新教材人教A版高中數(shù)學必修第二冊平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 同步講義

2、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用4種題型

【考點分析】

考點一：平面向量的數(shù)量積

①平面向量數(shù)量積的定義：

已知兩個非零向量。與b,我們把數(shù)量IQIl“CoSe叫做。與b的數(shù)量積也叫內(nèi)積.

記作α?6,即α?Z>=∣α∣出ICOs。.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0?

②平面向量數(shù)量積的幾何意義：

1.向量的投影數(shù)量：向量α在方方向上的投影數(shù)量為IaICoS6,當。為銳角時，它是正數(shù)；當6

為鈍角時，它是負數(shù)；當。為直角時，它是0.

b

2.向量的投影向量：向量。在b方向上的投影向量為IalCoSe育

H

3”/的幾何意義：數(shù)量積α力等于α的長度Ial與入在α方向上射影SlCOSe的乘積.

考點二：平面向量數(shù)量積的運算律

已知向量“、b、C和實數(shù)/1,則：

①Crb=b?a；

②(Λa)■b=λ{ab)=a?(λb)；

?(a+b)c=ac+bc.

考點三：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)。、力都是非零向量，則

①a_L5Oa?Z>=0

②當“與Z>同向時，ab^a??b?t當”與6反向時，α-?=-∣α∣∣?∣.

③“?α=IαF或Ial=-Jaa.

(4)cos6>=ab(IalsIXO).

Iallbl

⑤Iabl≤∣α∣∣A∣.

【題型目錄】

題型一：平面向量的數(shù)量積運算

題型二：平面向量的模運算

題型三：平面向量的夾角運算

題型四：平面向量的投影

【典型例題】

題型一：平面向量的數(shù)量積運算

【例1】如果6是兩個共線的單位向量，則()

2

A.a=hB.ab=OC.ah=]D.a=?^

【答案】D

【分析】根據(jù)向量相等的定義判斷A,根據(jù)數(shù)量積的定義和性質(zhì)判斷B,C,D.

【詳解】因為是單位向量，所以W=I,W=I,所以J=],片=[,所以J=RD正確；

由已知α,6共線，所以α,b的方向相同或相反；當α,〃的方向相反時，a≠b^A錯誤；當“涉的

方向相反時，β??=p∣?∣?∣cosl80=-1,B錯誤，C錯誤；

【例2】已知單位向量4,6的夾角為45。，版七與“垂直，則七.

【答案】立

2

【解析】由題意可得：:工=IXlXCOS45=—，由向量垂直的充分必要條件可得:

2

（攵α-b）α=0,

即：k×a-a-b=k=0`解得：k--

22

【例3】已知向量α,b滿足Ial=1,a.b=-\,則“?(2α-b)=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析】向量b滿足IaI=1，a,h=-l>則心(2α-Z>)=2∕2—/=2+1=3，故選B?

【例4】已知邊長為1的等邊AABC,BD=2DC.則A8?AO()

215

A.-B.3C.—D.6

32

【答案】A

【分析】根據(jù)向量運算求得正確答案.

【詳解】ABAD=AB(AB+BD)=AB^AB+?C^

=AB-AB+∣(AC-A8)=4B?(gAB+*c)

122122

=-AB+-AB-AC=-×l÷-×l×l×cos60o=-.

33333

A

【例5】在一ABC中，∣A8+ACHA8-AC∣,A8=1,AC=2,則BC?CA為().

A.4B.3C.-4D.5

【答案】C

【分析】對|陽+/卜|旗-而I兩邊平方整理得AB?A(j=O,得ABLA。，則

BC?C4=(AG-AB)(AC)即可計算

【詳解】在ABC中，∣A8+ACHAB-AC∣,

222'2~

：.AB^+2AB-AC+AC=AB^-2AB-AC+AC>■-AB-AC=O,:.AB±AC，

乂AB=1,AC=2,.?.BCCA=(AC-AB)(-AC)=ABAC-AC=-AC?=-4.

【例6】在,ABC中，AC=3,BC=4,CA?C8=8,則AB邊上中線CD的長為.

【答案】浮

2

【分析】作出圖象，由圖可知CO=g(CA+C8),再由平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)求解即可

【詳解】因為CO=g(C4+CB),

所以時=*筋-2

CO2=*A++2CA?CB+CB

國)[X(9+16+16)=?

