2023年內蒙古包頭市中考數學試卷（附答案詳解）

2023年內蒙古包頭市中考數學試卷

1.下列各式計算結果為的是（）

A.（Q3）2B.α1°÷a2C.a4?aD.（―l）-1α5

2.關于X的一元一次不等式％-1≤Tn的解集在數軸上的表-----------------

示如圖所示，則山的值為（）——1__1__1__1__i→?

-10123

A.3B.2C.1D.0

3.定義新運算,規(guī)定：α<g）b=α2-∣b∣,貝1）（一2）（8）（-1）的運算結果為（）

A.-5B.-3C.5D.3

4.如圖，直線Ci〃b,直線/與直線a,b分別相交于點A,B,

點C在直線〃上，且C4=CB.若/1=32。，則42的度數為（）

A.32。

B.58°

C.74°

D.75°

5.幾個大小相同的小正方體搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方形中

數字表示對應位置小正方體的個數，該幾何體的主視圖是（）

6.從1,2,3這三個數中隨機抽取兩個不同的數，分別記作m和九若點A的坐標記作（m,n）,

則點A在雙曲線y=:上的概率是（）

A.?B.?C.?D.I

?Z?O

7.如圖源于我國漢代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與

一個小正方形拼成的一個大正方形.若小正方形的面積為1,大正方形的面

積為25,直角三角形中較小的銳角為α,則CoSa的值為（）

A-Bd-C-D-

a.4?3j55

8.在平面直角坐標系中，將正比例函數y=-2X的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數

y=kx+b（k≠0）的圖象，則該一次函數的解析式為（）

A.y=-2x+3B.y=-2x+6C.y=-2x—3D,y=-2x—6

9.如圖，O。是銳角三角形4BC的外接圓，OD1AB,OELBC,

OF14C.垂足分別為D,E,F,連接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,/〃

△4BC的周長為21,則EF的長為(

C.3.5、-

D.3

10.如圖，在平面直角坐標系中，△OZB三個頂點的坐標分別為)，A

0(0,0),A(2√^3,O),B(√-3,l)-△。4'B與△04B關于直線OBT

對稱，反比例函數'=(供>0/>0)的圖象與4'8交于點。若

A1C=BC,則k的值為()

A.2λΛ^3O?A

C.√-3

D.U

11.若a,方為兩個連續(xù)整數，且α<q<b,則α+b=.

12.若修，不是一元二次方程χ2-2x-8=0的兩個實數根，則空=

Λ1Λ2

13.如圖，正方形ABCz)的邊長為2,對角線AC,8。相交于A

點O,以點8為圓心，對角線BO的長為半徑畫弧，交BC的延

長線于點E,則圖中陰影部分的面積為.\/

14.已知二次函數y=-ax?+2αx+3(α>0),若點P(m,3)在該函數的圖象上，且m40,

則m的值為.

o

15.如圖，在RtZkABC中，?ACB=90,AC=3,BC=1,,JC,

將ZkABC繞點A逆時針方向旋轉90。，得到AAB'C'.連接BB',交/

AC于點。，則空的值為./

B

16.如圖，AC,AD,CE是正五邊形ABeDE的對角線，AD

與CE相交于點F.下列結論：①CF平分NACD；@AF=2DF-,

③四邊形ABC尸是菱形；④AB?=A。.EF.其中正確的結論是

.(填寫所有正確結論的序號)

17.先化簡，再求值：(α+2以+(α+2b)(α—2b)其中α=—1,e=?

18.解方程：-?=5+-^.

x-11-x

19.在推進碳達峰、碳中和進程中，我國新能源汽車產銷兩旺，連續(xù)8年保持全球第一.如圖

為我國某自主品牌車企2022年下半年新能源汽車的月銷量統(tǒng)計圖.

2022年卜半年月銷量統(tǒng)計圖

(1)通過計算判斷該車企2022年下半年的月均銷量是否超過20萬輛；

(2)通過分析數據說明該車企2022年下半年月銷量的特點(寫出一條即可)，并提出一條增加

月銷量的合理化建議.

20.為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活動.如圖，A點為出發(fā)

點,途中設置兩個檢查點，分別為2點和C點，行進路線為ATBTCTAB點在A點的南

偏東25°方向處，C點在A點的北偏東80°方向，行進路線AB和8C所在直線的夾角

NaBC為45。.

(1)求行進路線8C和CA所在直線的夾角NBCA的度數；

(2)求檢查點8和C之間的距離(結果保留根號).

