陜西省藍(lán)田縣焦岱中學(xué)北師大版高中數(shù)學(xué)必修五2.1正弦定理與余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)3

《正弦定理》（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)點(diǎn)明課題本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5第一章《解三角形》中的1.1《正弦定理和余弦定理》中的《正弦定理》的內(nèi)容，該節(jié)包括正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用，我把這節(jié)內(nèi)容分為2課時(shí)，現(xiàn)在我要說的是《正弦定理》的第一課時(shí)，主要包括正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和簡(jiǎn)單的應(yīng)用。下面我從三個(gè)方面來說說對(duì)這節(jié)課的分析和設(shè)計(jì)：一、教學(xué)背景分析二、教學(xué)展開分析三、教學(xué)結(jié)果分析一、教學(xué)背景分析1.教材地位分析《正弦定理》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5中第一章《解三角形》的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比較系統(tǒng)地研究了解三角形這個(gè)課題。《正弦定理》緊跟必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）之后，可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想所學(xué)知識(shí)，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積連同三角形、三角函數(shù)的其他知識(shí)作為工具，推導(dǎo)出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎(chǔ)，又是學(xué)生了解向量的工具性和知識(shí)間的相互聯(lián)系的的開端，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形的求解、體會(huì)事物是相互聯(lián)系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和自主、合作、探究能力。2.學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析(1)學(xué)生在初中已學(xué)過有關(guān)直角三角形的一些知識(shí)：①勾股定理：②三角函數(shù)式，如：(2)學(xué)生在初中已學(xué)過有關(guān)任意三角形的一些知識(shí)：①②大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角③兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(3)學(xué)生在高中已學(xué)過必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）(4)學(xué)生已具備初步的數(shù)學(xué)建模能力，會(huì)從簡(jiǎn)單的實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型3.教學(xué)目標(biāo)分析知識(shí)目標(biāo)：(1)正弦定理的發(fā)現(xiàn)(2)證明正弦定理的幾何法和向量法(3)正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用能力目標(biāo)：(1)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題、應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力(2)通過向量把三角形的邊長(zhǎng)和三角函數(shù)建立起關(guān)系，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力情感目標(biāo)：(1)設(shè)置情景，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探究意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣(2)鼓勵(lì)學(xué)生探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決實(shí)際問題(3)通過共同剖析、探討問題，推進(jìn)師生合作意識(shí)，加強(qiáng)相互評(píng)價(jià)與自我反思二、教學(xué)展開分析1.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)正弦定理、用幾何法和向量法證明正弦定理。正弦定理是三角形邊角關(guān)系中最常見、最重要的兩個(gè)定理之一，它準(zhǔn)確反映了三角形中各邊與它所對(duì)角的正弦的關(guān)系，對(duì)于它的形式、內(nèi)容、證明方法和應(yīng)用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學(xué)生綜合運(yùn)用正弦定理和內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識(shí)解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用問題，這些知識(shí)的掌握，有助于培養(yǎng)分析問題和解決問題能力，所以一向?yàn)閿?shù)學(xué)教育所重視。教學(xué)難點(diǎn)是用向量法證明正弦定理。雖然學(xué)生剛學(xué)過必修4中的平面向量的知識(shí)，但是要利用向量推導(dǎo)正弦定理，有一定的困難。突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生通過向量的數(shù)量積把三角形的邊長(zhǎng)和內(nèi)角的三角函數(shù)聯(lián)系起來。