數(shù)學-第24講 概率（解析）

第二十四講——概率考向一事件的分類1．（2020·江蘇泰州市·中考真題）如圖，電路圖上有個開關、、、和個小燈泡，同時閉合開關、或同時閉合開關、都可以使小燈泡發(fā)光．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（）A．只閉合個開關 B．只閉合個開關 C．只閉合個開關 D．閉合個開關【答案】B【分析】觀察電路發(fā)現(xiàn)，閉合或閉合或閉合三個或四個，則小燈泡一定發(fā)光，從而可得答案．【詳解】解：由小燈泡要發(fā)光，則電路一定是一個閉合的回路，只閉合個開關，小燈泡不發(fā)光，所以是一個不可能事件，所以A不符合題意；閉合個開關，小燈泡發(fā)光是必然事件，所以D不符合題意；只閉合個開關，小燈泡有可能發(fā)光，也有可能不發(fā)光，所以B符合題意；只閉合個開關，小燈泡一定發(fā)光，是必然事件，所以C不符合題意．故選B．【點睛】本題結合物理知識考查的是必然事件，不可能事件，隨機事件的概念，掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2020·遼寧沈陽市·中考真題）下列事件中，是必然事件的是（）A．從一個只有白球的盒子里摸出一個球是白球B．任意買一張電影票，座位號是3的倍數(shù)C．擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上D．汽車走過一個紅綠燈路口時，前方正好是綠燈【答案】A【分析】根據(jù)概率事件的定義理解逐一判斷即可．【詳解】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此選項正確B：任意買一張電影票，座位號是隨機的，是隨機事件，故此選項錯誤

C：擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上的概率為，是隨機事件，故此選項錯誤D：汽車走過一個紅綠燈路口時，綠燈的概率為，是隨機事件，故此選項錯誤故答案選A【點睛】本題主要考查了概率的事件分類問題，根據(jù)必然事件，在一定條件下，事件必然會發(fā)生的定義判斷是解題的關鍵．1．（2020·內蒙古通遼市·中考真題）下列事件中是不可能事件的是()A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．水中撈月 D．百步穿楊【答案】C【分析】不可能事件是一定不會發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷．【詳解】解：A、守株待兔，不一定就能達到，是隨機事件，故選項不符合；B、甕中捉鱉是必然事件，故選項不符合；C、水中撈月，一定不能達到，是不可能事件，選項不符合；D、百步穿楊，未必達到，是隨機事件，故選項不符合；故選C.【點睛】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．考向二概率的計算1．（2020·湖北隨州市·中考真題）如圖，中，點，，分別為，，的中點，點，，分別為，，的中點，若隨機向內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為____．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理建立面積之間的關系,按規(guī)律求解，再根據(jù)概率公式進行求解即可．【詳解】根據(jù)三角形中位線定理可得第二個三角形的各邊長都等于最大三角形各邊的一半,并且這兩個三角形相似,那么第二個△DEF的面積=△ABC的面積那么第三個△MPN的面積=△DEF的面積=△ABC的面積∴若隨機向內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為:故答案為：【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，概率公式,解決本題的關鍵是利用三角形的中位線定理得到第三個三角形的面積與第一個三角形的面積的關系，以及概率公式．2．（2020·浙江衢州市·中考真題）如圖是一個游戲轉盤，自由轉動轉盤，當轉盤停止轉動后，指針落在數(shù)字“Ⅱ”所示區(qū)域內的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用“Ⅱ”所示區(qū)域所占圓周角除以360，進而得出答案．【詳解】解：由扇形統(tǒng)計圖可得，指針落在數(shù)字“Ⅱ”所示區(qū)域內的概率是：．故選：A．【點睛】此題主要考查了概率公式，正確理解概率的求法是解題關鍵．1．（2020·山西中考真題）如圖是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形．將一個飛鏢隨機投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．

【答案】B【分析】連接菱形對角線，設大矩形的長=2a，大矩形的寬=2b，可得大矩形的面積，根據(jù)題意可得菱形的對角線長，從而求出菱形的面積，根據(jù)“順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形”，可得小矩形的長，寬分別是菱形對角線的一半，可求出小矩形的面積，根據(jù)陰影部分的面積=菱形的面積-小矩形的面積可求出陰影部分的面積，再求出陰影部分與大矩形面積之比即可得到飛鏢落在陰影區(qū)域的概率．【詳解】解：如圖，連接EG，F(xiàn)H，設AD=BC=2a，AB=DC=2b，則FH=AD=2a，EG=AB=2b，∵四邊形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH===2ab，∵M，O，P，N點分別是各邊的中點，∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b，∵四邊形MOPN是矩形，∴S矩形MOPN=OPMO=ab，∴S陰影=S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，∵S矩形ABCD=ABBC=2a2b=4ab，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是，故選B．【點睛】本題考查了幾何概率問題．用到的知識點是概率=相應的面積與總面積之比．2．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上．每塊地磚的大小、質地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是___________．【答案】【分析】先求出黑色方磚在整個地面中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結論．【詳解】解：∵由圖可知，黑色方磚6塊，共有16塊方磚，∴黑色方磚在整個區(qū)域中所占的比值=，∴小球停在黑色區(qū)域的概率是；故答案為：【點睛】本題考查的是幾何概率，用到的知識點為：幾何概率=相應的面積與總面積之比．

考向三隨機事件（等可能事件）的概率1．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，小球從A入口往下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等．則小球從E出口落出的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等”可知在點B、C、D處都是等可能情況，從而得到在四個出口E、F、G、H也都是等可能情況，然后概率的意義列式即可得解．【詳解】解：由圖可知，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等，小球最終落出的點共有E、F、G、H四個，所以小球從E出口落出的概率是：；故選：C．【點睛】此題考查的是求概率問題，掌握概率公式是解決此題的關鍵．2．（2020·遼寧錦州市·中考真題）在一個不透明的袋子中裝有4個白球，a個紅球．這些球除顏色外都相同．若從袋子中隨機摸出1個球，摸到紅球的概率為，則______．【答案】8【分析】直接利用概率公式列出概率計算式，即可求出a的值．【詳解】解：由題意可知從袋子中隨機摸出1個球，摸到紅球的概率為，∴，∴，故答案為：8．【點睛】本題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）=．

