新教材選擇性5.1.1平均變化率課件（15張）

5.1導(dǎo)數(shù)的概念5.1.1平均變化率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例,了解平均變化率的概念,并會(huì)求具體函數(shù)的平均變化率.2.了解平均變化率概念的形成過(guò)程,會(huì)在具體的情境中,說(shuō)明平均變化率的實(shí)際意

義.3.通過(guò)具體的平均變化率問(wèn)題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),借助平均變化率的求解,提升

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1|平均變化率?函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為①

.我們利用函數(shù)的平均變化率來(lái)刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.2|平均變化率的幾何意義平均變化率的幾何意義是經(jīng)過(guò)曲線y=f(x)上兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)的直線PQ的

斜率.因此平均變化率是曲線陡峭程度的②“數(shù)量化

”,或者說(shuō),曲線陡峭程

度是平均變化率的③“視覺(jué)化

”.3|函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近的平均變化率對(duì)于函數(shù)f(x),在自變量x從x0變到x1的過(guò)程中,若設(shè)Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),則得

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0附近的平均變化率為

=

=

.其中Δx稱作自變量的改變量,Δy稱作函數(shù)值的改變量.

判斷正誤,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“?”.r從0.1變化到0.3時(shí),圓的面積S的平均變化率為0.4π.

(√)提示:圓的面積S的平均變化率為

=

=0.4π.s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系為s(t)=5t2,則在1s到3s

這段時(shí)間內(nèi),該質(zhì)點(diǎn)的平均速度為20m/s.

(√)3.在雨季潮汛期間,某水文觀測(cè)員觀察千島湖水位的變化,發(fā)現(xiàn)在24h內(nèi)水位從10

2.7m上漲到105.1m,則水位漲幅的平均變化率是1m/h.

(

?)提示:水位漲幅的平均變化率是

=0.1(m/h).f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為零,說(shuō)明函數(shù)值在此區(qū)間上沒(méi)有發(fā)生變

化.

(

?)提示:函數(shù)f(x)在區(qū)間[x2,x2]上的平均變化率為零,只是說(shuō)明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在

區(qū)間(x1,x2)內(nèi)可以有變化.x2-x1取值越小,越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化率.

(√)提示:x2-x1取值越小,刻畫(huà)函數(shù)的變化趨勢(shì)越精確,故越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化率.6.已知某彎曲山路的上、下兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則

可以近似刻畫(huà)此彎曲山路的陡峭程度.

(√)提示:因?yàn)?/p>

表示A,B兩點(diǎn)所在直線的斜率,所以可近似地刻畫(huà)曲線段AB的陡峭程度.1|求函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率

f(x)在區(qū)間[x1,x2]上平均變化率的三個(gè)步驟:第一步,求自變量的改變量x2-x1;第二步,求函數(shù)值的改變量f(x2)-f(x1);第三步,求平均變化率

.2.求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn):求點(diǎn)x0附近的平均變化率,可用

求解.

已知函數(shù)f(x)=x2-x圖象上兩點(diǎn)P(1,f(1))和Q(t,f(t)),且直線PQ的斜率為2,則t的值為

.思路點(diǎn)撥直線PQ的斜率也就是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,t]上的平均變化率

利用平均變化率的計(jì)算公式列出關(guān)于t的方程

解方程求出t.解析自變量x從1變到t時(shí),函數(shù)f(x)的平均變化率為

=

=2,解得t=2.答案2方法總結(jié)

函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率表示連接函數(shù)f(x)圖象上兩點(diǎn)(x1,

f(x1)),(x2,f(x2))的直線的斜率,這也正是平均變化率的幾何意義.

(1)已知函數(shù)f(x)=x+

,分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均變化率,并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快;(2)已知函數(shù)f(x)=x2+1,求f(x)在區(qū)間[2,2+Δx]上的平均變化率.思路點(diǎn)撥(1)求x2-x1

求f(x2)-f(x1)

計(jì)算

.(2)求f(2+Δx)-f(2)

計(jì)算

.解析(1)自變量x從1變到2時(shí),函數(shù)f(x)的平均變化率為

=

=

;自變量x從3變到5時(shí),函數(shù)f(x)的平均變化率為

=

=

.因?yàn)?/p>

<

,所以函數(shù)f(x)=x+

在自變量x從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快.(2)f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2+1-(22+1)=4Δx+(Δx)2,所以f(x)在區(qū)間[2,2+Δx]上的平均變化率為

=

=4+Δx.方法總結(jié)

變化率的絕對(duì)值越大,函數(shù)在該區(qū)間上變化得越快;平均變化率的絕對(duì)值越小,函

數(shù)在該區(qū)間上變化得越慢.2|實(shí)際問(wèn)題中的平均變化率

函數(shù)的平均變化率在實(shí)際的生產(chǎn)生活中有著廣泛的應(yīng)用,如求平均速度、平均勞

數(shù)學(xué)模型并列出函數(shù)關(guān)系式,需注意是相對(duì)什么量變化的.

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)

之間的函數(shù)關(guān)系式為h(tt2t+10.(1)求運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)0.5s內(nèi)的平均速度;(2)求運(yùn)動(dòng)員在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)的平均速度.信息提?、賖與t間的函數(shù)關(guān)系式為h(tt2t+10;②求函數(shù)h(t)在區(qū)間[0,0.5]上的平均

變化率;③求函數(shù)h(t)在區(qū)間[1,2]上的平均變化率.數(shù)學(xué)建模本題以高臺(tái)跳水這一體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目為背景,構(gòu)建函數(shù)模型,將實(shí)際問(wèn)題中的平均

h

在相應(yīng)區(qū)間上的平均變化率.解析(1)運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)0.5s內(nèi)的平均速度即高度h在區(qū)間[0,0.5]上的平均變化

率,即

=4.05,故運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)0.5s內(nèi)的平均速度為4.05m/s.(2)運(yùn)動(dòng)員在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)的平均速度即高度h在區(qū)間[1,2]上的平均變化率,即

=-8.2,故運(yùn)動(dòng)員在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)的平