數(shù)學(xué)-2023年中考數(shù)學(xué)綜合壓軸題訓(xùn)練-二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

2023年中考數(shù)學(xué)綜合壓軸題訓(xùn)練——二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系一、綜合題1．已知關(guān)于的一元二次方程，其中為常數(shù).（1）求證：無論為何值，方程總有兩個不相等實(shí)數(shù)根.（2）已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍.2．已知二次函數(shù)（b為常數(shù)）．（1）若圖象過，求函數(shù)的表達(dá)式．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．（3）若函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限，求b的取值范圍3．在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小果和小華兩位同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲（每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的若干部分，并在每個扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字）.游戲規(guī)則如下：兩人分別同時(shí)轉(zhuǎn)動各自制作的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若圓形轉(zhuǎn)盤針?biāo)竻^(qū)規(guī)內(nèi)數(shù)據(jù)為a，等邊三角形轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)規(guī)內(nèi)數(shù)據(jù)為b，當(dāng)數(shù)據(jù)使二次函數(shù)圖象對稱軸在y軸的左側(cè)時(shí)，小果獲勝；否則小華獲勝（若指針停在等分線上，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份內(nèi)為止）.（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示所以數(shù)據(jù)的可能結(jié)果；（2）請計(jì)算小果獲勝的概率，并判定這個游戲是否公平.4．已知二次函數(shù)，（1）將二次函數(shù)的解析式化為的形式；（2）寫出二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣mx+n.（1）當(dāng)m＝2時(shí)，①求拋物線的對稱軸，并用含n的式子表示頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)；②若點(diǎn)A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在拋物線上，且y2＞y1，求x2的取值范圍；（2）已知點(diǎn)P（﹣1，2），將點(diǎn)P向右平移4個單位長度，得到點(diǎn)Q.當(dāng)n＝3時(shí)，若拋物線與線段PQ恰有一個公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍.6．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn).（1）求的值.（2）若，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，求此拋物線的表達(dá)式.7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2﹣2mx﹣2m+1與x軸交于點(diǎn)A，B.（1）若AB＝2，求m的值；（2）過點(diǎn)P（0，2）作與x軸平行的直線，交拋物線于點(diǎn)M，N.當(dāng)MN≥2時(shí)，求m的取值范圍.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣4）和B（2，0）兩點(diǎn).（1）求c的值及a，b滿足的關(guān)系式；（2）若拋物線在A和B兩點(diǎn)間，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；（3）拋物線同時(shí)經(jīng)過兩個不同的點(diǎn)M（p，m），N（﹣2﹣p，n）.①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，點(diǎn)M在直線y＝﹣2x﹣3上，請驗(yàn)證點(diǎn)N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值.9．已知拋物線：和拋物線：，其中．（1）下列說法你認(rèn)為正確的序號是；拋物線和與y軸交于同一點(diǎn)；拋物線和開口都向上；拋物線和的對稱軸是同一條直線；

當(dāng)時(shí)，拋物線和都與x軸有兩個交點(diǎn)（2）拋物線和相交于點(diǎn)E、F，當(dāng)k的值發(fā)生變化時(shí)，請判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化，并說明理由；（3）在中，若拋物線的頂點(diǎn)為M，拋物線的頂點(diǎn)為N，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使？如存在，求出實(shí)數(shù)k；如不存在，請說明理由．10．已知拋物線y=-x2+bx+c(b，c為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)(0，-3)、(-6，-3)．（1）求此拋物線的解析式．（2）此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3）當(dāng)-4≤x≤0時(shí)，求y的最大值和最小值．（4）當(dāng)m≤x≤0時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2，直接寫出m的值．11．已知二次函數(shù)的大致圖像如圖所示，這個函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)該函數(shù)圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，圖像的對稱軸與軸交于點(diǎn)，如果，，求該二次函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)在第一象限該函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，如果的面積是，求點(diǎn)的坐標(biāo)．12．某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補(bǔ)充完整：（1）自變量x的取值范圍是；x與y的幾組對應(yīng)值如表，其中m＝.x…01234…y…50m010…（2）如圖，在直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個圖象補(bǔ)畫完整.（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題：①解不等式：.②若過定點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象只有一個橫坐標(biāo)不等于2的交點(diǎn)，求出t的取值范圍.13．已知二次函數(shù).（1）若圖象經(jīng)過點(diǎn).①的值為；②無論為何值，圖象一定經(jīng)過另一個定點(diǎn).（2）若圖象與軸只有1個公共點(diǎn)，求與的數(shù)量關(guān)系.（3）若該函數(shù)圖象經(jīng)過，寫出函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)個數(shù)及對應(yīng)的的取值范圍.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G：與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)；一次函數(shù)（）的圖像為直線.（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，≤≤，試說明：拋物線G的頂點(diǎn)不在直線上；（3）設(shè)，直線與線段AC交于D點(diǎn)，與y軸交于E點(diǎn)，與拋物線G的對稱軸交于F點(diǎn)，當(dāng)A、C兩點(diǎn)到直線