用平面向量的數(shù)量積方法證明這個(gè)定理，使學(xué)生鞏固向量知識(shí)，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的范例。2.教學(xué)策略與學(xué)法指導(dǎo)教學(xué)策略：本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，即由“結(jié)合實(shí)例提出問題——觀察特例提出猜想——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究——證明猜想得出定理——運(yùn)用定理解決問題”五個(gè)環(huán)節(jié)組成的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”模式，在教學(xué)中貫徹“啟發(fā)性”原則，通過提問不斷啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與思考；并貫徹“以學(xué)定教”原則，即根據(jù)教學(xué)中的實(shí)際情況及時(shí)地調(diào)整教學(xué)方案。學(xué)法指導(dǎo)：教師平等地參與學(xué)生的自主探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生全員參與、全過程參與。通過啟發(fā)、調(diào)整、激勵(lì)來體現(xiàn)主導(dǎo)作用，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和情感發(fā)展來調(diào)整整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的梯度和層次，保證學(xué)生的認(rèn)知水平和情感體驗(yàn)分層次向前推進(jìn)。3.教學(xué)媒體選擇與應(yīng)用使用多媒體平臺(tái)（包括電腦和投影儀）輔助教學(xué)，讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，借助多媒體快捷、形象、生動(dòng)的輔助作用，既突出了知識(shí)的產(chǎn)生過程，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生形成體驗(yàn)性認(rèn)識(shí)，體會(huì)成功的愉悅，同時(shí)又可以增加課堂的趣味性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。4.教學(xué)過程實(shí)施本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，因而教學(xué)過程實(shí)施分為五個(gè)部分：(1)結(jié)合實(shí)例提出問題(2)觀察特例提出猜想(3)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究(4)證明猜想得出定理(5)運(yùn)用定理解決問題(1)結(jié)合實(shí)例提出問題教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖設(shè)置問題情境從“海灣大橋”這一學(xué)生喜聞樂見的重大實(shí)際工程提出問題,營(yíng)造寬松、和諧、主動(dòng)積極的探究氛圍，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生自主探討可能很多學(xué)生會(huì)這樣考慮：選擇某地C點(diǎn)，構(gòu)造Rt△ABC，測(cè)出∠C與AC的長(zhǎng)，即可算出AB的長(zhǎng)挖掘?qū)W生的原有認(rèn)知，在原有知識(shí)和學(xué)習(xí)目標(biāo)之間搭建平臺(tái).教師提問如果構(gòu)造出Rt△ABC時(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C在海上（或者由于地形、建筑等因素），無法測(cè)出∠C與AC的長(zhǎng)，那怎么辦？實(shí)際問題要考慮實(shí)際情況，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.師生共同探討DCAB①不能構(gòu)造出DCAB②這時(shí)，我們能夠測(cè)出哪些量？學(xué)生分析討論后得出：可以測(cè)出∠A、∠C與AC的長(zhǎng)③測(cè)出這些量后，怎樣求出AB長(zhǎng)？=4\*GB3④教師引導(dǎo)學(xué)生，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再來求解=5\*GB3⑤可以作輔助線，構(gòu)造Rt△來求解：作BD⊥AC于D點(diǎn)，在Rt△ABD中，BD=ABsin∠BAD=ABsin∠BAC，AD=ABcos∠BAD=－ABcos∠BAC，在Rt△BCD中，BD=(AC+AD)tan∠C，即可求出AB通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)過程，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用，形成學(xué)生的體驗(yàn)性認(rèn)識(shí).教師提問教師指出，人們?cè)趯?shí)際中，如測(cè)量、航海、機(jī)械設(shè)計(jì)、幾何、物理等方面，經(jīng)常碰到有關(guān)三角形的問題，在解決這些問題時(shí)，如果每次都通過構(gòu)造直角三角形來求解，顯然有點(diǎn)麻煩！接著提問學(xué)生：在任意三角形中，各邊、角之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？若有，那么我們就可以直接利用，快速求解。尋求解決問題的簡(jiǎn)便方法，符合人們的思維規(guī)律，同時(shí)也指出本節(jié)課的探究方向.(2)觀察特例提出猜想教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖師生共同觀察特例①在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數(shù)量關(guān)系？②學(xué)生容易想到三角函數(shù)式子：（可能還有余弦、正切的式子）③這三個(gè)式子中都含有哪個(gè)邊長(zhǎng)？學(xué)生馬上看到，是c邊，因?yàn)?4\*GB3④那么通過這三個(gè)式子，邊長(zhǎng)c有幾種表示方法？