2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題含參考答案

2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題一、單選題1．若集合??={??∣√??<4},??={??∣3??≥1}，則??∩??=（）A．{??|0≤??<2}1B．{??|3≤??<2}C．{??|3≤??<16}1D．{??|3≤??<16}2．若i(1???)=1，則??+???=（）A．?2B．?1C．1D．2?????=???=???????=（）3．在△??????中，點(diǎn)D在邊AB上，????=2????．記??????，?????????，則????A．3?????2???B．?2????+3???C．3????+2???D．2????+3???4．南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148．5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140．0km2；水位為海拔157．5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180．0km2，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148．5m上升到157．5m時(shí)，增加的水量約為（√7≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）A．61B．3??41C．22??31D．326．記函數(shù)??(??)=sin(????+)+??(??>0)的最小正周期為T．若(3??2<??<??，且??=??(??)的圖象關(guān)于點(diǎn),2)中心對(duì)稱，則??()=（）2??A．119B．23C．25D．37．設(shè)??=0.1e0.1,??=，??=?ln0.9，則（）A．??<??<??B．??<??<??C．??<??<??D．??<??<??8．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36??，且3≤??≤3√3，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A．[18,]481B．[,]442781C．[,]432764D．[18,27]二、多選題9．已知正方體???????????1??1??1??1，則（）A．直線????1與????1所成的角為90°B．直線????1與????1所成的角為90°試卷第1頁(yè)，共24頁(yè)C．直線????1與平面????1??1??所成的角為45°10．已知函數(shù)??(??)=??3???+1，則（）A．??(??)有兩個(gè)極值點(diǎn)C．點(diǎn)(0,1)是曲線??=??(??)的對(duì)稱中心D．直線????1與平面ABCD所成的角為45°B．??(??)有三個(gè)零點(diǎn)D．直線??=2??是曲線??=??(??)的切線11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)??(1,1)在拋物線??:??2=2????(??>0)上，過(guò)點(diǎn)??(0,?1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（）A．C的準(zhǔn)線為??=?1C．|????|?|????|>|????|2B．直線AB與C相切D．|????|?|????|>|????|23212．已知函數(shù)??(??)及其導(dǎo)函數(shù)??′(??)的定義域均為??，記??(??)=??′(??)，若??(?2??)，??(2+??)均為偶函數(shù)，則（）A．??(0)=0B．??(?2)=01C．??(?1)=??(4)D．??(?1)=??(2)三、填空題13．(1???)(??+??)8的展開(kāi)式中??2??6的系數(shù)為_(kāi)_______________（用數(shù)字作答）．14．寫出與圓??2+??2=1和(???3)2+(???4)2=16都相切的一條直線的方程________________．15．若曲線??=(??+??)e??有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．16．已知橢圓??:??2+??2=1(??>??>0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為??1，??2，離心率為2．過(guò)??1且垂直于????2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|????|=6，則△??????的周長(zhǎng)是________________．??2??21??四、解答題17．記????為數(shù)列{????}的前n項(xiàng)和，已知??1=1,{????}是公差為3的等差數(shù)列．????1(1)求{????}的通項(xiàng)公式；(2)證明：??+??+?+??<2．12??11118．記△??????的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知1+sin??=1+cos2??．(1)若??=(2)求2??3cos??sin2??，求B；??2+??2??2的最小值．試卷第2頁(yè)，共24頁(yè)19．如圖，直三棱柱?????????1??1??1的體積為4，△??1????的面積為2√2．(1)求A到平面??1????的距離；(2)設(shè)D為??1??的中點(diǎn)，????1=????，平面??1????⊥平面??????1??1，求二面角??????????的正弦值．20．一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：病例組對(duì)照組(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．??(??|??)??(??|??)與?的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為?|??)??(????(??|??)?)??(??|??)??(??|???；?)??(??|??)??(??|??不夠良好良好40106090R．（?。┳C明：??