距離相等時(shí)，是否存在整數(shù)n，使F點(diǎn)在直線BE的上方?若存在，求n的值；若不存在，請說明理由.15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：（）．（1）若拋物線過點(diǎn)，求出拋物線的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值是，求時(shí)，的最大值；（3）已知直線與拋物線（）存在兩個交點(diǎn)，若兩交點(diǎn)到軸的距離相等，求的值；（4）如圖2，作與拋物線關(guān)于軸對稱且對稱軸相同的拋物線，當(dāng)拋物線與拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知：函數(shù)y=（1）當(dāng)m=0時(shí)，①求y隨x增大而增大時(shí)，x的取值范圍。②當(dāng)≤x≤2時(shí)，求y的取值范圍。③當(dāng)a≤x≤a+1時(shí)，設(shè)y的最大值與最小值之差為h，當(dāng)h=2時(shí)，求a的值。（2）若A（-2，2）、B（3，2），連結(jié)AB，當(dāng)此函數(shù)的圖象與線段AB只有兩個公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍。17．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+m的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，直線AC交二次函數(shù)圖象的對稱軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)．（1）求m的值；（2）若二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)Q，使得tan∠ABQ＝3，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）對于（2）中的Q點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．18．已知二次函數(shù)（a＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（A在B左側(cè)，且OA＜OB），與y軸交于點(diǎn)C.（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷b的正負(fù)性；（2）設(shè)這個二次函數(shù)的圖象的對稱軸與直線AC交于點(diǎn)D，已知DC：CA=1：2，直線BD與y軸交于點(diǎn)E，連接BC，①若△BCE的面積為8，求二次函數(shù)的解析式；②若△BCD為銳角三角形，請直接寫出OA的取值范圍.

答案解析部分1．【答案】（1）證明：∵，∴無論為何值，方程總有兩個不相等實(shí)數(shù)根（2）解：∵二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，二次項(xiàng)系數(shù)，∴拋物線開口方向向上，∵，∴拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，∴，，解得，即的取值范圍是2．【答案】（1）解：∵圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得．∴此函數(shù)解析式為．（2）解：．∵拋物線的開口向上，∴當(dāng)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y的最小值為，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)y的最大值為，答：最小值，最大值8．（3）解：∵圖象不經(jīng)過第三象限，且開口向上，∴，即，∴對稱軸直線，在y軸左側(cè)，∴圖象必在x軸上方（包括x軸），∴，∴．3．【答案】（1）解：根據(jù)題意畫圖如下：共有12種結(jié)果：（2）解：二次函數(shù)圖象對稱軸在y軸的左側(cè)∴，即需要同號，小果勝；由（1）知，小果獲勝的概率是，小華獲勝的概率是，∵小果和小華概率不相等，∴游戲不公平；4．【答案】（1）解：（2）解：由（1）知，該拋物線解析式是：；，則二次函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是5．【答案】（1）解：①∵m＝2，∴拋物線為y＝x2﹣2x+n.∵x1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.

