)(2,4)

【分析】根據(jù)題意整理可得：對T"∈N*,則/(x+")=f(x)+%分類討論%，與+4的取值范

圍，分析運(yùn)算.

【詳解】?.?∕(x+l)=∕(x)+l,即/(x+l)-/(X)=I

對D"∈N',則

/(x+π)=[∕(x+n)-∕(x+n-l)]+[∕(x+π-l)-∕(x+M-2)]+???+[∕(x+l)-∕(x)]+∕(x)

=l+l+-+l+∕(x)="+∕(x),

故對VWeN*,貝IIf(X+")=f(x)+”,

'??g(xθ+4)=g(xo)+l,則有：

1.當(dāng)x°≤-12時(shí),則x°+4≤-8,

可得F(Xo+4-α)=√(??-α)+4=∕(xo-a)+l,不成立;

2.當(dāng)-12VXO≤-8時(shí),則-8—-

可得/(??+4)=∕(j?)+4=∕(%-α)+l,則/(%―α)=∕(%)+3,

若-“=3,解得〃=-3,符合題意；

特別的：例如/(X)=匕XW伙,々+1),%eZ,?∈{-l1,-10,-9,-8},貝(]3≤-α<4,解得

-4<α<-3;

例如∕^(x)=NXw(A,々+1],&eZ,取Λ?e{-11,-10,-9,-8},則2<-4≤3,解得-4<α<-2;

故?4<a≤-3;

3.當(dāng)-8<x0<4時(shí)，貝[]-4<x0+4<8,

可得/(%+4)="Λ0)+4=∕(%)+1,不成立；

4.當(dāng)4≤x°<8時(shí)，貝(]8≤x°+4<12,

可得“xo+4-α)=√(??-a)+4="xo)+l,貝(J/(%)=F(毛一。)+3,

若α=3,解得。=3,符合題意；

特別的：例如/(x)=%,xeWA+l),4eZ,取Λ0∈{4,5,6,7},則3≤α<4;

例如F(X)=左,x∈(N*+l],&∈Z,取%∈{4,5,6,7},則2<α≤3;

故3≤α<4;

5.當(dāng)x°≥8時(shí)，則x0+4≥12,

可得/(??+4-a)=∕(??-a)+4=∕(j?-α)+l,不成立；

綜上所述：。的取值范圍是(T-2)U(2,4).

故答案為：(-4-2)(2,4).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

⑴對/(χ+ι)="χ)+ι,結(jié)合累加法求得/(χ+")=∕(χ)+”;

⑵對于分段函數(shù)，一般根據(jù)題意分類討論，本題重點(diǎn)討論x°,x°+4與±8的大小關(guān)系；

(3)對特殊函數(shù)的處理，本題可取/(x)=匕Xe伏/+1),無WZ和/(x)=A,Xe(RA+1］,%wZ.

三、解答題

6.(2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測)若函數(shù)/(x)和g(x)的圖象均連續(xù)不斷，

"x)和g(x)均在任意的區(qū)間上不恒為O,的定義域?yàn)長g(x)的定義域?yàn)榧哟嬖诜强?/p>

區(qū)間AUaC八)，滿足：VxWA,均有/(x)g(x)40,則稱區(qū)間A為〃x)和g(x)的“Q區(qū)

間”.

⑴寫出"x)=sinx和g(χ)=cosx在［(),可上的一個(gè)“Q區(qū)間”(無需證明)；

⑵若/(χ)=χ3,［T1］是“X)和g(x)的“Ω區(qū)間”，證明:g(x)不是偶函數(shù)；

(3)若"x)=W+x+sin2x,且在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞憎，(。,+^是/但和8⑴的“Q

ec

區(qū)間”，證明：g(x)在區(qū)間(0,+e)上存在零點(diǎn).

【答案】(1)pπ(答案不唯一，只需是全兀的非空子集即可)

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)根據(jù)“。區(qū)間”的定義求得結(jié)果即可；

(2)根據(jù)存在Λ?e［T,0),使得g(Λ1)>O且g(f)≤0,結(jié)合奇偶性定義可證得結(jié)論；

(3)由零點(diǎn)存在定理可知存在唯一teg』)，使得/(f)=0,結(jié)合單調(diào)性可確定存在

∕∈(α,0,使得g(2)=0,由此可得結(jié)論.

【詳解】⑴"X)的定義域?yàn)镽,g(χ)的定義域?yàn)镽,?MΛ=R;

當(dāng)Xepπ時(shí)，/(x)=sinx>0,g(x)=cosx≤0,/(x)g(x)≤0,

?/(x)和g(x)的一個(gè)“Q區(qū)間”為∣,π；

則/(x)和g(x)在［()，兀］上的一個(gè)“。區(qū)間”是玄兀的非空子集.