1．（2020·貴州貴陽市·中考真題）在“拋擲正六面體”的試驗中，正六面體的六個面分別標有數(shù)字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在試驗次數(shù)很大時，數(shù)字“6”朝上的頻率的變化趨勢接近的值是_____．【答案】【分析】隨著試驗次數(shù)的增多，變化趨勢接近與理論上的概率．【詳解】解：如果試驗的次數(shù)增多，出現(xiàn)數(shù)字“6”的頻率的變化趨勢是接近．故答案為：．【點睛】實驗次數(shù)越多，出現(xiàn)某個數(shù)的變化趨勢越接近于它所占總數(shù)的概率．2．（2020·山東濟寧市·中考真題）小明用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規(guī)律排放了一組圖案(如圖所示),每個圖案中他只在最下面的正方體上寫“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)個圖案中有1個正方體,第(2)個圖案中有3個正方體,第(3)個圖案中有6個正方體，……按照此規(guī)律，從第(100)個圖案所需正方體中隨機抽取一個正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可得第n個圖形共有1+2+3+4+...+n=個正方體，最下面有n個帶“心”字正方體，從而得出第100個圖形的情況，再利用概率公式計算即可．【詳解】解：由圖可知：第1個圖形共有1個正方體，最下面有1個帶“心”字正方體；第2個圖形共有1+2=3個正方體，最下面有2個帶“心”字正方體；第3個圖形共有1+2+3=6個正方體，最下面有3個帶“心”字正方體；第4個圖形共有1+2+3+4=10個正方體，最下面有4個帶“心”字正方體；...

第n個圖形共有1+2+3+4+...+n=個正方體，最下面有n個帶“心”字正方體；則：第100個圖形共有1+2+3+4+...+100==5050個正方體，最下面有100個帶“心”字正方體；∴從第(100)個圖案所需正方體中隨機抽取一個正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是，故選：D．【點睛】本題考查了圖形變化規(guī)律，概率的求法，解題的關鍵是總結規(guī)律，得到第100個圖形中總正方體的個數(shù)以及帶“心”字正方體個數(shù)．考向四利用頻率估計概率1．（2020·廣西中考真題）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)“射中環(huán)以上”的次數(shù)“射中環(huán)以上”的頻率(結果保留小數(shù)點后兩位)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率是_______(結果保留小數(shù)點后一位)．【答案】0.8【分析】根據(jù)大量的實驗結果穩(wěn)定在0.8左右即可得出結論．【詳解】∵從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.8附近，

∴這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率大約是0.8．故答案為：0.8．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．2．（2020·江蘇揚州市·中考真題）

大數(shù)據(jù)分析技術為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用．如圖是小明同學的蘇康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內隨機擲點，經過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為________．【答案】2.4【分析】求出正方形二維碼的面積，根據(jù)題意得到黑色部分的面積占正方形面積得60%計算即可；【詳解】∵正方形的二維碼的邊長為2cm，∴正方形二維碼的面積為，∵經過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，∴黑色部分的面積占正方形二維碼面積得60%，∴黑色部分的面積約為：，故答案為．【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率進行求解，準確立即數(shù)據(jù)的意義是解題的關鍵．1．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區(qū)1000名九年級男生的身高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下．身高人數(shù)60260550130根據(jù)以上統(tǒng)計結果，隨機抽取該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87【答案】C【分析】先計算出樣本中身高不低于170cm的頻率，然后根據(jù)利用頻率估計概率求解．【詳解】解：樣本中身高不低于170cm的頻率，

所以估計抽查該地區(qū)一名九年級男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故選：C．

【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．2．（2020·湖南邵陽市·中考真題）如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為，寬為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計實驗結果），他將若干次有效實驗的結果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題分兩部分求解，首先假設不規(guī)則圖案面積為x，根據(jù)幾何概率知識求解不規(guī)則圖案占長方形的面積大??；繼而根據(jù)折線圖用頻率估計概率，綜合以上列方程求解．【詳解】假設不規(guī)則圖案面積為x，由已知得：長方形面積為20，根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：，當事件A實驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35，綜上有：，解得．故選：B．【點睛】本題考查幾何概率以及用頻率估計概率，并在此基礎上進行了題目創(chuàng)新，解題關鍵在于清晰理解題意，能從復雜的題目背景當中找到考點化繁為簡，創(chuàng)新題目對基礎知識要求極高．考向五用樹狀圖或列表法求概率1．（2020·四川廣元市·中考真題）在如圖所示的電路圖中，當隨機閉合開關,,中的兩個時，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為________．

【答案】【分析】分析電路圖知：要讓燈泡發(fā)光，必須閉合，同時,中任意一個關閉時，滿足條件，從而求算概率．【詳解】分析電路圖知：要讓燈泡發(fā)光，必須閉合，同時,中任意一個關閉時，滿足：一共有：,,、,、,三種情況，滿足條件的有,、,兩種，∴能夠讓燈泡發(fā)光的概率為：故答案為：．【點睛】本題考查概率運算，分析出所有可能的結果，尋找出滿足條件的情況是解題關鍵．2．（2020·貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）某校九（1）班準備舉行一次演講比賽，甲、乙、丙三人通過抽簽方式決定出場順序，則出場順序恰好是甲、乙、丙的概率是_____．【答案】【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與出場順序恰好是甲、乙、丙的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：畫出樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，其中出場順序恰好是甲、乙、丙的只有1種結果，∴出場順序恰好是甲、乙、丙的概率為，故答案為：．【點睛】本題考查了樹狀圖法求概率問題，關鍵是根據(jù)題意正確畫出樹狀圖進而求解.3．（2020·湖北宜昌市·中考真題）宜昌景色宜人，其中三峽大壩、清江畫廊、三峽人家景點的景色更是美不勝收．某民營單位為兼顧生產和業(yè)余生活，決定在下設的A，B，C三部門利用轉盤游戲確定參觀的景點，兩轉盤各部分圓心角大小以及選派部門、旅游景點等信息如圖．

（1）若規(guī)定老同志相對偏多的部門選中的可能性大，試判斷這個部門是哪個部門？請說明理由；（2）設選中C部門游三峽大壩的概率為，選中B部門游清江畫廊或者三峽人家的概率為，請判斷，大小關系，并說明理由．【答案】（1）C部門，理由見解析；（2）P1=P2，理由見解析【分析】（1）利用圓心角為360°，A,B,C分別占90°，90°和180°，分別求出所占百分比即可;（2）列出所有可能的情況，然后得出C，B所占比例，即可得出結果.【詳解】解：（1）C部門，理由：∵∴（2），理由：AB三峽大壩（D）清江畫廊（E）三峽人家（F）備注：部門轉盤平均分成了4等份，C部門占兩份分別用，表示由表可得，所有可能出現(xiàn)的結果共有12種，這些結果出現(xiàn)的可能性相等，其中C選中三峽大壩的結果有2種，B選中清江畫廊或者三峽人家的結果有2種∴∴【點睛】本題考查了扇形圖的知識．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．關鍵是分析扇形圖，得到相關的數(shù)據(jù)信息．

