江蘇省宿遷市2024屆高三下學(xué)期調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

宿遷市2024屆高三年級調(diào)研測試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，則的值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．5．設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若成等差數(shù)列，，則的值為（）A． B． C． D．16．已知，向量在上的投影向量為，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．或7．已知橢圓的左焦點為，過原點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團隊決定用AI對抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.04，即在該視頻是真實的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．設(shè)隨機變量，其中，下列說法正確的是（）A．變量的方差為1，均值為0 B．C．函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù) D．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線為拋物線上兩點下列說法正確的是（）A．若直線過點，則面積的最小值為2B．若直線過點，則點在以線段為直徑的圓外C．若直線過點，則以線段為直徑的圓與直線相切D．過兩點分別作拋物線的切線，若兩切線的交點在直線上，則直線過點11．已知正方體的棱長為分別為棱的點，且，若點為正方體內(nèi)部（含邊界）點，滿足：為實數(shù)，則下列說法正確的是（）A．點的軌跡為菱形及其內(nèi)部B．當(dāng)時，點的軌跡長度為C．最小值為D．當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知的展開式中二項式系數(shù)和為32，則展開式中的常數(shù)項為_________．13．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的值域為，則的取值范圍為_________．14．在一個軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)放入一個與側(cè)面及底面都相切的實心球后，再在該圓錐內(nèi)的空隙處放入個小球，這些小球與實心球、圓錐的側(cè)面以及底面都相切，則的最大值為_________（?。┧?、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知為公差不為0的等差數(shù)列的前項和，且．（1）求的值；（2）若，求證：．16．（15分）如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，平面平面．（1）證明：；（2）若，且與平面所成角的正切值為2，求平面與平面所成二面角的正弦值．17．（15分）某班欲從6人中選派3人參加學(xué)校籃球投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲、乙兩隊進行選拔比賽．經(jīng)分析甲隊每名隊員投籃命中概率均為，乙隊三名隊員投籃命中的概率分別為，．現(xiàn)要求所有隊員各投籃一次（隊員投籃是否投中互不影響）．（1）若，求甲、乙兩隊共投中5次的概率；（2）以甲、乙兩隊投中次數(shù)的期望為依據(jù)，若甲隊獲勝，求的取值范圍．18．（17分）已知函數(shù)．（1）若，求的極小值；（2）若過原點可以作兩條直線與曲線相切，求的取值范圍．19．（17分）已知雙曲線的右頂點為，過點且與軸垂直的直線交一條漸近線于．（1）求雙曲線的方程；（2）過點作直線與雙曲線相交于兩點，直線分別交直線于兩點，求的取值范圍．參考答案1．【答案】C【解析】，選C．2．【答案】D【解析】，選D．3．【答案】A【解析】解法一：兩角和與差余弦公式+同角平方關(guān)系，選A．解法二：平方法+誘導(dǎo)公式，選A．4．【答案】A【解析】解法一：，選A．解法二：特值當(dāng)時，，排除B，D，當(dāng)時，，排除C，選A．5．【答案】B【解析】解法一：性質(zhì)+特值，排除C，D；當(dāng)時，排除A，選B．解法二：基本量運算由解法一知，則，選B．解法三：二級結(jié)論，由，則，又，則或（舍去），選B．6．【答案】A【解析】向量在上的投影向量為，則，又，則，選A．另解：向量在上的投影向量為，排除C，D，觀察選項“顏值”，選A．7．【答案】B【解析】解法一：極化恒等式+解三角形+通徑，又，又，則，選B．