⑵當(dāng)XG［-1,0)時(shí)，"x)=x3<0,???g(x)≥0;

當(dāng)Xe(0,1］時(shí)，f(x)=x3>0,Λg(x)≤0；

g(x)在任意區(qū)間上不恒為0,

，存在x∣e［T,0),使得g(x∣)>0;又g(τ∣)≤0,.?.g(F)≠g(χ),

???g(χ)不是偶函數(shù).

兀InX

(3)當(dāng)Xe(I,+∞)時(shí)，/(x)=1r+x+sin2x>0+l+sin2xN0.

ee

當(dāng)Xe(0,1］時(shí)，/(l)=l+sin2>0,=-π+→sin∣<0,

又/(x)在區(qū)間(0』上單調(diào)遞增，；.存在唯一regl),使得/(f)=0,

且當(dāng)x∈(0,t)時(shí)，/(x)<0；當(dāng)XeaI)時(shí)，/(x)>0；

當(dāng)X€(0,/)時(shí)，g(x)≥O且存在α∈(0∕),使得g(<z)>O;當(dāng)xc(f,+∞)時(shí)，g(x)≤O且存在

尸∈(r,+∞),使得g(⑶<0；

存在2e(α,Q),使得g(X)=0,.?.g(x)在區(qū)間(0,+巧上存在零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)中的新定義運(yùn)算的問題，本題第三問證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存

在零點(diǎn)的關(guān)鍵是能夠結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理來說明函數(shù)存在零點(diǎn).

7.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)函數(shù)〃x)="+x(a>0),且/(l)=e+l.

⑴判斷"x)在R上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；

⑵g(x)=f(x)-2,且g(x)在(0,+8)上有零點(diǎn),求〉的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析；

(2)Λ≥β+l

【分析】(1)由題意解出。的值，再利用單調(diào)性的定義證明即可；

(2)轉(zhuǎn)化問題為e'+XTX=O在(0,+8)上有解，則彳=巨+1有解，利用導(dǎo)函數(shù)求h+1的單調(diào)

XX

性，進(jìn)而求得取值范圍即可.

【詳解】⑴由題意可得/(l)="+l=e+l,解得a=e,所以〃X)=e'+x,

/(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：

t2Λrx：

任取x∣>x2eR,貝(∣∕(xj-/(/)=e"+x1-e-2=e'-e+xy-x2,

因?yàn)閥=e”在R上單調(diào)遞增，且用>々，

所以e*Je*2>0,Xl-X2>0,

所以/(%)T(W)>O,即/GA"%),

所以/(x)在R上單調(diào)遞增.

(2)由⑴得g(x)=e'+x-2x,

g(x)在(0,+∞)上有零點(diǎn),即ejr+x-4x=0在(。,+8)上有解,則4=0+1有解，

X

令尸(X)=三+1,則2X)=^≤=e'(j-l),

令尸'(x)>0角星得x>l,令F'(x)<O自畢得O<x<l,

所以F(X)在(0,1)單調(diào)遞減，在(l,+∞)單調(diào)遞增，

所以"XLn=P(I)=e+l,沒有最大值,

所以Λ≥c÷1.

8.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)已知集合A和定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x),若對任意f∈A,

XeR,者B有〃x+f)-∕(x)∈A,則稱"x)是關(guān)于A的同變函數(shù).

⑴當(dāng)A=(O,m)與(0,1)時(shí)，分別判斷/(x)=2*是否為關(guān)于A的同變函數(shù)，并說明理由；

⑵若"x)是關(guān)于｛2｝的同變函數(shù)，且當(dāng)XWO,2)時(shí)，于⑺=岳,試求〃x)在

［2太2Z+2)(k∈Z)上的表達(dá)式，并比較F(X)與；的大?。?/p>

⑶若〃為正整數(shù)，且"x)是關(guān)于［2一",2」［的同變函數(shù)，求證：〃x)既是關(guān)于｛m2"｝WeZ)

的同變函數(shù)，也是關(guān)于［0,+⑹的同變函數(shù).

【答案】⑴當(dāng)A=(0,4W)時(shí)，/(x)=2"是關(guān)于(0,。)的同變函數(shù)；當(dāng)A=美1)時(shí),/(x)不

是關(guān)于((U)的同變函數(shù)，理由見解析.