1．（2020·山東濱州市·中考真題）現(xiàn)有下列長度的五根木棒：3，5，8，10，13，從中任取三根，可以組成三角形的概率為________．【答案】【分析】求出任取三根木棒的所有情況，再求出能組成三角形的所有情況，利用概率公式直接計算即可.【詳解】五根木棒，任意取三根共有10種情況：3、5、8；3、5、10；3、5、13；3、8、103、8、13；3、10、13；5、10、13；5、8、10；5、8、13；8、10、13其中能組成三角形的有：①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能構成三角形；②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能構成三角形；③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能構成三角形；④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能構成三角形；所以有4種方案符合要求，故能構成三角形的概率是P==，故答案為：.【點睛】此題考查三角形的三邊關系，列舉法求事件的概率，列舉法求概率的關鍵是在列舉所有情況時考慮要全面，不能重復也不能遺漏.2．（2020·湖南中考真題）今年2﹣4月某市出現(xiàn)了200名新冠肺炎患者，市委根據(jù)黨中央的決定，對患者進行了免費治療．圖1是該市輕癥、重癥、危重癥三類患者的人數(shù)分布統(tǒng)計圖（不完整），圖2是這三類患者的人均治療費用統(tǒng)計圖．請回答下列問題．（1）輕癥患者的人數(shù)是多少？（2）該市為治療危重癥患者共花費多少萬元？（3）所有患者的平均治療費用是多少萬元？（4）由于部分輕癥患者康復出院，為減少病房擁擠，擬對某病房中的A、B、C、D、E五位患者任選兩位轉入另一病房，請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中B、D兩位患者的概率．【答案】（1）160人；（2）100萬元；（3）2.15萬；（4）

【分析】（1）因為總人數(shù)已知，由輕癥患者所占的百分比即可求出其的人數(shù)；（2）求出該市危重癥患者所占的百分比，即可求出其共花費的錢數(shù)；（3）用加權平均數(shù)公式求出各種患者的平均費用即可；（4）首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與恰好選中B、D兩位同學的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：（1）輕癥患者的人數(shù)＝200×80%＝160（人）；（2）該市為治療危重癥患者共花費錢數(shù)＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（萬元）；（3）所有患者的平均治療費用＝＝2.15（萬元）；（4）列表得：ABCDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20種等可能的結果，恰好選中B、D兩位同學的有2種情況，∴P（恰好選中B、D）＝＝．【點睛】此題主要考查統(tǒng)計與概率，解題的關鍵是熟知列表的方法及概率公式的應用．3．（2020·湖南衡陽市·中考真題）一個不透明的盒子里裝有除顏色外其余均相同的2個黑球和個白球，攪勻后從盒子里隨機摸出一個球，摸到白球的概率為．（1）求的值；（2）所有球放入盒中，攪勻后隨機從中摸出1個球，放回攪勻，再隨機摸出第2個球，求兩次摸球摸到一個白球和一個黑球的概率，請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）根據(jù)概率公式列方程求解即可；（2）先畫出樹狀圖確定所有情況數(shù)和所求情況數(shù)，然后再運用概率公式求解即可．【詳解】解：（1）由題意得，解得n=1；

（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：所以共有9種情況，其中兩次摸球摸到一個白球和一個黑球有4種情況，則兩次摸球摸到一個白球和一個黑球的概率．【點睛】本題考查了概率公式的運用和利用樹狀圖求概率，根據(jù)概率公式列方程和正確畫出樹狀圖是解答本題的關鍵．考向六概率的應用1．（2020·內蒙古赤峰市·中考真題）如圖1，一枚質地均勻的正四面體骰子，它有四個面，并分別標有1，2，3，4四個數(shù)字；如圖2，等邊三角形ABC的三個頂點處各有-個圓圈.丫丫和甲甲想玩跳圈游戲，游戲的規(guī)則為：游戲者從圜A起跳，每投擲一次骰子，骰子著地的一面點數(shù)是幾，就沿著三角形的邊逆時針方向連續(xù)跳躍幾個邊長.如:若第一次擲得點數(shù)為2，就逆時針連續(xù)跳2個邊長，落到圈C；若第二次擲得點數(shù)為4，就從圈C繼續(xù)逆時針連續(xù)跳4個邊長，落到圈A.（1）丫丫隨機擲一次骰子，她跳躍后落回到圈A的概率為；（2）丫丫和甲甲一起玩眺圈游戲:丫丫隨機投擲一次骰子，甲甲隨機投擲兩次骰子，都以最終落回到圈A為勝者.這個游戲規(guī)則公平嗎?請說明理由.【答案】（1）；（2）公平，理由見詳解

【分析】（1）分別計算投擲點數(shù)為1、2、3、4時，丫丫跳躍后回到圈A的次數(shù)，再按概率公式計算求解；（2）分別計算投擲點數(shù)為1、2、3、4時，丫丫和甲甲跳躍后回到圈A的次數(shù)，再按概率公式計算求解；【詳解】解：（1）當投擲點為1時，丫丫跳躍后到圈B；當投擲點為2時，丫丫跳躍后到圈C；當投擲點為3時，丫丫跳躍后到圈A；當投擲點為4時，丫丫跳躍后到圈B；如圖，，共3種等可能的結果，丫丫跳躍后到圈A只有一次，故答案為：．（2）由（1）知丫丫隨機投擲一次骰子，跳躍后回到圈A的概率為；甲甲隨機投擲兩次骰子，如圖

共有等可能的情況有9種，其中甲甲跳躍后到圈A共3次，P甲甲=這個游戲公平．【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．注意根據(jù)題意畫樹狀圖，然后利用概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求解是關鍵．2．（2020·山東威海市·）小偉和小梅兩位同學玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子，以擲出的點數(shù)之差的絕對值判斷輸贏．若所得數(shù)值等于，，，則小偉勝：若所得數(shù)值等于，，，則小梅勝（1）請利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率（2）判斷上述游戲是否公平．如果公平，請說明理由；如果不公平，請利用上表修改游戲規(guī)則，以確保游戲的公平性【答案】（1）P（小偉勝）＝，P（小梅勝）＝；（2）游戲不公平；修改為：兩次擲出的點數(shù)之差的絕對值為1，2，則小偉勝；否則小梅勝．【分析】（1）利用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果情況，并求出小偉勝、小梅勝的概率；（2）依據(jù)獲勝的概率判斷游戲的公平性，修改規(guī)則時，利用差的絕對值的形式，使兩人獲勝的概率相等即可．【詳解】解：（1）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果如下：