+2CACB+

所以「￡)『=?,

所以∣8∣=呼,

【例7】在ABC中，48=3,AC=5,點N滿足BN=2NC,點。為ABC的外心，則AMAo

的值為.

【答案】?59

O

12

【分析】將AN用向量AB和AC表示出來,再代入AN?A0得，AN-AO=-Aβ-AO+-AC-AO,

求出A8?AO,AC?AO代入即可得出答案.

（詳解】分別取ABAC的中點E,F,連接OE,OF,

因為。為，ABC的外心，

.?.OE1AB,OFLAC,

.?.ABOE=0,ACOF=0,

BN=2NC，

.-.BN=-BC,

3

2..2I2

.?AN=AB+BN=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

.?.AO-AB=^AB+EO^-AB=^AB^=^,

AO.AC=(；AC+FO>AC=；IAq2=B,

(12、121922559

.?.AN-AO=?-AB+-AC?-AO=-AB-AO+-AC-AO=-×-+-×-=—

(33J3332326

【例8】在.ABC中，G為重心，AC=2幣,BG=2,則8A?8C=.

【答案】6

【分析】設(shè)AC中點為。，根據(jù)向量線性表示可得BA=8E>+D4,BC=BD-DA-然后根據(jù)

向量數(shù)量積的運算律結(jié)合條件即得.

【詳解】設(shè)AC中點為。，

B

G為ABC的重心且BG=2,

.?BD=3,DA=>∕3,

因為BA=8f>+Zλ4，BC=BD+DC=BD-DA

所以8A?BC=(8O+D4)?(8D-D4)=BO2-D42=9-3=6.

【例9】在AABC中，NA=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AAC-AS

(2∈R),且A。?AE=T,則；I的值為.

3

【答案】?

11

,12

【解析】AB?AC=3×2×cos60°=3,AD=-AB+-AC,則AD?AE

33

1222；193

=(-AB+-AC)(ΛAC-AB)=-×3+—×4一一×9——×3=-4,解得；1=3.

33333311

【例10](2021新高考2卷)已知向量。+b+c=0,1?I=1,1∕?∣=∣cI=2√z?∕?+∕??c+c-6/=

9

【答案】一—

2

【解析】方法一：因為〃+"+C=O,所以Q+9+c)=0?即

—2→2→2-→→-→→→→

a+b+c÷2ab+2ac÷2bc=0

所以1+4+4+2%+2%?+2瓦=0,所以2茄+2%?+2互=—9,所以d+αc+左=U

方法二：因為α+B+C=6,所以4+3=—C，所以(〃+引=O,即J+∕~+2d=c~

一一?

所以1+4+2ab=4,所以ab=，

同理α+c=-分,所以(α+C)=(-訂,s"∣jci+c-h2ac=b,所以l+4+24c=4，所以

一1

ac=——,

2

同理B+C=-Q,所以,+即$+I?+2^c=α~,所以4+4+2Ie=1，所以

7

2

【題型專練】

L設(shè)向量”與〃夾角的余弦值為g，且14=4,W=1,則(20-36)力=()

A.-B.—C.3D.-3

33

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律，結(jié)合數(shù)列的定義式，可得答案.

【詳解］(2。-3/?)心=2tz?fe-3∣∕?!=2∣6f∣?∣?∣?cos(a,b^-3∣ft∣=2×4×l×^-3×l2=-?.

2.已知在二ABC中，A8=2√1C=1Q為BC的中點，則AmC=()

3

A.—1B.—C.-2D.—3

2

【答案】B

【分析】將AnBC轉(zhuǎn)化為A8,AC的線性運算，再由數(shù)量積的運算律求解

【詳解】由題意得4O=g(A8+4C),BC=-AB+AC

1，2C3

則ADBC=-{AC-AB')=--,

3.如果α,b都是非零向量，則下列判斷正確的是()

A.若∕=Z>2,則α=5或α=-b

B.若IabI=IdH5|，則d〃6

C.^?a+b?=?a-b?,則〃1

D.若“力同向，則|斗&=同包

【答案】BCD

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，結(jié)合數(shù)量積、模長的運算逐個分析判斷.

【詳解】若則同=打，但方向無法確定，A錯誤；

V?a?b?=?a??b?cosθ=?a???b?1則cosθ-?