N

東

21.隨著科技的發(fā)展，掃地機器人（圖1）已廣泛應用于生活中.某公司推出一款新型掃地機器

人，經統(tǒng)計該產品2022年每個月的銷售情況發(fā)現(xiàn)，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化.

設該產品2022年第久（X為整數）個月每臺的銷售價格為y（單位：元），y與X的函數關系如圖2

所示（圖中ABC為一折線）.

圖2

求每臺的銷售價格y與X之間的函數關系式；

（2）設該產品2022年第X個月的銷售數量為m（單位：萬臺），相與X的關系可以用Tn=?x+l

來描述、求哪個月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入=每臺的銷售價格X銷售數

量）

22.如圖，AB是。。的直徑，AC是弦，。是巔上一點，P是AB延長線上一點，連接AQ,

DC,CP.

A

DD

備用圖

(1)求證：?ADC-ΛBAC=90°；(請用兩種證法解答)

(2)若乙4CP=乙4DC,。。的半徑為3,CP=4,求AP的長.

23.如圖，在菱形4BC。中，對角線AC,BD相交于點。，點P,。分別是邊BC,線段0。

上的點，連接4P,QP,AP與。B相交于點E.

(1)如圖1,連接Q4當Q4=QP時,試判斷點。是否在線段PC的垂直平分線上，并說明理由；

(2)如圖2,若乙4PB=90°,S,?BAP=?ADB,

①求證：AE=2EP；

②當OQ=OE時，設EP=α,求P。的長(用含”的代數式表示).

24.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-％2+3%+1交丫軸于點4,直線y=-gχ+2

交拋物線于8,C兩點(點8在點C的左側)，交y軸于點。，交X軸于點E.

(1)求點。，E,C的坐標；

(2)/是線段。E上一點(OF<EF),連接4F,DF,CF,S.AF2+EF2=21.

①求證：ADFC是直角三角形；

②NDFC的平分線FK交線段Z)C于點K,P是直線BC上方拋物線上一動點，當3tan∕PFK=1

時，求點尸的坐標.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】W：???（ɑ3）2=α6≠α5,

.??選項A不符合題意；

01°÷a2=a8≠a5,

???選項8不符合題意；

,,,a4-a=a5,

???選項C符合題意；

（―l）-1αs=-a5≠a5,

二選項。不符合題意.

故選：C.

根據負整數指數幕的運算方法，幕的乘方和積的乘方的運算方法，同底數幕的乘法、除法的運算

方法，逐項判斷即可.

此題主要考查了負整數指數累的運算方法，累的乘方和積的乘方的運算方法，同底數幕的乘法、

除法的運算方法，解答此題的關鍵是要明確：（I）。+=2（。力0邛為正整數）；（2）（am）n=

a7nn（τn,π是正整數），（ab）n=a"bn（π是正整數）；（3）同底數幕相乘，底數不變,指數相加；（4）同

底數基相除，底數不變，指數相減.

2.【答案】B

【解析】解：移項，可得：x≤m+l,

根據圖示，不等式的解集是X≤3,

?m+1=3,

解得m=2.

故選：B.

首先根據解一元一次不等式的步驟，求出不等式尤-1≤機的解集，然后根據不等式的解集是X≤3,

求出，〃的值即可.

此題主要考查了解一元一次不等式的方法，解一元一次不等式的基本操作方法與解一元一次方程

基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為L

3.【答案】D

【解析】解：由題意可得:

(-2)Θ(-1)

=(-2)2-I-11

=4—1

=3.

故選：D.

直接利用已知運算公式代入，進而計算得出答案.

此題主要考查了有理數的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

4.【答案】C

【解析】解：???CA=CB,

.?.△4BC是等腰三角形，

.?.?CBA=?CAB=(180°-32")+2=74°,

?.?a∕∕b,

.?.Z2=?CBA=74°.

故選：C.

由C4=CB可得AABC是等腰三角形，從而可求4CB4的大小，再結合平行線的性質即可解答.

本題考查等腰三角形的性質和平行線的性質，熟練掌握性質是解題關鍵.

5.【答案】B

【解析】解：觀察圖形可知，該幾何體的主視圖有3歹U,每一列都有3個正方形，即

故選：B.

根據俯視圖中每列正方形的個數，再判斷從正面看得到的圖形即可.