表中總共有36種可能的結果，每一種結果出現(xiàn)的可能性相同，“差的絕對值”為0，1，2共有24種，“差的絕對值”為3，4，5的共有12種，∴P（小偉勝）＝＝，P（小梅勝）＝＝，答：小偉勝的概率是，小梅勝的概率是；（2）∵≠，∴游戲不公平；根據(jù)表格中“差的絕對值”的不同情況，要使游戲公平，即兩人獲勝的概率相等，于是修改為：兩次擲出的點數(shù)之差的絕對值為1，2，則小偉勝；否則小梅勝，這樣小偉、小梅獲勝的概率均為．【點睛】此題主要考查了游戲的公平性，通過列舉出所有的可能結果，求出相應的概率是解決問題的關鍵．1．（2020·山東青島市·中考真題）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場券，于是他們設計了一個“配紫色”游戲：，是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤都被分成面積相等的幾個扇形、同時轉動兩個轉盤，如果其中一個轉盤轉出了紅色，另一個轉盤轉出了藍色，那么可以配成紫色．若配成紫色，則小穎去觀看，否則小亮去觀看．這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．【答案】這個游戲對雙方公平，理由見解析【分析】畫出樹狀圖，求出配成紫色的概率即可求解．【詳解】解：這個游戲對雙方公平，理由如下：如圖，

∵由樹狀圖可知，所有可能發(fā)生的組合有6種，能配成紫色的組合有3種，∴P（紫色）=，∴這個游戲對雙方公平．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．畫出樹狀圖，求出他們各自獲勝的概率是解答本題的關鍵．1．（2020·四川攀枝花市·中考真題）下列事件中，為必然事件的是（）．A．明天要下雨B．C．D．打開電視機，它正在播廣告【答案】B【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件．【詳解】解：根據(jù)題意，結合必然事件的定義可得：A、明天要下雨不一定發(fā)生，不是必然事件，故選項錯誤；B、一個數(shù)的絕對值為非負數(shù)，故是必然事件，故選項正確；C、，故不是必然事件，故選項錯誤；D、打開電視機，它不一定正在播廣告，有可能是其他節(jié)目，故不是必然事件，故選項錯誤；故選B.【點睛】本題考查了必然事件，關鍵是理解必然事件是一定會發(fā)生的事件．解決此類問題，要學會關注身邊的事物，并用數(shù)學的思想和方法去分析、看待、解決問題，提高自身的數(shù)學素養(yǎng)．2．（2020·遼寧阜新市·中考真題）擲一枚質地均勻的硬幣5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，則再次擲出這枚硬幣，正面朝下的概率是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】直接利用概率的意義分析得出答案．【詳解】解：∵擲質地均勻硬幣的試驗，每次正面向上和向下的概率相同，

∴再次擲出這枚硬幣，正面朝上的概率是：故選：D．【點睛】此題主要考查了概率的意義，正確把握概率的意義是解題關鍵．3．（2020·浙江寧波市·中考真題）一個不透明的袋子里裝有4個紅球和2個黃球，它們除顏色外其余都相同．從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用紅球的個數(shù)除以球的總個數(shù)解答即可．【詳解】解：從袋中任意摸出一個球是紅球的概率＝．故選：D．【點睛】本題考查了簡單的概率計算，屬于基礎題型，熟練掌握計算的方法是關鍵．4．（2020·浙江溫州市·中考真題）一個不透明的布袋里裝有7個只有顏色不同的球，其中4個白球，2個紅球，1個黃球．從布袋里任意摸出1個球，是紅球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用紅球的個數(shù)除以球的總個數(shù)解答即可．【詳解】解：從布袋里任意摸出1個球，是紅球的概率=．故選：C．【點睛】本題考查了簡單事件的概率，屬于基礎題型，熟知計算的方法是解題關鍵．5．（2020·貴州貴陽市·中考真題）下列4個袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個小球，任意摸出一個球，摸到紅球可能性最大的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中紅球所占的比例大小即可．【詳解】解：第一個袋子摸到紅球的可能性=；第二個袋子摸到紅球的可能性=；

第三個袋子摸到紅球的可能性=；第四個袋子摸到紅球的可能性=．故選：D．

【點睛】本題主要考查了可能性大小的計算，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，難度適中．6．（2020·內蒙古呼和浩特市·中考真題）已知電流在一定時間段內正常通過電子元件“”的概率是0.5；則在一定時間段內，由該元件組成的圖示電路A、B之間，電流能夠正常通過的概率是（）A．0.75 B．0.625 C．0.5 D．0.25【答案】A【分析】根據(jù)題意，某一個電子元件不正常工作的概率為0.5，可得兩個元件同時不正常工作的概率為0.25，進而由概率的意義可得一定時間段內AB之間電流能夠正常通過的概率．【詳解】解：根據(jù)題意，電流在一定時間段內正常通過電子元件的概率是0.5，

即某一個電子元件不正常工作的概率為0.5，則兩個元件同時不正常工作的概率為0.25；故在一定時間段內AB之間電流能夠正常通過的概率為=0.75，故選A.【點睛】本題考查了等可能事件的概率，屬于基礎題，用到的知識點為：電流能正常通過的概率=1-電流不能正常通過的概率．7．（2020·四川綿陽市·中考真題）將一個籃球和一個足球隨機放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰有一個籃子為空的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：三個不同的籃子分別用A、B、C表示，根據(jù)題意畫圖如下：共有9種等可能的情況數(shù)，其中恰有一個籃子為空的有6種，則恰有一個籃子為空的概率為．故選：A．

【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．（2020·廣西中考真題）一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都隨機選擇一條路徑，則它獲得食物的概率是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機的選擇一條路徑，觀察圖可得：它有6種路徑，且獲得食物的有2種路徑，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】∵一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機的選擇一條路徑，∴它有6種路徑，∵獲得食物的有2種路徑，∴獲得食物的概率是：，故選：C．【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（2020·山東德州市·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，有4個小正方形已經涂黑，若再涂黑任意1個白色的小正方形（每個白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新構成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的概率是________．

【答案】【分析】根據(jù)軸對稱的定義，確定可以構成軸對稱圖形的情況，根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：如圖，圖中共有12個白色正方形，其中涂黑1個使新構成的黑色部分圖形是軸對稱圖形的共有2種情況，所以概率為P=．故答案為：【點睛】本題考查了列舉法求概率，軸對稱圖形的判定，熟知求概率公式和軸對稱圖形的概念是解題關鍵．10．（2020·湖北宜昌市·中考真題）技術變革帶來產品質量的提升．某企業(yè)技術變革后，抽檢某一產品2020件，欣喜發(fā)現(xiàn)產品合格的頻率已達到0.9911，依此我們可以估計該產品合格的概率為_______．（結果要求保留兩位小數(shù)）【答案】0.99【分析】根據(jù)產品合格的頻率已達到0.9911，保留兩位小數(shù)，所以估計合格件數(shù)的概率為0.9９．【詳解】解：合格頻率為：0.9911，保留兩位小數(shù)為0.99，則根據(jù)產品合頻率，估計該產品合格的概率為0.99．故答案為0.99．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比及運用樣本數(shù)據(jù)去估計總體數(shù)據(jù)的基本解題思想．11．（2020·新疆中考真題）表中記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：由此估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為_____．(精確到0.1)【答案】0.9【分析】利用表格中的數(shù)據(jù)求出多批次成活率的平均數(shù)即可估算這種蘋果樹移植成活率的概率．

