2011年-2020年廣東省歷年高考理科數(shù)學(xué)試卷真題及答案（共10套）

試卷類型：A2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）本試題共4頁(yè)，21小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必用黑色自己的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)，填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求做大的答案無(wú)效。作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再做答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效?？忌仨毐３执痤}卡得整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：柱體的體積公式 V=Sh其中S為柱體的底面積，h為柱體的高線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式其中表示樣本均值。N是正整數(shù)，則…）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則=A．B.C.Ｄ．2．已知集合

∣為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．33.若向量ａ，ｂ，ｃ滿足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，則Ａ．4Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．04.設(shè)函數(shù)和分別是Ｒ上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是Ａ．是偶函數(shù)Ｂ．是奇函數(shù)Ｃ．是偶函數(shù)Ｄ．是奇函數(shù)5.在平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定。若為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為A．B．C．4D．36.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要在贏一次就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為A．B．C．D．7.如圖1－3，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為A.B.C.D.8.設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，且有有，則下列結(jié)論恒成立的是A.中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的B.中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的C.中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的D.中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。(一）必做題（9-13題）9.不等式的解集是.10.的展開式中，的系數(shù)是（用數(shù)字作答）11.等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若，則k=____________.12.函數(shù)在x=____________處取得極小值。13.某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為_____cm.選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩面線參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為___________.15.（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點(diǎn)分別作圓的切線和割線交圓于,，且=7，是圓上一點(diǎn)使得=5，∠=∠,則=。解答題。本大題共6小題，滿分80分。解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟。（本小題滿分12分）已知函數(shù)求的值；設(shè)求的值.17.為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編號(hào)12345x169178166175180y7580777081已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175，且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。18.(本小題滿分13分)如圖5.在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).(1)證明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.19.(本小題滿分14分)設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切。（1）求圓C的圓心軌跡L的方程;（2）已知點(diǎn)M，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).20.（本小題共14分）設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，21.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線L:.實(shí)數(shù)p，q滿足，x1，x2是方程的兩根，記。（1）過點(diǎn)作L的切線教y軸于點(diǎn)B.證明：對(duì)線段AB上任一點(diǎn)Q(p，q)有（2）設(shè)M(a，b)是定點(diǎn)，其中a，b滿足a2-4b>0,a≠0.過M(a，b)作L的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與y軸分別交與F,F'。線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X.證明：M(a,b)X;（3）設(shè)D={(x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍D時(shí)，求的最小值（記為）和最大值（記為）.2011年廣東高考理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題題號(hào)12345678答案BCDACDBA二、填空題９.； 10.84； 11.10； 12.2； 13.185；14.； 15.；三、解答題16．解：(1);(2)，，又，，，，又，，.17．解：（1）乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為；（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為；（3），，的分布列為012PAＳBＳCＳPAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFE18.解：(1)取AD的中點(diǎn)G，又PA=PD，，由題意知ΔABC是等邊三角形，，又PG,BG是平面PGB的兩條相交直線，，，，(2)由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.19．解：（1）兩圓半徑都為2，設(shè)圓C的半徑為R，兩圓心為、，由題意得或，，可知圓心C的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)方程為，則，所以軌跡L的方程為．（２）∵，僅當(dāng)時(shí)，?。ⅲ剑?，由知直線，聯(lián)立并整理得解得或，此時(shí)所以最大值等于2，此時(shí)．20．解（１）法一：，得，設(shè)，則，（?。┊?dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，得，，知是等比數(shù)列，，又，，．法二：（?。┊?dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，猜想成立，由①②知，，．（２）（?。┊?dāng)時(shí)，，故時(shí)，命題成立；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，以上n個(gè)式子相加得，．故當(dāng)時(shí)，命題成立；綜上（ⅰ）（ⅱ）知命題成立．21．解：（１），直線AB的方程為，即，，方程的判別式，兩根或，，，又，，得，．（２）由知點(diǎn)在拋物線L的下方，①當(dāng)時(shí)，作圖可知，若，則，得；若，顯然有點(diǎn)；．②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限，作圖可知，若，則，且；若，顯然有點(diǎn)；．根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，（*）；由（１）知點(diǎn)M在直線EF上，方程的兩根或，同理點(diǎn)M在直線上，方程的兩根或，若，則不比、、小，，又，；又由（１）知，；，綜合（*）式，得證．（３）聯(lián)立，得交點(diǎn)，可知，過點(diǎn)作拋物線L的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，得，解得，又，即，，設(shè)，，，又，；，，．