本題考查由三視圖判斷幾何體，簡單組合體的三視圖.由幾何體的俯視圖及小正方形內的數字，

可知主視圖的列數與俯視數的列數相同，且每列小正方形數目為俯視圖中該列小正方形數字中的

最大數字.左視圖的列數與俯視圖的行數相同，且每列小正方形數目為俯視圖中相應行中正方形

數字中的最大數字.熟知視圖方法是解題的關鍵.

6.【答案】A

【解析】解：從1,2,3這三個數中隨機抽取兩個不同的數，點A的坐標共有6種情況：(1,2),

(2,1))(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),并且它們出現(xiàn)的可能性相等，

點A坐標在雙曲線y=g上有2種情況：(2,3),(3,2),

所以，這個事件的概率為P=搟=；.

63

故選：A.

先求出點4的坐標的所有情況的個數，然后求出其中在雙曲線y=g上的坐標的個數，根據隨機

事件概率的計算方法，即可得到答案.

本題主要考查隨機事件的概率，關鍵是掌握隨機事件概率的計算方法：如果在一次試驗中，有〃

種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的機種結果，那么事件A發(fā)生的

概率P(A)=M

7.【答案】D

【解析】解：???小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,

???小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為5,

設直角三角形較短的直角邊為則較長的直角邊為α+l,其中α>0,

由勾股定理得：ɑ2+(α+l)2=52,

解得：α=3,

.?.α+1=4,

4

.?.COSa—?.

故選：D.

首先根據兩個正方形的面積分別求出兩個正方形的邊長，然后結合題意進一步設直角三角形較短

的直角邊為m則較長的直角邊為α+l,再利用勾股定理得到關于“的方程，解方程可求出直角

三角形的兩個個直角邊的邊長，最后根據銳角三角函數的定義可求出COSa的值.

此題主要考查了銳角三角函數，勾股定理等，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握銳角三角函

數的定義，難點是設置適當的未知數，利用勾股定理構造方程求出三角形的邊.

8.【答案】B

【解析】解：正比例函數y=-2x的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數的解析式為y=

—2(x—3)=-2x+6.

故選：B.

根據一次函數圖象平移的規(guī)律解答即可.

本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知”上加下減，左加右減”是解題的關鍵.

9.【答案】B

【解析】解：???。。1AB,OE1BC,OFLAC,

：.ADBD,AF=CF,BE=CE,

???DE,DF,EF是的中位線，

Ill

???DE=^ACfDF=^BCfEF=^AB,

11

???DE+DF+EF=久48+BC+AC)=/21=10.5,

vDE+DF=6.5,

?EF=10.5-6.5=4,

故選：B.

根據垂徑定理得到AD=BD,AF=CF,BE=CE,根據三角形的中位線定理得到CE+DF+EF=

+BC+AC)=^×21=10.5,于是得到結論.

本題考查了三角形外接圓與外心，三角形中位線定理，垂徑定理，熟練掌握三角形中位線定理是

解題的關鍵.

10.【答案】A

【解析】解：如圖，過點B作BDIX軸于點。，

???0(0,0),Λ(2√^^3,0).B(O,1)>

.?.BD=1,OD=√-3,

?AD=OD=√~3>tan?BOA=需=~γ^,

.?.OB=AB=√OD2+BD2=2，LBOA=ΛBA0=30°,

.?.?OBD=?ABD=60o,?OBA=120°,

???△408與A4'08關于直線OB對稱，

.?.?OBA'=120。，

.?.Z-OBA'+?OBD=180°,

.?.點4、B、。共線，

.?.A'B=AB=2,

???A'C=BC,

：.BC=1,CD=2,

???點C(，3,2),

??,點C(√^3,2)在反比例函數y=g的圖象上，

?,?k=V^^3×2=2√-3>

故選：A.

利用直角三角形的邊角關系以及對稱的性質可得出點4、8、。共線，進而求出點C的坐標，再根

據反比例函數圖象上點的坐標特征進行計算即可.

本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，掌握等腰三角形的性質以及翻折的性質是正確解答的

前提.

11.【答案】3

【解析】解：???1<3<4,

?1<√^3<2,

a=1,b=2,

則α+b=1+2=3,

故答案為：3.

先估算C在哪兩個連續(xù)整數之間求得b的值，然后將其代入α+b中計算即可.

本題考查無理數的估算和代數式求值，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

12.【答案】一)

4

【解析】解：根據題意得與+&=2,X1X2=-8?

則萼=^?=-*

XlK2-θ4

故答案為：一).

4

根據根與系數的關系得到與+x2=2,X1X2=-8,然后利用整體代入的方法計算.