【詳解】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知：蘋果樹苗移植成活率的平均數(shù)：所以估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為0.9．故答案為：0.9．【點睛】本題考查平均數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出這些批次蘋果樹的成活率的平均數(shù)．12．（2020·浙江中考真題）在一個布袋里放有1個白球和2個紅球，它們除顏色外其余都相同，從布袋里摸出1個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出1個球．將2個紅球分別記為紅Ⅰ，紅Ⅱ．兩次摸球的所有可能的結果如表所示，第二次第一次白紅Ⅰ紅Ⅱ白白，白白，紅Ⅰ白，紅Ⅱ紅Ⅰ紅Ⅰ，白紅Ⅰ，紅Ⅰ紅Ⅰ，紅Ⅱ紅Ⅱ紅Ⅱ，白紅Ⅱ，紅Ⅰ紅Ⅱ，紅Ⅱ則兩次摸出的球都是紅球的概率是_____．【答案】【分析】由圖表求得所有等可能的結果及兩次都摸到紅球的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)圖表給可知，共有9種等可能的結果，兩次摸出的球都是紅球的有4種，則兩次摸出的球都是紅球的概率為；故答案為：．【點睛】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．（2020·廣西貴港市·中考真題）若從-2，0，1這三個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中一個記為a，另一個記為b，則點A(a，b)恰好落在x軸上的概率是________．【答案】【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果以及坐標軸上的點的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：

一共有6種結果，點A（a，b）落在x軸上的點有（-2，0），（1，0）∴P（頂點在坐標軸上的概率）=．故答案為：．【點睛】此題考查了樹狀圖法求概率，熟悉相關性質是解題的關鍵．15．（2020·黑龍江大慶市·中考真題）兩個人做游戲：每個人都從－1，0，1這三個整數(shù)中隨機選擇一個寫在紙上，則兩人所寫整數(shù)的絕對值相等的概率為_________．【答案】【分析】畫出樹狀圖進行求解即可；【詳解】由題可得到樹狀圖如下圖所示：∴．故答案為．【點睛】本題主要考查了利用樹狀圖求概率，準確畫圖是解題的關鍵．16．（2020·湖北荊門市·中考真題）如圖是某商場第二季度某品牌運動服裝的S號，M號，L號，XL號，XXL號銷售情況的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）求XL號，XXL號運動服裝銷量的百分比；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）按照M號，XL號運動服裝的銷量比，從M號、XL號運動服裝中分別取出x件、y件，若再取2件

XL號運動服裝，將它們放在一起，現(xiàn)從這件運動服裝中，隨機取出1件，取得M號運動服裝的概率為，求x，y的值．【答案】（1）XL號，XXL號運動服裝銷量的百分比分別為15%，10%；（2）補全條形圖如圖所示，見解析；（3）．【分析】（1）先求出抽取的總數(shù)，然后分別求出對應的百分比即可；（2）分別求出S、L、XL的數(shù)量，然后補全條形圖即可；（3）由銷量比，則，結合概率的意義列出方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：（1）抽取的總數(shù)為：（件），∴XXL的百分比：，XL的百分比：；∴XL號，XXL號運動服裝銷量的百分比分別為15%，10%．（2）根據(jù)題意，S號的數(shù)量：（件），L號的數(shù)量：（件），XL號數(shù)量：（件），補全條形圖如圖所示．（3）由題意，按照M號，XL號運動服裝的銷量比，則，根據(jù)概率的意義，有，∴，解得：．【點睛】本題考查了概率的意義，頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．17．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）為了提高學生體質，戰(zhàn)勝疫情，某中學組織全校學生宅家一分鐘跳繩比賽，全校跳繩平均成績是每分鐘次，某班班長統(tǒng)計了全班

名學生一分鐘跳繩成績，列出的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，（每個小組包括左端點，不包括右端點）．求：（1）該班一分鐘跳繩的平均次數(shù)至少是多少，是否超過全校的平均次數(shù)；（2）該班的一個學生說：“我的跳繩成績是我班的中位數(shù)”請你給出該生跳繩成績的所在范圍；（3）從該班中任選一人，其跳繩次數(shù)超過全校平均數(shù)的概率是多少．【答案】（1）平均次數(shù)至少是次，超過全校的平均次數(shù)；（2）跳繩成績所在范圍為；（3）．【分析】（1）觀察直方圖，用每組的最低成績，根據(jù)加權平均數(shù)公式計算可得該班一分鐘跳繩的最少平均次數(shù)，再與校平均成績比較即可得答案；（2）根據(jù)中位數(shù)意義，確定中位數(shù)的范圍即可；（3）先確定出該班一分鐘跳繩成績大于或等于100次的人數(shù)，然后利用概率公式進行求解即可．【詳解】（1）該班一分鐘跳繩的平均次數(shù)至少為，即該班一分鐘跳繩的平均次數(shù)至少是100.8次，超過了全校的平均次數(shù)；（2）這個學生的跳繩成績在該班是中位數(shù)，共有50名學生，可知中位數(shù)是將跳繩次數(shù)從小到大排列后位于第25、26這兩個次數(shù)的平均數(shù)，因為4+13=17<25，4+13+19=36>26，所以中位數(shù)一定在100～120范圍內，即該生跳繩成績的所在范圍為100～120；（3）該班一分鐘跳繩成績大于或等于100次的有：l9+7+5+2=33(人)，所以P（其跳繩次數(shù)超過全校平均數(shù)）=，答：從該班中任選一人，其跳繩次數(shù)超過全校平均數(shù)的概率為．【點睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖，簡單的概率計算，中位數(shù)等知識，讀懂統(tǒng)計圖，弄清題意，找準相關數(shù)據(jù)，靈活運用相關知識是解題的關鍵．18．（2020·浙江中考真題）