⑵/(X)=5∕2(X-21)+23當(dāng)x=2左+g(AwZ)時(shí)，/(x)=x+g;當(dāng)+；任eZ)時(shí)，

/(x)<x+^.

(3)證明見解析.

【分析】⑴當(dāng)A=(O,”)時(shí)，運(yùn)用定義證明即可；當(dāng)A=((U)時(shí)，舉反例說明即可.

(2)由定義推導(dǎo)出y="x)-x是以2為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而可得/(X)在[2匕2%+2)(^^2)解析

式，再運(yùn)用作差法后使用換元法研究函數(shù)的最值來比較/O)與x+；的大小.

(3)運(yùn)用定義推導(dǎo)出“X)-X是以2"為周期的周期函數(shù)，再用定義分別證明t=m?2-"("wZ)

與fw[0,y)兩種情況即可.

【詳解】⑴當(dāng)A=(O,例)時(shí),對任意的∕∈A,xeR,f(x+t)-f(x)=2^2'-l),

由2'>1,可得2，-1>0,又2*>0,所以/(x+r)-∕(x)∈A,

故/(x)=2*是關(guān)于(0,+8)的同變函數(shù)；

當(dāng)A=(O,1)時(shí)，存在;eA,2∈R,使得/(x+r)-/(X)=2?(應(yīng)-1)>1,βp∕(x+r)-∕(x)gA,

所以不是關(guān)于(0,1)的同變函數(shù).

(2)由F(X)是關(guān)于｛2｝的同變函數(shù),可知/(x+2)=∕(x)+2恒成立，

所以/(x+2)-(x+2)=f(x)-X恒成立，故y=∕(x)f是以2為周期的周期函數(shù).

當(dāng)xe[2Z,2A+2)(ZeZ)時(shí)，x-2k∈[θ,2),由/(x)-x=∕(x-2Z)-(X-2%),

可知/(x)=/(x-2Z)+2后=y∣2(x-2k)+2k.

(提示："x)=∕(x-2Z)+2%也可通過分類討論與累加法予以證明，下面的*式也同理可證)

對任意的xeR,都存在(ZeZ),使得xw[2Z,2Z+2),故f(x)=p(x-2k)+2k.

所以“x)-(x+[=/商

2

令P(X-2k)=t,則χ-2k=],可得f∈[0,2),

所以“x)-(x+f="g-g=-gf-l)2≤0(當(dāng)且僅當(dāng)f=l,即x=2Z+g時(shí)取等號(hào)).

所以當(dāng)x=2%+g(keZ)時(shí)，/(x)=x+g;

當(dāng)x≠2k+g(%wZ)時(shí)，/(x)<x+∣.

(3)因?yàn)?F")是關(guān)于[2-",2i]的同變函數(shù)，

所以對任意的fe[2-",2i],χeR,都有/(x+f)[f(x)s[2-",2?],

故/(x+2-")-f(x)≥2,用χ+2F代換X,可得F(X+2i)-f(x+2-")≥2,

所以[/(X+2-")T(X)[+[∕(X+25)-∕(X+2-")]≥2~,即MX+21)T(x)≥2j,

又/(x+2i)T(x)≥2i,故/(x+25)-f(x)=2~,且f(x+2T)T(X)=2，

所以/(x+2F)-(X+2-")=∕(x)-X,故/(X)-X是以2-"為周期的周期函數(shù).

對任意的f=g2-"(meZ),χeR,由+=/(X)—x,

可得f(x+m?2-")-f(x)=m?2-",(*)

所以〃力是關(guān)于｛mTn｝(m∈Z)的同變函數(shù).

對任意的te[0,+∞),存在非負(fù)整數(shù)也使fe["z?2-",(m+l)?2-1,

所以Tm+l)?2-"e[2-",2i],對任意的xeR,f(x+t)-f(x)=

/(x+(-W+1)2")+(機(jī)―1>2-")_/('=/1+,_(優(yōu)+1)2"))+(機(jī)_力2-"_〃司

>2-,,+(W-1)?2^,,=777?2^,,≥O,g∣J∕(x+z)-∕(x)∈[θ,+oo),

所以/（X）是關(guān)于［0,+8）的同變函數(shù).

故/（X）既是關(guān)于1療2-"｝（加62）的同變函數(shù)，也是關(guān)于［0,+8）的同變函數(shù).

9.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）某展覽會(huì)有四個(gè)展館，分別位于矩形A38的四個(gè)頂點(diǎn)A、

6、C、。處，現(xiàn)要修建如圖中實(shí)線所示的步道（寬度忽略不計(jì)，長度可變）把這四個(gè)展館連在

一起，其中A8=8百米，4）=6百米，^AE=DE=BF=CF.

