2024年2月周口市川匯區(qū)高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷附答案解析

年2月周口市川匯區(qū)高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷2024.02考試時(shí)間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）1．某人設(shè)計(jì)的一個(gè)密碼由2個(gè)英文字母（不分大小寫）后接2個(gè)數(shù)字組成，且2個(gè)英文字母不相同，2個(gè)數(shù)字也互不相同，則該密碼可能的個(gè)數(shù)是（

）A．B．C．D．2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公比（

）A． B． C． D．3．設(shè)集合，，則（

）A．B．C．D．4．已知設(shè)，則，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函數(shù)，若存在四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．8．某校抽取名學(xué)生做體能測(cè)認(rèn)，其中百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛诿肱c秒之間，將測(cè)試結(jié)果分成五組：第一組，第二組，，第五組．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績(jī)低于即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為人，則的估計(jì)值是（）A． B． C． D．二．多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分）9．已知，，則（

）A． B．C． D．10．若復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 B．的虛部為C． D．的共軛復(fù)數(shù)11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，則（

）

A．B．點(diǎn)E到直線的距離為C．直線與平面所成的角的正弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為12．下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．設(shè)，則.14．已知在R上是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則.15．從3名男醫(yī)生和6名女醫(yī)生中選出5人組成一個(gè)醫(yī)療小組．如果這個(gè)小組中男女醫(yī)生都不能少于2人則不同的建組方案共有種．16．已知，，則四、解答題（共6小題，共計(jì)70分.第17題10分，第1822題，每題12分）17．（1）已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且被直線截得的線段長(zhǎng)為．求圓的方程．（2）已知點(diǎn)和圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．18．函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，且，求.19．已知函數(shù)，(1)若，求的值；(2)若對(duì)任意，總存在使得成立，求的取值范圍.20．某學(xué)校從4名男生和3名女生中任選3人作為志愿者．（1）求所選的3人中至少有2名男生的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．21．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）證明：對(duì)任意，．22．已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，證明：，．1．C【分析】由分步計(jì)數(shù)原理，把選擇26個(gè)不同英文字母的排列數(shù)與選擇2個(gè)不同數(shù)字的排列數(shù)相乘即可.【詳解】因?yàn)橛⑽淖帜赣?6個(gè)，所以2個(gè)不同英文字母的排列有種，因?yàn)閿?shù)字有10個(gè)，所以2個(gè)不同數(shù)字的排列有種，由分步計(jì)數(shù)原理，所以該密碼可能的個(gè)數(shù)是.故選：C2．C【解析】用和表示出已知條件后可解得．【詳解】由已知，則，解得．故選：C．3．D【分析】根據(jù)交集的定義由條件求.【詳解】∵，，∴

，故選：D.4．A【分析】先求得復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部的關(guān)系，再去求的最小值即可解決.【詳解】由，可得，可令，則（為銳角，且）由，可得則的最小值為3.故選：A5．D【分析】由題可得和各有兩個(gè)解，利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】令，則，由題意，有兩個(gè)不同的解，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，由圖可知，得或，所以和各有兩個(gè)解，要使和各有兩個(gè)解，必須滿足，由，則，由圖可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解(一解為，一解為3)，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)解(為，3)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解(為)，所以，存在四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D．6．A【解析】利用三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】解：，，，，，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，解答的關(guān)鍵時(shí)利用函數(shù)的性質(zhì)比較其與中間值的大小，即可判斷．7．C【分析】由題可得，即得.【詳解】由題意得，解得，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.8．B【分析】利用左邊的矩形面積之和為列等式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】?jī)?yōu)秀人數(shù)所占的頻率為，測(cè)試結(jié)果位于的頻率為，測(cè)試結(jié)果位于的頻率為，所以，，由題意可得，解得.故選：B.9．BC【分析】根據(jù)得到，計(jì)算，再利用二倍角公式得到和，對(duì)比選項(xiàng)得到答案.【詳解】，則，，故，，，，得到，A錯(cuò)誤；，得到，C正確；，B正確；，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．AD【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷A；求出復(fù)數(shù)的虛部判斷B；求出復(fù)數(shù)的平方判斷C；求出共軛復(fù)數(shù)判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，A正確；對(duì)于B，的虛部為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的共軛復(fù)數(shù)，D正確.故選：AD11．AC【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐一判斷分析各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點(diǎn)E到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.