新冠疫情期間，某校開展線上教學，有“錄播”和“直播”兩種教學方式供學生選擇其中一種．為分析該校學生線上學習情況，在接受這兩種教學方式的學生中各隨機抽取40人調查學習參與度，數(shù)據(jù)整理結果如下表（數(shù)據(jù)分組包含左端值不包含右端值）（1）你認為哪種教學方式學生的參與度更高?簡要說明理由．（2）從教學方式為“直播”的學生中任意抽取一位學生，估計該學生的參與度在0.8及以上的概率是多少?（3）該校共有800名學生，選擇“錄播”和“直播”的人數(shù)之比為1：3，估計參與度在0.4以下的共有多少人?【答案】（1）“直播”教學方式學生的參與度更高，理由見解析；（2）30%；（3）50人【分析】（1）根據(jù)直播和錄播的參與度的人數(shù)即可判斷；（2）根據(jù)學生的參與度在0.8及以上的人數(shù)除以總人數(shù)即可求解；（3）先求出“錄播”和“直播”的學生人數(shù)，再分別乘以其所占百分比即可求解．【詳解】（1）“直播”教學方式學生的參與度更高，理由如下：∵直播參與度為“0.6-0.8”、“0.8-1”的人數(shù)均大于錄播參與度的人數(shù)，故“直播”教學方式學生的參與度更高；（2）P（參與度在0.8及以上）=；（3）該校共有800名學生，∴選擇“錄播”的人數(shù)為800×=200（人）選擇“直播”的人數(shù)為800×=600（人）∴故參與度在0.4以下的共有200×+600×=20+30=50（人）．【點睛】此題主要考查概率的求解，解題的關鍵是熟知概率公式的應用．19．（2020·陜西中考真題）小亮和小麗進行摸球試驗．他們在一個不透明的空布袋內，放入兩個紅球，一個白球和一個黃球，共四個小球．這些小球除顏色外其它都相同．試驗規(guī)則：先將布袋內的小球搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記下顏色后放回，稱為摸球一次．（1）小亮隨機摸球10次，其中6次摸出的是紅球，求這10次中摸出紅球的頻率；（2）若小麗隨機摸球兩次，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由頻率定義即可得出答案；（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的情況，利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：（1）小亮隨機摸球10次，其中6次摸出的是紅球，這10次中摸出紅球的頻率＝＝；（2）畫樹狀圖得：∵共有16種等可能的結果，兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的有2種情況，∴兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的概率＝＝.【點睛】此題考查事件概率：列舉法求事件的概率，還考查了頻率的定義，正確理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此類問題的關鍵.20．（2020·吉林長春市·中考真題）現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“神舟首飛”，第三張卡片的正面圖案為“保衛(wèi)和平”，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄圖案后放回，重新洗勻后再從中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的概率．（圖案為“神舟首飛”的兩張卡片分別記為、，圖案為“保衛(wèi)和平”的卡片記為）【答案】樹狀圖見解析，【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的情況數(shù)，其中兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的有1種，∴（兩次抽取的卡片上圖案都是“保衛(wèi)和平”）．【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（2020·貴州貴陽市·中考真題）“2020第二屆貴陽市應急科普知識大賽”的比賽中有一個抽獎活動．規(guī)則是：準備3張大小一樣，背面完全相同的卡片，3張卡片的正面所寫內容分別是《消防知識手冊》《辭海》《辭?！?，將它們背面朝上洗勻后任意抽出一張，抽到卡片后可以免費領取卡片上相應的書籍．（1）在上面的活動中，如果從中隨機抽出一張卡片，記下內容后不放回，再隨機抽出一張卡片，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2張卡片都是《辭?！返母怕?；（2）再添加幾張和原來一樣的《消防知識手冊》卡片，將所有卡片背面朝上洗勻后，任意抽出一張，使得抽到《消防知識手冊》卡片的概率為，那么應添加多少張《消防知識手冊》卡片？請說明理由．【答案】（1）圖表見解析，；（2）應添加4張《消防知識手冊》卡片，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意畫出列表，由概率公式即可得出答案；

（2）設應添加x張《消防知識手冊》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）先將《消防知識手冊》《辭?！贰掇o?！贩謩e記作，，，然后列表如下：第2次第1次總共有6種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，而2張卡片都是《辭?！返挠?種：，所以，（2張卡片都是《辭?！罚?；

（2）設再添加張和原來一樣的《消防知識手冊》卡片，由題意得：，解得，，經檢驗，是原方程的根，答：應添加4張《消防知識手冊》卡片．【點睛】本題考查了列表法以及概率公式，熟悉相關性質是解題的關鍵．1．（2020·湖北襄陽市·中考真題）下列說法正確的是（）A．“買中獎率為的獎券10張，中獎”是必然事件B．“汽車累積行駛，從未出現(xiàn)故障”是不可能事件C．襄陽氣象局預報說“明天的降水概率為”，意味著襄陽明天一定下雨D．若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差小的更穩(wěn)定【答案】D【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型，以及方差的性質逐一分析即可．【詳解】A.“買中獎率為的獎券10張，中獎”是隨機事件，故不符合題意；B.“汽車累積行駛，從未出現(xiàn)故障”是隨機事件，故不符合題意；C.襄陽氣象局預報說“明天的降水概率為”，但是襄陽明天只是有可能下雨，故不符合題意；D.若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差小的更穩(wěn)定，該說法正確，故符合題意；故選：D．【點睛】本題考查根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型，以及方差的性質等內容，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，以及方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．

2．（2020·湖北武漢市·中考真題）兩個不透明的口袋中各有三個相同的小球，將每個口袋中的小球分別標號為1，2，3．從這兩個口袋中分別摸出一個小球，則下列事件為隨機事件的是（）A．兩個小球的標號之和等于1 B．兩個小球的標號之和等于6C．兩個小球的標號之和大于1 D．兩個小球的標號之和大于6【答案】B【分析】隨機事件是指在某個條件下有可能發(fā)生有可能不會發(fā)生的事件，根據(jù)此定義即可求解．【詳解】解：從兩個口袋中各摸一個球，其標號之和最大為6，最小為2，選項A：“兩個小球的標號之和等于1”為不可能事件，故選項A錯誤；選項B：“兩個小球的標號之和等于6”為隨機事件，故選項B正確；選項C：“兩個小球的標號之和大于1”為必然事件，故選項C錯誤；選項D：“兩個小球的標號之和大于6”為不可能事件，故選項D錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了隨機事件、不可能事件、必然事件的概念，熟練掌握各事件的定義是解決本題的關鍵．3．（2020·山東東營市·中考真題）如圖，隨機閉合開關，，中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出樹狀圖，找出所有等可能的結果，計算即可.【詳解】根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：共有6種等可能的結果，能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的有2種情況，∴，故選C.