DC

6

AB

（1）試從各段步道的長度與圖中各角的弧度數(shù)中選擇某一變量作為自變量X,并求出步道的總長

y（單位：百米）關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求步道的最短總長度（精確到0.01百米）.

【答案】（1）答案見解析

（2）18.39百米

【分析】（1）若設(shè)AE=X百米，運(yùn)用勾股定理表示目V、ME,進(jìn)而寫出y與X的關(guān)系式；

若設(shè)∕M4E=x,運(yùn)用三角函數(shù)表示AE、FN、ME,進(jìn)而寫出y與X的關(guān)系式；

（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.

【詳解】⑴設(shè)直線EF與A。BC分別交于點(diǎn)M,N,

DC

6

MN

AB

若設(shè)AE=x百米，則RV=Affi=JA』,所以EF=MN-FN-ME=8-2正-9,

AE>0一x>0

又因?yàn)?=>0<x<3,

FN>0=X2-9>0

所以y=4X÷8-2>∕X2-9(3<x<5).

3

若設(shè)∕M4E=x,則AE=——,FN=ME=3tanx,

COSX

EF=MN-FN-ME=8-6tanx,

4

則8—6tan%>0,解得tanx<§,又因?yàn)閄W(OeJ,

一4

所以0<x<arctan—,

所以y=±+8-6tanxfθ<x<arctang)).

COSX

(2)iδ∕(χ)=4x+8-2√x2-9(3<x<5)),

2x

∕,(λ-)=4-(3<?<5),令r(%)=0,Wx=2√3,

JX2—9

r(x)=4--?=<0

當(dāng)3<x<2√?時(shí)，''',當(dāng)2√J<x<5時(shí)，f")>0,

所以/（?）在（3,2√3）上單調(diào)遞減，在（235）上單調(diào)遞增,

故當(dāng)“26時(shí)，/(x)取得極小值(最小值)/(2檔)=8+6有。18.39(百米).

所以步道的最短總長度約為18.39百米.

12(4、

設(shè)/(X)=-----+8-6tanxO<x<arctan—),

cosxv3)

∕,(x)=12smf-6f0<?<arctan,令r(χ)=0,可得χ=g,

當(dāng)Xe(O總時(shí)，_f(x)<。，當(dāng)XWC，arctang[時(shí)，制x)>0,

所以/(x)在(0/上單調(diào)遞減，在已…修上單調(diào)遞增，

故當(dāng)X=押，〃x)取得極小值(最小值)/[^=8+6√3≈18.39(百米)，

所以步道的最短總長度約為18.39百米.

考點(diǎn)二：一次函數(shù)與二次函數(shù)

一、單選題

1.(2022?上海松江?統(tǒng)考二模)已知正方形的邊長為4,點(diǎn)U、N分別在邊A。、BC

上，且40=1,BN=2,若點(diǎn)尸在正方形A8C3的邊上，則PM?PN的取值范圍是()

A.L-6,6JB.[-6,2]C.[-2,6JD.[-2,21

【答案】C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及二次函數(shù)求值域即可得解.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系,

D

M'

AX

則M(0,1),N(4,2),

當(dāng)尸在AD上時(shí),設(shè)P(0,y)(04y≤4),PΛ∕=(0,l-y),PN=(4,2-y).

→→?1

:.PM-PN=y2-3y+2=(y-^)2

3TT1_>_>

當(dāng)y=W時(shí)，(PM?PN)min=-“當(dāng)y=4時(shí)，(PΛ∕.PN)majι=6,

S,?]--≤PMPN≤6,

4

當(dāng)尸在BC上時(shí),設(shè)P(4,y)(04y≤4),則∕?=(γ,i-y),無=(0,2-y),

→-÷Ql1

2

.?.PM-PN=y-3y+2=(y—)2--,^?--≤PMPN≤6,

當(dāng)尸在AB上時(shí)，設(shè)尸(x,0)(0<x≤4),俞=(_乂1),而=(4一兌2)，

2

.?.PM-PN=X-4x+2=(X-2)2-2>

當(dāng)x=2時(shí)，(PM-PN)min=-2,當(dāng)x=4時(shí)，(前?前)nm=2,

即-24PM?∕W≤2,

當(dāng)P在Cf)上時(shí)，設(shè)P(X,4)(0<x≤4),P6=(T,_3),P”=(4-X,-2)，

:.PM-PN=X2-4x+6=(x-2)2+2>

當(dāng)x=2時(shí)，(前.無)nιhι=2,當(dāng)x=4時(shí)，(PM-PN)imx=6>

^2<PMPN<6.

