新教材數(shù)學(xué)人教A版作業(yè)1-5第1課時(shí)全稱量詞與存在量詞

第一章1.5第1課時(shí)A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．下列存在量詞的命題中，是假命題的是(C)A．?x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被2和3整除C．有的三角形沒(méi)有外接圓D．?x∈R，eq\r(x)＝x[解析]任意三角形都存在外接圓．2．下列四個(gè)命題：①一切實(shí)數(shù)均有相反數(shù)；②?a∈N，使得方程ax＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根；③梯形的對(duì)角線相等；④有些三角形不是等腰三角形．其中，真命題的個(gè)數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]對(duì)于③，梯形的對(duì)角線不一定相等．如直角梯形的對(duì)角線顯然不相等，故為假命題，其余均為真命題．3．以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是(B)A．直角三角形的內(nèi)角有一個(gè)是90°B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)，使eq\f(1,x)＞2[解析]A是全稱量詞命題；B既是存在量詞命題又是真命題；C中因?yàn)閑q\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命題；D中對(duì)于任意一個(gè)負(fù)數(shù)x，都有eq\f(1,x)＜0，所以D是假命題．故選B．4．將a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改寫成全稱量詞命題是(D)A．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．?a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．?a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2[解析]全稱量詞命題含有量詞“?”，故排除A，B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2對(duì)于全體實(shí)數(shù)都成立．故選D．二、填空題5．給出下列四個(gè)命題：①?x∈R，x2＋3＞0；②?x∈N，x4≥1；③?x∈Z，x3＜1；④?x∈Q，x2＝3．其中是真命題的是__①③__(把所有真命題的序號(hào)都填上)．[解析]①由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3＞0，即x2＋3＞0，所以命題“?x∈R，x2＋3＞0”是真命題；②由于0∈N，當(dāng)x＝0時(shí)，x4≥1不成立，是假命題；③由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時(shí)，x3＜1成立，是真命題；④由于使x2＝3成立的數(shù)只有±eq\r(3)，而它們都不是有理數(shù)，因此，沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方等于3，是假命題．6．下列存在量詞命題是真命題的是__①③④__．(填序號(hào))①有些不相似的三角形面積相等；②存在一實(shí)數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＜0；③存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大；④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身．[解析]①為真命題，只要找出等底等高的兩個(gè)三角形，面積就相等，但不一定相似；②中，對(duì)任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)＞0，所以不存在實(shí)數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＝1＜0，故②為假命題；③中，當(dāng)實(shí)數(shù)a大于0時(shí)，結(jié)論成立，為真命題；④中，如1的倒數(shù)是它本身，為真命題，故填①③④．三、解答題7．指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假．(1)存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，使x2＋y2＝0．(2)所有有兩個(gè)角是45°的三角形是等腰直角三角形．(3)能被5整除的整數(shù)末位數(shù)是0．[解析](1)是存在量詞命題，因?yàn)楫?dāng)x2＋y2＝0時(shí)，x＝y(tǒng)＝0，所以不存在x，y為正實(shí)數(shù)，使x2＋y2＝0，故此命題是假命題．(2)是全稱量詞命題，有兩個(gè)角是45°的三角形，第三個(gè)角必是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命題是真命題．(3)是全稱量詞命題，因?yàn)?5能被5整除，但末位數(shù)不是0，因此該命題是假命題．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知不等式x＋3≥0的解集是A，則使命題“?a∈M，a?A”為真命題的集合M是(D)A．{a|a≥－3} B．{a|a＞－3}C．{a|a≤－3} D．{a|a＜－3}[解析]因?yàn)閤＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因?yàn)閷?duì)?a∈M，都有a?A，所以a＜－3．故選D．2．(多選題)給出下列命題，其中真命題有(AB)A．存在x＜0，使|x|＞xB．對(duì)于一切x∈Z，都有|x|∈NC．存在x＜0，使|x|≤xD．已知a＝2n，b＝3n，則存在n∈N*，使得a＝b[解析]易知選項(xiàng)A、B為真命題；C中命題當(dāng)x＜0時(shí)，|x|＞x，所以C為假命題；D中，“存在n∈N*，使得a＝b”的否定是“對(duì)于任意的n∈N*，都有a≠b”，由于a－b＝2n－3n＝－n，所以對(duì)于任意的n∈N*，都有a＜b，即a≠b，故D為假命題．二、填空題3．若存在實(shí)數(shù)x∈{x|x≤1}，使不等式4x＋3≥m能夠成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__m≤7__．[解析]要使不等式4x＋3≥m能夠成立，只需要4×1＋3≥m，即m≤7．4．已知命題p：?x∈{x|x≤eq\f(1,2)}，－2x＋a≥0，命題q：x2＋x＋2a－1＝0有實(shí)數(shù)根，若p為真命題，q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__a≥1__．[解析]若p是真命題，則－2×eq\f(1,2)＋a≥0，即a≥1．若q為假命題，則a＞eq\f(5,8)，故a≥1．三、解答題5．若?x∈R，函數(shù)y＝mx2＋x－m－a的圖象和x軸恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析](1)當(dāng)m＝0時(shí)，y＝x－a與x軸恒有公共點(diǎn)，所以a∈R．(2)當(dāng)m≠0時(shí)，二次函數(shù)y＝mx2＋x－m－a的圖象和x軸恒有公共點(diǎn)的充要條件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，