2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試【廣東卷】（理科數(shù)學(xué)）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第2頁(yè)，第Ⅱ卷第3頁(yè)至第4頁(yè)．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：（每小題5分，共60分）【2011廣東理，1】1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則()．A．B．C．D．【答案】B．【解析】依題意得，故選．【2011廣東理，2】2．已知集合為實(shí)數(shù),且,為實(shí)數(shù),且,則的元素個(gè)數(shù)為()．A．0B．1C．2D．3【答案】C．【解析】題意等價(jià)于求直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù),畫大致圖像可得答案．【2011廣東理，3】3．若向量，，滿足∥且⊥，則()．A．4B．3C．2D．1【答案】D．【解析】因?yàn)椤吻摇?所以⊥，從而．【2011廣東理，4】4．設(shè)函數(shù)和分別是實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()．A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】A．【解析】依題意,故,從而是偶函數(shù)，故選A．xyO2A【2011廣東理，5】5．已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定．若為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為()．xyO2AA．B．C．D．【答案】C．【解析】目標(biāo)函數(shù)即,畫出可行域如圖所示，代入端點(diǎn)比較之，易得當(dāng)時(shí)取得最大值,故選C．【2011廣東理，6】6．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()．A．B．C．D．【答案】D．【解析】設(shè)甲隊(duì)獲得冠軍為事件,則包含兩種情況:(1)第一局勝;(2)第一局負(fù)但第二局勝;故所求概率,從而選D．【2011廣東理，7】7．如圖，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為()．A．B．C．D．【答案】B．【解析】該幾何體是以正視圖所在的平行四邊形為底面，高為的四棱柱，又平行四邊形的底邊長(zhǎng)為,高為,所以面積,從而所求幾何體的體積,故選B．【2011廣東理，8】8．設(shè)是整數(shù)集的非空子集，如果，有，則稱關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的．若是的兩個(gè)不相交的非空子集,,且,有；,有,則下列結(jié)論恒成立的是()．A．中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的B．中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的C．中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的D．中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的【答案】A．【解析】因?yàn)?故必有或,不妨設(shè),則令,依題意對(duì),有,從而關(guān)于乘法是封閉的;(其實(shí)到此已經(jīng)可以選A了,但為了嚴(yán)謹(jǐn),我們往下證明可以有一個(gè)不封閉以及可以兩個(gè)都封閉),取,則為所有負(fù)整數(shù)組成的集合,顯然封閉,但顯然是不封閉的,如;同理,若奇數(shù)，偶數(shù)，顯然兩者都封閉，從而選A．二、填空題：本大題共7小題．考生作答6小題．每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）【2011廣東理，9】9．不等式的解集是．【答案】．【解析】解法一:原不等式或或，解得,從而原不等式的解集為.解法二(首選):的幾何意義為到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的差,畫出數(shù)軸易得.解法三:不等式即,平方得,解得.．【2011廣東理，10】10．的展開式中的系數(shù)是（用數(shù)字作答）．【答案】84．【解析】題意等價(jià)于求的展開式中的系數(shù),,令得,故所求系數(shù)為．【2011廣東理，11】11．等差數(shù)列的前9項(xiàng)和等于前4項(xiàng)和，若，則．【答案】10．【解析】由得,,故．【2011廣東理，12】12．函數(shù)在處取得極小值．【答案】2．【解析】,當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得極小值．【2011廣東理，12】13．某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺，父親，兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm，因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高是cm．【答案】185．【解析】抓住“兒子的身高與父親的身高有關(guān)”提煉數(shù)據(jù)易得平均值,于是，，從而，,，所以線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）二、填空題：（每小題5分，共25分）【2011廣東理，14】14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為（0≤＜和（t∈R），它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】．【解析】對(duì)應(yīng)普通方程為,,聯(lián)立方程消去得,解得或(舍去),于是,,故所求交點(diǎn)坐標(biāo)為．【2011廣東理，15】15．（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點(diǎn)分別做圓的切線和割線交圓于，兩點(diǎn)，且，是圓上一點(diǎn)使得，，則．【答案】．【解析】結(jié)合弦切角定理易得,于是,代入數(shù)據(jù)解得．三、解答題：（本大題共6小題，共80分）【2011廣東理，16】16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)設(shè)，，，求的值．【解析】．(Ⅰ)；(Ⅱ)因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，又所以，，所以．?011廣東理，17】17．（本小題滿分13分）為了解甲，乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采取分層抽樣的方法從甲，乙兩廠的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編號(hào)123451691781661751807580777081(Ⅰ)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；(Ⅱ)當(dāng)產(chǎn)品中微量元素滿足且時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；(Ⅲ)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨即抽取2件，求抽出的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．【解析】．解：(Ⅰ)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為件；(Ⅱ)樣本中滿足，且的產(chǎn)品有件,故樣本頻率為,則可估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品數(shù)量為件；(Ⅲ)的可能取值為,且,,．【或者】故的分布列為012的數(shù)學(xué)期望．【2011廣東理，18】18．（本小題滿分13分）如圖，在錐體中，是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，，PB=2，，分別是，的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：⊥平面；(Ⅱ)求二面角的平面角．【解析】．(Ⅰ)取AD的中點(diǎn)G，又PA=PD，，由題意知ΔABC是等邊三角形，，又PG,BG是平面PGB的兩條相交直線，，，，(Ⅱ)由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，．另解：（Ⅰ）連接，，xyzM因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的菱形，且，xyzM是的中點(diǎn)，所以均為正三角形，且，所以所以，從而，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所?又，所以平面，所以，在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以又，所以平面.（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知為二面角的平面角,易得,,在中,,由余弦定理得所以二面角的余弦值為．