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法，正確的畫出樹狀圖是解決此題的關鍵.4．（2020·湖南湘潭市·中考真題）為慶祝建黨99周年，某校八年級（3）班團支部為了讓同學們進一步了解中國科技的發(fā)展，給班上同學布置了一項課外作業(yè)，從選出的以下五個內容中任選部分內容進行手抄報的制作：、“北斗衛(wèi)星”：、“時代”；、“智軌快運系統(tǒng)”；、“東風快遞”；、“高鐵”．統(tǒng)計同學們所選內容的頻數(shù)，繪制如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則選擇“時代”的頻率是（）A．0.25 B．0.3 C．25 D．30【答案】B【分析】先計算出八年級（3）班的全體人數(shù)，然后用選擇“5G時代”的人數(shù)除以八年級（3）班的全體人數(shù)即可．【詳解】由圖知，八年級（3）班的全體人數(shù)為：（人）選擇“5G時代”的人數(shù)為：30人∴選擇“時代”的頻率是：故選：B．【點睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖的讀取，及相應頻率的計算，熟知以上知識是解題的關鍵．5．（2020·遼寧葫蘆島市·中考真題）一個不透明的口袋中有4個紅球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出1個球，則摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．【詳解】解：摸到紅球的概率為：．故選D．【點睛】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．6．（2020·浙江金華市·中考真題）如圖，有一些寫有號碼的卡片，它們的背面都相同，現(xiàn)將它們背面朝上，從中任意摸出一張，摸到1號卡片的概率是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)概率公式直接求解即可．【詳解】解：∵共有6張卡片，其中寫有1號的有3張，

∴從中任意摸出一張，摸到1號卡片的概率是，故選：A．【點睛】此題考查了概率的求法，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．（2020·遼寧營口市·中考真題）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)20801002004001000“射中九環(huán)以上”的次數(shù)186882168327823“射中九環(huán)以上”的頻率（結果保留兩位小數(shù)）0.900.850.820.840.820.82根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約是（）

A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84【答案】B【分析】根據(jù)大量的實驗結果穩(wěn)定在0.82左右即可得出結論．【詳解】解：∵從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.82附近，∴這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率是0.82．故選：B．【點睛】本題主要考查的是利用頻率估計概率，熟知大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解答此題的關鍵．8．（2020·湖北武漢市·中考真題）某班從甲、乙、丙、丁四位選中隨機選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出樹狀圖展示所有12種等可能的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】畫樹狀圖為：∴P（選中甲、乙兩位）=故選C．【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．9．（2020·湖南長沙市·中考真題）一個不透明的袋子中裝有1個紅球，2個綠球，除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個球，然后放回搖勻，再隨機摸出一個，下列說法中，錯誤的是（）A．第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的球一定是綠球B．第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的球不一定是綠球C．第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的球不一定是紅球D．第一次摸出的球是紅球的概率是；兩次摸出的球都是紅球的概率是【答案】A【分析】根據(jù)摸出球的顏色可能出現(xiàn)的情形及概率依次分析即可得到答案.【詳解】A、第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的球不一定是綠球，故錯誤；B、第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的球不一定是綠球，故正確；C、第一次摸出的球是紅球，第二次摸出的球不一定是紅球，故正確；D、第一次摸出的球是紅球的概率是；兩次摸到球的情況共有（紅，紅），（紅，綠1），（紅，綠2），（綠1，紅），（綠1，綠1），（綠1，綠2），（綠2，紅），（綠2，綠1），（綠2，綠2）9種等可能的情況，兩次摸出的球都是紅球的有1種，∴兩次摸出的球都是紅球的概率是，故正確；故選：A.【點睛】此題考查了事件的可能性的大小及利用概率的公式、列舉法求事件的概率，正確理解題中放回搖勻，明確每次摸出的球的顏色都有可能是解題的關鍵.10．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）

在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4．若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出小球標號的和等于5的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的小球標號之和等于5的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，兩次摸出的小球標號之和等于5的有4種情況，

∴兩次摸出的小球標號之和等于5的概率是：.故選C.【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．解題時注意：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．11．（2020·新疆中考真題）在四張背面完全相同的卡片上分別印有正方形、正五邊形、正六邊形、圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機抽取兩張，則抽到卡片上印有的圖案都是中心對稱圖形的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與抽到卡片上印有的圖案都是中心對稱圖形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：分別用A、B、C、D表示正方形、正五邊形、正六邊形、圓，其中正方形、正六邊形、圓是中心對稱圖形，畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，抽到卡片上印有的圖案都是中心對稱圖形的有6種情況，

∴抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的概率為：．故選：C．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念，用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．12．（2020·寧夏中考真題）現(xiàn)有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】從四條線段中任意選取三條，找出所有的可能，及能構成三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率．【詳解】解：從長度分別為2、4、6、7的四條線段中任選三條有如下4種情況：2、4、6；2、4、7；

2、6、7；4、6、7；其中能構成三角形的有2、6、7；4、6、7這兩種情況，

所以能構成三角形的概率是，故選：B．【點睛】本題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）=．構成三角形的基本要求為兩小邊之和大于最大邊．13．（2020·遼寧本溪市·中考真題）下圖是由全等的小正方形組成的圖案，假設可以隨意在圖中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是_________．【答案】【分析】先設陰影部分的面積是5x，得出整個圖形的面積是9x，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案．【詳解】解：設陰影部分的面積是5x，則整個圖形的面積是9x，則這個點取在陰影部分的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．

14．（2020·遼寧鞍山市·中考真題）在一個不透明的袋子中裝有6個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球，估計袋子中白球的個數(shù)約為_________．【答案】24【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，設未知數(shù)列出方程求解．【詳解】解：∵共試驗100次，其中有20次摸到紅球，∴白球所占的比例為：，設袋子中共有白球x個，則，解得：x=24，經檢驗：x=24是原方程的解，故答案為：24．【點睛】本題考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．關鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應的等量關系．15．（2020·內蒙古呼和浩特市·中考真題）公司以3元/的成本價購進柑橘，并希望出售這些柑橘能夠獲得12000元利潤，在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，需要先進行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，再大約確定每千克柑橘的售價，右面是銷售部通過隨機取樣，得到的“柑橘損壞率”統(tǒng)計表的一部分，由此可估計柑橘完好的概率為_______（精確到0.1）；從而可大約每千克柑橘的實際售價為_______元時（精確到0.1），可獲得12000元利潤．柑橘總質量損壞柑橘質量柑橘損壞的頻率（精確到0.001）………25024.750.09930030.930.10335035.120.10045044.540.09950050.620.101【答案】0.9【分析】利用頻率估計概率得到隨實驗次數(shù)的增多，柑橘損壞的頻率越來越穩(wěn)定在0.1左右，由此可估計柑橘完好率大約是0.9；設每千克柑橘的銷售價為x元，然后根據(jù)“售價-進價=利潤”列方程解答．

【詳解】解：從表格可以看出，柑橘損壞的頻率在常數(shù)0.1左右擺動，并且隨統(tǒng)計量的增加這種規(guī)律逐漸明顯，所以柑橘的完好率應是1-0.1=0.9；