.二。力的夾角。=0,即〃力同向，則a〃b，B正確；

22

^?a+b?=?d-b?f∣S∣J∣d+?∣=∣d-?∣

BPa2+2d?fe+Z?2=d2-2d??÷Z?2?則α石=0,即a_LZ?，C正確;

v∣∣5∣?a∣=∣5∣?∣a∣,∣∣a∣?h∣=∣3∣?∣^l則MT=M.小

XV∣Λ∣>0,∣?∣>0,且α力同向，則瓦。,同為同向

Λ∣?∣?α=∣Λ∣??,D正確;

IuiBlIUUB1,UlBUUO.∣Ul?IUUnulllluum

4.在平行四邊形ABCD中,∣ΛB∣=∣ΛD∣=3,cos(^AB,AD∣=-,AE=-AB,則AO.DE=

【答案】-8

【分析】易得說=加+后，則AD?DE=AD?(OA+AE),后利用向量數(shù)量積知識解決問題.

【詳解】因Z)E=ZM+AE，貝IJAQZ?E=AZ)(ZM+AE)

Illin1UUn

乂注意到D4=—AO,AE=-AB.

貝∣JAZ>Z)E=Az).(￡)A+AE)=皿AB-回=；AB?AO-A6

=∣∣ΛB∣?∣AD∣?cos^AB,Aθ)-∣AD∣2==∣×3×3×∣-32=-8.

5.邊長為2的正方形ABCZ),E為C。的中點，則Ae?3E的值為.

【答案】2

【分析】以A8,A。為基底，分別表示AC,BE,再利用向量的數(shù)量積的運算律求解即可.

［詳解］AC=AB+AD^BE=BC+CE=AD+^-CD=AD-^-AB

22

:.AC-BE=+ADy^AD-^AB^=^AB-AD+AD2-^AB2=22-→22=2

6.在一ABC中，。是BC邊上的中點，且AE=^AO,AF=2AE^ABAC=6>FBFC=-2,

貝IJEB-EC=.

【答案】1

【分析】利用轉(zhuǎn)化法得到A8?AC=kθj-pq'Ffi-FC≈IFD∣2-1DB∣2,再根據(jù)AE=^AO,

AF=2AE得到,?！?9回『，聯(lián)立得到回『=1,阿『=3,然后求EB?EC即可.

【詳解】ABAC=(AD+DB)(AD-DB)=?AD^-?DB^=6,同理可得

FB?FC=∣FD∣2-∣DB∣2=-2,又AE=；AD,AF=2AE所以卜。(=9,?！海圆贰?『=1,

∣OB∣2=3,EB-EC=?EE^-?D^=4∣FD∣2-∣DB∣2=4×1-3=1.

7.已知兩個單位向量α,b的夾角為60。，c=ta+(l-t)b,若b?c=O,則/=.

【答案】2

【解析】b?c=??[zα+(1—∕)Z>]-ta?b+(?-t)b2??^l-r=l-?r=θ.解得f=2.

22

2,

8.己知e∣,e2是夾角為一萬的兩個單位向量，a-ei-2e2,b=kel+e2,若“?b=0,則%

的值為.

【答案】3

4

【解析】由題意知α?A=(e∣-202)(髭]+02)=。，即履；+e∣e2-2版色一2《=O,即

24245

Zr+cos--2?cos--2=0,化筒可求得％=士.

334

9.已知菱形ABCD的邊長為2,ZBAD=120°,點E,F分別在邊BC.DC±.,BC=3BE,

DC=ADF.若AE?A∕=I,則；I的值為.

【答案】2

【解析】因為NB40=120。，菱形的邊長為2,所以ABAD=-2.因為

，?*■，-一?I??，?一一■".、―I，”?，，?I?，

AE^AB+BE^AB+-BC,AF^AD+DF=AD——DC=BC+-AB,由

3λλ

441

AE-AF=I,所以一+-—2(1+一)=1,解得4=2.

2332

10.已知單位向量α,b的夾角為60。，則在下列向量中，與8垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【思路導引】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性

質(zhì)逐一判斷即可.

【解析】由已知可得：a?b=?a??b?cos60°=1×1×?=?.