CCBAcab=5\*GB3⑤得到的這個(gè)等式，說明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關(guān)系？（各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等）=6\*GB3⑥此關(guān)系式能不能推廣到任意三角形？以舊引新,打破學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài),刺激學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)根據(jù)問題情境進(jìn)行自我組織,促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展.從直角三角形邊角關(guān)系切入,符合從特殊到一般的思維過程.提出猜想猜想：在任意的△ABC中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即：鼓勵(lì)學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家的思維方式和思維過程,大膽拓廣,主動(dòng)投入數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程,發(fā)展創(chuàng)造性思維能力.(3)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖學(xué)生自己進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：改變?nèi)切蔚哪硞€(gè)頂點(diǎn)的位置（即改變了三角形的形狀），觀察表格中的數(shù)據(jù)的數(shù)值大小變化情況.觀察發(fā)現(xiàn)：在拖動(dòng)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)的過程中，表格中的數(shù)據(jù)的數(shù)值大小也隨著變化，但是它們始終保持相等.給學(xué)生探索的空間，使學(xué)生真正感覺到自己在“做數(shù)學(xué)”，激起學(xué)生的好奇心和探究欲望,調(diào)動(dòng)學(xué)生自主參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)系統(tǒng)演繹性和實(shí)驗(yàn)歸納性的兩個(gè)側(cè)面.歸納總結(jié)通過實(shí)驗(yàn)后，猜想成立，即有下面的結(jié)論：在任意的△ABC中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即：讓學(xué)生明確到：某些規(guī)律對(duì)部分特例成立，但是對(duì)一般情況不成立.(4)證明猜想得出定理教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖師生總結(jié)三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，對(duì)于直角三角形，我們前面已經(jīng)推導(dǎo)出這個(gè)關(guān)系式是成立的，那么我們現(xiàn)在是否需要分情況來證明此關(guān)系式？及時(shí)總結(jié)，使方向更明確，并培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí).交流研討辨析①教師啟發(fā)：剛才在直角三角形中已經(jīng)證明了,那么能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來求證？——可以構(gòu)造直角三角形②如何構(gòu)造直角三角形？——作高線（例如：作CD⊥AB，則出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形）babaCDABc③將欲證的連等式分成兩個(gè)等式證明，若先證明，那么如何將A、B、a、b聯(lián)系起來？——在兩個(gè)直角三角形Rt△BCD與Rt△ACD中，CD是公共邊：在Rt△BCD中，CD=，在Rt△ACD中，CD==4\*GB3④如何證明？——作高線AE⊥BC，同理可證.把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決新的問題.學(xué)生在合作交流、與人分享的探討的氛圍中傾聽、思考、表述，體驗(yàn)成功的喜悅；學(xué)會(huì)合作，并在合作中懂得欣賞他人；提高分析能力.教師啟發(fā)學(xué)生開拓思維①教師提問：還有其他的證明方法嗎？在我們所學(xué)過的知識(shí)中，有沒有什么知識(shí)，同時(shí)包含長(zhǎng)度和三角函數(shù)？——學(xué)生聯(lián)想到平面向量②在平面向量中學(xué)過哪些知識(shí)？——主要有向量的運(yùn)算：加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算③在向量的這些運(yùn)算中，哪種運(yùn)算同時(shí)包含有長(zhǎng)度和三角函數(shù)？——數(shù)量積運(yùn)算=4\*GB3④在向量的這些運(yùn)算中，哪種運(yùn)算與三角形有關(guān)？——加法和減法滿足三角形法則，如：=5\*GB3⑤這幾個(gè)式子實(shí)質(zhì)上是相同的，不妨以為例，從這個(gè)式子出發(fā)，怎樣才能出現(xiàn)同時(shí)包含長(zhǎng)度和三角函數(shù)的式子？——將式子的兩邊與某個(gè)向量作數(shù)量積根據(jù)數(shù)量積的定義得：=6\*GB3⑥應(yīng)將式子的兩邊與什么樣的向量作數(shù)量積？研究性課題具有開放性多元性.啟發(fā)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決新的問題，讓學(xué)生對(duì)學(xué)過的各個(gè)知識(shí)融會(huì)貫通.通過多次提問，層層遞進(jìn)，逐步搭設(shè)臺(tái)階,讓學(xué)生聯(lián)系向量數(shù)量積的意義,借助向量工具來證明,突出向量的工具性作用.培養(yǎng)學(xué)生思維靈活廣闊性學(xué)生自主探究教師根據(jù)學(xué)生的探究情況，適當(dāng)提示：①目標(biāo)是什么？從目標(biāo)進(jìn)行分析要證，即證，即與對(duì)比，發(fā)現(xiàn)不見了！即應(yīng)該有那么，所作的向量⊥AB.②的方向確定了，的模如何確定呢？當(dāng)向量⊥AB時(shí)，可化為即為，從而得證.