=?)的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．（ⅰ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出??(??|??),??(??|??附??2=??(?????????)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，0.001??(??2≥??)0.0500.010k3.8416.63510.828試卷第3頁(yè)，共24頁(yè)21．已知點(diǎn)??(2,1)在雙曲線??:0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠??????=2√2，求△??????的面積．22．已知函數(shù)??(??)=?????????和??(??)=?????ln??有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線??=??，其與兩條曲線??=??(??)和??=??(??)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．參考答案：1．D【分析】求出集合??,??后可求??∩??.11【詳解】??={??∣0≤??<16},??={??∣??≥3}，故??∩??={??|3≤??<16}，??2??2???2??2?1=1(??>1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線????,????的斜率之和為故選：D2．D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求??，從而可求??+???.【詳解】由題設(shè)有1???=i=i2=?i，故??=1+i，故??+???=(1+i)+(1?i)=2，故選：D3．B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．?????，即???????????????????=2(???????????????????)，??????=2????【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，????=2????，所以?????????=3??????????2?????????=3??所以??????2????=?2????+3???．故選：B．4．C【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為????=157.5?148.5=9(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積??．試卷第4頁(yè)，共24頁(yè)1i棱臺(tái)上底面積??=140.0????2=140×106??2，下底面積??′=180.0????2=180×106??2，∴??=3?(??+??′+√????′)=3×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．11故選：C．5．D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.2【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C7=21種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7種，故所求概率??=故選：D.6．A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足3??2??321?721=.32<??<??，得3????2??3<2????<??，解得2<??<3，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱，所以2??+4=????,??∈??，且??=2，所以??=?+??,??∈??，所以??=，??(??)=sin(??+)+2，63224所以??(2)=sin(4??+4)+2=1.故選：A7．C【分析】構(gòu)造函數(shù)??(??)=ln(1+??)???，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定??,??,??的大小.試卷第5頁(yè)，共24頁(yè)??5??1255??【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)??(??)=ln(1+??)???(??>?1)，因?yàn)??′(??)=1+???1=?1+??，當(dāng)??∈(?1,0)時(shí)，??′(??)>0，當(dāng)??∈(0,+∞)時(shí)??′(??)<0，所以函數(shù)??(??)=ln(1+??)???在(0,+∞)單調(diào)遞減，在(?1,0)上單調(diào)遞增，所以??(9)<??(0)=0，所以ln111091???9<0，故9>ln91911109=?ln0.9，即??>??，?110所以??(?10)<??(0)=0，所以ln10+10<0，故10<e故??<??，，所以10e<9，11101設(shè)??(??)=??e??+ln(1???)(0<??<1)，則??′(??)=(??+1)e??+???1=令?(??)=e??(??2?1)+1，?′(??)=e??(??2+2???1)，1(??2?1)e??+1???1,當(dāng)0<??<√2?1時(shí)，?′(??)<0，函數(shù)?(??)=e??(??2?1)+1單調(diào)遞減，當(dāng)√2?1<??<1時(shí)，?′(??)>0，函數(shù)?(??)=e??(??2?1)+1單調(diào)遞增，又?(0)=0，所以當(dāng)0<??<√2?1時(shí)，?(??)<0，所以當(dāng)0<??<√2?1時(shí)，??′(??)>0，函數(shù)??(??)=??e??+ln(1???)單調(diào)遞增，所以??(0.1)>??(0)=0，即0.1e0.1>?ln0.9，所以??>??故選：C.方法二：比較法解：??=0.1??0.1，??=1?0.1，??=?ln(1?0.1)，①ln???ln??=0.1+ln(1?0.1)，令??(??)=??+ln(1???),??∈(0,0.1],則??′(??)=1?1???=1???<0，故??(??)