∵當(dāng)線x＝1時(shí)，y＝1﹣2+n＝n﹣1，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：n﹣1.②∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，開口向上，x＝﹣2到x＝1的距離為3，∴點(diǎn)A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在拋物線上，且y2＞y1，則x2的取值范圍是x2＜﹣2或x2＞4，（2）解：∵點(diǎn)P（﹣1，2），向右平移4個單位長度，得到點(diǎn)Q.∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2），∵n＝3，拋物線為y＝x2﹣mx+3.當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)Q（3，2）時(shí)，2＝32﹣3m+3，解得；當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，2）時(shí)，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在線段PQ上時(shí)，2，解得m＝±2.結(jié)合圖象可知，m的取值范圍是m≤﹣2或m＝2或.故答案為：m≤﹣2或m＝2或.6．【答案】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，可得.（2）解：由題可知，對稱軸為直線∵，∴，即點(diǎn)在對稱軸左側(cè)；∵，∴，∴，解得，由（1）得，∴，∴拋物線表達(dá)式為.7．【答案】（1）解：拋物線y＝mx2﹣2mx﹣2m+1的對稱軸為直線.∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x＝1對稱，AB＝2∴拋物線與x軸交于點(diǎn)A（0，0）、B（2，0），將（0，0）代入y＝mx2﹣2mx﹣2m+1中，得﹣2m+1＝0即；（2）解：拋物線y＝mx2﹣2mx﹣2m+1與x軸有兩個交點(diǎn)，∴△＞0即（﹣2m）2﹣4m（﹣2m+1）＞0，

解得：或m＜0，①若m＞0，開口向上，當(dāng)MN≥2時(shí)，則有﹣2m+1≤2解得，所以，可得；②若m＜0，開口向下，當(dāng)MN≥2時(shí)，則有﹣2m+1≥2解得所以可得，綜上所述m的取值范圍為或.8．【答案】（1）解：令x＝0，則c＝﹣4，將點(diǎn)B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，∴2a+b＝2；（2）解：∵拋物線在A和B兩點(diǎn)間，y隨x的增大而增大，∴拋物線開口向上，∴a＞0，∵A（0，﹣4）和B（2，0），∴對稱軸x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，∴0＜a≤1；（3）解：①當(dāng)m＝n時(shí)，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）關(guān)于對稱軸對稱，∴對稱軸x＝1﹣＝﹣1，∴a＝；②將點(diǎn)N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，∴N點(diǎn)在y＝﹣2x﹣3上，聯(lián)立y＝﹣2x﹣3與y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有兩個不同的實(shí)數(shù)根，∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，∵p+（﹣2﹣p）＝-=，∴a＝1.9．【答案】（1）①③④（2）解：由可知：點(diǎn)是拋物線和與y軸一個交點(diǎn)，兩條拋物線相交的另一個交點(diǎn)E與點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相等，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)和重合，當(dāng)時(shí)，k的值變化時(shí)，線段EF的長不會變化，理由是：拋物線和的對稱軸是同一條直線：直線，又；點(diǎn)F關(guān)于直線對稱的點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則EF就等于，所以線段；（3）解：存在實(shí)數(shù)k，使，，拋物線，頂點(diǎn)，拋物線，頂點(diǎn)，由題意得：，解得：．10．【答案】（1）解：把(0，-3)、(-6，-3)代人y=-x2+bx+c，得解得∴此拋物線的解析式為y=-x2-6x-3．（2）(-3，6)（3）解：由(2)得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，6)．∵-1<0，∴拋物線開口向下．又∵-4≤x≤0，

∴當(dāng)x=-3時(shí)，y有最大值6，當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值-3．（4）m=-2或m=-3-11．【答案】（1）解：∵，∴拋物線開口向下，根據(jù)對稱軸公式可得：，當(dāng)時(shí)，，則頂點(diǎn)，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點(diǎn)（2）解：如圖所示，作DE⊥y軸，由（1）可知頂點(diǎn)，則OA=ED=1，∵DC⊥BC，∴∠DCE+∠BCO=90°，又∵∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠BCO，∴△CDE∽△BCO，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為∴，則：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)a=-1是方程的解，∴拋物線的解析式為：；（3）解：在（2）的條件下，如圖所示，連接MC，M的坐標(biāo)為，此時(shí)設(shè)直線CM的解析式為：，將C，M的坐標(biāo)代入得：，解得：，即：直線CM的解析式為：，設(shè)直線CM與對稱軸交于P點(diǎn)，則P的坐標(biāo)為，，∴，解得：，將代入拋物線解析式得：，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．12．【答案】（1）任意實(shí)數(shù)；（2）解：如圖，