、15

A：?.*(Λ+2?)`b—a`b-?-2b~=—l-2×1=—≠0,；?本選項不符合題意；

22

,,1

B：V(2α÷?)??=2a?b-^b~=2×—F1=2≠0,/.本選項不符合題意；

2

?13

C：V(a—2?)?b=a?b-2b2=—2×1=—≠0,，本選項不符合題意;

22

D：?.?(2)—萬)1=2。1一/=2*1-1=0,；.本選項符合題意.故選D.

2

IL已知非零向量zn,“滿足41∣=31"I,cos<∕n,n>=?.若"_!_(//?+〃)，則實數(shù)1的值

為()

99

A.4B.-4C.1.D.——

44

【答案】B

【解析】由"_L("〃+〃)可得n?(∕m+n)=0,即tm-n+n2=0,所以

it2n^In∣2∣n∣4

t=--------=------------------------------=--------———-=-3-L-L=-3×-=-4.故選B.

mnm-ncos<m,n>λm

????∣zn∣×∣rt∣×lII?

3

12.A46C是邊長為2的等邊三角形，己知向量α,b滿足4B=2a,AC=2a+b,則下列

結(jié)論正確的是()

A.例=1B.aLbC.ab-?D.(4α-ft)±BC

【答案】D

【解析】如圖由題意，BC=AC-AB=(2a+b)-2a=b,故|。|=2,故A錯誤；

I2?I=21?I=2,所以Ial=1,又AB?AC=2α?(2α+Z?)=4∣α『+2。匕=2x2cos60=2,

所以￡石=-1,故B,C錯誤；設(shè)比C中點為￡>,則M+AC=2屈，且而_L配，所以

(4∏+?)±BC.故選D.

13.已知e∣,c2是互相垂直的單位向量，若&「出與弓+成2的夾角為60,則實數(shù)/1的值

是.

【答案】竺

3

【解析】解法一：Me1,02是互相垂直的單位向量，所以同=LEl=1，NW=O

所以一

(V^el-e,),(e∣+=；÷?[2>λci?c~,—e∣?e,λjβ-^=y/3—4,

I?/?e?—e2I=_e,)~—?ej-2^?[^e、?e`+g2=2?

Iq+λ621=J(e∣+Xe2)2—Je1+22e∣.e[+力”2”=JI+4~>

??y∕3-λ-2×^Jl+λ2×cos60=JI+/V，解得：λ=―--

解法二：建立坐標系，設(shè)G=(1,0),C2=(0,1)，所以J^e]—C2=+九02=(1，X)，所

以

-

l?/?￠iV(v?j^+(-1)-=2,e∣+XQ2~Jl+{

(扃-赤+4eJ=V§-X

所以由數(shù)量積的定義得6-4=2XJI涯XCOS60。，解得：2=g.

14.在△ABC中，AB=6,。為△ABC的外心，則AO?AB等于

A.√6B.6C.12D.18

【答案】D

【解析】試題分析：如圖，過點。作Oe)_LA8于。，則

AOAB=(AD+DO)AB=ADAB+DOAB=3×6+Q=18，應(yīng)選D.

題型二：平面向量的模運算

【例1】設(shè)。力為單位向量，且∣α+M=l,則∣α-A∣=.

【答案】√3

【解析】因為“力為單位向量，所以口=M=I

所以卜+H=J(α+>)=JW+2]?∕?+M=?∣2+2a?b=1>解得：2a?b=-l

所以,一4=yl^a-b^=JN-2α?Z?+W=石

【例2】已知向量4,b的夾角為60。，∣αI=2,傳|=1,則∣α+2R=

【答案】26

【解析】

F-→v曰--*^2一24+4×2×l×^+4

a+2???a+2bj=?a+4α”+4。=M+4tzbcos600+4b

=y∕l2=2-?∕3

【例3】已知。與力均為單位向量，其中夾角為氏有下列四個命題

_?^z*_2〃"

Pi：∣α+?∣>l<=>^∈[0,—)P2：∣α+6∣>l<?6>∈(-,π↑

rrrr

Py?a-b?>?<=>^∈[0,—)〃4：?a-b?>?<?6>∈(-,π}

其中真命題是

(A)Pi,PA(B)PI，P3(C)P2,Pi(D)P3,P4

【答案】A

【解析】由∣a+b∣>l得，a2+2a?b+b2>?,即“?〃>—4，即CoSe=絲，

2回向2

__2兀

V6>∈[0,π?,.?.6>∈[0,—),

由|a—b∣>l得，a1-2a?b+b2>?,即α?b<',即CoSe=V6>∈∣O,π?,

2?a??b?2

冗

Λ6>∈(-,π?,故選A.