設每千克柑橘的銷售價為x元，則應有10000×0.9x-3×10000=12000，解得x=．

所以去掉損壞的柑橘后，水果公司為了獲得12000元利潤，完好柑橘每千克的售價應為元，

故答案為：0.9，．【點睛】本題考查了用頻率估計概率的知識，用到的知識點為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．得到售價與利潤的等量關系是解決問題的關鍵．16．（2020·甘肅金昌市·中考真題）在一個不透明的袋中裝有若干個紅球，為了估計袋中紅球的個數(shù)，小明在袋中放入3個黑球（每個球除顏色外其余都與紅球相同），搖勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.85左右，則袋中紅球約有_____個．【答案】17【分析】根據(jù)口袋中有3個黑球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實驗比例應該相等求出即可．【詳解】解：通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.85左右，口袋中有3個黑球，∵假設有x個紅球，∴＝0.85，解得：x＝17，經檢驗x＝17是分式方程的解，∴口袋中有紅球約有17個．故答案為：17．【點睛】此題主要考查了用樣本估計總體，根據(jù)已知得出小球在總數(shù)中所占比例得出與實驗比例應該相等是解決問題的關鍵．17．（2020·廣西玉林市·中考真題）經過人民路十字路口紅綠燈處的兩輛汽車，可能直行，也可能左轉，如果這兩種可能性大小相同，則至少有一輛向左轉的概率是________．【答案】【分析】可以采用列表法或樹狀圖求解．可以得到一共有4種情況，至少有一輛向左轉有3種情況，根據(jù)概率公式計算可得．【詳解】解：由題意畫出“樹狀圖”如下：

∵這兩輛汽車行駛方向共有4種可能的結果，其中至少有一輛向左轉有3種情況，∴至少有一輛向左轉的概率是．故答案為：．【點睛】此題考查了樹狀圖法求概率．解題的關鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖，再由概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求解．18．（2020·湖北荊州市·中考真題）若標有A，B，C的三只燈籠按圖示懸掛，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，則最后一只摘到B的概率是___________．【答案】【分析】畫樹狀圖得出所有的結果有3種，再找出最后一只摘到B的結果數(shù)為2，由概率公式即可得出答案．【詳解】解：依題意，畫樹狀圖如圖：

共有3個等可能的結果，最后一只摘到B的結果有2個，

∴最后一只摘到B的概率為；故答案為：．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法以及概率公式；利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，求出概率．畫出樹狀圖是解題的關鍵．19．（2020·江蘇泰州市·中考真題）一只不透明袋子中裝有個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學習小組做摸球試驗：將球攪勻后從中任意摸出個球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復這個過程，獲得數(shù)據(jù)如下：（1）該學習小組發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)是______（精確到），由此估出紅球有______個．（2）現(xiàn)從該袋中摸出

個球，請用樹狀圖或列表的方法列出所有等可能的結果，并求恰好摸到個白球，個紅球的概率．【答案】（1）0.33，2；（2）．【分析】（1）通過表格中的數(shù)據(jù)，隨著次數(shù)的增多，摸到白球的頻率越穩(wěn)定在0.33左右，進而得出答案；利用頻率估計概率，摸到白球的概率0.33，利用概率的計算公式即可得出紅球的個數(shù)；（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與摸到一個白球一個紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：（1）隨著摸球次數(shù)的越來越多，頻率越來越靠近0.33，因此接近的常數(shù)就是0.33；設紅球由個，由題意得：，解得：，經檢驗：是分式方程的解；故答案為：0.33，2；（2）畫樹狀圖得：∵共有9種等可能的結果，摸到一個白球，一個紅球有4種情況，∴摸到一個白球一個紅球的概率為：；故答案為：．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率的方法，理解頻率、概率的意義以及頻率估計概率的方法是解決問題的關鍵；還考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A的概率．20．（2020·浙江臺州市·中考真題）新冠疫情期間，某校開展線上教學，有“錄播”和“直播”兩種教學方式供學生選擇其中一種．為分析該校學生線上學習情況，在接受這兩種教學方式的學生中各隨機抽取40人調查學習參與度，數(shù)據(jù)整理結果如表（數(shù)據(jù)分組包含左端值不包含右端值）．參與度人數(shù)方式0.2～0.40.4～0.60.6～0.80.8～1錄播416128直播2101612

（1）你認為哪種教學方式學生的參與度更高？簡要說明理由．（2）從教學方式為“直播”的學生中任意抽取一位學生，估計該學生的參與度在0.8及以上的概率是多少？（3）該校共有800名學生，選擇“錄播”和“直播”的人數(shù)之比為1：3，估計參與度在0.4以下的共有多少人？【答案】（1）“直播”教學方式學生的參與度更高，理由見解析；（2）30%；（3）50人【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)得出兩種教學方式參與度在0.6以上的人數(shù)，比較即可作出判斷；（2）用表格中“直播”教學方式學生參與度在0.8以上的人數(shù)除以被調查的總人數(shù)即可估計對應概率；（3）先根據(jù)“錄播”和“直播”的人數(shù)之比為1：3及該校學生總人數(shù)求出“直播”、“錄播”人數(shù)，再分別乘以兩種教學方式中參與度在0.4以下人數(shù)所占比例求出對應人數(shù)，再相加即可得出答案．【詳解】解：（1）“直播”教學方式學生的參與度更高：理由：“直播”參與度在0.6以上的人數(shù)為28人，“錄播”參與度在0.6以上的人數(shù)為20人，參與度在0.6以上的“直播”人數(shù)遠多于“錄播”人數(shù)，∴“直播”教學方式學生的參與度更高；（2）12÷40=0.3=30%，答：估計該學生的參與度在0.8及以上的概率是30%；（3）“錄播”總學生數(shù)為800×=200（人），“直播”總學生數(shù)為800×=600（人），∴“錄播”參與度在0.4以下的學生數(shù)為200×=20（人），“直播”參與度在0.4以下的學生數(shù)為600×=30（人），∴參與度在0.4以下的學生共有20+30=50（人）．【點睛】本題考查了概率的計算，弄清題意，正確分析，確定計算方法是解題關鍵．21．（2020·四川樂山市·中考真題）自新冠肺炎疫情爆發(fā)以來，我國人民上下一心，團結一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然嚴重，境外許多國家的疫情尚在繼續(xù)蔓延，疫情防控不可松懈．如圖是某國截止5月31日新冠病毒感染人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖．根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題：（1）截止5月31日該國新冠肺炎感染總人數(shù)累計為萬人，扇形統(tǒng)計圖中40-59歲感染人數(shù)對應圓心角的度數(shù)為

o；（2）請直接在圖中補充完整該國新冠肺炎感染人數(shù)的折線統(tǒng)計圖；（3）在該國所有新冠肺炎感染病例中隨機地抽取1人，求該患者年齡為60歲或60歲以上的概率；（4）若該國感染病例中從低到高各年齡段的死亡率依次為、、、、，求該國新冠肺炎感染病例的平均死亡率．