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，可得??(0.1)<??(0)=0，即ln???ln??<0，所以??<??；②?????=0.1??0.1+ln(1?0.1)，令??(??)=??????+ln(1???),??∈(0,0.1],則??′(??)=????+???1???=????1(1+??)(1???)?????11???1???0.1，令??(??)=(1+??)(1???)?????1，所以??′(??)=(1???2?2??)????>0，試卷第6頁(yè)，共24頁(yè)所以??(??)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得??(??)>??(0)>0，即??′(??)>0，所以??(??)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得??(0.1)>??(0)=0，即?????>0，所以??>??.故??<??<??.8．C【分析】設(shè)正四棱錐的高為?，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為36??，所以球的半徑??=3,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2??，高為?，則??2=2??2+?2，32=2??2+(3??)2,所以6?=??2，2??2=??2??2所以正四棱錐的體積??=???=×4??2×?=×(??2?333112??436)×??2=(??4?)，69361??6所以??=9(4???6)=′13??51324???2??(6)，9當(dāng)3≤??≤2√6時(shí)，??′>0，當(dāng)2√6<??≤3√3時(shí)，??′<0，所以當(dāng)??=2√6時(shí)，正四棱錐的體積??取最大值，最大值為3，又??=3時(shí)，??=2764，??=3√3時(shí)，??=427814,所以正四棱錐的體積??的最小值為4，所以該正四棱錐體積的取值范圍是[4，3].故選：C.[方法二]：基本不等式法2764試卷第7頁(yè)，共24頁(yè)由方法一故所以??=3??2?=3(6???2)?=3(12?2?)?×??3×[)，當(dāng)?=2時(shí)，得??=33√3，則??min√24211(12?2?)+?+?3]3=643(當(dāng)且僅當(dāng)?=4取到=3??2?=3(113√32)√2×2=33274;當(dāng)??=3√3時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)?=2+3=2，√2??29=3√32???=3√3，正四棱錐體積??1√2=3??2?=3(113√32)√2×2=9814<643，故該正四棱錐體積的取值范圍是[4,3].9．ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接??1??、????1，因?yàn)????1//??1??，所以直線????1與??1??所成的角即為直線????1與????1所成的角，因?yàn)樗倪呅????1??1??為正方形，則??1??⊥????1，故直線????1與????1所成的角為90°，A正確；2764連接??1??，因?yàn)??1??1⊥平面????1??1??，????1?平面????1??1??，則??1??1⊥????1，因?yàn)??1??⊥????1，??1??1∩??1??=??1，所以????1⊥平面??1??1??，又??1???平面??1??1??，所以????1⊥????1，故B正確；連接??1??1，設(shè)??1??1∩??1??1=??，連接????，因?yàn)????1⊥平面??1??1??1??1，??1???平面??1??1??1??1，則??1??⊥??1??，因?yàn)??1??⊥??1??1，??1??1∩??1??=??1，所以??1??⊥平面????1??1??，所以∠??1????為直線????1與平面????1??1??所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則??1??=√2，????121=√2，sin∠??1????=????=2，1????1所以，直線????1與平面????1??1??所成的角為30°，故C錯(cuò)誤；因?yàn)??1??⊥平面????????，所以∠??1????為直線????1與平面????????所成的角，易得∠??1????=45°，故D正確.試卷第8頁(yè)，共24頁(yè)故選：ABD10．AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合??(??)的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，??′(??)=3??2?1，令??′(??)>0得??>令??′(??)<0得?√33√3或??3<?√3，3<??<√3，3所以??(??)在(?∞,?因??(?√3)3√3√3√3√3)，(,+∞)上單調(diào)遞增，(?,)上單調(diào)遞減，所以??3333=±√3是極值點(diǎn)，故3A正確；=1+2√39>0，??(3)=1?√32√39>0，??(?2)=?5<0，所以，函數(shù)??(??)在(?∞,?當(dāng)??≥√3時(shí)，??(??)3√3√3)上有一個(gè)零點(diǎn)，3√3≥??(3)>0，即函數(shù)??(??)在(3,+∞)上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)??(??)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令?(??)=??3???，該函數(shù)的定義域?yàn)??，?(???)=(???)3?(???)=???3+??=??(??)，則?(??)是奇函數(shù)，(0,0)是?(??)的對(duì)稱中心，將?(??)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到??(??)的圖象，所以點(diǎn)(0,1)是曲線??=??(??)的對(duì)稱中心，故C正確；令??′(??)=3??2?1=2，可得??=±1，又??(1)=??(?1)=1，當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為??