2024-2024學年上海市浦東新區(qū)高一(下)期中數(shù)學試卷

第1頁〔共1頁〕2024-2024學年上海市浦東新區(qū)高一〔下〕期中數(shù)學試卷一、填空題〔共12小題，每題3分，總分值36分〕1．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕求值：=．2．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)f〔x〕=x2﹣1〔x≤﹣2〕，那么f﹣1〔4〕=．3．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕與終邊相同的最小正角是．4．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕sinαcosα＜0，那么α是第象限角．5．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕log32=a，那么log3218用a表示為．6．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕假設(shè)，那么a的取值范圍是．7．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)f〔x〕=x2+2ax+1在[﹣1，2]上不存在反函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍為．8．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕假設(shè)，那么=．9．〔3分〕〔2024?上海〕設(shè)函數(shù)f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，假設(shè)當x∈〔0，+∞〕時，f〔x〕=lgx，那么滿足f〔x〕＞0的x的取值范圍是．10．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕假設(shè)，那么a=．11．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)y=loga〔3﹣ax〕，〔a＞0，a≠1〕在[0，1]上單調(diào)遞減，那么實數(shù)a的取值范圍為．12．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕角α終邊上一點P〔t，﹣4〕，假設(shè)，那么tanα=．二、選擇題〔本大題4小題，每題3分，共12分〕13．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕“〞是“〞的〔〕A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕假設(shè)函數(shù)的定義域為R，那么k的取值范圍是〔〕A． B． C． D．15．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕將a2b=N〔a＞0，a≠1〕轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式，其中錯誤的選項是〔〕A． B． C． D．16．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)，假設(shè)存在正整數(shù)k滿足：f〔1〕?f〔2〕?f〔3〕?…?f〔n〕=k，那么我們把k叫做關(guān)于n的“對整數(shù)〞，那么當n∈[1，10]時，“對整數(shù)〞共有〔〕A．1個 B．2個 C．4個 D．8個三、解答題〔本大題共5小題，總分值52分〕17．〔8分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕解方程：log2〔9x﹣5〕=log2〔3x﹣2〕+2．18．〔8分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕tanα=﹣2，求以下各式的值．〔1〕〔2〕4sin2α+3cos2α19．〔10分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕，且π＜α＜2π，求tan〔2π﹣α〕．20．〔10分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕扇形AOB的周長為8cm．〔1〕假設(shè)這個扇形的面積為3cm2，求圓心角的大?。弧?〕求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB．21．〔16分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)是奇函數(shù)．〔1〕求m的值；〔2〕求f〔x〕的反函數(shù)f﹣1〔x〕；〔3〕討論f〔x〕的單調(diào)性，并用定義證明；〔4〕當f〔x〕定義域區(qū)間為〔1，a﹣2〕時，f〔x〕的值域為〔1，+∞〕，求a的值．

2024-2024學年上海市浦東新區(qū)高一〔下〕期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題〔共12小題，每題3分，總分值36分〕1．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕求值：=75．【分析】利用指數(shù)恒等式以及對數(shù)的運算法那么進行求值．【解答】解：=，故答案為：75．【點評】此題主要考查指數(shù)的運算法那么和指數(shù)恒等式，要求熟練掌握相應(yīng)的公式：．2．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)f〔x〕=x2﹣1〔x≤﹣2〕，那么f﹣1〔4〕=．【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的性質(zhì)：由x2﹣1=4〔x≤﹣2〕，解得即可．【解答】解：根據(jù)互為反函數(shù)的性質(zhì)：由x2﹣1=4〔x≤﹣2〕，解得．∴．故答案為：．【點評】此題考查了互為反函數(shù)的性質(zhì)，屬于根底題．3．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕與終邊相同的最小正角是．【分析】利用終邊相同的角的集合定理即可得出．【解答】解：∵=，∴與終邊相同的最小正角是．故答案為：．【點評】此題考查了終邊相同的角的集合定理，屬于根底題．4．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕sinαcosα＜0，那么α是第二或四象限角．【分析】由sinαcosα＜0，可得或．進而判斷出α所在的象限．【解答】解：∵sinαcosα＜0，∴或．因此α是第二或四象限角．故答案為：二或四．【點評】此題考查了角所在的象限符號問題，屬于根底題．5．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕log32=a，那么log3218用a表示為．【分析】利用對數(shù)的換底公式和對數(shù)的運算法那么進行化簡即可．【解答】解：利用對數(shù)的換底公式可得log3218=，∵log32=a，∴l(xiāng)og3218=．