綜上可得，-2≤PMPN<6,

故選：C

2.(2022?上海浦東新?統(tǒng)考二模)已知f(x)=W,g(x)=x2-ax,(αwR),實(shí)數(shù)占、三滿足

設(shè)…)-/㈤g=g(6g㈤現(xiàn)有如下兩個(gè)結(jié)論：

X1-X2X1-X2

①對于任意的實(shí)數(shù)”，存在實(shí)數(shù)小聲，使得p=q；

②存在實(shí)數(shù)4>O,對于任意的X、x2w(-8,a+}],都有;

則()

A.①②均正確B.①②均不正確

C.①正確，②不正確D.①不正確，②正確

【答案】C

【分析】對①，根據(jù)P="*)二"引,q=5(,二的幾何意義，判斷得出f(力=W與

X1-X2X1-X2

g(x)=x2-ax一定有兩個(gè)交點(diǎn)分析即可

對②，通過化簡將題意轉(zhuǎn)換為：存在實(shí)數(shù)α>0,使得MX)=X2-依-∣x∣在(-8,?+1]±

為減函數(shù)，再分析出當(dāng)x≥0時(shí)函數(shù)有增區(qū)間，推出矛盾即可

【詳解】對①，P=叢止3的幾何意義為(x∕(3))與(/J(X2))兩點(diǎn)間的斜率，同理

xI~x2

q=屋玉)一且。2)的幾何意義為,g(占))與(χ2,g仇))兩點(diǎn)間的斜率.

x?~x2

數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)“<0時(shí)，存在用<乙=()；當(dāng)α≥0時(shí)，存在。=%<七，使得

對②，若存在實(shí)數(shù)4>0,對于任意的。&w(fa+↑],都有P>4,即

'(xjj(上)>"(、)『*),即(W)<g(χj-g(χ2),gpg(x>)-∕(?)<g(Λ?)-∕(-r1).

即存在實(shí)數(shù)α>0,對于任意的演、Λ?G(-∞'α+∣],g(w)-/(x2)<g(xj-/(為)恒成立.設(shè)

MX)=g(x)-/(x),則MN)<A(xJ,即MX)=g(x)-√(x)=χ2-αv-W為減函數(shù).故原題意可轉(zhuǎn)

化為：存在實(shí)數(shù)α>0,使得〃(x)=χ2-◎TM在(y，4+1]上為減函數(shù).因?yàn)楫?dāng)X≥O時(shí)，

人(X)=X2-(α+l)x,因?yàn)椤?x)對稱軸為X=W?,故當(dāng)X時(shí)∕z(x)一定為增函數(shù)，

故不存在實(shí)數(shù)α>0,使得〃(X)=X2-"-W在(-口。+1]上為減函數(shù).故②錯(cuò)誤

故選：C

3.(2022?上海金山?統(tǒng)考一模)對于函數(shù)y=∕(x),若自變量X在區(qū)間[a,目上變化時(shí)，函數(shù)

值/(x)的取值范圍也恰為[a,b],則稱區(qū)間是函數(shù)y=/(x)的保值區(qū)間，區(qū)間長度為人。.

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=g(χ)的表達(dá)式為g(χ)=∣f-l∣,給出下列命題：①函數(shù)y=g(χ)有且

僅有4個(gè)保值區(qū)間；②函數(shù)y=g(χ)的所有保值區(qū)間長度之和為史普.下列說法正確的是

()

?.結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立B.結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立

C.兩個(gè)結(jié)論都成立D.兩個(gè)結(jié)論都不成立

【答案】B

【分析】分析可知O≤α<b,分O≤"b≤l?0≤"l<。兩種情況討論，分析函數(shù)g(x)在目

上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)g(x)在［見目上的值域?yàn)槿馇蟪鯾的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)間(x)=∣fT≥O,所以0≤α<"

①當(dāng)O≤α<A≤l時(shí)，當(dāng)x∈［α,句時(shí)，g(x)=l-x2,則函數(shù)g(x)在［凡可上單調(diào)遞減，

2

g(a)=?-a=b0

由題意可得g(b)=I-從=。,解得一；

P=I

O≤a<b≤↑1

②當(dāng)OKaVIVb時(shí),則當(dāng)x∈［α同時(shí)，g(4ι=g(I)=0,必有〃=0,

1_y20<T<］

貝!k(χ)=V-dr所以，函數(shù)g(χ)在［0』上遞減，在口力］上單調(diào)遞增，

由g(〃)=∕N-1=1,可得b=V∑,

當(dāng)l<b≤√∑時(shí)，g(b)=從Te(0,1］,

故當(dāng)xw［0,句時(shí)，g(x)min=g(l)=0,g(x)naχ=max{g(0),g(b)}=g(0)=l,

故當(dāng)1<6W√Σ時(shí)，函數(shù)g(x)在［0,可上的值域?yàn)椋?』，不合乎題意；

當(dāng)b>√∑時(shí)，有g(shù)(∕)=〃一l=b,得8=匕或，

2

此時(shí)，當(dāng)x∈［0,6］時(shí)，g(x)mb=g(l)=0,g(x)maχ=max{g(0),g(6)}=g(b)=b,合乎題意.

