2022-2023學(xué)年廣東省茂名五校聯(lián)盟高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省茂名五校聯(lián)盟高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z(l+i3)=3i23+4l?24,則Z的共扼復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合A=[tan,cos?,sinpsinB={y?y=sinx}f則力∩B=()

?-{)-亨,??B.Lm??

c?E?D.{一??

3.已知α∈(*3τr),α=2S譏",b=∕og2sinα,c=si∏3α,則()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

4.在平行四邊形/BCO中，加r=g就,而=|反,M是線段E尸的中點，則RW=()

?O

A.?+?B.?+?C.?AB+∣ΛDD.AB+1AD

CΛ?LΛ?JL4>??‰∣?

5.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶(約1202—1261)提出“三斜求積”求三角形面積的公式以

小斜塞并大斜基減中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜累減上,余四約之，為實.一為

從隅開方得積.如果把以上這段文字寫成公式，就是：S=J,匹_(￡!±^!)2內(nèi)/BC中,

已知角4、B、C所對邊長分別為α,b,c,其中α為棱長為，？的正方體的體對角線的長度，b為

復(fù)數(shù)3+4i的模，C為向量(一4,2H)的模，則AABC的面積為()

A.2>∏B.y∏AC.2>∏AD.3^ΛI(xiàn)4

6.把一個球放在一個圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上蓋后，球恰好與圓柱的上、下底

面和側(cè)面相切，則該球稱為圓柱的內(nèi)切球；如果一個圓柱的上、下底面圓上的點均在同一個

球上，則該球稱為圓柱的外接球.若一個圓柱的表面積為S「內(nèi)切球的表面積為S2,外接球的

表面積為S3,則Si：S2:S3為()

A.1：2：2B,1：1：1C.3：2：4D,2：3：3

7.為了提高學(xué)生鍛煉身體的積極性，某班以組為單位組織學(xué)生進(jìn)行了花樣跳繩比賽，每組6

人，現(xiàn)抽取了兩組數(shù)據(jù)，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,方差為4,乙組數(shù)據(jù)滿足如下條件時，

若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則關(guān)于新的一組數(shù)據(jù)說法錯誤的是()

A.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,則新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定為8

B.若乙組數(shù)據(jù)的方差為4,則新的一組數(shù)據(jù)的方差一定為4

C.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,方差為4,則新的一組數(shù)據(jù)的方差一定為4

D.若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,方差為8,則新的一組數(shù)據(jù)的方差一定為10

8.巴普士（約公元3?4世紀(jì)），古希臘亞歷山大學(xué)派著名幾何學(xué)家.

生前有大量的著作，但大部分遺失在歷史長河中，僅有微學(xué)匯編

?保存下來,微學(xué)匯編》一共8卷，在徽學(xué)匯編》第3卷中記載

著這樣一個定理：“如果在同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一

條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋

轉(zhuǎn)體的體積等于該閉合圖形的面積與該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，l∕=S（U表示

平面閉合圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得幾何體的體積，S表示閉合圖形的面積，1表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸

旋轉(zhuǎn)一周的周長）,已知在四邊形ABCD中，CE1AD^^E,AB//CE,AE=DE=3,2AB=

CE=4,利用上述定理可求得四邊形ABCD的重心G到點4的距離為（）

A√^T13BV2257CV2005DV2457

'9"-5-"15'-15-

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.我國經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)處于轉(zhuǎn)型升級階段，當(dāng)前的汽車保有量仍處于較低水平，未來增量市場發(fā)

展空間依舊廣闊.根據(jù)公安部數(shù)據(jù)統(tǒng)計，截至2022年末，我國汽車保有量達(dá)到3.19億輛.因此,

無論是從增量維度還是存量維度，我國消費者需求足以推動著市場繼續(xù)發(fā)展.如圖為2015-

2022年全國汽車保有量及增長率情況，則（）

2015-202舜全國汽車保有量基增長率

3.50

3Z.oo—12.(X)%

5o(—10.00%

2L.—8.00%

L50—6.00%

()o—4.00%

o.s(o—2.00%

20152016201720182019202020212022000%

汽車保有量(億量)一增長率

A.2015-2022年全國汽車保有量的極差大于一億輛

B.2016-2022年全國汽車保有量的中位數(shù)大于2.5億輛

C.2016-2022年全國汽車保有量的增長率平均值低于7.00%

D.2016-2022年全國汽車保有量的增長率逐年降低，一定能說明每年買汽車的人越來越少

10.下列命題為真命題的是（）

A.△4BC的三個內(nèi)角4B,C所對應(yīng)的邊分別是α,b,c,若SinG4+B)>s)4則c>α

B.若角4B,C是銳角△4BC的三個內(nèi)角，則tan(A+2B+C)=tan(4+C)

