數(shù)學(xué)-9.5 三角形的中位線（原版）

9.5三角形的中位線同步培優(yōu)講練綜合三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.一、三角形中位線有關(guān)的求解問題【例1】如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)，間的距離，在地面上確定點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，量得，則，之間的距離是 B． C． D．【例2】如圖，在中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，的平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．

【例3】如圖，在四邊形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，則的度數(shù)是．【例4】在中，，D為形內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_______．【例5】有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個(gè)農(nóng)戶種植（即將梯形面積兩等分），試設(shè)計(jì)兩種方案，并說明理由．（平分圖案畫在備用圖上，保留作圖痕跡）【例6】如圖，在中，點(diǎn)，，分別是邊，，上的中點(diǎn)，且，，則四邊形的周長(zhǎng)等于．【例7】如圖，四邊形中，，，、分別是、的中點(diǎn)，則線段的取值范圍是

A． B． C． D．【例8】如圖，中，，，，、分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)作于，交于，連接，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．2二、三角形中位線相關(guān)的面積問題【例1】如圖，在中，、、分別是、、的中點(diǎn)，若的面積是40，則四邊形的面積是A．10 B．12.5 C．15 D．20【例2】、是線段上的兩點(diǎn)，且，，，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，分別以、為斜邊在同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為、，如圖所示，連接并取中點(diǎn)，連接，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則線段掃過的圖形面積為______．【例3】如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，則_____

【例4】如圖，三邊的中線，，的公共點(diǎn)為G，且，若，則圖中陰影部分的面積是_____．【例5】如圖，在中，，分別是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接與交于點(diǎn)．，求四邊形的面積．三、與三角形中位線有關(guān)的應(yīng)用和證明【例1】在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，平分，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)．【例2】如圖，中，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，

．（1）求證：；（2）若四邊形的周長(zhǎng)是30，的周長(zhǎng)是21，求的長(zhǎng)．【例3】如圖，在四邊形中，是對(duì)角線的中點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，，，求的度數(shù)．【例4】在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、、、，與交于點(diǎn)O．(1)試說明與互相平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．四、梯形中位線【例1】已知一個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)為，其中一條底邊的長(zhǎng)為，那么該梯形的另一條底邊的長(zhǎng)是．【例2】如圖，已知直角梯形的一條對(duì)角線把梯形分為一個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則梯形的中位線長(zhǎng)為

B． C． D．【例3】如圖，梯形的兩底長(zhǎng)為，，中位線為，且，若為上的一點(diǎn)，且將梯形分成面積相同的兩區(qū)域，則與梯形的面積比為．五、中點(diǎn)四邊形【例1】順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是(

)A．平行四邊形 B．對(duì)角線相等的四邊形C．矩形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊【例2】若順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形，則原四邊形必定是（

）A．正方形 B．對(duì)角線相等的四邊形C．菱形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊形【例3】依次連接下列四邊形四條邊的中點(diǎn)得到四邊形不是菱形的是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【例4】如圖，四邊形中，，．且，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，如此進(jìn)行下去，得到四邊形．下列結(jié)論正確的是（

）

①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長(zhǎng)是，④四邊形的面積是．A．①②③ B．②③④ C．①② D．②③1、如圖，在中，，，．若，分別為邊，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為A．5 B．5.5 C．6 D．6.52、如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，其中，點(diǎn)是斜梁的中點(diǎn)，、垂直于橫梁，，則的長(zhǎng)為 B． C． D．

3、如圖，點(diǎn)、、分別是、、中點(diǎn)，且是的角平分線．求證：．4．如圖，平行四邊形中，對(duì)角線，相交于，，，，分別是，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中：①；②四邊形是平行四邊形；③；④平分，正確的是（）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④5．如圖，四邊形中，對(duì)角線，且，，各邊中點(diǎn)分別為，，，，順次連接得到四邊形；再取各邊中點(diǎn)，，，，順次連接得到四邊形；依此類推，這樣得到四邊形，則四邊形的面積為____．

6．已知一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)分別為和的菱形，順次連接它的四邊中點(diǎn)得到的四邊形的面積是______．7．如圖，在和中，，、、分別為、、的中點(diǎn)，若，則________．8、如圖，在中，，、分別是、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．連接、、．若，求的長(zhǎng)．9．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)．(2)若，求證：．

10．已知：如圖，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點(diǎn)四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？請(qǐng)寫出一種．11．定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中