4.3電通量和高斯定理

4.3電通量和高斯定理4.3.1電場(chǎng)線和電通量4.3.2高斯定理4.3.3用高斯定理求電場(chǎng)

矢量場(chǎng)的兩個(gè)重要性質(zhì)：“通量”、“環(huán)流”以定常流動(dòng)流體的速度場(chǎng)為例。任意畫出一個(gè)閉合面和一個(gè)閉合回路。如果速度場(chǎng)通過(guò)某一閉合面的通量不等于零，則說(shuō)明在該閉合面內(nèi)存在流體從中流出或流入的“源”。

通量不等于零的矢量場(chǎng)，稱為有源場(chǎng)。速度場(chǎng)沿閉合回路的線積分，稱為環(huán)流：流體沿該閉合回路作渦旋流動(dòng)的程度。速度場(chǎng)通過(guò)閉合面的通量：流體在單位時(shí)間內(nèi)流出該閉合面的體積。

無(wú)源場(chǎng)：通過(guò)任一閉合面的通量都等于零的矢量場(chǎng)如果速度場(chǎng)沿某一閉合回路的環(huán)流不等于零，則說(shuō)明流體沿該閉合回路作渦旋流動(dòng)。

無(wú)旋場(chǎng)：沿任一閉合回路的環(huán)流都等于零的矢量場(chǎng)流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可以用速度場(chǎng)的通量和環(huán)流所滿足的方程來(lái)表達(dá)。

無(wú)源場(chǎng)的流線是首尾相接的閉合線環(huán)流不等于零的矢量場(chǎng)，稱為有旋場(chǎng)。

無(wú)旋場(chǎng)的流線不閉合電場(chǎng)通量滿足的方程

高斯定理：電場(chǎng)環(huán)流滿足的方程

環(huán)路定理：靜電學(xué)基本方程靜電場(chǎng)：有源、無(wú)旋場(chǎng)靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線不閉合4.3.1電場(chǎng)線和電通量1.電場(chǎng)線

為形象描繪靜電場(chǎng)，人為畫出的一些曲線。用電場(chǎng)線的條數(shù)密度，表示場(chǎng)強(qiáng)的大小。讓電場(chǎng)線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向；2.電通量等于穿過(guò)面元的電場(chǎng)線條數(shù)通過(guò)面元的電通量：通過(guò)曲面的電通量：引入有向面元：通過(guò)閉合面的電通量：

對(duì)于閉合面，總是把指向該閉合面外部的方向取為面元的法線方向。

e>0：電通量“流出”閉合面；

e<0：電通量“流入”閉合面。4.3.2高斯定理在靜電場(chǎng)中，通過(guò)任一閉合面的電通量，等于該面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和除以

0

靜電場(chǎng)線有頭有尾，發(fā)自正電荷或無(wú)窮遠(yuǎn)，止于負(fù)電荷或無(wú)窮遠(yuǎn)。穿過(guò)電場(chǎng)中任一閉合面的電場(chǎng)線條數(shù)，只與該閉合面內(nèi)電荷電量的代數(shù)和有關(guān)。無(wú)窮遠(yuǎn)？靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，電荷就是靜電場(chǎng)的源。只有高斯面S內(nèi)電荷才對(duì)總通量有貢獻(xiàn)，面外電荷對(duì)總通量無(wú)貢獻(xiàn)。但E是S面上的某點(diǎn)處的總場(chǎng)強(qiáng)，由面S內(nèi)、外全部電荷共同產(chǎn)生?！舅伎肌咳绻包c(diǎn)電荷”正好跨越高斯面，如何劃分高斯面內(nèi)、外的電荷？庫(kù)侖定律和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理（1）通過(guò)包圍點(diǎn)電荷q的任一閉合面的電通量都等于q/

0通過(guò)球面S'的電通量：

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線連續(xù)，在沒有電荷的地方電場(chǎng)線不會(huì)中斷。結(jié)論（1）正確。

高斯定理：為什么？（2）通過(guò)不包圍點(diǎn)電荷的任一閉合面的電通量都等于零電場(chǎng)線連續(xù)，從S面一側(cè)穿入的電場(chǎng)線條數(shù)一定等于從另一側(cè)穿出的電場(chǎng)線條數(shù)（3）多個(gè)點(diǎn)電荷的電通量等于它們單獨(dú)存在時(shí)的電通量的代數(shù)和

通過(guò)閉合面的電通量等于零通過(guò)閉合面S的電通量：結(jié)論（3）正確。等于零實(shí)驗(yàn)表明：高斯定理還適用于其他任何隨時(shí)間變化的電場(chǎng)（電磁場(chǎng)部分的參考材料）。給定電荷分布，應(yīng)用庫(kù)倫定律和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可以求空間各點(diǎn)的電場(chǎng)，但計(jì)算往往比較復(fù)雜。4.3.3用高斯定理求電場(chǎng)當(dāng)電荷分布具有充分的對(duì)稱性時(shí)，恰當(dāng)選取高斯面，可用高斯定理簡(jiǎn)單地求電場(chǎng)分布。

高斯定理是關(guān)于電場(chǎng)的普遍規(guī)律

充分的對(duì)稱性：參考“用高斯定理求電場(chǎng)的條件是滿足環(huán)路定理”電荷分布球?qū)ΨQ

電場(chǎng)分布球?qū)ΨQ：【例4.5】求均勻帶電球面的電場(chǎng)分布。球面半徑為R，所帶電量為q。解r<R：均勻帶電球面內(nèi)的電場(chǎng)為零

在與帶電球面同心的任一球面上，各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小相等，方向沿半徑。r>R：均勻帶電球面外部的場(chǎng)強(qiáng)，相當(dāng)于是把全部電量集中在球心的點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)?！舅伎肌繛槭裁丛趓=R

處強(qiáng)度不連續(xù)?【例4.6】求均勻帶電球體的電場(chǎng)分布。球體半徑為R，所帶電量為q。均勻帶電球體內(nèi)部的電場(chǎng)與r成正比；解r>R：r

R：

外部的場(chǎng)強(qiáng)，相當(dāng)于是把全部電量集中在球心的點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)。電荷軸對(duì)稱

電場(chǎng)軸對(duì)稱：【例4.7】求均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)細(xì)棒外部的場(chǎng)強(qiáng)分布。帶電細(xì)棒的線電荷密度為

。解截面電荷均勻分布，棒內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)：

以棒軸線為軸的任一圓柱面上，各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小相等。【思考】如果帶電棒為有限長(zhǎng)，只用高斯定理能求出中垂面之外其他各點(diǎn)的電場(chǎng)嗎？

場(chǎng)強(qiáng)方向沿半徑棒無(wú)限長(zhǎng)帶電平板無(wú)限大

板外任一點(diǎn)到板上的垂足都可看成板的中心解