C.若昂函數(shù)f(x)的圖象過點4(16,2),則/(χ)=χ*

D.若X>2,則X+上的最小值為2

x-2

11.已知。為坐標(biāo)原點，點PI(CoSG+α),sin(]+α)),P2(COS(Tr-S),Sin(Tr-G)),P3(c0s(α+

0),sin(α+S)),Z^.(cos(α-j?),sin(a-/?)),則()

A.I西I=|兩IB.西?西=COS2a

C.若OP；〃。P3,貝IJCoSS=OD.若OP21OP4-貝Ijcosa=0

12.在正方體ABCD-Ai當(dāng)ClDl中，點G、E分別是棱BBl的中點，點F是棱BC上的動

點,則()

A.直線。IG與直線CE交于一點

B.點F滿足掘=J近時，異面直線4G與EF所成的角的余弦值為"善

365

5

C.點F滿足前^時，BC1IFffiDEF

D.當(dāng)點F滿足前=:^時，直線GF與平面&&C。所成角的正弦值為寫

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.某染發(fā)劑生產(chǎn)廠家生產(chǎn)了一種新型植物染發(fā)劑，現(xiàn)在有35000名女性，21000名男性用

了此染發(fā)劑,銷售科為了了解使用過的顧客對此染發(fā)劑的評價，決定按性別比例抽取80名顧客

做調(diào)查，則應(yīng)抽取女性名.

(log(x+IYx>1

14.已知函數(shù)f(無)=∣23si∏22X<1，若復(fù)數(shù)Z=(機(jī)-2)+2τni是純虛數(shù)，則/'(/(m))=

15.如圖，有一底面邊長為6m,高為6m的正六棱柱形糧倉，側(cè)面

CDDlcl的中心點為P,此時一只螞蟻正在4處，它要沿棱柱側(cè)面到達(dá)P

所經(jīng)過的最短路程是m.

AB

16.已知優(yōu)若均是單位向量，若不等式∣W+3|≤2∣R+t即對任意實數(shù)t都成立，則日與E的夾

角的最小值是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知向量五,B滿足a—2e=(4,—6),2a+b=(3,8)?

(1)求Sin位,b);

(2)若蒼〃2Q≠0),求|方+〃的最小值.

18.(本小題12.0分)

如圖，底面邊長為6的正三棱錐S-力BC的表面積為36+9q，點E，F(xiàn),G分別滿足加f=

IBC,AG=AS,BF=^BS,平面EFG交AC于點M.

(1)判斷點M的位置，并證明；

(2)求三棱錐E-BGM的體積.

19.(本小題12.0分)

在①分別以a,b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S2,S3,已知51+53-52=?<1，;

@(AC+CB)-CB=??4BC;③bsinC+csin(~+B)=O

這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.

在內(nèi)角4,B,C的對邊分別為α,b,c,且滿足.

(1)求角B；

2

(2)己知α=4,當(dāng)已取最小值時，求AABC內(nèi)切圓的半徑.

C

20.(本小題12.0分)

深州蜜桃，又稱“貢桃”，是河北省深州市的特產(chǎn)，中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，因其個頭碩大，

果型秀美，色澤鮮艷，皮薄肉細(xì)，汁甜如蜜，深受老百姓的喜歡.深州市某蜜桃種植村從該村

某種植戶的蜜桃樹上隨機(jī)摘下了200個蜜桃進(jìn)行測重，測得其質(zhì)量（單位：克）均分布在區(qū)間

［100,700］內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，利用樣本估計總體的思想，同一組中的

數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表.

