2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例 同步分層訓(xùn)練培優(yōu)題

親愛(ài)的同學(xué)加油，給自己實(shí)現(xiàn)夢(mèng)想的一個(gè)機(jī)會(huì)！第頁(yè)2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例同步分層訓(xùn)練培優(yōu)題班級(jí)：姓名：親愛(ài)的同學(xué)，在做題時(shí)，一定要認(rèn)真審題，完成題目后，記得審查，養(yǎng)成好習(xí)慣！祝你輕松完成本次練習(xí)。一、選擇題1．如圖，身高為1.6m的某學(xué)生想測(cè)量一棵大樹(shù)的高度，她沿著樹(shù)影BA由B到A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，她的影子頂端正好與樹(shù)的影子頂端重合，測(cè)得BC=3.2m，CA=0.8m，則樹(shù)的高度為（）A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m2．如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，而且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)6米的位置上，則球拍擊球的高度h為()

A．815米 B．1米 C．43米 D．3．電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為3.5cm×3.5cm，放映屏幕的規(guī)格為2m×2m，若放映機(jī)的光源S距膠片20cm，要使放映的圖象剛好布滿整個(gè)屏幕，則光源S距屏幕的距離為（）A．407m B．807m C．6074．“差之毫厘，失之千里”是一句描述開(kāi)始時(shí)雖然相差很微小，結(jié)果會(huì)造成很大的誤差或錯(cuò)誤的成語(yǔ).現(xiàn)實(shí)中就有這樣的實(shí)例，如步槍在瞄準(zhǔn)時(shí)的示意圖如圖，從眼睛到準(zhǔn)星的距離OE為80cm，眼睛距離目標(biāo)為200m，步槍上準(zhǔn)星寬度AB為2mm，若射擊時(shí)，由于抖動(dòng)導(dǎo)致視線偏離了準(zhǔn)星1mm，則目標(biāo)偏離的距離為（）cm．A．25 B．50 C．75 D．1005．如圖，矩形AEHC是由三個(gè)全等矩形拼成的AH與BE，BF，DF，DG，CG分別交于點(diǎn)P，Q，K，M，N，設(shè)△BPQ，△DKM，△CNH的面積依次為S1，S2，S3.若S1+S3=20，則S2的值為()

A．8 B．12 C．10 D．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，⊙C的圓心為點(diǎn)C(-1，0)，半徑為1．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是（）