3

【例4】設(shè)α,辦是兩個非零向量

A.若|a+Z?Hal-IZ?1，則αJ.6

B.若a_L"K∣J∣α+?Hα∣-∣?∣

C.若∣4+）Hal-g則存在實數(shù)X,使得6

D.若存在實數(shù)/1,使得〃="，則∣α+b∣=∣ɑ∣-∣b∣

【答案】C

【解析】對于A,

-2一--2—?2I?→Il_*I∣?*2—?-*-→-?

=a+2a?b+b=ci-2?+/?=2abcGSe=—2ab,所以

cos。=—1，所以8=180。，所以A錯，B錯；C對，D有可能為0。

【例5】設(shè)向量之④滿足∣a+B∣=√I6,∣3-?b√6,則無5=（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

【解析】???∣"+4=>Aδ,,一身="，.?.(α+b)2=10……①，(a—Z√=6……②.

由①一②得：ab=?

【例6】設(shè)a,b均為單位向量，則“卜―34=飽+a”是“a_LZ>”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】V∣a-3?∣=∣3a+?∣,Λ(a-3∕>)2=(3a+h)2,：.a2-6ab+9b2=

9a2+6ab+b2,又Ial=Ibl=I,二a?力=0，二。，〃；反之也成立，故選C.

【例7】已知向量a,b夾角為45°,且Ial=1,∣2β-Λ∣=√Iθ,則Ibl=.

【答案]3√2

【解析】；|加一W=Ji6,平方得4/—4a山+/=10,βp∣6∣2-2√2∣?∣-6=0,解得|加=

3√Σ或-√Σ(舍)

【例8】若平面向量a,b滿足：∣2a-b∣W3;則a?b的最小值是.

【答案】一9

8

【解析】∣2a-Z>∣≤3<≠>4a+b≤9+4a?b,

4tz+b≥4∣<Z∣∣ZJ∣>-4a?b=>9+4a?b≥-Aa?boa?b>一看

【題型專練】

1.已知向量W=3，W=2,a與6的夾角為?，則∣2"36∣=()

A.6B.3√6C.3D.3√2

【答案】A

【分析】由數(shù)量積公式結(jié)合∣2a-3M=J(2a-3方)2得出答案.

【詳解】解：因為向量W=3，W=2M與6的夾角為?，

Jl

所以a?∕?=3×2×cos-=3

3

222

所以W—3N=y](2a-3b)=√46∕-126Z??+9?=√4×9-12×3+9×4=6

2.已知向量a=(l,0),W=G,且aJ_(a+b),則卜+2H=()

A.2B.y∣2C.亭D.3

【答案】D

【分析】依題意可得“?(α+6)=0,根據(jù)數(shù)量積的運算律求出α/,再根據(jù)∣α+20=J(a+26『

計算可得.

【詳解】解：因為α,(α+6),所以α?(α+匕)=0,即/+〃力=。，即卜『+〃.z,=0,

因為α=(l,0),所以忖=1,所以α/=_],

所以卜+24=Q(a+2b)=yja+4a?t>+4t>=3：

3.已知向量。力不共線，貝怦+司=W''是"。力的夾角為鈍角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【分析】分別對命題的充分性和必要性進行判斷即可得到答案.

【詳解】充分性：因為W+可=忖=>(。+8)=a'=>a+b^+2a?b=a^,向量α力不共線，

所以2ɑ?b=-∕Z<0，即。力的夾角為鈍角，滿足充分性.

必要性：若”力的夾角為120,H=l,W=2,

則(。+匕)=l+4+2χlχ2x(-g)=3*α-,所以不滿足卜+可=卜|,不滿足充分性.

所以Ia+H=W'，是的夾角為鈍角”的充分不必要條件.