（1）求出直方圖中α的值,估計該種植戶所種植的蜜桃的質(zhì)量的平均數(shù)和第75百分位數(shù)（第75百

分位數(shù)精確到0.01）；

（2）己知該種植戶的蜜桃樹上大約還有IoOOO個蜜桃待出售，現(xiàn)有甲、乙兩個收購商要與該種

植戶簽訂合同：

甲收購商：所有蜜桃均以40元/千克收購；

乙收購商：質(zhì)量低于200克的蜜桃不收購,質(zhì)量落在區(qū)間［200,300）內(nèi)的以8元/個的價格收購，

質(zhì)量落在區(qū)間［300,400）內(nèi)的以14元/個的價格收購，質(zhì)量落在區(qū)間［400,500）內(nèi)的以24元/個

的價格收購，質(zhì)量落在區(qū)間［500,600）內(nèi)的以36元/個的價格收購，質(zhì)量高于或等于600克的以

50元/個的價格收購.請你通過計算，幫助該種植戶確定應(yīng)與哪個收購商簽訂合同.

21.（本小題12.0分）

如圖，在邊長為8的正方形4BCD中，點E、F分別是4B、Be上的點，BE=BF=2,將A4ED,

△DCF分別沿DE,DF折起，使點4C重合于點M.

（1）求證：平面MEFI平面MBD；

（2）求二面角B-DF-M的正弦值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/"(久)=2[sin(ωx+看)一√~3cos(ωx+∣)]cos(ωx+弓)+√^3>當(dāng)f(/)≤f(x)≤

∕0?)時，Xl-X2的最小值為宗

(1)求函數(shù)f(x)的對稱軸；

(2)當(dāng)3>0時，將函數(shù)的f(x)圖象向右平移著個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)g(%)的

圖象，若存在αe∣-l,l],使不等式g(x)+3≥G)ɑτ+lg(2/c-l)對xe[-￡,捫恒成立，求

實數(shù)k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：戶=-i,?23=(產(chǎn))5,i3=T,f24=@4)6=匕

Vz(l+i3)=3i23+4i24,

???z(lT)=4-3i,即Z=壯=舄鬻="孔

?z??-?i,W在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點弓,一手位于第四象限.

故選：D.

根據(jù)已知條件，先對Z化簡，再結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：集合4={tan],cos*Si吟SinJB={y∣y=s譏%},則

由題意得4={C,—乎,浮[},

β={y∣-1≤y≤1},

.?.?∩B={--,—

故選：B.

求出集合力，B,利用交集定義能求出結(jié)果.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：?考<α<3τr,

0<sina<1，

sιna3

???a=2>l,b=Iog2Sina<0,0<c=sinα<1,

故Q>c>b.

故選：A.

根據(jù)已知求得0<s)ɑvl,進(jìn)而即可求解結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：因為而=U配,為J=W反，M是線段EF的中點,

?O

所以宿=T荏+2萬

=i(ΛB+BE)+∣(ΛD+DF)

=∣?F+∣×∣^+∣ΛD+i×∣^

=^Λβ+∣ΛD.

故選：D.

根據(jù)E,F兩點的位置，結(jié)合平行四邊形對邊所在向量相等，由向量線性運算規(guī)則即可求解.

本題考查平面向量線性運算，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由題意可得α=√-3?V-3=3,b=√32+42=5>C=J(-4)2+(2ΛΛ^5)2=6,

所以。2。2=9X36=182,佇/)2=隹苫-至)2=102,

所以S=J^(182-102)=2√-14?

故選：C.

由題意可得a,b,C邊的大小，代入三角形的面積公式，可得三角形的面積.

本題考查三角形面積的公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓柱的母線長為2,內(nèi)切球的半徑為r,外接球的半徑為R,

則其軸截面如圖所示，W∣J∕=2r,R=yΓ2r,

22222

所以SI=2πrl+2πr=6πr,S2=4πr,S3=4πR=8πr,

所以S"S2:S3=3：2：4.

故選：C.

設(shè)圓柱的母線長為Z,內(nèi)切球的半徑為r,外接球的半徑為R,根據(jù)其軸截面，得到1=2r,R=Cr,

代入圓柱和球的表面積公式即可求解.