解法二:先證明平面，即證明即可，在中，；在中，，所以在中，，．在中，，故為直角三角形，從而.建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，從而，解得，令得顯然平面的一個(gè)法向量為，從而，所以二面角的余弦值為．【2011廣東理，19】19．（本小題滿分14分）設(shè)圓與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．(Ⅰ)求圓的圓心軌跡的方程；(Ⅱ)已知點(diǎn),且為上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】．（Ⅰ）設(shè)圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為,半徑為2；圓的圓心為,半徑為2；依題意,有或，所以．所以圓的圓心軌跡是以原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在軸上,焦距為,實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線,因此,,故軌跡的方程為.（Ⅱ）易得過點(diǎn)的直線的方程為,聯(lián)立方程，消去得,解得,則直線與雙曲線的交點(diǎn)為,因?yàn)樵诰€段外,所以,因?yàn)樵诰€段內(nèi),所以,若點(diǎn)不住上,則,綜上,的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.解析二：(Ⅰ)兩圓半徑都為2，設(shè)圓C的半徑為R，兩圓心為、，由題意得或，，可知圓心C的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)方程為，則，所以軌跡L的方程為．(Ⅱ)∵，僅當(dāng)時(shí)，取＂＝＂，由知直線，聯(lián)立并整理得解得或(舍去)，此時(shí)．所以最大值等于2，此時(shí)．【2011廣東理，20】20．（本小題滿分14分）設(shè)，數(shù)列滿足,．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)證明：對(duì)于一切正整數(shù)，．【解析】．（Ⅰ）由得,當(dāng)時(shí),,所以是以首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以,從而.當(dāng)時(shí),,所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以，從而.綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（Ⅱ）當(dāng)時(shí),不等式顯然成立；當(dāng)時(shí),要證,只需證,即證(*)因?yàn)樗圆坏仁剑?）成立，從而原不等式成立；綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù),解析二：(Ⅰ)解法一：，得，設(shè)，則，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，得，，知是等比數(shù)列，，又，，．解法二：（?。┊?dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，猜想成立，由①②知，，．(Ⅱ)（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，命題成立；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，以上n個(gè)式子相加得，．故當(dāng)時(shí)，命題成立；綜上（ⅰ）（ⅱ）知命題成立．【2011廣東理，21】21．（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系上，給定拋物線，實(shí)數(shù)滿足，是方程的兩根，記．(1)過點(diǎn)作L的切線交軸于點(diǎn)B．證明：對(duì)線段AB上的任一點(diǎn)，有；(2)設(shè)是定點(diǎn)，其中滿足．過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與軸分別交于．線段上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為，證明：；(3)設(shè)，當(dāng)點(diǎn)取遍時(shí)，求的最小值（記為）和最大值（記為）．【解析】．（Ⅰ）因?yàn)?所以,過點(diǎn)的切線方程為即,從而,又在直線上,故,其中所以方程為,解得,由于,且同號(hào),所以,所以（Ⅱ）過點(diǎn)且切點(diǎn)為的的切線方程為:因?yàn)?所以且,因?yàn)?所以,即即,所以,所以因?yàn)?且同號(hào),所以反之也成立,所以,由（Ⅰ）可知,,反之,逆推也成立,所以，綜上,.（Ⅲ）此題即求當(dāng)點(diǎn)取遍時(shí),方程的絕對(duì)值較大的根的最大值與最小值,解方程得,因?yàn)?令,解得或，所以，，因?yàn)?，所以，于是，所以，所以，設(shè)（），令，則，則，所以．綜上，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(Ⅲ)聯(lián)立，得交點(diǎn)，可知，過點(diǎn)作拋物線L的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，得，解得，又，即，，設(shè)，，，又，；，，．解析二：(1)，直線AB的方程為，即，，方程的判別式，兩根或，，，又，，得，．(2)由知點(diǎn)在拋物線L的下方，①當(dāng)時(shí)，作圖可知，若，則，得；若，顯然有點(diǎn)；．②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限，作圖可知，若，則，且；若，顯然有點(diǎn)；．根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，（*）；由（１）知點(diǎn)M在直線EF上，方程的兩根或，同理點(diǎn)M在直線上，方程的兩根或，若，則不比、、小，，又，；又由（１）知，；，綜合（*）式，得證．(3)聯(lián)立，得交點(diǎn)，可知，過點(diǎn)作拋物線L的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，得，解得，又，即，，設(shè)，，，又，；，，．

2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科A卷）本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)A． B． C． D．2．設(shè)集合，則 A． B． C． D．3．若向量，，則 A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是 A． B C． D．5．已知變量滿足約束條件，則的最大值為A．12B．11C．3D．-16．某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為A．B．C．D．7．從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其中個(gè)位數(shù)為0的概率是A．B．C．D．8．對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量，定義．若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則A．B．C．D．二、填空題：本大題共7小題．考生作答6小題．每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．不等式的解集為___________．10．的展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）11．已知遞增的等差數(shù)列滿足，，則________．12．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．13．執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，若輸入n的值為8，則輸出s的值為_______．（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中中，曲線和曲線的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)）和（為參數(shù)），則曲線和曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．ABCPO15．（幾何證明選講選做題）如圖3，圓的半徑為1，A，B，C是圓上三點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)A做圓的切線與OC的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)P，則PA=ABCPO圖3圖3三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中）的最小正周期為．求的值；設(shè)，求的值．（純word版2011年高考數(shù)學(xué)廣東卷首發(fā)于數(shù)學(xué)驛站：www．maths168．com）17．（本小題滿分13分）某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],(1)求圖中x的值;(2)從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望．18．（本小題滿分13分）如圖5所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在線段上，平面．