（3）解：①由（2）中圖象可得：

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，

令，，

解得：，

當(dāng)時(shí)，

令，，

解得：，

由函數(shù)圖象分析可得：當(dāng)時(shí)或或

②∵直線過定點(diǎn)，將代入，

解得：將代入，

解得：當(dāng)

即

解得

∵過定點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象只有一個橫坐標(biāo)不等于2的交點(diǎn)

∴或或13．【答案】（1）2；（-1，2）（2）解：∵圖象與x軸有1個公共點(diǎn)，∴當(dāng)y=0時(shí)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴且，即，∵，∴，∴（3）解：∵函數(shù)圖象經(jīng)過，∴即，∴，∴，①當(dāng)圖象與坐標(biāo)軸有1個公共點(diǎn)時(shí)，即與x軸沒有交點(diǎn)，，則或，解得，②當(dāng)圖象與坐標(biāo)軸有2個公共點(diǎn)時(shí)，即與x軸只有1個交點(diǎn)或者函數(shù)過原點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)與x軸只有1個交點(diǎn)時(shí)，，解得，當(dāng)函數(shù)過原點(diǎn)時(shí)，，解的，故當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)；③當(dāng)圖象與坐標(biāo)軸有3個公共點(diǎn)時(shí)，即與x軸有2個不同的交點(diǎn)，且函數(shù)不過原點(diǎn)，

則或，解得或且，綜上所述：圖象與坐標(biāo)軸有1個公共點(diǎn)時(shí)，，圖象與坐標(biāo)軸有2個公共點(diǎn)時(shí)，或，圖象與坐標(biāo)軸有3個公共點(diǎn)時(shí)，或且.14．【答案】（1）令，得，即，解得∵A在B的左側(cè)，∴A（），B（3,0）（2）由得頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（），對稱軸為∵，開口向下∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，≤≤得，即∴當(dāng)時(shí)，∴拋物線G的頂點(diǎn)不在直線上（3）4,5,6,7,8理由：當(dāng)時(shí)，∴C（0,9）∵A、C兩點(diǎn)到直線距離相等∴直線過A，C兩點(diǎn)的中點(diǎn)∵A（）∴D（）將點(diǎn)D代入得：，即∴直線可化為：∴E（0，）設(shè)BE的解析式為：則，解得故BE的解析式為：∵點(diǎn)F為直線與對稱軸交點(diǎn)∴F（）又點(diǎn)F在直線BE上方∴，解得又∵∴∵為整數(shù)∴.15．【答案】（1）解：將代入得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）由題意可知，拋物線的對稱軸為直線，∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在范圍內(nèi)，∵的最小值是且，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，有最大值，

∴把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)，，即的最大值是；（3）∵拋物線與軸的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)也為，∴直線與拋物線（）其中一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴交點(diǎn)到軸的距離為1，∴另一交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，解得，∴另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入得，解得；（4）的取值范圍是．∵拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榕c對稱，所以整數(shù)點(diǎn)也是對稱出現(xiàn)的，∵，當(dāng)時(shí)，拋物線中，∴在軸上的整數(shù)點(diǎn)為3個，∴與軸圍成的區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)為4個，∴當(dāng)時(shí)，，解得；且當(dāng)時(shí)，，解得，∴．16．【答案】（1）解：①x≤0或x≥1②1≤y≤4③當(dāng)a+1≤0，即a≤-1時(shí)，h=-（a+1）2+2-（-a2+2）=-2a-1∴-2a-1=2，a=當(dāng)-1<a≤0時(shí)，由圖象可知h≤1當(dāng)0<a≤1時(shí)，h=（a+1）2-1，由（a+1）2-1=2，得a=-1±，∵0<a≤1，a=1+當(dāng)a>1時(shí)，（a+1）2-a2=2，∴a=，∵a>1，∴a=舍去綜上所述：a=-或a=-1+（2）≤m<2