本題考查了圓柱和球的表面積計算，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：不妨設(shè)甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為五，方差為SK

乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為焉，方差為登，

混合后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3方差為S2,

已知-8-s?=4,

對于選項A：若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,

則新的一組數(shù)據(jù)平均數(shù)I=喀歲膽=8,故選項A正確;

o+o

對于選項&若乙組數(shù)據(jù)的方差為4,

因為不能確定乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

22

所以s2=?[Si+(Xi-X)]+?[s^+(X2-%)]

22

=i[4+(8-i)]+i[4+(x2-i)],

此時無法確定新的一組數(shù)據(jù)方差，故選項B錯誤；

對于選項C,若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,方差為4,

可得%2=8,s/=4,

此時I=與等=8,

o+υ

22

則s2=?[sf+(X1-X)]+?[sf+(X2-X)]

=?×(4÷02)+?×(4÷02)=4,故選項C正確；

對于選項。：若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,方差為8,

可得%2=4，S2—8,

此時％=777X8+7^τX4=6,

6+66+6

22

則S?=?[sf+(X1-X)]+?[S2+(?-?)]

=∣×(4+4)+∣×(8+4)=10,故選項。正確.

故選：B.

由題意，根據(jù)平方數(shù)和方差的計算公式，對選項進(jìn)行逐一分析，進(jìn)而即可求解.

本題考查平均數(shù)和方差，考查了運算能力.

8.【答案】C

【解析】解：四邊形4BCD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積：

1_________1

Vi=-×4×(9ττ+36τr+√9π×36ττ)--×2×9τr=78τr,

設(shè)重心G到48的距離為由，則W×3×(2+4)+∣×3×4]×27rdl=78兀，

解得心=得=募

直角梯形繞4。旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積：

l<2=?×3×(4π+16π+√4π×16π)+?×3×16π=44π,

設(shè)重心G到4。的距離為d2,

則修X3X(2+4)+gX3X4]X2πd2=44τr,

解得四=||.

???MG∣=J(守+(Q=爺.

故選：C.

考慮先計算重心G到4B的距離和重心G到4。的距離，再用勾股定理可得.

本題考查簡單幾何體的體積計算以及立體幾何中的距離問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：2015—2022年全國汽車保有量最多的為2022年，超過3億輛，最少的為2015年，大

約1.7億輛，

極差大于一億輛，故選項A正確；

因為2016—2022年全國汽車保有量的中位數(shù)為2019年的汽車保有量，大于2.5億輛，故選項8正

確；

易知2016-2022年全國汽車保有量的增長率前三個數(shù)據(jù)大于10.00%,

兩個大于或等于8.00%,一個在(7.00%,8.00%),一個在(5.00%,6.00%),

則平均數(shù)大于7.00%,故選項C錯誤；

雖然2016-2022年全國汽車保有量的增長率逐年降低，

但是汽車保有量是逐年增加的，且每年報廢一部分的汽車，

所以不一定能說明每年買汽車的人越來越少，故選項。錯誤.

故選；AB.

由題意，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，對選項進(jìn)行逐一分析，進(jìn)而即可求解.

本題考查百分位數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：對于4因為4+B+C=ττ,

所以SineA+B)=sin(π-C)=SinC,

所以Sin(A+B)>sinA,即為SinC>sin4,根據(jù)正弦定理得c>α,故4正確：

對于B,tan(√l+2B+C)=tan(π+β)=tanB,tan(Λ+C)=tan(π-B)=—tanB,故B錯誤;

對于C，設(shè)f(x)=%0,若塞函數(shù)/Q)的圖象過點4(16,2),

則2=16%解得α=[,所以/⑶=/，故C正確；

對于。，X4——Z=X—2H——T+2》2I(X—2)■——τ+2=4，

X-ZX-27x-2

當(dāng)且僅當(dāng)X-2=工時，即攵=3時等號成立，故。錯誤.

x-2

故選：AC.

利用誘導(dǎo)公式及正弦定理即可判斷4利用誘導(dǎo)公式即可判斷&由幕函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；由

基本不等式即可判斷D.

本題主要考查誘導(dǎo)公式、正弦定理，基函數(shù)，基本不等式，考查命題真假的判斷，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：???P1(-sina,cosa),P2(.-cosβ,sinβ'),P3(cos(α+β),sin(a+/?)),P4(cos(a-

β),sin(a-β)),

■■OP1=(-sinalcosa)>OP2=(-cosβ,sinβ~)>OP3=(cos(α+/J),sin(α+/?)),OP：=(CoS(α-

β),sin(a-β)),

對于因為2222所以,,

4IOPII=√cosα+sinα=1，∣OP2?=Λ/COS^?+(-sinβ)=1>IOPIl=∣0∕2∣

故A正確；

對于B,因為OP；?OP；=cos(α+S)COS(α—β)+s?n(ɑ+0)sin(α—0)=cos[(a+S)-(α-

β)]=cos2β,故B錯誤;

對于C,若OP；〃0P；,則—sinasin(a+0)=c。SaCOS(a+夕)，

即CoSaCOS(a+S)+sinasin(a+0)=0,所以COS[a—(a+0)]=COSS=0,故C正確；

若OP；JLOP%,則-COS0cos(a-β~)+sinβsin(a-0)=0,所以-COS[0+(a—￡)]=O,BPcosa=0,

故O正確.