（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的正切值．19．（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，且成等差數(shù)列．（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．20．（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:的離心率，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3．求橢圓C的方程在橢圓C上，是否存在點(diǎn)，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．）21．（本小題滿分14分）設(shè)，集合，．求集合D（用區(qū)間表示）；求函數(shù)在D內(nèi)的極值點(diǎn)．2012廣東高考數(shù)學(xué)（理科）參考答案選擇題答案：1-8：DCAABCDC填空題答案：9.10.2011.12.13.814.15.解答題16.（1）（2）代入得∵∴∴17.（1）由得（2）由題意知道：不低于80分的學(xué)生有12人，90分以上的學(xué)生有3人隨機(jī)變量的可能取值有0,1,2∴18.（1）∵∴∵∴∴（2）設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連∵∴又∵∴∴∴∴為二面角的平面角∵∴∴∴在，∴∴二面角的平面角的正切值為319.（1）在中令得：令得：解得：，又解得（2）由得又也滿足所以成立∴∴∴（3）（法一）∵∴∴（法二）∵∴當(dāng)時(shí)，………累乘得：∴20.（1）由得，橢圓方程為橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離當(dāng)①即,得當(dāng)②即,得（舍）∴∴橢圓方程為（2）當(dāng)，取最大值，點(diǎn)O到直線距離∴又∵解得：所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為的面積為21.（1）記當(dāng)，即，當(dāng)，當(dāng)，（2）由得①當(dāng)，當(dāng)，∵∴∴當(dāng)，則又∵∴

2013年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）（2013?廣東）設(shè)集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，則M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}2．（5分）（2013?廣東）定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．4B．3C．2D．13．（5分）（2013?廣東）若復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）4．（5分）（2013?廣東）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=（）A．B．2C．D．35．（5分）（2013?廣東）某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是（）A．4B．C．D．66．（5分）（2013?廣東）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β7．（5分）（2013?廣東）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，則C的方程是（）A．B．C．D．8．（5分）（2013?廣東）設(shè)整數(shù)n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三條件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一個(gè)成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）?SB．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）?S，（x，y，w）∈SD．（y，z，w）?S，（x，y，w）?S二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．9．（5分）（2013?廣東）不等式x2+x﹣2＜0的解集為_________．10．（5分）（2013?廣東）若曲線y=kx+lnx在點(diǎn)（1，k）處的切線平行于x軸，則k=_________．11．（5分）（2013?廣東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值為_________．12．（5分）（2013?廣東）在等差數(shù)列{an}中，已知a3+a8=10，則3a5+a7=_________．13．（5分）（2013?廣東）給定區(qū)域D：．令點(diǎn)集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定_________條不同的直線．14．（5分）（2013?廣東）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），C在點(diǎn)（1，1）處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為_________．15．（2013?廣東）（幾何證明選講選做題）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E．若AB=6，ED=2，則BC=_________．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（12分）（2013?廣東）已知函數(shù)，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．17．（12分）（2013?廣東）某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)．（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；（2）日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率．18．（14分）（2013?廣東）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎A(chǔ)′﹣BCDE，其中A′O=．（1）證明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．（14分）（2013?廣東）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有．20．（14分）（2013?廣東）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離為，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|?|BF|的最小值．21．（14分）（2013?廣東）設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M．

2013年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）（2013?廣東）設(shè)集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，則M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)題意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，進(jìn)而求其并集可得答案．解答：解：分析可得，M為方程x2+2x=0的解集，則M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N為方程x2﹣2x=0的解集，則N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的并集運(yùn)算，首先分析集合的元素，可得集合的意義，再求集合的并集．2．（5分）（2013?廣東）定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．4B．3C．2D．1考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及圖象特征逐一盤點(diǎn)即可．解答：解：y=x3的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且（﹣x）3=﹣x3，所以函數(shù)y=x3為奇函數(shù)；y=2x的圖象過點(diǎn)（0，1），既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也不關(guān)于y軸對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)；y=x2+1的圖象過點(diǎn)（0，1）關(guān)于y軸對(duì)稱，為偶函數(shù)；y=2sinx的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx為奇函數(shù)；所以奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為2，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握．