本題考查了根與系數的關系：若%1，%2是一元二次方程αχ2+bχ+c=0(α力0)的兩根時，X1+

bc

%2=一￡XIX2=^?

13.【答案】π

【解析】解：???四邊形ABC。是正方形，

??AO=CO,BO=DO,AD=CD,乙DBE=45°,

ΛΔAOD^ΔCOB(SSS)f

???正方形ABCD的邊長為2,

???BD=√22+22=2λΛI,

???陰影部分的面積為扇形BED的面積，即45"&、F=

360

故答案為：it.

根據正方形的性質得出陰影部分的面積為扇形BE。的面積，然后由勾股定理得出BD=2。，再

由扇形面積公式求解即可.

本題主要考查正方形的性質以及扇形的面積，能夠理解題意，將陰影部分的面積轉化為扇形BEO

的面積是解題的關鍵.

14.【答案】2

【解析】解：點P(m,3)在二次函數y=-αM+2αχ+3(α>0)的圖象上，

:，3=-am2+2am+3,

:?-am(m—2)=O,

解得m=2或m=0(舍去),

故答案為：2.

將點P(m,3)代入函數解析式求解即可.

本題主要考查二次函數圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標滿足解析式是解題的關鍵.

15.【答案】5

【解析】解：過點。作DFIAB于點尺

?ACB=90o,AC=3,BC=1,AB=√32+I2=√-10.

???將AABC繞點A逆時針方向旋轉90。得到AAB'C',AB=AB'=y∏0,?BAB1=90",

是等腰直角三角形，

乙ABB'=45°

???DFLAB,乙DFB=45°,

DFB是等腰直角三角形，

.?.DF=BF,

SADBA=；XBCXAD=；XDFXAB,即AO=<IUθ尸，

VZC=?AFD=90°,?CAB=LFAD,

.??ΔAFDsRACB,

.DF_AF

''"麗=而'

即AF=3DF,

X?.?ΛF=√Iθ-DF,

Cr√Tθ

.?.DF=——>

4

?AD=√10×v?θ=

5

-

AO2

--=-=5

CD1

-

2

故答案為：5.

過點。作DF工48于點凡利用勾股定理求得48=Q6根據旋轉的性質可證44BB'?LDFB

11

2-2-

是等腰直角三角形，可得。尸=BF,再由SAyWBAD=>J10DF，

證明△?!FDSzi4CB,可得裝=察，即4尸=3。尸，再由ZF=√^IU—DF，求得DF=色，從而

DCAC4

求得AD=|,CD=γ即可求解.

本題考查旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形的面積，則

練掌握相關知識是解題的關鍵.

16.【答案】①@④

【解析】解：①?：五邊形ABCDE是正五邊形，

.?.AB=BC=CD=DE=EA,

?ABC=乙BCD=?CDE=?DEA=EAB=(5-2)jl80.=血。,

??ΛBCφ,/-ABC=108",AB=BC,

4BAC=?BCA=I””8。=36。，

同理可得，乙DCE=乙DEC=?EAD=?EDA=36。，

.?.?ACE=4BCD-LBCA-乙DCE=108°-36°-36°=36°,

???Z.ACE=Z.DCE,

即CF平分CD,

故①正確；

②?.??ACE=乙DEC=36o,?AFC=乙DFE,

.AFAC

DFDE

ACAC

V—=—≠2,

DEAB

,,麗≠2'

即AF≠2DF,

故②錯誤；

③????BAC=Z.ACE=36°,

??,AB∕∕FCf

VZ-EAB=108o,Z.EAD=36°,

Λ?DAB=?EAB-?EAD=108°-36°=72°,

???Z-ABC=108°,

??ABC+?DAB=108°+72°=180°,

??.AF//BCJ

，四邊形ABCF是平行四邊形，

又??.AB=BC,

四邊形ABCF是菱形，

故③正確；

④?.?Z.DEF=乙DAE=36°,乙EDF=ΛADE,

.,.ΔDEFS△DAE,

.DEEF

ADAE

???DE=AE=AB,

tAB__EF_

Λ^AD~~AB'

^AB2=AD-EF,

故④正確；

綜上，正確的結論是：①③④；

故答案為：①③④.

根據正五邊形的性質得出各角、各邊之間的關系，然后由各角之間的關系以及相似三角形的判定

與性質，菱形的判定分別證明即可.