故選：ACD.

由平面向量的坐標(biāo)運算及三角恒等變換知識逐一判斷各選項即可.

本題考查平面向量的坐標(biāo)運算和三角恒等變換，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對于4如圖所示:

連接DlCGE,A1B,

由于點G,E分別是棱4當(dāng),BBl的中點,故GE//4B,

在正方體中，AlB∕∕DlC,故GE//%。，且GE=；DIC,

故四邊形OlGEC為梯形，故直線DlG與直線CE交于一點，故A正確;

對于8,取棱AB的中點M,連接則BlM〃/1G,B1M=AG,

又取MB的中點N,連接EN,FN,則EN〃&M,EN=

所以4NEF（或補(bǔ)角）為異面直線/G與EF所成的角，

設(shè)正方體的棱長為6,

則EN=√BE2+BN2=浮,NF=√BN2+BF2=∣,EF=√BE2+BF2=>Λl3.

由余弦定理得CoSNNEF=察，故B正確；

65

對于C,連接B1C,A1E,A1D,則E∕7"1C,EF=；B1C,

又A?D"B[C,所以A”〃EF,故平面DEF與平面&DFE為同一個平面,

???B1C1.BC1,BC11CD,CD∩B1C=C,

BC1，平面AlBICC,

若BCl_L平面4DFE,則平面4BICD〃平面&DFE,

這與平面&DFECl平面為BICD=&D矛盾，故C錯誤；

設(shè)正方體的棱長為6,

貝IJBG=6√^7,故點B到平面&8停。的距離為TBCI=3√^2,

所以點F到平面4BιCD的距離為2，7,

取ZB的中點Q,連接GQ,GF,QF,

則GQJ■平面4BCD,所以GF=√6?+22+32=7,

所以直線GF與&B1C0所成的角的正弦值為手，故O正確.

故選：ABD.

對于4,根據(jù)條件推得四邊形DlGEC為梯形，即可說明A正確；

對于B,取棱4B的中點M,連結(jié)BM,取MB的中點N,連接EN,FN,根據(jù)異面直線所成的角的定

義推得ZNEF（或補(bǔ)角）為異面直線4G與E尸所成的角，設(shè)出正方體的棱長，利用余弦定理求出

COSNNEF的值，即可判斷B；

對于C，連接C,A1E,A-lD,易得平面DEF與平面FE為同一個平面，再由垂直于同一直線

的兩個平面平行判斷；

對于D,結(jié)合BClI平面A&CD,取AB的中點Q,連接GQ,GF,QF,易得NGFQ為所求的角判斷.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系以及空間角的計算，屬于中檔題.

13.【答案】50

35000

【解析】解：

80×35000+21000=50,

所以應(yīng)抽取女性為50名.

故答案為：50.

根據(jù)分層抽樣的定義求解.

本題主要考查了分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1一號

【解析】解：復(fù)數(shù)Z=(Jn-2)+2Jni是純虛數(shù),

則爆窩°，解得m=2,

(log(χ+1),%>1

32

/(%)一?2sin^-fx≤1，

I8x

則/⑺=/(2)=bg3(2+1)=1，

故/Cf(m))=/(1)=2sin21=1—cos=1——?

故答案為：1一分.

根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，先求出山，再結(jié)合分段函數(shù)f(χ),即可求解.

本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】3726

【解析】解：根據(jù)題意，正六棱柱則側(cè)面展開圖如圖：

其中AB=BC=CD=DE=EF=FA=6cm,AA'=BB'=CC'=

DD'=EE1=FF'=6cm,

過點P作PMlCD,交CD與點

易得M為CD的中點，則PM=3cτn,AM=6+6+3=15cm,

則PM=√225+9=√^T34=3√^26.