故答案為：．【點評】此題主要考查對數(shù)的換底公式以及對數(shù)的運算法那么的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的運算公式．6．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕假設(shè)，那么a的取值范圍是．【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，解對數(shù)不等式即可，要對a進行分類討論．【解答】解：∵，∴，假設(shè)a＞1，此時函數(shù)y=log?ax單調(diào)遞增，那么有，解得a＞1．假設(shè)0＜a＜1，此時函數(shù)y=log?ax單調(diào)遞減，那么有，解得．綜上：a＞1或．故答案為：．【點評】此題主要考查對數(shù)的根本運算以及對數(shù)不等式的解法，要注意對底數(shù)a進行分類討論，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行解決．7．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)f〔x〕=x2+2ax+1在[﹣1，2]上不存在反函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍為〔﹣2，1〕．【分析】由函數(shù)f〔x〕=x2+2ax+1=〔x+a〕2+1﹣a2在[﹣1，2]上不存在反函數(shù)，可得﹣1＜﹣a＜2，解出即可．【解答】解：f〔x〕=〔x+a〕2+1﹣a2，∵函數(shù)f〔x〕=x2+2ax+1在[﹣1，2]上不存在反函數(shù)，∴﹣1＜﹣a＜2，解得﹣2＜a＜1．故答案為〔﹣2，1〕．【點評】此題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)的定義等根底知識，屬于根底題．8．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕假設(shè)，那么=cosα﹣sinα．【分析】由α的范圍判斷出cosα﹣sinα的正負，所求式子利用完全平方公式變形，利用二次根式的化簡公式計算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵α∈〔，〕，∴cosα＞sinα，即cosα﹣sinα＞0，那么==|cosα﹣sinα|=cosα﹣sinα．故答案為：cosα﹣sinα【點評】此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，以及同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系，熟練掌握根本關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．9．〔3分〕〔2024?上海〕設(shè)函數(shù)f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，假設(shè)當x∈〔0，+∞〕時，f〔x〕=lgx，那么滿足f〔x〕＞0的x的取值范圍是〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕．【分析】首先畫出x∈〔0，+∞〕時，f〔x〕=lgx的圖象，然后由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱畫出x∈〔﹣∞，0〕時的圖象，最后觀察圖象即可求解．【解答】解：由題意可畫出f〔x〕的草圖觀察圖象可得f〔x〕＞0的解集是〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕故答案為〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕【點評】此題考查奇函數(shù)及對數(shù)函數(shù)f〔x〕=lgx的圖象特征，同時考查數(shù)形結(jié)合的思想方法．10．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕假設(shè)，那么a=8．【分析】由α的范圍，得到sinα大于0，cosα小于0，利用同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，cosα=，∴sinα＞0，cosα＜0，∵sin2α+cos2α=1，∴〔〕2+〔〕2=1，＞0，＜0，整理得：4a〔a﹣8〕=0，且a＞3或a＜﹣5，解得：a=8．故答案為：8【點評】此題考查了同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系，熟練掌握根本關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．11．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)y=loga〔3﹣ax〕，〔a＞0，a≠1〕在[0，1]上單調(diào)遞減，那么實數(shù)a的取值范圍為〔1，3〕．【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的取值范圍即可．【解答】解：設(shè)t=g〔x〕=3﹣ax，那么∵a＞0，a≠1，∴t=3﹣ax在定義域上單調(diào)遞減，要使函數(shù)y=loga〔3﹣ax〕，〔a＞0，a≠1〕在[0，1]上單調(diào)遞減，那么有y=logat在定義域上為單調(diào)遞增，那么須有，即，解得1＜a＜3．故實數(shù)a的取值范圍為1＜a＜3．故答案為：〔1，3〕．【點評】此題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，利用內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解：“同增異減〞．12．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕角α終邊上一點P〔t，﹣4〕，假設(shè)，那么tanα=．【分析】對t分類討論，t=0時，α的終邊落在y軸的非正半軸上，此時tanα不存在．t≠0時，由|OP|=，可得，解得t．進而利用正切函數(shù)的定義即可得出．【解答】解：當t=0時，點P〔0，﹣4〕，α的終邊落在y軸的非正半軸上，此時tanα不存在．當t≠0時，|OP|=，∴，解得t=±3．當t=3時，；當t=﹣3時，．綜上可知：．故答案為：．【點評】此題考查了三角函數(shù)的定義、分類討論的思想方法等根底知識與根本方法，屬于根底題．二、選擇題〔本大題4小題，每題3分，共12分〕13．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕“〞是“〞的〔〕A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．【解答】解：當時，成立．假設(shè)，當α=時，也成立，但不成立．故“〞是“〞的必要不充分條件．應(yīng)選B．【點評】此題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角函數(shù)的定義是解決此題的關(guān)鍵．14．