3．（5分）（2013?廣東）若復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：由題意可得z=，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則化為4﹣2i，從而求得z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i，則有z===4﹣2i，故在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，﹣2），故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（2013?廣東）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=（）A．B．2C．D．3考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．解答：解：由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出：E（X）==．故選A．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．5．（5分）（2013?廣東）某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是（）A．4B．C．D．6考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：計(jì)算題．分析：由題意直接利用三視圖的數(shù)據(jù)求解棱臺(tái)的體積即可．解答：解：幾何體是四棱臺(tái)，下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，上底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，棱臺(tái)的高為2，并且棱臺(tái)的兩個(gè)側(cè)面與底面垂直，四樓臺(tái)的體積為V==．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，棱臺(tái)體積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與空間想象能力．6．（5分）（2013?廣東）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：由α⊥β，m?α，n?β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n異面；由α∥β，m?α，n?β，可得m∥n，或m，n異面；由m⊥n，m?α，n?β，可得α與β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．解答：解：選項(xiàng)A，若α⊥β，m?α，n?β，則可能m⊥n，m∥n，或m，n異面，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若α∥β，m?α，n?β，則m∥n，或m，n異面，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若m⊥n，m?α，n?β，則α與β可能相交，也可能平行，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正確．故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間中直線與平面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．7．（5分）（2013?廣東）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，則C的方程是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)出雙曲線方程，利用雙曲線的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率為，建立方程組，可求雙曲線的幾何量，從而可得雙曲線的方程．解答：解：設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），則∵雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴雙曲線方程為．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）（2013?廣東）設(shè)整數(shù)n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三條件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一個(gè)成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）?SB．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）?S，（x，y，w）∈SD．（y，z，w）?S，（x，y，w）?S考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．專題：證明題；壓軸題．分析：特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，即得答案．解答：解：特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，顯然滿足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此時(shí)（y，z，w）=（2，4，3）∈S，（x，y，w）=（1，2，3）∈S，故A、C、D均錯(cuò)誤；只有B成立，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，特殊值驗(yàn)證法是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．9．（5分）（2013?廣東）不等式x2+x﹣2＜0的解集為（﹣2，1）．考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：先求相應(yīng)二次方程x2+x﹣2=0的兩根，根據(jù)二次函數(shù)y=x2+x﹣2的圖象即可寫出不等式的解集．解答：解：方程x2+x﹣2=0的兩根為﹣2，1，且函數(shù)y=x2+x﹣2的圖象開口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集為（﹣2，1）．故答案為：（﹣2，1）．點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題，深刻理解“三個(gè)二次”間的關(guān)系是解決該類題目的關(guān)鍵，解二次不等式的基本步驟是：求二次方程的根；作出草圖；據(jù)圖象寫出解集．10．（5分）（2013?廣東）若曲線y=kx+lnx在點(diǎn)（1，k）處的切線平行于x軸，則k=﹣1．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由題意知在1處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程求出k的值．解答：解：由題意得，y′=k+，∵在點(diǎn)（1，k）處的切線平行于x軸，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案為：﹣1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，難度不大．11．（5分）（2013?廣東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值為7．考點(diǎn)：程序框圖．專題：圖表型．分析：由已知中的程序框圖及已知中輸入4，可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為i≤4，即i=1，2，3，4．模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的S值．解答：解：當(dāng)i=1時(shí)，S=1+1﹣1=1；當(dāng)i=2時(shí)，S=1+2﹣1=2；當(dāng)i=3時(shí)，S=2+3﹣1=4；當(dāng)i=4時(shí)，S=4+4﹣1=7；當(dāng)i=5時(shí)，退出循環(huán)，輸出S=7；故答案為：7．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時(shí)，我們常使用模擬循環(huán)的變法，但程序的循環(huán)體中變量比較多時(shí)，要用表格法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行管理．12．（5分）（2013?廣東）在等差數(shù)列{an}中，已知a3+a8=10，則3a5+a7=20．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．解答：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案為：20．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確理解有關(guān)性質(zhì)是解決問題的根本．13．（5分）（2013?廣東）給定區(qū)域D：．令點(diǎn)集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定6條不同的直線．