即沿棱柱側(cè)面到達(dá)P所經(jīng)過的最短路程是3√^?

故答案為：3V26.

根據(jù)題意，作出該正六棱柱則側(cè)面展開圖，過點P作PMlCD,交CD與點、M,分析易得PM和4M的

長，利用勾股定理計算可得答案.

本題考查棱柱的幾何結(jié)構(gòu)，涉及幾何體表面的最短路徑問題，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】I

【解析】解：設(shè)4與E的夾角為。，將不等式左右兩邊進(jìn)行平方，化簡得(l-4t)cos0≤2t2+i,

當(dāng)不等式顯然成立，

當(dāng)則皿?！?2戶+I)÷(1_4t)=，富TX6yτ+9="Ki_4t)+

--2]

l-4f」

1Q

=--×[(4t-l)+-+2],

?X[(4t-l)+?+2]≥j×(2C+2)=1,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時等號成立，

所以(212+1)+(1—4t)≤一1,cosθ≥(2t2+1)÷(1—4t)顯然成立，

1

當(dāng)t<2-

4-則cos?！?2t+1)÷(1—4t)=?[(1—4t)÷一軌一2]≤?×(2√9-2)=?,

當(dāng)且僅當(dāng)t=-；時等號成立，所以cos9最大取值為1即J最小可以為不

ΔΔ?

故答案為：≡

將不等式左右兩邊進(jìn)行平方,得出關(guān)于d與前勺夾角余弦值的不等式,而后根據(jù)t的值進(jìn)行討論即可.

本題主要考查向量的數(shù)量積，對t進(jìn)行分類討論并對不等式進(jìn)行分離是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)向量乙b滿足五一2b=(4,—6),21+b=(3,8),

解得d=(2,2),ft=(-1,4),

,T7*、Mb-2+8_3￡34

Ma，人而曠2>Γ2×yΓT7~34

E>=∣I-COS2<α,6>=Jl-?=

則Sin<α,y

(2)?α∕∕c(c≠0),可設(shè)下=(2t,2t),t≠0,

則IB+小=√(2t-l)2+(2t+4)2=√8t2+12t+17=J8(t+1)2+卷

當(dāng)t=_,時,為+J取得最小值,且為蜉.

【解析】(1)由向量的加減運算求得4b，再由向量的夾角公式和同角公式，可得所求值;

(2)可設(shè)口=(2t,2t),t#0,由向量的加法運算和模的公式、二次函數(shù)的最值求法可得所求最小值.

本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算，以及二次函數(shù)的最值求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬

于中檔題.

18.【答案】解：(I)RW=:近；證明如下：

■■■AGAS,BF=^BS,■.GF//AB,

X?.?ABU平面ABC,GFC平面ABC,

.?.GF〃平面ABC,

又?.?GFU平面EFGM,平面EFGMn平面ABC=ME,

：.GFllME,：.MEIlAB,

?.?BF=∣SC,.-.AM=^AC.

(2)取BC的中點H,連結(jié)SH,AH,

3

B

則SH1BC,

令SH=a,此三棱錐的表面積為?×36+3×i×6×α=36+9√3,得a=4,

因為三棱錐S-ABC為正三棱錐，

所以S在底面的投影為AABC的中心。，連接SO,

所以O(shè)H=WX?X6=<3，

所以S。=√SH2-OH2=√13,

所以二棱錐E—BGM的體枳IZE_BGM=VG-BEM=WVS-BEM=VXgX'以XSABEM=×ξ×

?ABC-??'

【解析】（1）根據(jù)已知條件證明GF〃平面4BC,進(jìn)而根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知ME〃4B,結(jié)合已知

條件可判斷M的位置；

（2）取BC的中點H,連結(jié)SH,AH,根據(jù)條件和正棱錐的特征和錐體體積公式計算即可.

本題考查了線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用以及三棱錐體積的計算問題，屬于中檔題.

2o2

19.【答案】解：（1）選①依題意SI="2s譏60。=Fa2,s2=^bsin60=^?b<S3=

L4L4

12?Z-Λ2

-CSl∏600——CZ?