4.己知平面向量α與人的夾角為與，若W=3,∣α+4=JB,則W=()

A.2B.3C.2√3D.4

【答案】D

【分析】由卜+4=JB兩邊平方化簡可求得答案

【詳解】由卜+囚=如平方可得,『+忖2+2〃/=13,

因為W=3,平面向量0與b的夾角為,，

2

所以卜1+W+2∣α∣-WCOSy=卜1+9-3∣α∣=13B∣J∣6Z∣-3∣α∣-4=0,

解得忖=4或忖=T(舍去),

5.已知”，5為單位向量.若Kq=Ia+組,則k-3*（）

A.2B.√WC.4D.√5

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)量積的計算以及模長公式即可求解COSO=T,由模長公式可求解.

【詳解】記a，B的夾角為。，

由W=IaI=I以及卜川=卜+2@得ICOSel=卜+20,即COS2e=5+4cos6>,所以CoSe=-1,或

COSe=5（舍去），

所以,一3目=10-6cos^=16,所以,一3^=4.

6.已知白,為單位向量.若卜向二,+。|,則cos<2α,3Z?>=（）

A.1—y/3B.1—yj2,C.~?1D.?χ∕3—1

【答案】A

【分析】利用向量的數(shù)量積的運算以及夾角公式即可求解.

【詳解】設(shè)〃，〃的夾角為巴

因為“，b為單位向量,且卜川二,+可，

所以卜小WCoSq二卜

即COS2^=6Z2+?2+2∣6Z∣∣?∣COS0,

整理得COS26-2COS8-2=0,

解得CoSe=I-G或1+6（舍），

2a3b6同網(wǎng)COs，

因為cos<2a,3?>=-~H_r=——L∣—=i-y∕3.

國網(wǎng)6?a??b?

7.設(shè)平面向量0,人均為單位向量，貝Ha-2W=W+∕*^""j.b'郛J（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】將卜-2可=|2"+可兩邊平方，化簡后即可得”口，由此即可選出答案.

【詳解】因為卜一2司=|2α+可O∣α∣2-4α??+4∣?∣^=4Iaf+4a??+∣?∣^

Oab=O0a-Lb

所以“卜-24=∣2α+可”是“a_Lb”的充分必要條件,

8.（多選題）如果。力都是非零向量，則下列判斷正確的是（）

A.若a?=b?，貝∣Jq=b或α=-b

B.若|〃力1=1。∣?∣hI,則Q〃b

C.若I∣=∣?-Z?I,則。_1人

D.若4力同向，則pψa=同為

【答案】BCD

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，結(jié)合數(shù)量積、模長的運算逐個分析判斷.

【詳解】若/=62,則同=M，但方向無法確定，A錯誤；

V?a-b?=?a??b?cosθ=?a???b?,則CoS6=1

，〃力的夾角6=0,即〃,力同向，則4〃。，B正確；

若∣α+5?=?a-bI,則∣α+l?2=?a-b|2

即O?+2〃=〃2一2〃/+〃，則〃力=0,即〃J_〃，C正確；

；||斗。|=|斗同,|回回=14忖,則IWMT同力I；

又?.?同>0,忖>0,且a力同向，則M?α,∣“∣力同向

Λ∣fo∣-α=∣a∣-?,D正確；

9.(多選題)已知α與8均為單位向量，其夾角為，，則()

A.0≤∣α+?∣≤2B.-1≤Λ?≤1

C.∣α+H>lo'e(θ,第D.￠∈(∣,π)≠>|?-?∣>1

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式得到G6=COS0,由COS0e[-1,1]得到“?be[-l,l],B正確；

計算,+.=2+2CoS同0.4],得到0這卜+目這2,A正確；

根據(jù)向量數(shù)量積運算法則得到k+可>1O卜+if>1=cos0>-l.結(jié)合。e[0，句.從而得到

9中,第，C錯誤；

利用數(shù)量積得至弧d=2-2cos8,根據(jù)同")，求出cosθ+K),進而得至弧心(1,4),

計算出∣α-b∣e(l,2),判斷出D選項.

i

【詳解】∣ɑ+Z?|=a+2a?b+b=2+2a?bf其中.?0=?^cos夕=CoS夕，

因為8$。?-1,1],所以"?b∈[T,l],B正確；

且k+0=2+2COSe∈[0,4],所以O(shè)Wa+Zτ∣W2,A正確；

卜+g>1。卜+4>102+2α?b>1o|?|-|z?|cos^>-i<≠>cos^>-?^,

因為同0,π],所以6w[θ,第，故C錯誤：

∣fz-∕2∣=I+1-2p/|-|z?|cos^=2-2cos^,

當9e(?∣,π),eosee(-l,?j,所以Ia-甲=2-2COSee(1,4),

故*q∈(l,2),

所以O(shè)e與兀卜Ia-U>1,D正確.