本題主要考查了正多邊形的性質，相似三角形的判定與性質，菱形的判定定理，熟練掌握這些知

識是解題的關鍵.

17.【答案】解：原式=a?+和2+4αb+a2-4爐

=2a2+4αb,

當a=-1.b—；時，

4

原式=2×(-1)2+4×(-1)X?

=2-1

=1.

【解析】直接利用乘法公式化簡，再合并同類項，把已知數據代入得出答案.

此題主要考查了整式的混合運算-化簡求值，正確運用乘法公式化簡是解題關鍵.

18.【答案】解：原方程兩邊同乘。一1),去分母得：3=5(x-l)-3x,

去括號得：3=5x—5—3%,

移項，合并同類項得：—2x=-8,

系數化為1得：X=4,

檢驗：將X=4代入(X-1)中得4-1=3≠0,

則原分式方程的解為：%=4.

【解析】按照解分式方程的步驟解方程即可.

本題考查解分式方程，特別注意解分式方程時必須進行檢驗.

19.【答案】解：(1)以=竺：9里_09型9.2濟里23.吐22=20.05(萬輛),

答：該車企2022年下半年的月均銷量超過20萬輛；

(2)2022年下半年月銷量的特點：月銷量遞增趨勢；12月銷量最大；有三個月銷量超過20萬輛,

中位數為20.5萬輛；月均銷量超過20萬輛.

建議：充分了解客戶需求，及時處理客戶反饋，提供優(yōu)質銷后服務.

【解析】(1)估計平均數的定義求解即可；

(2)利用條形統(tǒng)計圖的數據闡述即可.

本題考查了平均數以及中位數等統(tǒng)計知識，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想方

法解答.

20.【答案】解：(I)由題意得：?NAC=80o,NBAS=25°,

.?.乙CAB=180°-4NAC-/.BAS=75°,

????ABC=45°,

4ACB=180o-?CAB-?ABC=60°,

???行進路線BC和CA所在直線的夾角NBCA的度數為60。；

(2)過點A作AD1BC,垂足為。，

在R￡△ABD中，AB=3y[~2kτ∏fZ-ABC=45°,

.?.AD=AB-sin45o=3<7X號=3(km)，

BD=AB-cos450=3√^^2X3=3(Jim)，

在RtA40C中，?ACB=60°,

CD=磊=7?=O

BC=BD+CD=(3+√-3)∕cm,

.??檢查點8和C之間的距離(3+G)km.

【解析】⑴根據題意可得：/.NAC=80o,NBAS=25°,從而利用平角定義可得NC4B=75。，然

后利用三角形內角和定理進行計算即可解答；

(2)過點A作4。1BC,垂足為￡>,在Rt△力BD中，利用銳角三角函數的定義求出AQ和BO的長，

再在RtAAOC中，利用銳角三角函數的定義求出CZ)的長，然后利用線段的和差關系進行計算，

即可解答.

本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線

是解題的關鍵.

21.【答案】解:(1)當1≤x≤10時,設每臺的銷售價格y與X之間的函數關系式為y=∕cx+b(k≠0),

???圖象過A(1,2850),B(Io,1500)兩點，

.(k+b=2850

"Ilok+b=1500'

解得仁瑞

二當1≤X≤10時，每臺的銷售價格y與X之間的函數關系式為y=-150x+3000；

(2)設銷售收入為W萬元，

①當1≤X≤10時，w=(-150x+30000扁X+1)=-15(x-5)2+3375,

-15<0,

.?.?x=5?,Wjt大=3375(萬元)；

②當10<x≤12時，W=1500扁X+1)=150x+1500,

W隨X的增大而增大，

.?.?X=12時，觀最大=150×12+1500=3300(萬元)；

V3375>3300,

第5個月的銷售收入最多，最多為3375萬元.

【解析】(1)利用待定系數法即可求解；

(2)根據銷售收入=每臺的銷售價格X銷售數量，可求得銷售收入w(萬元)與銷售月份X之間的函數

關系，再利用函數的性質即可求解.

本題考查一次函數、二次函數在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系并熟練掌握待定系數法，

二次函數的性質是解題的關鍵.