則Si+S3—S2=?ac=?a2+?c2-?b2,

即QC=a2÷c2—62,

由余弦定理CoSB=a2+c2~fc2=L

2ac2

因為Be（O,兀），所以B=親

選②：由題意（近+而）?麗=平S&A8C，

得布?0=亨SMBC，即瓦？?比=*SMBC，

crpi2√-31.>Γ~3acsinB

macacosBri=-y-×-acsιnBo=-----------，

所以SnB=??=√-3,

因為B∈(O,ττ),所以3=親

選③bsinC+CSiTI譚+B)=0,

由正弦定理得si?IBSinC+sinCsin(^-+B)=0,

因為SmC≠0,

所以SinB+sin(?+8)=0,

化簡得;SiTlB—cosB=0,即tcmB=V^3,

因為B∈(O,ττ),

所以8=余

(2)因為Q=4,8=/，所以Z?2=α2+c2-2accosB=16+C2—4c,

所以"2=c+,—4≥2JCT一4=6,當(dāng)且僅當(dāng)C=,，即c=5時等號成立，此時X=16+

c2-4c=21,

所以b=?/21,

則SNBC=IacsinB=^ac×?=5√-3,

設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為，貝IJSUBC=?(α+b+c)r,

所以廠=2S&ABC=3≤2Ξ≤Z,

α+b+c2

所以△4BC內(nèi)切圓的半徑為

【解析】(1)①由已知結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行化簡可得α,b,C的關(guān)系，然后結(jié)合余弦定理可求

cosB,進(jìn)而可求B；

②結(jié)合向量數(shù)量積的定義及三角形面積公式進(jìn)行化簡可求tα∏B,進(jìn)而可求B；

③由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可求tanB,進(jìn)而可求B；

(2)由已知結(jié)合余弦定理及基本不等式可求b,c然后結(jié)合三角形面積公式及三角形內(nèi)切圓半徑公式

可求.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式及和差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)已知Ioo(0.0005+0.0025+0.004+a+0.001+0.0005)=1,

解得α=0.0015,

易知蜜桃質(zhì)量在區(qū)間[100,200)的頻率為IooX0.0005=0.05,

同理得蜜桃質(zhì)量在區(qū)間[200,300),[300,400),[400,500),[500,600),[600,700]的頻率依次為0.25,

0.4,0.15,0.1,0.05,

則平均數(shù)工=150X0.05+250X0.25+350×0.4+450X0.15+550X0.1+650X0.05=365,

因為0.05+0.25+0.4=0.7<0.75,0.05+0.25+0.4+0.15=0.85>0.75,

所以第75百分位數(shù)在第4組，

不妨設(shè)第75百分位數(shù)為支，

則0.05+0.25+0.4+0.0015(x-400)=0.75,

解得X=400+釁=433.33；

(2)若按甲收購商的方案收購，由(1)知每個蜜桃的平均質(zhì)量為365克，

所以這IOooO個蜜桃大約重0.365X10000=3650千克，

則總收益為40X3650=146000(元)，

若按乙收購商的方案收購，

此時收購的蜜桃個數(shù)依次為500,2500,4000,1500,1000,500,

則總收益為2500×8+4000×14+1500×24+1000×36+500×50=173000(元)，

因為173000>146000,

所以應(yīng)與乙收購商簽訂合同.

【解析】(1)由題意，根據(jù)頻率之和為1,列出等式即可求出ɑ的值，依次求出蜜桃質(zhì)量在各區(qū)間的

頻率，列出等式即可求出平均數(shù)，利用百分位數(shù)的定義，列出等式求解即可；

(2)結(jié)合頻率分布直方圖所給信息，分別求出甲收購商和乙收購商的總收益，進(jìn)行比較后即可得到

答案.

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了邏輯推理和運算能力.

21.【答案】（1）證明：???MDJ.MF,MD1ME,MFCtME=M,MF,MEU平面MEF,

.?.MDJ■平面MEF,又MDu平面MBD,二平面MEFj?平面MBD.

(2)解：設(shè)BD與EF交于點0,連接M。，在平面MDB內(nèi)作MNd.BD于點N,

在平面MDF內(nèi)作MGIDF于點G,連結(jié)NG,

???BE=BF=2,EFLBD,???M。_1_面MEF,EFU平面MEF,二MC1EF,

VMD,BDU平面MBO,MDnBD=D,.?.EF，平面MBD,

TMNU平面MBD,.?.EF1MN,"EFdBD=O,EF,BDU平面DEF,

.?.MNrTlfDEF,又?.?DFu平面DEF,.?.MN1DF,

又?.?OF1MG,