=2???1，當(dāng)切點(diǎn)為(?1,1)時(shí)，切線方程為??=2??+3，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)??的代入拋物線方程得1=2??，所以拋物線方程為??2=??，故準(zhǔn)線方程為??=?，A錯(cuò)誤；41??????=1?(?1)1?0=2，所以直線????的方程為??=2???1，??=2???1聯(lián)立{2，可得??2?2??+1=0，解得??=1，故B正確；??=??設(shè)過(guò)??的直線為??，若直線??與??軸重合，則直線??與拋物線??只有一個(gè)交點(diǎn)，試卷第9頁(yè)，共24頁(yè)所以，直線??的斜率存在，設(shè)其方程為??=?????1，??(??1,??1),??(??2,??2)，??=?????1聯(lián)立{2，得??2?????+1=0，??=??Δ=??2?4>0所以{??1+??2=??，所以??>2或??<?2，??1??2=(??1??2)2=1，??1??2=1222222又|????|=√??1+??1=√??1+??1，|????|=√??2+??2=√??2+??2，所以|????|?|????|=√??1??2(1+??1)(1+??2)=√????1×????2=|??|>2=|????|2，故C正確；因?yàn)閨????|=√1+??2|??1|，|????|=√1+??2|??2|，所以|????|?|????|=(1+??2)|??1??2|=1+??2>5，而|????|2=5，故D正確.故選：BCD12．BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究對(duì)于??(??)，因?yàn)??(2?2??)為偶函數(shù)，所以??(2?2??)=??(2+2??)即??(2???)=??(2+??)①，所以??(3???)=??(??)，所以??(??)關(guān)于??=對(duì)稱，則??(?1)=??(4)，故C正確；2333333對(duì)于??(??)，因?yàn)??(2+??)為偶函數(shù)，??(2+??)=??(2???)，??(4???)=??(??)，所以??(??)關(guān)于??=2對(duì)稱，由①求導(dǎo)，和??(??)=??′(??)，得[??(2???)]=[??(2+??)]????′(2???)=??′(2+??)????(2???)=??(+??)，所以??(3???)+??(??)=0，所以??(??)關(guān)于(,0)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以??()=0，結(jié)合222??(??)關(guān)于??=2對(duì)稱，從而周期??=4×(2?)=2，所以??(?)=??()=0，??(?1)=??(1)=???(2)，222故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)??(??)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)??(??)+??（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定??(??)的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知??(??)周期為2，關(guān)于??=2對(duì)稱，故可設(shè)??(??)=cos(π??)，則??(??)=πsin(π??)+??，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.13133333′3′333試卷第10頁(yè)，共24頁(yè)故選：BC.[方法三]：因?yàn)??(?2??)，??(2+??)均為偶函數(shù)，233所以??(2?2??)=??(2+2??)即??(2???)=??(2+??)，??(2+??)=??(2???)，所以??(3???)=??(??)，??(4???)=??(??)，則??(?1)=??(4)，故C正確；函數(shù)??(??)，??(??)的圖象分別關(guān)于直線??=,??=2對(duì)稱，23333又??(??)=??′(??)，且函數(shù)??(??)可導(dǎo)，所以??()=0,??(3???)=???(??)，2所以??(4???)=??(??)=???(3???)，所以??(??+2)=???(??+1)=??(??)，所以??(?2)=??(2)=0，??(?1)=??(1)=???(2)，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)??(??)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)??(??)+??（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定??(??)的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．13．-28【分析】(1???)(??+??)8可化為(??+??)8???(??+??)8，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?1???)(??+??)8=(??+??)8???(??+??)8，626535所以(1???)(??+??)8的展開(kāi)式中含??2??6的項(xiàng)為C8?????????8????=?28??2??6，????????????133(1???)(??+??)8的展開(kāi)式中??2??6的系數(shù)為-28故答案為：-2814．??=?4??+4或??=24???24或??=?1【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.35725??試卷第11頁(yè)，共24頁(yè)【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為??+????+??=0，于是|??|√1+??2=1，|3+4??+??|√1+??2=4.故??2=1+??2①，|3+4??+??|=|4??|.于是3+4??+??=4??或3+4??+??=?4??，??=?7??=3??=0再結(jié)合①解得{或{25或{5，??=1??=???