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：先根據(jù)所給的可行域，利用幾何意義求最值，z=x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最值即可，從而得出點(diǎn)集T中元素的個(gè)數(shù)，即可得出正確答案．解答：解：畫出不等式表示的平面區(qū)域，如圖．作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，因?yàn)橹本€z=x+y與直線x+y=4平行，故直線z=x+y過直線x+y=4上的整數(shù)點(diǎn)：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）時(shí)，直線的縱截距最大，z最大；當(dāng)直線過（0，1）時(shí)，直線的縱截距最小，z最小，從而點(diǎn)集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，經(jīng)過這六個(gè)點(diǎn)的直線一共有6條．即T中的點(diǎn)共確定6條不同的直線．故答案為：6．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）（2013?廣東）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），C在點(diǎn)（1，1）處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得滿分）．考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．專題：壓軸題．分析：先求出曲線C的普通方程，再利用直線與圓相切求出切線的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代換求得其極坐標(biāo)方程即可．解答：解：由（t為參數(shù)），兩式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）∴曲線C是以（0，0）為圓心，半徑等于的圓．C在點(diǎn)（1，1）處的切線l的方程為x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，則l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得滿分）．…（10分）故答案為：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得滿分）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化．普通方程化為極坐標(biāo)方程關(guān)鍵是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．15．（2013?廣東）（幾何證明選講選做題）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E．若AB=6，ED=2，則BC=．考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：壓軸題；直線與圓．分析：利用AB是圓O的直徑，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，進(jìn)而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出．解答：解：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED∽△ACB．∴，又CD=BC，∴．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓的性質(zhì)、弦切角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，需要較強(qiáng)的推理能力．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（12分）（2013?廣東）已知函數(shù)，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．考點(diǎn)：二倍角的正弦；兩角和與差的余弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）把x=﹣直接代入函數(shù)解析式求解．（2）先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinθ的值以及sin2θ，然后將x=2θ+代入函數(shù)解析式，并利用兩角和與差公式求得結(jié)果．解答：解：（1）（2）因?yàn)?，所以所以所?點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的求解，考查了和差角公式的運(yùn)用，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合，要注意角的范圍．17．（12分）（2013?廣東）某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)．（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；（2）日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率．考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；莖葉圖；古典概型及其概率計(jì)算公式．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）莖葉圖中共同的數(shù)字是數(shù)字的十位，這是解決本題的突破口，根據(jù)所給的莖葉圖數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求出結(jié)果；（2）先由（1）求得的平均數(shù)，再利用比例關(guān)系即可推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人的人數(shù)；（3）設(shè)“從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優(yōu)秀工人”為事件A，結(jié)合組合數(shù)利用概率的計(jì)算公式即可求解事件A的概率．解答：解：（1）樣本均值為（2）抽取的6名工人中有2名為優(yōu)秀工人，所以12名工人中有4名優(yōu)秀工人（3）設(shè)“從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優(yōu)秀工人”為事件A，所以，即恰有1名優(yōu)秀工人的概率為．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于容易題．對(duì)于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，考查最基本的知識(shí)點(diǎn)．18．（14分）（2013?廣東）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎A(chǔ)′﹣BCDE，其中A′O=．（1）證明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用．分析：（1）連接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分別在△COD與△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可證明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）方法一：過點(diǎn)O作OF⊥CD的延長(zhǎng)線于F，連接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根據(jù)三垂線定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO為二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA′分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角．解答：（1）證明：連接OD，OE．因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．在△COD中，，同理得．因?yàn)?，．所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．（2）方法一：過點(diǎn)O作OF⊥CD的延長(zhǎng)線于F，連接A′F因?yàn)锳′O⊥平面BCDE．根據(jù)三垂線定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO為二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值為．方法二：取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA′分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一個(gè)法向量．設(shè)平面A′CD的法向量為n=（x，y，z），．所以，令x=1，則y=﹣1，．所以是平面A′CD的一個(gè)法向量設(shè)二面角A′﹣CD﹣B的平面角為θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值為點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三垂線定哩、二面角、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，需要較強(qiáng)的空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．