解法二：向量坐標(biāo)運算+坐標(biāo)翻譯垂直不妨設(shè)，則，下同解法一（略），選B．解法三：對稱性+焦點三角形設(shè)右焦點，又，則，又，則，選B．解法四：余弦定理的向量形式+極化恒等式，，，則，又，則，選B．解法五：直線方向向量+解三角形+通徑，由，則，下同解法一（略），選B．另解：減少字母個數(shù)利于求值，還可取特值．8．【答案】C【解析】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則，由貝葉斯公式得：，選C．9．【答案】ACD【解析】隨機變量，則A正確；，則B錯誤；隨機變量，結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確；正態(tài)分布的曲線關(guān)于對稱，，則D正確，選ACD．10．【答案】AC【解析】拋物線的焦點弦端點與頂點構(gòu)成三角形，A正確；拋物線，軸點弦的端點與頂點連線互相垂直（充要條件成立），則點在以線段為直徑的圓上，B錯誤；拋物線的焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，C正確；拋物線的阿基米德三角形性質(zhì)：過準(zhǔn)線上一點作拋物線兩切線，切點恒過焦點（充要條件成立），則直線過點，D錯誤．故選AC．11．【答案】ABD【解析】在菱形內(nèi)，A正確；當(dāng)時，在線段上，的軌跡長度為線段的長，即為，B正確；當(dāng)時，在面內(nèi)，在上時，有最小值為，C錯誤；當(dāng)時，在面內(nèi)，在上時，與面所成角的正弦值最大，即為，D正確．故選ABD．另：幾何法和建系也可．12．【答案】10【解析】令，則當(dāng)時，常數(shù)項為．13．【答案】【解析】解法一：換元法令．解法二：目標(biāo)函數(shù)+伸縮變換令．14．【答案】10【解析】1．“三切”：小球與實心球，圓錐底面，圓錐側(cè)面皆相切小球擺放態(tài)，2．“軌跡”：離散型分布，小球與底面切點在圓錐底面的同心圓上“圓環(huán)手串”模型小球球心在同心圓上，此種轉(zhuǎn)化便于解決問題，3．“誤區(qū)”：兩相切小球的球心與切點三點共線嗎？答案為共線，兩小球切點在圓環(huán)上嗎？答案為否！實物模型手串理解，放大手串的珠子更直觀，還可作正多邊形，讓正多邊形的頂點為圓心，直徑為正多邊形的邊長更好理解！4．“計算”：設(shè)實心球半徑為，小球半徑為，則，“手環(huán)穿”半徑為．5．“幾何”：令，關(guān)鍵條件的使用．15．【解析】（1）解法一：設(shè)的公差為，由①，得②，則②-①得，即，又，則．解法二：設(shè)的公差為因為所以對恒成立即對恒成立所以又，則．解法三：利用必要性解題取求出結(jié)果，將代回驗證（2）由得，即，所以，又即，則，因此則．16．【解析】（1）因為，所以為等邊三角形，所以，又四邊形為梯形，，則，在中，由余弦定理可知，，根據(jù)勾股定理可知，，即．因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又因為平面所以．（2）法一：由（1）可知，又因為，所以平面，所以就是與平面所成角，所以，所以；以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有取，由題意得為平面的法向量，所以，即平面與平面所成二面角的正弦值．法二：在平面內(nèi)，延長與相交于點，連接，則為平面與平面的交線在平面內(nèi)，過點作，垂足為，連接由（1）得，因為且均在面內(nèi)所以面因為面，所以又因為且均在面內(nèi)所以面，即面因為面，所以因為且均在面內(nèi)所以面，由面所以所以在直角三角形中在直角三角形中所以平面與平面所成二面角的正弦值．所以就是二面角的平面角又因為平面，所以就是與平面所成角，所以，所以因為，所以．17．【解析】（1）記“甲，乙兩隊共投中5次”為事件，則可以是甲隊投中3次，乙隊投中2次或者甲隊投中2次，乙隊投中3次．則，答：甲、乙兩隊共投中5次的概率為．（2）記甲、乙兩隊投中次數(shù)分別為，則，所以；的取值為0，1，2，3，則，，，，所以，的分布列為0123另解：18．【解析】（1），令得，則在上單調(diào)遞減，令得，則在上單調(diào)遞增，則的極小值為（列表也可）（2），設(shè)切點分別為，則在處的切線方程為，又切點過原點，所以，即，同理，所以為方程兩個不同的根，設(shè)，則，若，則在單調(diào)遞減，不符合題意；若，令得，在單調(diào)遞減，令得在單調(diào)遞增，所以，若，即，此時方程沒有兩個不同的根，不符合題意；若，即，因為，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即，又的圖像是不間斷的曲線，所以存在滿足使得，所以的取值范圍是．19．【解析】（1）因為雙曲線的漸近線方程為，所以解得，所以雙曲線的方程為．（2）