=?73244所以直線方程有三條，分別為??+1=0，7???24???25=0，3??+4???5=0.(填一條即可)[方法二]：設(shè)圓??2+??2=1的圓心??(0,0)，半徑為??1=1，圓(???3)2+(???4)2=16的圓心??(3,4)，半徑??2=4，則|????|=5=??1+??2，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然??+1=0符合題意；又由方程(???3)2+(???4)2=16和??2+??2=1相減可得方程3??+4???5=0，即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4???3??=0，直線OC與直線??+1=0的交點(diǎn)為(?1,?3)，設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為??+3=??(??+1)，則4|???|434√??2+1=1，解得??=24，7從而該切線的方程為7???24???25=0.(填一條即可)[方法三]：圓??2+??2=1的圓心為??(0,0)，半徑為1，試卷第12頁(yè)，共24頁(yè)圓(???3)2+(???4)2=16的圓心??1為(3,4)，半徑為4，兩圓圓心距為√32+42=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)??????1=3，所以????=?4，設(shè)方程為??=?4??+??(??>0)O到l的距離??=|??|√1+916433=1，解得??=4，所以l的方程為??=?4??+4，535當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為????+??+??=0，其中??>0，??<0，??=?24725由題意{|3??+4+??|，解得{25，??=24???24??==42√1+??2√1+??24|??|=17當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為??=?1，故答案為：??=?4??+4或??=24???24或??=?1.15．(?∞,?4)∪(0,+∞)【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)??0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于??0的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得??的取值范圍.【詳解】∵??=(??+??)e??，∴??′=(??+1+??)e??，設(shè)切點(diǎn)為(??0,??0),則??0=(??0+??)e??0,切線斜率??=(??0+1+??)e??0,切線方程為：???(??0+??)e??0=(??0+1+??)e??0(?????0),∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴?(??0+??)e??0=(??0+1+??)e??0(???0),試卷第13頁(yè)，共24頁(yè)357252整理得：??0+????0???=0,∵切線有兩條，∴Δ=??2+4??>0,解得??<?4或??>0,∴??的取值范圍是(?∞,?4)∪(0,+∞),故答案為：(?∞,?4)∪(0,+∞)16．13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為??24??2+??23??2=1，即3??2+4??2?12??2=0，根據(jù)離心率得到直線????2的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線????的斜率，寫出直線????的方程：??=√3?????，代入橢圓方程3??2+4??2?12??2=0，整理化簡(jiǎn)得到：13??2?6√3?????9??2=0，利用弦長(zhǎng)公式求得??=134138，得??=2??=，根據(jù)對(duì)稱性將△??????的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為△??2????的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為4??=13.????【詳解】∵橢圓的離心率為??==，∴??=2??，∴??=?????=3??，∴橢圓的方程為212222??24??2+??23??2=1，即3??2+4??2?12??2=0，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為??1，右焦點(diǎn)為??2，如圖所示，∵????2=??，????2=??，??=2??，∴∠????2??=，∴△????1??2為正三角形，∵過(guò)??1且垂直于????2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，????為線段3??????2的垂直平分線，∴直線????的斜率為，斜率倒數(shù)為√3，直線????的方程：??=√3?????，代入橢圓方程33??2+4??2?12??2=0，整理化簡(jiǎn)得到：13??2?6√3?????9??2=0，判別式Δ=(6√3??)+4×13×9??2=62×16×??2，∴|????|=√1+(√3)|??1???2|=2×∴??=132√Δ132√3=2×6×4×??13=6，，得??=2??=8134，∵????為線段????2的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，????=????2，????=????2，∴△??????的周長(zhǎng)等于△??2????的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到△??2????周長(zhǎng)為|????2|+|????2|+|????|=|????2|+|????2|+|????1|+|????1|=|????1|+|????2|+|????1|+|????2|=2??+2??=4??=13.故答案為：13.試卷第14頁(yè)，共24頁(yè)17．(1)????=(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得????=1+3(???1)=????(??+1)2??1??+23，得到????