12．ABC【分析】先求出，根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)求值判斷A，根據(jù)兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值判斷B，根據(jù)兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值判斷C，根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)判斷D.【詳解】，A選項(xiàng)：，故A對(duì)；B選項(xiàng)：，故B對(duì)；C選項(xiàng)：，故C對(duì)；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò).故選：ABC13．2020【詳解】解析：注意到，故，所以.故答案為：2020.14．【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性求得正確答案.【詳解】，所以是周期為的奇函數(shù)，所以.故答案為：15．75【分析】分兩種情況：一種是3名男醫(yī)生2名女醫(yī)生，另一種是2名男醫(yī)生3名女醫(yī)生，利用分類計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】解：由題意可知有兩種情況：一種是選3名男醫(yī)生2名女醫(yī)生，有種，另一種是選2名男醫(yī)生3名女醫(yī)生，有，所以由分類計(jì)數(shù)原理可得共有種建組方案，故答案為：7516．或【分析】先求，值，再代入即得結(jié)果【詳解】，所以，，解得，，所以，即為或.故答案為：或.17．（1）或．（2）．【分析】（1）設(shè)圓方程為，代入，，利用圓被直線截得的線段長(zhǎng)為，即可求圓的方程．（2）設(shè)點(diǎn)，圓的圓心坐標(biāo)為，由題意當(dāng)且可得，即可得到方程，整理可得．【詳解】解：（1）設(shè)圓方程為．因?yàn)辄c(diǎn)，在圓上，代入可得，，又由已知，聯(lián)立，解得，由韋達(dá)定理知，．所以即．即．則，或，．則所求圓方程為：或．（2）設(shè)點(diǎn)，若，此時(shí)，即，若，則，即，圓，即，所以圓心坐標(biāo)為．若且，則，即，整理得，即，顯然和也滿足所以點(diǎn)的軌跡方程為．18．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)五點(diǎn)作圖法和圖象，求正弦型函數(shù)的解析式.（2）利用兩角和與差公式求解.【詳解】解：（1）由圖像可知,則，代入點(diǎn)，得，得，由，得，故.（2）由題意知,得，由，則，則，.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)的圖象求正弦型函數(shù)的解析式，利用兩角和差公式求值及角變換技巧.19．(1)(2)【分析】（1）直接代入求值即可；（2）利用基本不等式和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求最值，再轉(zhuǎn)化為子集問(wèn)題，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由題設(shè)，則，所以.（2）若在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)椋深}意知：，即是的子集，而，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則在上，由于，得，即當(dāng)時(shí)，，對(duì)于的值域：當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且在單調(diào)遞增，所以，故，要使，即，只需，兩邊取對(duì)數(shù)，得，移項(xiàng)得：，由在上為單調(diào)增函數(shù)，故；所以，綜上，.20．（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）記“所選3人至少有2名男生”事件為A，利用組合分別求出事件總的個(gè)數(shù)和事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式即可求解；（2）先分別求出X=0,X=1,X=2,X=3的概率，寫出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記“所選3人至少有2名男生”事件為A，從4名男生和3名女生中選3人，總選法為：，至少2名男生即2名男生或3名男生：所造3人中至少有2名男生概率為．（2）的所有可能取值為：0，1，2，3…，∴的分布列：0123.21．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】(1)對(duì)求導(dǎo)得，對(duì)的取值分類討論即可.(2)由(1)可得，即，結(jié)合，可得，由不等式的放縮法可得，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕瑒t．（?。┊?dāng)時(shí)，則，，∴，即此時(shí)在上單增．∴符合題意．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，在上單減．∴要使在上單增，只需要對(duì)恒成立，即只需要恒成立即可，∴，∴．綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，所以．令，所以，從而，所以，首先，當(dāng)時(shí)，，所以；其次，因?yàn)椋?，所以．故可得到?duì)恒成立．【點(diǎn)睛】(1)導(dǎo)函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化方法：利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；(2)函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類問(wèn)題時(shí)常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量，通過(guò)多次求和達(dá)到證明的目的.22．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分和，討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得出函數(shù)的單調(diào)性.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，由此可得，由裂項(xiàng)相消法結(jié)合題意放縮可證明，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以．?dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，由，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，則，則．又，所以，