22.【答案】（1）證明：方法一：如圖，連接BD,

「AB是。。的直徑，

.?.?ADB=90°,

VZ-ADC—Z-BDC=Z.ADBJZJBDC=/.BACf

????ADC-?BAC=90°；

方法二：如圖，連接BC,

???48是。。的直徑，

ΛZ.ACB=90°,

V乙PBC=Z-BAC÷Z-ACBy

??PBC-Z.BAC=90°,

??,四邊形ABC。為。。的內接四邊形,

???Z,ADC÷?ABC=180°,

V?PBC+?ABC=180°,

????ADC=Z-PBC,

??.?ADC-?BAC=90°；

(2)解：由圖可得NADC=NPBJ

VACP=?ADC1

Λ?PBC=/.ACP9艮IlNPBC=NPe71,

VZ-BPC=Z-CPA,

.?.?PBCSAPCA,

PBPC

:、''-------(

PCPA

.?.PC2=PA-PB,

?.?G>O的半徑為3,

??.AB=6,

???PA=PB÷6,

???CP=4,

.?.42=（PB+6）?PB,

解得：PB=2或PB=-8（舍去），

則AP=2+6=8.

【解析】（1）方法一：連接8。，利用圓周角定理及角的和差即可證得結論：

方法二：連接BC,利用圓周角定理求得乙4CB=90。，再利用圓內接四邊形的性質及三角形的外

角性質即可證得結論；

（2）根據方法二中的圖形易證得APBCsAPca,結合已知條件，根據相似三角形的對應邊成比例

求得PB的長，繼而求得AP的長.

本題考查圓與相似三角形的綜合應用，（2）中結合已知條件證得△PBCSAPCA是解題的關鍵.

23.【答案】（1）解：結論：點。在線段PC的垂直平分線上.

理由：連接QC.四邊形ABC。是菱形，對角線AC,相交于點O,

.?.BD1AC,OA=0C,

：■QA=QC1

VQA=QPf

QC=QP,

??.點Q在線段PC的垂直平分線上；

(2)①證明：如圖，???四邊形ABC。是菱形，

AB=BC=CD=DAf

:?Z-ABD=Z.ADB,乙CBD=Z-CDB,

VBD1ACf???Z.ADO=乙CDO,

Z-ABD=乙CBD=?AD0.

V乙BAP=?ADB,

???CBAP=乙ABD=?CBD.

o

???AE=BE,Z-APB=90,?BAP?ABP=90°f乙BAP=

Z.ABD=乙CBD=30°

在RtABPML?EPB=90o,?PBE=30°,

1

???EP=泗,

??,AE=BE,

.?.EP=^AE,

?AE=2EP；

②如圖，連接QC?

-AB=BC,?ABC=60°,

???△48C是等邊三角形.Z-APB=90°,

：?BP=CP,EP=α,

：?AE=2a,AP=3α,

在RtZkAPB中，NAPB=90。，

AP√3

Vtan?AyBinPn=—=

.?.BP=y∕~~3af

：,CP=BP=√^3α,

VAO=CO9Z-AOE=?COQfOE=OQ,

公AoEdCOQ(SAS),

：?AE=CQ=2a,Z-EAO=乙QCO,

：,AEllCQ,

V?APB=90°,

?/-QCP=90。，

在RtMCQ中，“"=90。，

由勾股定理得PQ2=PC2+CQ2,

222

?PQ=PC+CQf

???PQ=y∕~~7a.

【解析】(1)根據菱形的性質及垂直平分線的判定證明即可；

(2)①根據菱形的性質得出48=BC=CD=DA,再由各角之間的關系得出NBZP=Z.ABD=

乙CBD=30°,由含30度角的直角三角形的性質求解即可；

②連接QC.利用等邊三角形的判定和性質得出4E=2α,AP=3af再由正切函數及全等三角形的

判定和性質及勾股定理求解即可.

題目主要考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定和性質及解直角三

角形，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

24.【答案】⑴解：直線>=一京+2交y軸于點￡>,交X軸于點E,

當汽=0時，y=2,

???O(0,2),

當y=0時,，%=6,

?E(6,0),

???直線y=-∣x+2交拋物線于B,。兩點(點8在點C的左側),

?1

，-X2+3%+1=--X+2,

?3%2—IOx÷3=0,

解得％ι=∣,x2=3,

???點8在點C的左側，

???點C的橫坐標為3,當％=3時，y=1,

???C(3,l),

答：C(3,l),D(0,2),E(6,0).

(2)如圖，

①證明：???拋物線丫=一/+3%+1交》軸于點4,

當％=0時，y=1,

.?M(0,1),

?OA=1,

在Rt△力。F中，?AOF=90°,

???AF2=OA2+OF2,

設F(Tn,0),

.?.OF=m,

??.AF2=1÷m2,

???￡(6,0