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕假設(shè)函數(shù)的定義域為R，那么k的取值范圍是〔〕A． B． C． D．【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為kx2+4kx+3＞0恒成立即可．【解答】解：要使函數(shù)的定義域為R，那么kx2+4kx+3＞0恒成立．假設(shè)k=0，那么不等式kx2+4kx+3＞0等價為3＞0，∴k=0成立．假設(shè)k≠0，要使為kx2+4kx+3＞0恒成立，那么，即，解得0．綜上：0．應(yīng)選C．【點評】此題主要考查對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用對數(shù)的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立是解決此題的關(guān)鍵，注意對k要進行討論．15．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕將a2b=N〔a＞0，a≠1〕轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式，其中錯誤的選項是〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式之間的關(guān)系，以及對數(shù)的運算法那么分別進行判斷．【解答】解：根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式之間的關(guān)系可得，假設(shè)a2b=N，那么2b=logaN，即，∴A正確．假設(shè)a2b=N，那么〔a2〕b=N，那么，∴B正確．假設(shè)a2b=N，那么〔ab〕2=N，那么，∴C正確．∴D錯誤．應(yīng)選D．【點評】此題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式之間互化，要牢記轉(zhuǎn)化公式：ab=N?b=log?aN．16．〔3分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)，假設(shè)存在正整數(shù)k滿足：f〔1〕?f〔2〕?f〔3〕?…?f〔n〕=k，那么我們把k叫做關(guān)于n的“對整數(shù)〞，那么當n∈[1，10]時，“對整數(shù)〞共有〔〕A．1個 B．2個 C．4個 D．8個【分析】由題意，f〔x〕=log〔x+1〕〔x+2〕=，再計算f〔1〕f〔2〕f〔3〕…f〔x〕=log2〔x+2〕，根據(jù)1≤x≤100，得log23≤log2〔x+2〕≤log212，從而可得“對整數(shù)〞的個數(shù)．【解答】解：由題意，根據(jù)換底公式得，f〔x〕=log〔x+1〕〔x+2〕=，所以k=f〔1〕f〔2〕f〔3〕…f〔x〕=…==log2〔x+2〕．∵1≤x≤10，∴l(xiāng)og23≤log2〔x+2〕≤log212整數(shù)有l(wèi)og24，log28，即2，3，兩個整數(shù)．應(yīng)選：B．【點評】此題的考點排列、組合的實際應(yīng)用，主要考查新定義，考查對數(shù)運算，屬于根底題．三、解答題〔本大題共5小題，總分值52分〕17．〔8分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕解方程：log2〔9x﹣5〕=log2〔3x﹣2〕+2．【分析】利用對數(shù)的運算法那么建立對數(shù)方程，將條件轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程進行求解，求解之后注意要進行檢驗．【解答】解：由，得，即9x﹣5=4〔3x﹣2〕，∴〔3x〕2﹣4?3x+3=0，解得3x=1或3x=3，∴x=0或x=1．當x=0時，9x﹣5＜0，∴不合題意，舍去，∴原方程的解是x=1．【點評】此題主要考查對數(shù)方程和指數(shù)方程的解法，求解后要注意要對根進行檢驗．18．〔8分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕tanα=﹣2，求以下各式的值．〔1〕〔2〕4sin2α+3cos2α【分析】〔1〕原式分子分母除以cosα，利用同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系化簡，將tanα的值代入計算即可求出值；〔2〕原式分母看做“1〞，分子分母除以cos2α，利用同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系化簡，將tanα的值代入計算即可求出值．【解答】解：〔1〕∵tanα=﹣2，∴原式====1；〔2〕∵tanα=﹣2，∴原式====．【點評】此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，熟練掌握根本關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．19．〔10分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕，且π＜α＜2π，求tan〔2π﹣α〕．【分析】利用誘導公式化簡，然后將tanα的值代入計算即可求出值．【解答】解：由得sinα+cosα=﹣，兩邊平方得：1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣，∵π＜α＜2π，∴sinα＜0，∵2sinαcosα=﹣＜0，∴cosα＞0，∴＜α＜2π，∴cosα＞0＞sinα，可得，解得：，即tanα=．那么tan〔2π﹣α〕=﹣tanα=﹣=．【點評】此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，誘導公式，以及同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系，熟練掌握公式及根本關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．20．〔10分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕扇形AOB的周長為8cm．〔1〕假設(shè)這個扇形的面積為3cm2，求圓心角的大小；〔2〕求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB．【分析】〔1〕根據(jù)周長和面積列出關(guān)于r和l的方程組，解方程組即可．〔2〕根據(jù)周長和S=lr=l?2r以及均值不等式求出最大值，進而得出半徑，即可求出弦長．【解答】解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，〔1〕由題意知，解得：或∴α==或6；〔2〕∵2r+l=8，∴S=lr=l?2r≤，當且僅當2r=l，即α==2時，面積取得最大值4，∴r=2，∴弦長AB=2sin1×2=4sin1．【點評】此題考查了扇形面積公式以及均值不等式的運用，屬于中檔題．21．〔16分〕〔2024春?浦東新區(qū)期中〕函數(shù)是奇函數(shù)．〔1〕求m的值；〔2〕求f〔x〕的反函數(shù)f﹣1〔x〕；〔3〕討論f〔x〕的單調(diào)性，并用