綜上，y=g(x)有2個(gè)保值區(qū)間，故①錯(cuò)；

所有的保值區(qū)間為［0』和「,臂］長度之和為1一o+，_O=告叵，故②對.

故選:B.

二、填空題

4.(2022?上海閔行?統(tǒng)考一模)已知二次函數(shù)/(X)=加+x+a的值域?yàn)?,則函數(shù)

g(x)=2"+。的值域?yàn)開____.

［答案］(一；什力)

【分析】由二次函數(shù)的值域?yàn)?-8,5,分析求出參數(shù)。，然后代入g(x)=2'+"中求出值域即

可

【詳解】由二次函數(shù)〃X)=加+x+α的值域?yàn)?8,q得：

a<0a<0

3

'f(--a×?-----+--------+α=-

I2a{2a4

解得：。=;或α=l(舍去)

4

所以g(x)=2=；

因?yàn)?Λ>°=>2'-一Ing(X)

444

所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?-；，+8)

故答案為：卜;，+s).

5.(2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知集合P={y∣y≥d,χeR},

Q={y∣y=2',xeR},則PQ=.

【答案】(0,+∞).

L分析】由二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)值域可求得集合RQ,由交集定義可得結(jié)果.

【詳解】QY≥O,???P=[0,E)；2t>O,.?.β=(0,4w)；:.PQ=(0,+∞).

故答案為：(。，+8).

6.(2022?上海虹口?統(tǒng)考二模)已知y=∕(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且圖像關(guān)于直線X=I

對稱，當(dāng)xe[0,2]時(shí)，/("=耳2-同.對于閉區(qū)間/,用％表示y="x)在/上的最大值，若

正實(shí)數(shù)k滿足M[ok]=2峰網(wǎng)，貝必的值是.

【答案】巨史或史[區(qū)

24

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)及對稱軸得函數(shù)的周期，再結(jié)合已知解析式作出函數(shù)圖象，由于

/UU=I,由M的定義及函數(shù)的單調(diào)性得出Iw[0，燈，‰∣=1,‰tl=p求出y=J與

/(χ)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(在[0,2]上求出，由周期性易得其他值)，然后分析推理得出

MgH=T時(shí)的上值.

【詳解】因?yàn)?(χ)是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線χ=l對稱，

所以f(x+2)=/(1+(x+I))=/(l-(x+l))=f(-x)=-f(x)

/(x+4)=-∕U+2)=∕ω,所以F(X)是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期.

由奇函數(shù)、周期性作出函數(shù)的圖象，如圖.

當(dāng)x∈[0,2]時(shí),/(x)=x(2-x)=-(X-I)2+1,最大值為1,因此/(X)的最大值為1,且/(1)=1,

/(5)=1,

由于%。用=2MkM,因此1任伙，2婦，

/(x)在[0,1]上遞增，所以若H<l,則%).*]<Mg*],所以Ie[0,月，

所以M∣<>*∣=l,必*,2H=g,

一定有A<4,否則MC=1,從而2%<5.

由x(l-x)=彳得X=I+或X=I-所以圖中α=l+?^^,b=?-^-+4=5--^-,

222222

當(dāng)％=α=l+^^時(shí)，2Z=2+正<6,滿足題意，

2

當(dāng)2A=6=5-正時(shí)，Z=吐旦>α,滿足題意.

24

綜上，Z的值為上變或吐也.

24

7.(2022?上海浦東新?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測)函數(shù)的圖象是兩條線段(如圖)，它

的定義域?yàn)閘-l.O)U(O,1],則不等式/(x)-f{-x)>-1的解集為.

【分析】首先求得函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的解析式分類討論即可求得最終結(jié)果.

