預習06向量在幾何和物理中的應用舉例（七大考點）（原卷版）

預習06向量在幾何和物理中的應用舉例一、向量在幾何中的應用1.用向量方法解決平面幾何問題的“三個步驟”.①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.②通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題.③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2.用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路（1）向量的線性運算法的四個步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運算或數(shù)量積找到相應關(guān)系；④把計算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題.（2）向量的坐標運算法的四個步驟：①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；②把相關(guān)向量坐標化；③用向量的坐標運算找到相應關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問題.3.平面向量及三角形的“四心”.設為所在平面上一點,內(nèi)角所對的邊分別為，①O為的外心；②O為的重心；③O為的垂心(三角形三邊高的交點)；④O為的內(nèi)心二、向量在物理中的應用（1）物理問題中常見的向量有力、速度、位移等.（2）向量的加減法運算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解上.（3）動量是向量的數(shù)乘運算.（4）功是力與位移的數(shù)量積.用向量解決物理問題的一般步驟（1）問題的轉(zhuǎn)化:把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.（2）模型的建立:建立以向量為主體的數(shù)學模型.（3）參數(shù)的獲得:求出數(shù)學模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值.（4）問題的答案:回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.考點01證明線段垂直【方法點撥】（1）基底法：利用圖形特點選擇基底,向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化,用數(shù)量積的運算律算出值0;（2）坐標法：建立坐標系,確定相應向量的坐標,代入數(shù)量積的坐標公式算出0【例1】已知的三個頂點分別是，，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【例2】在中，分別為邊上的點，且.設.(1)用表示；(2)用向量的方法證明：.【變式11】如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D為BC的中點，E是AB上的一點，且，求證：.【變式12】在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，(且)，D為AB的中點，E為的重心，F(xiàn)為的外心．(1)求重心E的坐標；(2)用向量法證明：．【變式13】如圖，正方形的邊長為是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點．(1)求的余弦值．(2)若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，是否存在這樣的點，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．考點02求夾角問題【方法點撥】（1）基底法：利用圖形特點選擇基底,向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化,用公式求解;（2）坐標法：建立坐標系,確定相應向量的坐標,代入【例3】如圖，在平面直角坐標系中，O是原點.已知點，.試求的度數(shù).【例4】如圖所示，矩形ABCD的頂點A與坐標原點重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，，，點E為AB上一點(1)若，求AE的長；(2)若E為AB的中點，AC與DE的交點為M，求．【變式21】已知的三個頂點分別為,求的大小．【變式22】如圖，在中，是邊的中點，與交于點.(1)求和的長度；(2)求.【變式23】在長方形中，，，為線段的中點，為線段上一點（不含端點），利用向量知識判斷當點在什么位置時，．考點03求線段長度【方法點撥】（1）基底法：利用圖形特點選擇基底,向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化,用公式求解;（2）坐標法：建立坐標系,確定相應向量的坐標,代入模的坐標公式【例5】用向量的方法證明：梯形的中位線等于兩底和的一半．【例6】如圖，在中，點E為邊上一點，點F為線段延長線上一點，且，連接交于點D，求證：.【變式31】如圖，已知中，，，，點是的內(nèi)切圓圓心（即三條內(nèi)角平分線的交點），直線與交于點.(1)設，求和的值；(2)求線段的長.【變式32】如圖，在中，點E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.【變式33】如圖，在中，.(1)求的長；(2)求的長.考點04求幾何最值【方法點撥】（1）基底法：①利用其底轉(zhuǎn)化向量;②根據(jù)向量運算律化簡目標；③運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論（2）坐標法：①根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳c的坐標;②將平面向量的運算坐標化;③運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解【例7】已知正六邊形邊長為2，是正六邊形的外接圓的一條動弦，，P為正六邊形邊上的動點，則的最小值為.【例8】如圖，在四邊形中，.若為線段上一動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式41】如圖，在平面四邊形ABCD中，．若點E為邊CD上的動點（不與C、D重合），則的最小值為（

）A． B． C． D．1【變式42】如圖，已知在邊長為2的正三角形中，點P，Q，R分別在邊，，上，且，則的最大值為.【變式43】如圖，邊長為2的菱形ABCD的對角線相交于點O，點P在線段BO上運動，若，則的最小值為．考點05三角形“四心”問題【例9】已知中，點為所在平面內(nèi)一點，則“”是“點為重心”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例10】是所在平面上一點，若，則是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【變式51】已知點G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點，滿足，則G點是三角形ABC的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【變式52】若O是平面內(nèi)一定點，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，若點P滿足+λ(λ∈(0，+∞))，則點P的軌跡一定通過△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【變式53】已知所在平面內(nèi)的動點M滿足，且實數(shù)x，y形成的向量與向量共線，則動點M的軌跡必經(jīng)過的心.（在重心、內(nèi)心、外心、垂心中選擇）考點06力的合成【例11】已知兩個力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（

）．A．N B．5N C．10N D．N【例12】如圖，質(zhì)量為m的物體靜止地放在斜面上，斜面與水平面的夾角為，求斜面對物體的摩擦力．【變式61】馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運動的節(jié)目深受觀眾們的喜愛，當小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時，每只胳膊的拉力大小為，此時兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【變式62】如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為.（注：重力加速度取，精確到0.01N）【變式63】如圖，在細繩l上作用著一個大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細繩上掛著一個重物，使細繩的另一端與水平面平行，求物重G的大小．考點07速度、位移的合成【例13】在平面內(nèi)以點O的正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系.質(zhì)點在平面內(nèi)做直線運動，分別求下列位移向量的坐標：(1)向量表示沿北偏東移動了3個單位長度；(2)向量表示沿西北方向移動了4個單位長度；(3)向量表示沿南偏西移動了3個單位長度；(4)向量表示沿東南方向移動了4個單位長度.【例14】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，求此時小貨船航行速度為多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【變式71】如圖，一艘船從長江南岸點A出發(fā)，以km/h的速度垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h．(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實際航行的速度；(2)求船實際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．【變式72】一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地，然后向C地飛行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C兩地相距2000km，求飛機從B地到C地的位移．【變式73】一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設和的夾角為，北岸上的點在點的正北方向.(1)若游船沿到達北岸點所需時間為，求的大小和的值；(2)當時，游船航行到北岸的實際航程是多少？一、單選題1．已知的三個頂點A，B，C及平面內(nèi)一點P滿足，則點P在（

）A．的內(nèi)部 B．線段AB上 C．直線BC上 D．的外部2．四邊形中，，，則四邊形的面積（

）A． B．5 C．10 D．203．一個質(zhì)點受到平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知，成角且，，則（）A． B． C． D．4．在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（

）A． B．C． D．5．如圖，在中，D為的中點，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．設O點在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（

）A．2 B． C． D．3二、多選題7．如圖放置的邊長為1的正方形的頂點分別在軸、軸正半軸上（含原點）上滑動，則的值可能是（

）A．1 B．C．2 D．8．在中，已知，BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點P，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的余弦值為 D．9．點O在所在的平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則點O為的垂心B．若，則點O為的外心C．若，則1D．若且，則點O是的內(nèi)心三、填空題10．點是三角形內(nèi)一點，若，則.11．已知兩點分別是四邊形的邊的中點，