所以，的?？梢允侨我獯笮。ǚ橇悖?由于學(xué)生的層次不同，探究的結(jié)果不盡相同.教師視察學(xué)生探究情況，對(duì)于感到困難的部分學(xué)生可進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶崾?對(duì)層次較高的學(xué)生，給其“盡顯其能”的機(jī)會(huì).分層教學(xué)，提高課堂效果.課外探究若△ABC為鈍角三角形，證明：探究的空間由課堂延伸到課外.師生共同總結(jié)回顧我們剛才證明正弦定理的過程，①用了什么證明方法？②分別是如何證明正弦定理的？——幾何法：作三角形的高線，構(gòu)造直角三角形——向量法：作垂直于三角形一邊的向量，利用數(shù)量積運(yùn)算解題后適時(shí)反思總結(jié)，理清思維，加深理解和認(rèn)識(shí)，可提高解題的理論水平(5)運(yùn)用定理解決問題教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖定理明晰①正弦定理如何表述？——在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即②表達(dá)式反映了什么？——指出了任意三角形中，各邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式從形式和內(nèi)容進(jìn)一步讓學(xué)生明確正弦定理所反映出的規(guī)律解決情境中的實(shí)例CCAB題目：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，AC＝2620m，求AB.(精確到1米解：B＝180o－A－C＝180o－48.57o－101.87o＝29.56o讓學(xué)生用正弦定理重新解題，感覺比原來的方法簡(jiǎn)便多了,使學(xué)生認(rèn)為艱辛的付出有了回報(bào),感受收獲的喜悅,體驗(yàn)成功的樂趣.欣賞規(guī)劃設(shè)計(jì)的海灣大橋圖片將漂亮的大橋圖片展現(xiàn)給學(xué)生，從感觀上刺激學(xué)生，使學(xué)生從內(nèi)心深處體驗(yàn)成功的喜悅，也促使學(xué)生對(duì)美好事務(wù)的向往，對(duì)未來的憧憬；把課堂氣氛推向高潮.定理反思總結(jié)①我們剛才已經(jīng)用正弦定理解決三角形中的一類什么問題？——已知任意兩個(gè)角和一邊，可以求出另一角和另兩邊②用正弦定理還可以解決三角形中的什么問題？——已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出另一邊和另兩角通過總結(jié)與思考，領(lǐng)悟思想方法，把握規(guī)律的本質(zhì)，提高分析和解決問題的能力.課堂練習(xí)課本第5頁練習(xí)：1.（2），2.（2）充分利用課本資源；簡(jiǎn)單應(yīng)用正弦定理.課堂反思小結(jié)通過這節(jié)課的研討，請(qǐng)大家談?wù)勛约旱捏w會(huì).(1)在這節(jié)課中，學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？①正弦定理及其發(fā)現(xiàn)和證明②正弦定理的初步應(yīng)用(2)包含了哪些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法？①運(yùn)用從特殊到一般，一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想②運(yùn)用方程的思想③運(yùn)用“觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、證明”解決問題的方法=4\*GB3④運(yùn)用向量的方法通過反思，深化學(xué)生知識(shí)理解、完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu).課后作業(yè)(1)課后探究：①類比Rt△ABC中的式子猜想在任意三角形ABC中，比值并證明你的結(jié)論.②在△ABC中，求證(2)課后習(xí)題：①課本第5頁練習(xí)：2.（1）②通過上題，你認(rèn)為在解三角形時(shí)，什么時(shí)候會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)解？“課后探究”中的兩個(gè)題回答了課本第3頁中的問題“是否可以用其它方法證明正弦定理？”“課后習(xí)題”讓學(xué)生探討解的個(gè)數(shù)問題，為下節(jié)課作準(zhǔn)備.三、教學(xué)結(jié)果分析通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，從知識(shí)、能力、情感三個(gè)方面預(yù)測(cè)可能會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果：1、學(xué)生對(duì)于正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理的幾何法、正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，能夠很輕松地掌握；在證明正弦定理的向量法方面，估計(jì)有少部分學(xué)生還會(huì)有一定的困惑，需要在以后的教學(xué)中進(jìn)一步培養(yǎng)應(yīng)用向量工具的意識(shí)。2、學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思維能力得到一定的提高，能領(lǐng)悟一些基本的數(shù)學(xué)思想方法；但由于學(xué)生還沒有形成完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，對(duì)問題的認(rèn)識(shí)會(huì)不周全，良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成有待于進(jìn)一步提高。3、由于學(xué)生的層次不同，體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)有所不同。對(duì)層次較高的學(xué)生，還應(yīng)引導(dǎo)其形成更科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、謙虛及鍥而不舍的求學(xué)態(tài)度；基礎(chǔ)較差的學(xué)生，由于不善表達(dá)，參與性較差，還