10.若向量，，了滿足：|力=2,日+后=3'?a-b?^3'貝IJlZI=----------

【答案】√5

【分析】結(jié)合已知條件，對|二+加=3,日-4=3兩式分別平方并求出|：『+|加2，進而求出∣1∣?

【詳解】因為小=3，加=3,

所以∣α+b∣2=∣α∣2+∣%F+2α.8=9,Ia-切?=|α『+∣6『一2"?b=9，

從而由兩式相減可得，4α-?=0'即H=0，

故|舒+向2=9，

因為|/=2，

所以∣3∣=>Λ?

11.已知向量”，〃的夾角為45。，且W=I,忖」卜布，則∣a+q的值是.

【答案】5

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算求得b的模長，再求結(jié)果即可.

[詳解]根據(jù)題意，H=M,則4,/_4同MCoS45。+也(=10,

即4-2√∑W+W=10,解得W=-√Σ(舍)或W=3√Σ,

??p+?∣?

=Ja「+2同陣os45。+7=Jl+2x3√∑χ(→18=5故答案為:5.

12.已知d,b為單位向量，卜一以=1,則k一3小.

【答案】√7

【分析】由|商一.=1可得,4=1.即可求出“力=；,再代入卜-362

即可得出答案.

【詳解】因為〃，匕為單位向量，,-?=1,

=y∣2-2a?b=1，

23.已知“，人是兩個夾角為?的單位向量，則％6-a的最小值為.

【答案】3

22

【分析】先利用題意得到“力=；,然后對卜5-4進行平方可得到卜6-d*q,即可得到答案

【詳解】因為“，8是兩個夾角為(的單位向量，則a/=WWcosq=lxlxcos9=g,

則卜6-。|=k21?∣+|?|-2ka?b=k2-k+?-^k-^^+?^>^>

所叫妨一午亭即wτ的最小值為也,

題型三：平面向量的夾角運算

【例。非零向量α,方滿足：I".=同，α?(a-Z>)=O,則a—b與辦夾角的大小為

A.135oB.120°

C.60oD.45°

【答案】A

【解析】；非零向量a,b滿足a?(a-Z>)=O,.../=4?)，

由Ia-M=阿可得/—2n?〃+/=/,解得網(wǎng)=0時,

az,2222

co?n-(?-*)-*-?-∏-H-H.√2

θ為a—b與b的夾角,

Ia-ftIWHI6I√2∣β∣2

.??6=135,故選A.

【例2】已知0,力為單位向量，且。心二0,若c=2a-小b，則CoS(a,c)=,

2

【答案】-

3

【解析】因為c=2Q-JU5,α?b=O,所以α?c=2/-JGa?)=2，

∣cII2=4∣αI2-4√5α?Z>+51?|2=9,所以∣c∣=3,

a?c_2_2

所以CoS(a,c)=

IaHd1x3?

【例3】已知向量。=(4,—3)/=(一1,2),。涉的夾角為氏則Sine=.

【答案】?

5

【解析】依題意e∈[o,兀]，所以

八a?b102百.rrτΛ∕5

cosθ=-------=--------T==-------,sιnn^=√1-cos^θ=——

Ilbl5×√555

故答案為立.

5

【例4】已知向量滿足時=5,例=6,α?0=-6,則COS(a,α+Z>>=()

31Cl9c17n19

A.-----B.-----C.—D.—

35353535

【答案】D

【思路導引】計算出4?(α+b)、,+0的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出cos<a,a+b>的

值.

【解析】?卜《=5,1“=6,Ο∕=-6,??.α?(α+h)=同+<2?∕?=52-6=19.

b+0=yj(a+b)=Ja+2α?l+b=,25-2x6+36=7,因此

a??a-?-b?1919

cos<α,α+O>=rτη-----T=------=—.故選D.

忖小+05x735

I

【例5】已知A,B,C是圓O上的三點,若40=—(AB+AC),則AB與AC的夾角為

2

【答案】90°

【解析】?.?A0='(A5+AC),，0為線段BC中點，故BC為)。的直徑，

2

.?.ZBAC=9Oo,ΛAB與AC的夾角為90°.

