復(fù)習(xí)08求通項(xiàng)公式歸類（九大考點(diǎn)）（原卷版）

復(fù)習(xí)08求通項(xiàng)公式歸類一、遞推數(shù)列1.概念：數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系稱為數(shù)列的遞推關(guān)系．由遞推關(guān)系及k個(gè)初始值確定的數(shù)列叫遞推數(shù)列．2.求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：構(gòu)造法、累加(乘)法、歸納猜想法．二、數(shù)列遞推關(guān)系的幾種常見(jiàn)類型1.公式法：形如或或2.累加法：形如且當(dāng)時(shí).3.累乘法：形如且當(dāng)時(shí),.注意:不一定滿足上述形式,所以需要檢驗(yàn).4.倒數(shù)法：（構(gòu)造等差數(shù)列）形如整式或分式整式：兩邊同時(shí)除以分式：兩邊同時(shí)取倒數(shù)5.待定系數(shù)法①形如且方法:化為的形式，令,即得為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.②形如且方法:兩邊同除,得,令,得,轉(zhuǎn)化為利用累加法求若為常數(shù),則為等差數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)01觀察法、周期數(shù)列【方法點(diǎn)撥】先寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到周期【例1】若數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．1 D．2【例2】數(shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=（

）A． B． C． D．【變式11】已知數(shù)列滿足且，則（

）A．3 B． C．2 D．【變式12】已知一列數(shù)如此排列：，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式可能是（）A． B．C． D．【變式13】在首項(xiàng)為1的數(shù)列中，滿足，則（

）A． B． C．0 D．1考點(diǎn)02累加累乘法【方法點(diǎn)撥】累加法：形如且，當(dāng)時(shí).累乘法：形如且，當(dāng)時(shí),.注意:不一定滿足上述形式,所以需要檢驗(yàn).【例3】已知數(shù)列，，，…，，…是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則下列數(shù)中是數(shù)列中的項(xiàng)的是（

）A．16 B．128 C．32 D．64【例4】已知數(shù)列滿足：，則（

）A．21 B．23 C．25 D．27【變式21】已知，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【變式22】在數(shù)列中，，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【變式23】（1）已知數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)．（2）數(shù)列中，，（n為正整數(shù)），求．考點(diǎn)03證明等差等比數(shù)列【方法點(diǎn)撥】1.若滿足定值或定值，則數(shù)列為等差數(shù)列，則求出對(duì)應(yīng)的首項(xiàng)即可求得通項(xiàng)公式；2.若滿足定值或定值，則數(shù)列為等比數(shù)列，則求出對(duì)應(yīng)的首項(xiàng)即可求得通項(xiàng)公式；【例5】已知數(shù)列，滿足，，記.(1)試證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【例6】已知數(shù)列滿足：，．(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【變式31】已知數(shù)列滿足，(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與最大值.【變式32】非零數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【變式33】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿足．求證：數(shù)列為等比數(shù)列．考點(diǎn)04待定系數(shù)法，取倒法【方法點(diǎn)撥】1.形如為常數(shù),:可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列,先求出的通項(xiàng),從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;2.分式為常數(shù))的數(shù)列,可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解【例7】已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【例8】已知數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【變式41】（多選）設(shè)數(shù)列滿足，（），則（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為C．為遞減數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和【變式42】已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．【變式43】數(shù)列滿足且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．考點(diǎn)05同除法【方法點(diǎn)撥】1.同除指數(shù)法：形如且方法:兩邊同除,得,令,得,轉(zhuǎn)化為利用累加法求2.形如整式，兩邊同時(shí)除以【例9】在數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【例10】已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為【變式51】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)．【變式52】（多選）數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．C．的前n項(xiàng)和為 D．的前n項(xiàng)和為【變式53】已知數(shù)列滿足，，則.考點(diǎn)06公式法消【方法點(diǎn)撥】用消的3個(gè)步驟：①先利用求出;②用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式;③注意檢驗(yàn)時(shí)的表達(dá)式是否可以與的表達(dá)式合并.【例11】（多選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則（

）A．，，成等差數(shù)列B．，，成等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【例12】（多選）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 C． D．【變式61】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式62】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式63】已知數(shù)列各項(xiàng)非零．前項(xiàng)和為，，且，則考點(diǎn)07公式法消【方法點(diǎn)撥】設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，【例13】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【例14】各項(xiàng)非零的數(shù)列中，首項(xiàng)，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【變式71】已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則.【變式72】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式73】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)08“和”型和“積”型【方法點(diǎn)撥】“和”型式子可看做前n項(xiàng)和，然后用即可求解；“積”型式子可看做前n項(xiàng)和，然后用即可求解；【例15】已知數(shù)列滿足，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【例16】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式81】（多選）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．【變式82】已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【變式83】已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)09因式分解型【方法點(diǎn)撥】遇到二次，可嘗試平方差公式，完全平方公式和十字相乘法【例17】設(shè)各項(xiàng)均為正項(xiàng)的數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C．5 D．6【例18】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，則的最大值是．【變式91】已知正項(xiàng)數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，且__________.請(qǐng)?jiān)冖佗谥腥芜x一個(gè)條件填在題目橫線上，再作答：①，②.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【變式92】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式93】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，試比較與9的大小，并加以證明．一、單選題1．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．2 C．12 D．332．在數(shù)列中，，，，則（

）A． B．15 C． D．103．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，（），則的值為（

）A． B． C． D．4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中,,,為的前項(xiàng)和,若,則（

）A． B． C． D．5．設(shè)，在數(shù)列中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前100項(xiàng)的和為7．已知數(shù)列滿足，，，則．8．已知數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為．若的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值是．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則．10．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意滿足：，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求的值．11．已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)（表示不超過(guò)的最大整數(shù)），求數(shù)列的前100