19．（14分）（2013?廣東）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有．考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化為，．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（3）利用（2），通過放縮法（n≥2）即可證明．解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，解得a2=4（2）①當(dāng)n≥2時(shí)，②①﹣②得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，當(dāng)n=1時(shí)，所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以，即所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，n∈N*（3）因?yàn)椋╪≥2）所以=點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）、裂項(xiàng)求和及其放縮法等是解題的關(guān)鍵．20．（14分）（2013?廣東）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離為，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|?|BF|的最小值．考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）利用焦點(diǎn)到直線l：x﹣y﹣2=0的距離建立關(guān)于變量c的方程，即可解得c，從而得出拋物線C的方程；（2）先設(shè)，，由（1）得到拋物線C的方程求導(dǎo)數(shù)，得到切線PA，PB的斜率，最后利用直線AB的斜率的不同表示形式，即可得出直線AB的方程；（3）根據(jù)拋物線的定義，有，，從而表示出|AF|?|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，將它表示成關(guān)于y0的二次函數(shù)的形式，從而即可求出|AF|?|BF|的最小值．解答：解：（1）焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x﹣y﹣2=0的距離，解得c=1所以拋物線C的方程為x2=4y（2）設(shè)，由（1）得拋物線C的方程為，，所以切線PA，PB的斜率分別為，所以PA：①PB：②聯(lián)立①②可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即，又因?yàn)榍芯€PA的斜率為，整理得直線AB的斜率所以直線AB的方程為整理得，即因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）為直線l：x﹣y﹣2=0上的點(diǎn)，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2所以直線AB的方程為（3）根據(jù)拋物線的定義，有，所以=由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2所以=所以當(dāng)時(shí)，|AF|?|BF|的最小值為點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，考查計(jì)算能力，有一定的綜合性．21．（14分）（2013?廣東）設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出實(shí)數(shù)根，通過列表即可得出其單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），令f′（x）=0得出極值點(diǎn)，列出表格得出單調(diào)區(qū)間，比較區(qū)間端點(diǎn)與極值即可得到最大值．解答：解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：x（﹣∞，0）0（0，ln2）ln2（ln2，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0）和（ln2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，ln2）（2）f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]，．f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k）f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）令φ（k）=k﹣ln（2k），，所以φ（k）在上是減函數(shù)，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜＜k．即0＜ln（2k）＜k所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：x（0，ln（2k））ln（2k）（ln（2k），k）f'（x）﹣0+f（x）↘極小值↗f（0）=﹣1，f（k）=（k﹣1）ek﹣k3f（k）﹣f（0）=（k﹣1）ek﹣k3+1=（k﹣1）ek﹣（k3﹣1）=（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）]因?yàn)?，所以k﹣1≤0對(duì)任意的，y=ex的圖象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3.點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值得方法是解題的關(guān)鍵．

2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則A. B. C. D.2．已知復(fù)數(shù)Z滿足，則Z=A. B. C. D.3．若變量滿足約束條件的最大值和最小值分別為和，則A.8 B.7 C.6 D.54．若實(shí)數(shù)k滿足，則曲線與曲線的A.離心率相等 B.虛半軸長(zhǎng)相等 C.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 D.焦距相等5．已知向量，則下列向量中與成夾角的是A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）6．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2％的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別是小學(xué)小學(xué)初中30高中10年級(jí)50O近視率/%小學(xué)生小學(xué)生3500名初中生4500名高中生2000名A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，107．若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下面結(jié)論一定正確的是A.B.C.既不垂直也不平行 D.的位置關(guān)系不確定8．設(shè)集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為A.60 B.90 C.120 D.130二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．不等式的解集為。10．曲線在點(diǎn)處的切線方程為。11．從0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為。12．在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知，則。13．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則。（二）選做題（14～15題，考生從中選做一題）14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線和的方程分別為和，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線和交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_________.CEABCEABFD點(diǎn)在上且，與交于點(diǎn)，則三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且，（1）求的值；（2）若，，求。17．（本小題滿分13分）隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2（1）確定樣本頻率分布表中和的值；（2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的概率。ABCDEFP18．（本小題滿分13分）如圖4，四邊形為正方形，平面，，于點(diǎn)，，交于點(diǎn).ABCDEFP（1）證明：（2）求二面角的余弦值。19．（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前和為,滿足，且，(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。20．（本小題滿分14分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程。21．