【題型專練】

1.已知向量:是單位向量，向量Z=(√Σ,√Σ),且R+24&q=-6,則；與之的夾角為()

π

A.—b?7c?7θ?i

6

【答案】C

【分析】求出M=l,H=2,再利用數(shù)量積的公式和運算化簡已知等式即得解.

【詳解】由題意可知H=I,。=2,

→T—2T_>_>2_>_>—>—>→→—>—>—>—>

a+2ba-b?=a+aφ-2b=1+〃劭-8=—6,aφ=a`b-cos(a,b)=2cos(tz,?)=l,

故COS（凡“二；,

因為兀(α,b)=1,即；和Z的夾角為

2.已知非零向量4,b滿足W=2∣d∣,且（α-6）?Lα,則α-6與b的夾角為（）

二

A.βcD.—

3?f??6

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直關(guān)系得“心=卜「，再計算卜-川=&忖，卜-匕）?fe=-3∣α∣,并結(jié)合向

量夾角公式求解即可.

【詳解】解：因為（〃一6）,*網(wǎng)=2同,

所以(〃一/?)?〃=■-a?b=Of即〃?b=H,

所以(〃_〃)?〃=〃力_忖=M-4∣di∣=-3∣Λ∣,

-2α?0+W~+卜『一2|『=6卜］

a-b^`b-33

所以cos(α-b,Z>)一立

∣d-?∣?∣fr∣?/?pz?2?a?2

因為?-瓦b）∈[0,句,

3.若非零向量〃，力滿足〃?3+A）=（）,2?a?=?b?,則向量分b夾角的大小為（）

ππC.05π

A.B.D.

633~6

【答案】C

【分析】由0?(α+6)=0,根據(jù)數(shù)量積的定義，結(jié)合2∣α∣=出|,可以得到cos(α∕),進而得到

答案.

【詳解】因為“?(4+))=(),所以/+./=O,所以同，+時似cos(α,8)=0,

乂因為2∣α∣=∣b∣,所以,『+同?2同COSa,4=0,解得cos(α,b)=，

因為0≤(α,b)≤7t,所以(α,萬)=等.

4.已知向量”是單位向量，向量b=(√∑,0^),且(α+2b)?(α叫=-6,則0與b的夾角為

JT

【答案】y##60

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律得α力=1，進而得COSG,b)=g,再根據(jù)向量夾角范圍即可

得答案.

【詳解】解：由題意可知∣4=ι,W=2,

所以，+2〃).(〃-〃)=J+a?b-2b~=l+a?b-8=-6,a?b-?

所以a?A=卜,/#cos(α,4=2cos@耳=1,解得cos(α,b)=g,

因為(α,"e[0,180]

所以，(α,?)=60,即0和b的夾角為60.

5.若卜∕∣=1,W=2，c=a+b＞且C_La，則向量α與b的夾角為.

2兀

【答案】120。##石

【分析】利用向量數(shù)量積的運算規(guī)律，直接計算求解即可.

【詳解】CJLa，??c?G=0,..(〃+/?)?〃=(),即J+Q.B=。.

∣(7∣=1,∣?∣=2,/.l+2cos(4∕)=0,cos(〃,/?)二一；.

又.0o≤(α,?)≤180o,詞=120。.

6.已知同=2,W=1,且(2"+》)為=3,則向量〃與人的夾角等于.

π

【答案】1##60

【分析】由向量數(shù)量積運算律和定義可求得cos＜“力＞,由此可得夾角.

2

【詳解】[2a+b)?b=2a?b+b=2a^b+?=3f

.?.2a?b=2∣cz∣?∣?∣cos<?,/?>=4cos<a,b>=2,解得：cos<a,b>=；,

乂<a,b>∈[θ,?],.,.<a,b>=y.

7.已知Ial=3,W=4,α?(0-〃)=-2,則向量。與b的夾角的余弦值為.

【答案】?

【分析】根據(jù)題意化簡求出向量α與。的，再利用平面向量的夾角公式即可求解.

【詳解】因為α?S-α)=—2,所以0?A-&2=—2，所以α?Z?=—2+〃=7,

.a?b7

由向量的夾角公式可得?：