=??+1(??+2)????3，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)??≥2時(shí)，????=??????????1=??(??+1)2(??+2)????3?(??+1)?????13,進(jìn)而得：????(??+1)21???????1=???1，利用累乘法求得????=，檢驗(yàn)對(duì)于??=1也成立，得到{????}的通項(xiàng)公式????=11；1（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到??+??+?+??=2(1???+1)，進(jìn)而證得.12??【詳解】（1）∵??1=1，∴??1=??1=1,∴又∵{??}是公差為的等差數(shù)列，????3??1??1??1=1,∴????=1+3(???1)=????1??+23,∴????=，(??+2)????3,∴當(dāng)??≥2時(shí)，?????1=∴????=??????????1=(??+1)?????13(??+2)????3?(??+1)?????13,整理得：(???1)????=(??+1)?????1,即?????????1=???1,?????????????112???2??+1∴????=??1×??2×??3×…×?????1×??=1×1×2×…×???2×???1=34????+12??(??+1)，試卷第15頁(yè)，共24頁(yè)顯然對(duì)于??=1也成立，∴{????}的通項(xiàng)公式????=121??(??+1)21；（2）??=??(??+1)=2(?????+1),??∴??+??+?+??=2[(1?2)+(2?3)+?(?????+1)]=2(1???+1)<212??11111111118．(1)6；(2)4√2?5．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將1+sin??=1+cos2??化成cos(??+??)=sin??，再結(jié)合0<??<2，即可求出；（2）由（1）知，??=2+??，??=2?2??，再利用正弦定理以及二倍角公式將5，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?+sin??=1+cos2??=?cos??=，21cos??sin2??2sin??cos??2cos2??ππ??2+??2??2πcos??sin2??π化成4cos2??+cos2???2=cos??，即sin??=cos??cos???sin??sin??=cos(??+??)=sin??而0<??<，所以??=；26ππ（2）由（1）知，sin??=?cos??>0，所以<??<π,0<??<，22ππ而sin??=?cos??=sin(???)，2π所以??=+??，即有??=?2??，所以??∈(0,),??∈(,2242ππ????3??4)所以=??2+??2??2=sin2??+sin2??sin2??=cos22??+1?cos2??cos2??2(2cos2???1)2+1?cos2??cos2??2=4cos2??+cos2???5≥2√8?5=4√2?5．5．當(dāng)且僅當(dāng)cos??=19．(1)√2(2)2√3??2+??2√2時(shí)取等號(hào)，所以??2的最小值為4√2?2試卷第16頁(yè)，共24頁(yè)【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得????⊥平面??????1??1，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱?????????1??1??1中，設(shè)點(diǎn)A到平面??1????的距離為h，則???????1????=3??△??1??????=解得?=√2，所以點(diǎn)A到平面??1????的距離為√2；（2）取??1??的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)????1=????，所以????⊥??1??,又平面??1????⊥平面??????1??1，平面??1????∩平面??????1??1=??1??，且?????平面??????1??1，所以????⊥平面??1????，在直三棱柱?????????1??1??1中，????1⊥平面??????，由?????平面??1????，?????平面??????可得????⊥????，????1⊥????，又????,????1?平面??????1??1且相交，所以????⊥平面??????1??1，所以????,????,????1兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，12√2?3=????1???????=3??△?????????1??=3???????????1??1??1=3，114由（1）得????=√2，所以????1=????=2，??1??=2√2，所以????=2，則??(0,2,0),??1(0,2,2),??(0,0,0),??(2,0,0),所以??1??的中點(diǎn)??(1,1,1)，?????=(0,2,0),?????????=(2,0,0),?????=(1,1,1)，????則??????????=??+??+??=0??????????，設(shè)平面??????的一個(gè)法向量????=(??,??,??)，則{??????????????=2??=0可取????=(1,0,?1)，試卷第17頁(yè)，共24頁(yè)?????=??+??+??=0???????設(shè)平面??????的一個(gè)法向量???=(??,??,??)，則{??，?????=2??=0????????可取???=(0,1,?1)，則cos?????,????=|???|?|??=?|???????????1√2×√2=，2211√3所以二面角??????????的正弦值為√1?(2)=2.20．(1)答案見(jiàn)解析(2)（i）證明見(jiàn)解析；(ii)??=6；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出??2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求??.【詳解】（1）由已知??2=??(?????????)