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中，（1）求函數(shù)的定義域D（用區(qū)間表示）；（2）討論函數(shù)在D上的單調(diào)性；（3）若，求D上滿足條件的的集合（用區(qū)間表示）。2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．已知集合則（B）A．B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)Z滿足則Z=（A）A．B.C.D.3.若變量滿足約束條件的最大值和最小值分別為m和n，則（C）A．8B.7C.6D.54.若實(shí)數(shù)k滿足則曲線與曲線的（D）A．離心率相等B.虛半軸長(zhǎng)相等C.實(shí)半軸長(zhǎng)相等D.焦距相等5.已知向量則下列向量中與成夾角的是（B）A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6、已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（A）A、200,20B、100,20C、200,10D、100,107、若空間中四條兩兩不同的直線滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（D）A．B．C．既不垂直也不平行D．的位置關(guān)系不確定8.設(shè)集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（D）A．60B90C.120D.130８.解：A中元素為有序數(shù)組，題中要求有序數(shù)組的5個(gè)數(shù)中僅1個(gè)數(shù)為、僅2個(gè)數(shù)為或僅3個(gè)數(shù)為，所以共有個(gè)不同數(shù)組；二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．不等式的解集為。10．曲線在點(diǎn)處的切線方程為。11．從0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為。11.解：6之前6個(gè)數(shù)中取3個(gè)，6之后3個(gè)數(shù)中取3個(gè)，12．在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知，則2。13．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則50。（二）選做題（14～15題，考生從中選做一題）14、（坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為和＝1，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1和C2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1).15、（幾何證明選講選做題）如圖3，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，則＝9.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16、（12分）已知函數(shù)，且，（1）求的值；（2）若，，求。16.解：（1），，；（2），，，，又，，．17、（13分）隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：（1）確定樣本頻率分布表中和的值；（2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,50］的概率。17.解：（1），；（2）樣本頻率分布直方圖為日加工零件數(shù)頻率日加工零件數(shù)頻率組距0.0160.0240.040.0560.0642530354045500（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的概率0.2，設(shè)所取的4人中，日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的人數(shù)為，則，，所以4人中，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,50］的概率約為0.5904．18、（13分）如圖4，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E∥CD，交PD于點(diǎn)E。（1）證明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值。18.（１）平面，，又，，平面，，又，平面，即；（２）設(shè)，則中，，又，ABCDEFABCDEFPxyz，，，又，，，同理，如圖所示，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)是平面的法向量，則，又，所以，令，得，，由（１）知平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，，即所求．19.（14分）設(shè)數(shù)列的前和為,滿足，且。(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;19.解：，，又，，，又，，，綜上知，，；（２）由（１）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，，則，又，，解得，，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；由①②知，．20.（14分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程。20.解：（１）可知，又，，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（２）設(shè)兩切線為，①當(dāng)軸或軸時(shí)，對(duì)應(yīng)軸或軸，可知；②當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，，設(shè)的斜率為，則，的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得，，所以是方程的一個(gè)根，同理是方程的另一個(gè)根，，得，其中，所以點(diǎn)P的軌跡方程為（），因?yàn)闈M足上式，綜上知：點(diǎn)P的軌跡方程為．21.（本題14分）設(shè)函數(shù)，其中，（1）求函數(shù)的定義域D；（用區(qū)間表示）（2）討論在區(qū)間D上的單調(diào)性；（3）若，求D上滿足條件的的集合。21.解：（１）可知，，或，或，或，或或，所以函數(shù)的定義域D為；（２），由得，即，或，結(jié)合定義域知或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，同理遞減區(qū)間為，；（３）由得，，，，或或或，，，，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性知的解集為．

2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.1．若集合，，則A．B．C．D．2．若復(fù)數(shù)z=i(3–2i)(i是虛數(shù)單位)，則=A．3-2iB．3+2iC．2+3iD．2-3i3．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是A．B．C．D．4．袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球。從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為A．1B.C.D.5．平行于直線且與圓相切的直線的方程是A．或B.或C.或D.或6．若變量x，y滿足約束條件則的最小值為A．B.6C.D.47．已知雙曲線C：的離心率e=，且其右焦點(diǎn)F2(5,0)，則雙曲線C的方程為（）A．B.C.D.8．若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ)．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3二、填空題:本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9-13題）9．在的展開式中，x的系數(shù)為。10．在等差數(shù)列{}中，若，則=。11．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=，sinB=，C=，則b=。12.某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了條畢業(yè)留言。（用數(shù)字作答）13．某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了條畢業(yè)留言。（用數(shù)字做答）（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）14．(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線l的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A(,)，則點(diǎn)A到直線l的距離為。15.（幾何證明選講選作題）如圖1，已知AB是圓O的直徑，AB=4，EC是圓O的切線，切點(diǎn)為C，BC=1，過圓心O做BC的平行線，分別交EC和AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P，則OD=。三、解答題：本大題共6小題，滿分80分