【詳解】解：

當(dāng)χ∈[T,0)時(shí)，設(shè)線段所在直線的方程為y=區(qū)+3線段過點(diǎn)(-1,O),(0,1),

f-?+力=O

根據(jù)一次函數(shù)解析式的特點(diǎn)，可得出方程組t,

[b=l1

[?=1

解得\.故當(dāng)χe[-ι,0)時(shí)，f(%)=%+1；

[κ=1

同理當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=χ-

當(dāng)x∈[-L0)時(shí)，不等式/(幻可化為：

3

%+1-(-x-l)>-1,解得：x>--,-l≤x<O.

當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，不等式∕?(x)-/(-x)〉-1可化為：

x~l-(-x+l)>-1,解得：?^?<x≤l,

綜上所述，不等式/(x)-/(-X)>7的解集為[-l,0)uQ,l.

故答案為：卜1，0)嗎,1

三、解答題

8.(2022-上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知定義在區(qū)間。2]上的兩個(gè)函數(shù)”r)

和g(x),其中/(x)=f-2Or+4(〃≥1),g(x)=".

x+l

(1)求函數(shù)y=∕(χ)的最小值機(jī)(。)；

⑵若對任意%，/￡[。，2],/(X2)>g(E)恒成立，求。的取值范圍.

…―、，[4-6Z2,1≤a<2

【答案】⑴加(。)={。ZI.

?β-4a,a≥2

(Q\a2?

⑵?1≤a<---

3

【分析】(1)先將/(6的解析式進(jìn)行配方，然后討論對稱軸與區(qū)間。2]的位置關(guān)系，可求出

函數(shù)y=∕Q)的最小值加⑷；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)“X)的最小值和g(x)的最大值，然后使"χ2)mi∕gαtχ,

建立關(guān)系式，解之即可求出答案.

【詳解】(1)由/(x)=χ2-2公+4=(x-α)2+4-T,則二次函數(shù)的對稱軸為x=α,

則當(dāng)l≤α<2時(shí)，/(x)在［0,。)上單調(diào)遞減，在色,2］上單調(diào)遞增，所以

2

rn(α)=∕(x)mjn=∕(α)=4-0;

當(dāng).≥2時(shí)，〃x)在［0,2］上單調(diào)遞減，m(a)=f(x)trin=f(2)=8-4a,

-匚【、】(`"2,1≤"<2

所以Wm)=2/”；

8-44,α≥2

⑵g(x)=(x+l)+W-2,當(dāng)xe［0,2］時(shí)，x+l∈［l,3］,又g(x)在區(qū)間［0,2］

Γ4

上單調(diào)遞增，所以g(x)e0,-.

若對任意對七€［0,2］,/(w)>g(x∣)恒成立

↑≤a<2a≥2

則/(々L>gα)ιreκ,故，.，4或,C,4

4-α>-8—4。>一

33

解得：區(qū)"冬”

3

9.(2022?上海徐匯?位育中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=OrJx+247(a為實(shí)常

數(shù)).

⑴設(shè)"x)在區(qū)間。2］上的最小值為g(α),求g(α)的表達(dá)式;

⑵設(shè)MX)=犯，若函數(shù)Λ(x)在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù),

求實(shí)數(shù)"的取值范圍.

X

3a-2,a≥-

2

【答案】⑴g(α)='

6a-3,a≤-

4

(2)-L≤α≤l

【分析】⑴就〃=0、。<0、0<β≤i；<"；、讓:分類討論后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求函

4422

數(shù)的最小值.

(2)利用單調(diào)性的定義可求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】⑴若"0,貝(J"x)=r-1,該函數(shù)在［1,2］上為減函數(shù)，故g(a)=-3,

若〃<。，則“力的圖象為開口向下的拋物線,且其對稱軸為χ=5<∣,

故/(x)在［1,2］上為減函數(shù)，故g(a)=6α-3,

若0<α≤｝則x=g≥2,故/(x)在［1,2］上為減函數(shù),

故g(α)=6α-3,

上為減函數(shù)，在(系

若;貝!Jf(χ)在為增函數(shù),

4Z

故g(a)=/

若“≥g則Xw≤1,故在［1,2］上為增函數(shù),

故g(α)="l)=3α-2,

3a-2,a≥-

2

CI?11

綜上，g(a)=?2a-I---,—<a<-.

4a42

6a-3a≤-

f4

ax1-x+2a-↑2a

(2)h(x)=-------------------=0x+--------

xx

任意的1≤M<X2≤2,

(2〃-1)(工2-內(nèi))

XZX

Λ(?I)-Λ(2)=6(I-X2)÷

X1X2

2?-C

=(Xf)a-----

因?yàn)镸X)在區(qū)間［ι,2］上是增函數(shù)，故人(玉)-MW)<o對任意ι<χa%≤2恒成立,

2a—1

而為一X2<O,故"----->0又寸彳壬意l≤x∣<w≤2.