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)=200(40×90?60×10)250×150×100×100=24，又??(??2≥6.635)=0.01，24>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因?yàn)??=??(???=?|??)??(??|??)所以??=??(????)??(??)?|??)??(??|??)??(????(????)??(??)???(??????)??(??)?)??(??)??(?????，??(??)??(????)??)??(???)??(??)??(???????)??(?????)??(????)??(??所以??=??(??|??)???(??|??，?)(ii)由已知??(??|??)=40100?)??(??|??)??(??|???)=，??(??|??10100，60?)=90，又??(??|??)=100，??(??|??100所以??=??(??|??)???(??|??=6?)21．(1)?1；(2)【分析】（1）由點(diǎn)??(2,1)在雙曲線上可求出??，易知直線l的斜率存在，設(shè)??:??=????+??，試卷第18頁(yè)，共24頁(yè)16√2．9?)??(??|??)??(??|????(??1,??1),??(??2,??2)，再根據(jù)??????+??????=0，即可解出l的斜率；（2）根據(jù)直線????,????的斜率之和為0可知直線????,????的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)tan∠??????=2√2即可求出直線????,????的斜率，再分別聯(lián)立直線????,????與雙曲線方程求出點(diǎn)??,??的坐標(biāo)，即可得到直線????的方程以及????的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線????的距離，即可得出△??????的面積．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)??(2,1)在雙曲線??:??2???2?1=1(??>1)上，所以??2???2?1=1，解得??2=2，即雙曲線??:??22??2??241???2=1．易知直線l的斜率存在，設(shè)??:??=????+??，??(??1,??1),??(??2,??2)，聯(lián)立{??22??=????+?????=12可得，(1?2??2)??2?4???????2??2?2=0，4????2??2+22??2?1所以，??1+??2=?2??2?1,??1??2=??≠±√2．2??2?1??2?2，Δ=16??2??2?4(2??2+2)(2??2?1)>0???2?1+2??2>0且所以由??????+??????=0可得，+??1?1??1?2=0，即(??1?2)(????2+???1)+(??2?2)(????1+???1)=0，即2????1??2+(???1?2??)(??1+??2)?4(???1)=0，所以2??×2??2+22??2?1+(???1?2??)(?2??2?1)?4(???1)=0，4????化簡(jiǎn)得，8??2+4???4+4??(??+1)=0，即(??+1)(2???1+??)=0，所以??=?1或??=1?2??，當(dāng)??=1?2??時(shí)，直線??:??=????+??=??(???2)+1過(guò)點(diǎn)??(2,1)，與題意不符，舍去，故??=?1．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線????,????的傾斜角為??,??(??<2<??)，因?yàn)??????+??????=0，所以??+??=π，由（1）知，??1??2=2??2+2>0，當(dāng)??,??均在雙曲線左支時(shí)，∠??????=2??，所以tan2??=2√2，即√2tan2??+tan???√2=0，解得tan??=√2（負(fù)值舍去）2π此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無(wú)交點(diǎn)，舍去；當(dāng)??,??均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)閠an∠??????=2√2，所以tan(?????)=2√2，即tan2??=?2√2，試卷第19頁(yè)，共24頁(yè)即√2tan2???tan???√2=0，解得tan??=√2（負(fù)值舍去），于是，直線????:??=√2(???2)+1，直線????:??=?√2(???2)+1，聯(lián)立{??=√2(???2)+1??22???2=1可得，3??2+2(√2?4)??+10?4√2=0，210?4√2，????3因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2，所以????=同理可得，????=10+4√2，????35=4√2?5，3=?4√2?5．316所以????:??+???3=0，|????|=故△??????的面積為×21163，點(diǎn)??到直線????的距離??=316√29|2+1?|√253=2√23，×2√23=．［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為??，(0<??<)，由tan∠??????=2√2，得tan2由2??+∠??????=??，得??????=tan??=√2，即2聯(lián)立??1?2=√2，及21???1=1得??1=1π∠??????2=√2，2??1?1??1?2=√2，=4√2?53???1??210?4√2，??13，689同理，??2=10+4√2，??23=?4√2?5，故??13+??2=20，??1??2=3而|????|=√3|??1?2|，|????|=√3|??2?2|，由tan∠??????=2√2，得sin∠??????=122√2，316√2.9故??△??????=|????||????|sin∠??????=√2|??1??2?2(??1+??2)+4|=【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問(wèn)結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線????,????