甘肅省天水一中2019-2020學年高二下學期期末考試數(shù)學（文）試題

20192020學年甘肅省天水一中高二第二學期期末數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（共12小題）.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集的定義，求出．【詳解】，，，．故選：C.．【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識點有集合交集的概念及運算，屬于基礎(chǔ)題目．2.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.，，【答案】D【解析】分析】由函數(shù)解析式可以看出，要使得原函數(shù)有意義，需滿足，然后解出的范圍即可．【詳解】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得：，且，函數(shù)的定義域是，，.故選：D.【點睛】本題考查具體函數(shù)定義域的定義及求法，對數(shù)函數(shù)的定義域，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指、對數(shù)的單調(diào)性直接將的范圍求出來，然后再比較大小.【詳解】因為，所以；；；所以，故選D.【點睛】指對數(shù)比較大小，常用的方法是：中間值分析法（與比較大?。?，單調(diào)性分析法（根據(jù)單調(diào)性直接寫出范圍）.4.已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域為，且即函數(shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)．故選A.點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.5.下列有關(guān)命題的說法正確的是()A.命題“若，則”的否命題為：“若，則”．B.若為真命題，則均為真命題.C.命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”．D.命題“若，則”的逆否命題為真命題．【答案】D【解析】【詳解】試題分析：A．利用否命題的定義即可判斷出；B．利用“或”命題的定義可知：若p∨q為真命題，則p與q至少有一個為真命題；C．利用命題的否定即可判斷出；D．由于命題“若x=y，則sinx=siny”為真命題，而逆否命題與原命題是等價命題，即可判斷出．解：對于A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，因此不正確；對于B．若p∨q為真命題，則p與q至少有一個為真命題，因此不正確；對于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“對任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正確對于D．由于命題“若x=y，則sinx=siny”為真命題，因此其逆否命題為真命題，正確．故選D．考點：命題的真假判斷與應用．6.已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛,甲車、乙車的速度曲線分別為和（如圖所示）,那么對于圖中給定的和，下列判斷中一定正確的是（）A.在時刻，兩車的位置相同B.時刻后，甲車在乙車后面C.在時刻，兩車的位置相同D.在時刻，甲車在乙車前面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象可知在前，甲車的速度高于乙車的速度；根據(jù)路程與速度和時間的關(guān)系可得到甲車的路程多于乙車的路程，從而可知甲車在乙車前面.【詳解】由圖象可知，在時刻前，甲車的速度高于乙車的速度由路程可知，甲車走的路程多于乙車走的路程在時刻，甲車在乙車前面本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)圖象的應用，關(guān)鍵是能夠準確選取臨界狀態(tài)，屬于基礎(chǔ)題.7.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）附：A.10% B.20% C.50% D.100%【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，計算出的值即可；【詳解】當時，，當時，，因為所以將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了20%，故選：B.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查運算求解能力，求解時注意對數(shù)運算法則的運用.8.在中，D，E分別為，上的點，且，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的三角形法則和共線定理，可得，即可求出值，進而求出結(jié)果.【詳解】由題意，作出草圖，如下圖所示：由平面向量的三角形法則和共線定理，可知，所以，，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了平面向量的加法運算、共線定理和平面向量基本定理的應用，屬于基礎(chǔ)題.9.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函數(shù)的定義域，分析函數(shù)的奇偶性，結(jié)合的值以及排除法可得出合適的選項.【詳解】對于函數(shù)，，得，所以，函數(shù)的定義域為.，函數(shù)奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B、D選項；又，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)的解析式選擇圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10.已知定義在上的偶函數(shù)，對任意不相等的，有，當時，有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知不等式得函數(shù)在上的單調(diào)性，再由偶函數(shù)性質(zhì)得在上的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得距離軸越遠的自變量的函數(shù)值越小，從而可得結(jié)論．【詳解】由題意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，，距離軸越遠的自變量的函數(shù)值越小，則，故選：C.【點睛】本題考查的奇偶性與單調(diào)性，利用奇偶性性質(zhì)得函數(shù)在關(guān)于軸對稱區(qū)間上的單調(diào)性，從而可比較函數(shù)值大小．11.已知M、N分別是圓和圓上的兩個動點，點P在直線上，則的最小值是（）A. B.10 C. D.12【答案】C【解析】【分析】計算圓心關(guān)于直線的對稱點為，計算，得到最值.【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，關(guān)于直線的對稱點為，，故的最小值是.故選：C.【點睛】本題考查了點關(guān)于直線對稱，與圓相關(guān)距離的最值，意在考查學生的計算能力和應用能力，轉(zhuǎn)化能力.12.已知函數(shù)對任意的，都有，函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為（）A8 B.7 C.6 D.5【答案】A【解析】【分析】由已知可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，由可得函數(shù)的周期為2，且圖象關(guān)于直線對稱，從而畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可求出結(jié)果【詳解】∵函數(shù)是奇函數(shù)∴函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱∴把函數(shù)的圖象向右平移1個單位可得函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即滿足又∵∴，從而∴，即∴函數(shù)的周期為2，且圖象關(guān)于直線對稱.