X\X2

若2α-l>0即4>g,

J2。-12a-lC故g<a≤l,

因?yàn)?<X∕2<4,故Q--------->a------:—≥0即4≤l

x?x2?

若加-］=0即α=g,故a-0I=J>0,符合；

2XjX2，

?2a—12a—1］∣∣

若2a-lv0即〃<彳，故白;>a-≥0g［J^≥--,?fc--≤a<-,

2XIX24222

綜上，一gwa<l.

10.(2022-上海徐匯?上海中學(xué)?？寄M預(yù)測)某電f公司生產(chǎn)某種智能手環(huán)，其固定成本為

2萬元，每生產(chǎn)一個(gè)智能手環(huán)需增加投入100元，已知總收入R(單位：元)關(guān)于日產(chǎn)量X(單

人一+.一400X-L2,0≤x≤400

位：個(gè))滿足函數(shù)：RT2.

(80000,x>400

(1)將利潤/(x)(單位：元)表示成日產(chǎn)量X的函數(shù)；

⑵當(dāng)日產(chǎn)量X為何值時(shí)，該電子公司每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？(利潤+總成本=

總收入)

…、,、“\-?X2+300x-20000,(0≤X≤400)

【答案］⑴"X)=2

-IooX+60000(x>400)

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，公司獲得的月利潤最大，其值為25000元

【分析】(1)根據(jù)利潤為總收入減去總成本，即可得到利潤/(x)的解析式；

(2)結(jié)合(1)中/(x)的解析式，分討討論X的取值范圍，結(jié)合配方法與一次函數(shù)的單調(diào)性,

求得的最值，同時(shí)得到相應(yīng)的X值.

【詳解】(1)根據(jù)題意，

當(dāng)0≤x≤400時(shí)，/(x)=400x-→2-20000-IOOx=-→2+300x-20000,

當(dāng)x>400時(shí)，/(x)=8OOOO_2OOOO7OOX=ToOX+60000,

_/、—x~÷3OOx—20000,(0≤X≤400)

所以/(x)=<2

-1OOx÷60000(%>400)

(2)當(dāng)0≤x<4(X)時(shí)，/(x)=-?X2+300x-20000=~?(?~?θθ)2+25000,

所以當(dāng)x=300時(shí)，/(x)nιaχ=25000;

當(dāng)x>400時(shí)，易知/(x)=ToOX+60000是減函數(shù)，

所以/(x)<-100x400+60000=20000;

綜上：當(dāng)x=300時(shí)，/(x)mw=25000,

所以，當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，公司獲得的月利潤最大，其值為25000元.

11.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)高鐵的建設(shè)為一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了強(qiáng)大的推進(jìn)力，也

給人們的生活帶來極大便捷.以下是2022年開工的雄商高鐵線路上某個(gè)路段的示意圖，其中線

段A3、8C代表山坡，線段8為一段平地.設(shè)圖中A及8C坡的傾角滿足tan。=(，

tang=卷,AB長250m,BC長182m,CZ)長132m.假設(shè)該路段的高鐵軌道是水平的(與。平

行)，且端點(diǎn)EP分別與Ao在同一鉛垂線上，每隔30m需要建造一個(gè)橋墩(不考慮端點(diǎn)F建

造橋墩)

(1)求需要建造的橋墩的個(gè)數(shù)；

⑵已知高鐵軌道的高度為80m,設(shè)計(jì)過程中每30m放置一個(gè)橋墩，設(shè)橋墩高度為〃(單位：

m),單個(gè)橋墩的建造成本為W=O.65∕ι+5(單位：萬元)，求所有橋墩建造成本總和的最小

值.

【答案】(1)18個(gè)

(2)715.625萬元

【分析1(1)先由正切值得到余弦值，進(jìn)而計(jì)算得到得到AC的長，再計(jì)算得出AD,結(jié)合每

30m放置一個(gè)橋墩，

即可求出需要建造的個(gè)數(shù).

(2)可設(shè)最左邊的橋墩到E的距離為X米，為從左往由第〃個(gè)橋墩的高度，寫出xe[0,18]和

x∈(18,30)

對應(yīng)的橋墩高度的表達(dá)式，然后利用數(shù)列求和求出所有橋墩的高度，計(jì)算出成本總和的最小

值即可得

出答案.

752412

【詳解】⑴由tan(9=,tan^=-?,可得COSe=,cos￠>=-,過點(diǎn)8向AC作垂線,

72r4712725713

垂足為