的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)??,??坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；法二：前面解答與法一求解點(diǎn)??,??坐標(biāo)過(guò)程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．22．(1)??=1(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)??>1時(shí)，e?????=??的解的個(gè)數(shù)、???ln??=??的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)試卷第20頁(yè)，共24頁(yè)?(??)=e??+ln???2??，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得??(??),??(??)的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線??=??與曲線??=??(??)、??=??(??)有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得??的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）??(??)=e???????的定義域?yàn)??，而??′(??)=e?????，若??≤0，則??′(??)>0，此時(shí)??(??)無(wú)最小值，故??>0.??(??)=?????ln??的定義域?yàn)?0,+∞)，而??′(??)=?????=1?????1??.當(dāng)??<ln??時(shí)，??′(??)<0，故??(??)在(?∞,ln??)上為減函數(shù)，當(dāng)??>ln??時(shí)，??′(??)>0，故??(??)在(ln??,+∞)上為增函數(shù)，故??(??)min=??(ln??)=?????ln??.當(dāng)0<??<??時(shí)，??′(??)<0，故??(??)在(0,??)上為減函數(shù)，當(dāng)??>??時(shí)，??′(??)>0，故??(??)在(??,+∞)上為增函數(shù)，故??(??)min=??(??)=1?ln??.因?yàn)??(??)=e???????和??(??)=?????ln??有相同的最小值，故1?ln=?????ln??，整理得到?????11???11+??111111=ln??，其中??>0，21???2?1設(shè)??(??)=1+???ln??,??>0，則??′(??)=(1+??)2???=??(1+??)2≤0，故??(??)為(0,+∞)上的減函數(shù)，而??(1)=0，故??(??)=0的唯一解為??=1，故綜上，??=1.（2）[方法一]：由（1）可得??(??)=e?????和??(??)=???ln??的最小值為1?ln1=1?ln1=1.當(dāng)??>1時(shí)，考慮e?????=??的解的個(gè)數(shù)、???ln??=??的解的個(gè)數(shù).設(shè)??(??)=e????????，??′(??)=e???1，當(dāng)??<0時(shí)，??′(??)<0，當(dāng)??>0時(shí)，??′(??)>0，故??(??)在(?∞,0)上為減函數(shù)，在(0,+∞)上為增函數(shù)，所以??(??)min=??(0)=1???<0，而??(???)=e???>0，??(??)=e???2??，設(shè)??(??)=e???2??，其中??>1，則??′(??)=e???2>0，試卷第21頁(yè)，共24頁(yè)11???1+??=ln??的解為??=1.故??(??)在(1,+∞)上為增函數(shù)，故??(??)>??(1)=e?2>0，故??(??)>0，故??(??)=e????????有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即e?????=??的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)??(??)=???ln?????，??′(??)=???1??，當(dāng)0<??<1時(shí)，??′(??)<0，當(dāng)??>1時(shí)，??′(??)>0，故??(??)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞)上為增函數(shù)，所以??(??)min=??(1)=1???<0，而??(e???)=e???>0，??(e??)=e???2??>0，??(??)=???ln?????有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即???ln??=??的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)??=1，由（1）討論可得???ln??=??、e?????=??僅有一個(gè)解，當(dāng)??<1時(shí)，由（1）討論可得???ln??=??、e?????=??均無(wú)根，故若存在直線??=??與曲線??=??(??)、??=??(??)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則??>1.設(shè)?(??)=e??+ln???2??，其中??>0，故?′(??)=e??+???2，設(shè)??(??)=e??????1，??>0，則??′(??)=e???1>0，故??(??)在(0,+∞)上為增函數(shù)，故??(??)>??(0)=0即e??>??+1，所以?′(??)>??+???1≥2?1>0，所以?(??)在(0,+∞)上為增函數(shù)，而?(1)=e?2>0，?(3)=ee3?3?e11112e3<e?3?2e3<0，故?(??)(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)??0，3<??0<1且：e1當(dāng)0<??<??0時(shí)，?(??)<0即e?????<???ln??即??(??)<??(??)，當(dāng)??>??0時(shí)，?(??)>0即e?????>???ln??即??(??)>??(??)，因此若存在直線??=??與曲線??=??(??)、??=??(??)有三個(gè)不同