畫出函數(shù)的圖象如圖所示：結(jié)合圖象可得區(qū)間內(nèi)有8個零點.故選：A.【點睛】此題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，考查函數(shù)與方程，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題二、填空題：本大題共4小題，把答案填在答題卡上的相應位置．13.______．【答案】0【解析】【分析】直接由對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】.故答案為：0.【點睛】本題主要考查了對數(shù)和指數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.14.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個面中，面積最大的面的面積是.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，底面等邊三角形底邊長為，高為，棱錐的高為.如圖所示，側(cè)面全等，且垂直于底面，側(cè)面是等腰三角形，邊長分別為.所以幾何體各面的面積分別為，故面積最大的面的面積是.考點：1.三視圖；2.幾何體的特征及其表面積.15.已知為等差數(shù)列，為其前項和．若，，則______．【答案】【解析】【分析】設(shè)公差為，由條件可得，再用求和公式直接可得解.【詳解】由為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為，所以，即，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列基本量的運算，屬于基礎(chǔ)題.16.若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值等于________．【答案】9【解析】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列列關(guān)于a，b的方程組，求得a，b后得答案．【詳解】由題意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，則p+q=9．故答案為9．點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．【思路點睛】解本題首先要能根據(jù)韋達定理判斷出a，b均為正值，當他們與2成等差數(shù)列時，共有6種可能，當2為等差中項時，因為，所以不可取，則2只能作為首項或者末項，這兩種數(shù)列的公差互為相反數(shù)；又a,b與2可排序成等比數(shù)列，由等比中項公式可知2必為等比中項，兩數(shù)列搞清楚以后，便可列方程組求解p，q．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程和演算步驟．第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22．23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足，.（1）求角A的大小；（2）求周長的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將利用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡得，從而可得A的值.（2）由余弦定理和基本不等式，以及三角形兩邊之和大于第三邊，可得周長范圍.【詳解】（1）由已知，得.由正弦定理，得.即，因為.所以.因為，所以，因為，所以.（2）由余弦定理，得即.因為所以，即（當且僅當時等號成立）.又∵，即，所以，即周長的范圍為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，考查利用基本不等式求最值問題，屬于基礎(chǔ)題.18.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，即可得出數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)分組求和即可得出.【詳解】（1）設(shè)公比為由題意可知，整理得，解得（舍），，即則（2）【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的計算以及利用分組求和法求數(shù)列的和，屬于中檔題.19.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）；（3）現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，并從中再隨機抽取2個作進一步的質(zhì)量分析，試求這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率.【答案】（1）（2）平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1，即可求得的值；（2）由平均數(shù)與中位數(shù)的求法，結(jié)合頻率分布直方圖即可得解.（3）由分層抽樣性質(zhì)可分別求得抽取的5個口罩中一等品、二等品的數(shù)量，利用列舉法列舉出抽取2個口罩的所有情況，即可求得2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率.【詳解】（1）由，得.（2）平均數(shù)為，設(shè)中位數(shù)為，則，得.故可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33.（3）由頻率分布直方圖可知：100個口罩中一等品、二等品各有60個、40個，由分層抽樣可知，所抽取的5個口罩中一等品、二等品各有3個、2個.記這3個一等品為，，，2個二等品為，，則從5個口罩中抽取2個的可能結(jié)果有：，，，，，，，，，，共10種，其中恰有1個口罩為一等品的可能結(jié)果有：，，，，，.共6種.故這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率為.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)及由頻率分布直方圖求平均數(shù)與中位數(shù)的方法，列舉法求古典概型概率，屬于基礎(chǔ)題.20.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且底面，．（1）證明：平面．（2）若Q為的中點，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理可得是直角三角形，，進而可得，再由線面垂直性質(zhì)可得，由線面垂直判定定理即可證.（2）由Q為的中點，可得，而，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：在中，由余弦定理得，則，∴，∵，∴．又∵底面，平面，∴．∵，∴平面．（2）Q為的中點，則，于是三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，而，所以三棱錐的體積．【點睛】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理、三棱錐體積公式等基本知識，考查了運算求解能力和空間想象能力，屬于中檔題目.21.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在，上有最大值，求實數(shù)的值；（2）若方程在，上有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1），，，，，進而討論與的關(guān)系求解；（2），，令，，在有解，進而求解．【詳解】解：（1），，，，，①時，，解得（舍②時，，解得，；（2），，令，有解，當且僅當，即時等號成立，此時函數(shù)的圖象如圖，時，取得最大值，綜上，．【點睛】本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性，在特定區(qū)間的最值問題；以及復合函數(shù)在特定區(qū)間的上有解，轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)的圖象求解，屬于中檔題．（二）選考題：請考生任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．