A．2 B．83 C．2+22 7．一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AC長(zhǎng)為1cm，面積為1cm2，工人分別按圖中甲、乙兩種方式把它加工成一個(gè)正方形桌面，則正方形的面積較大的是（）.A．甲 B．乙 C．一樣大 D．無(wú)法判斷8．如圖，正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，CG⊥DE于G，BG延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，CG延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)H，交AB于N.下列結(jié)論：①DE=CN；②BHDH=12；③S△DEC=3S△BNH；④A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二、填空題9．據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國(guó)學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過(guò)小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實(shí)像CD（點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）．若物體AB的高為6cm，小孔O到物體和實(shí)像的水平距離BE、CE分別為8cm、6cm，則實(shí)像CD的高度為cm．10．如圖，小明在8：30測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為16m，13：00時(shí)又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為11．如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了.在圖②中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=9cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB(AB與CD相交于點(diǎn)O)，要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓cm12．如圖，在河對(duì)岸有一矩形場(chǎng)地ABCD，為了估測(cè)場(chǎng)地大小，在筆直的河岸l上依次取點(diǎn)E，F(xiàn)，N，使AE⊥I，BF⊥I，點(diǎn)N，A，B在同一直線上。在F點(diǎn)觀測(cè)A點(diǎn)后，沿FN方向走到M點(diǎn)，觀測(cè)C點(diǎn)發(fā)現(xiàn)∠1=∠2測(cè)得EF=15米，F(xiàn)M=2米，MN=8米，∠ANE=45°。（1）AB為米；（2）矩形ABCD的面積為米2。13．如圖，李明打網(wǎng)球時(shí)，球恰好打過(guò)網(wǎng)，且落在離網(wǎng)4m的位置上，則網(wǎng)球的擊球的高度h為．三、解答題14．小玲和曉靜很想知道某塔的高度PQ，于是，他們帶著標(biāo)桿和皮尺進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖所示，首先，小玲在C處放置一平面鏡，她從點(diǎn)C沿QC后退，當(dāng)退行1.8m到B處時(shí)，恰好在鏡子中看到塔頂P的像，此時(shí)測(cè)得小玲眼睛到地面的距離AB為1.5m；然后，曉靜在F處豎立了一根高1.6m的標(biāo)桿EF，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)M、標(biāo)桿頂點(diǎn)E和塔頂P在一條直線上，此時(shí)測(cè)得FM為15．在△ABC中，AB=AC，D是邊BC的中點(diǎn)，以D為角的頂點(diǎn)作∠MDN=∠B=α.如圖1，射線DN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，DM交邊AC于點(diǎn)E.圖1圖2圖3（1）不添加輔助線，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖1中所有與△ADE相似的三角形；（2）如圖2，將∠MDN從圖1中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角不大于α），射線DM，DN分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn).①求證：△BFD∽△CDE；②如圖3，若AB=AC=10，BC=16，在線段AC上有一點(diǎn)P，且AP=3，若點(diǎn)P始終在∠MDN內(nèi)（包括邊界上），求AF的取值范圍；③若α=55°，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，△BDF與△ABC相似.四、綜合題16．如圖1，點(diǎn)光源O射出光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片AB投影到與膠片平行的屏幕上，形成影像CD.已知AB＝0.3dm，膠片與屏幕的距離EF為定值，設(shè)點(diǎn)光源到膠片的距離OE長(zhǎng)為x（單位：dm），CD長(zhǎng)為y（單位：dm），當(dāng)x＝6時(shí)，y＝4.3.（1）求EF的長(zhǎng).（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，在圖2中畫(huà)出圖象，并寫(xiě)出至少一條該函數(shù)性質(zhì)．（3）若要求CD不小于3dm，求OE的取值范圍.17．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，AC平分∠DAE交⊙O于點(diǎn)C，AD⊥DE于點(diǎn)D．（l）求證：直線DE是⊙O的切線．（1）如果BE=2，CE=4，求線段AD的長(zhǎng)．

答案解析部分1．答案：C解析：解答：解：因?yàn)槿撕蜆?shù)均垂直于地面，所以和光線構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似，設(shè)樹(shù)高x米，則ACAB=1.6即0.80.8+3.2=∴x=8故選：C．分析：利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例解題．2．答案：C解析：分析：易得圖中的兩三角形相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得h的值。

解答：∵BC⊥AD，DE⊥AD，

∴BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∵?0.8=106

∴h=43．答案：B解析：分析：作出如圖△ABC和BC邊上的高AD，△APE和PE邊上的高AR，由于△APE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，列方程即可解答．解答：設(shè)AD交PE于R，

∵△APE∽△ABC，

∴ARAD=PEBC又∵PE=3.5cm，BC=200cm，AR=20cm，

∴20AD=3.5200，

解得AD=80007cm=80點(diǎn)評(píng)：解答此題要弄清題意，作出輔助三角形，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答4．答案：A解析：分析：設(shè)目標(biāo)偏離的距離為xm，由于OE=80cm=0.8m，AB=2mm=0.002m，1mm=0.001m，由于AB∥CD，所以利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．解答：設(shè)目標(biāo)偏離的距離為xm，

∵OE=80cm=0.8m，AB=2mm=0.002m，1mm=0.001m，

∴BE=AB=120.001m，

∵AB∥CD，

∴△OBE∽△ODF，

∴BEDF=OEOF，即0.001點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形在實(shí)際生活中的運(yùn)用，在解答此題時(shí)要注意單位的換算，這是此題的易錯(cuò)點(diǎn)5．答案：A解析：分析：由條件可以得出△BPQ∽△DKM∽△CNH，可以求出△BPQ與△DKM的相似比為12，△BPQ與△CNH相似比為13，由相似三角形的性質(zhì)，就可以求出S1，從而可以求出S解答：∵矩形AEHC是由三個(gè)全等矩形拼成的，

∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，

∴四邊形BEFD，四邊形DFGC是平行四邊形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，

∴BE∥DF∥CG

∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，

∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，

∴ABAD＝BQMD＝12，BQCH＝ABAC＝13，

∴△BPQ∽△DKM∽△CNH

∴BQMD＝12，BQCH＝13

∴S1S2＝14，S1S3=19

∴S2=4S1，S3=9S1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式6．答案：D解析：解答：若△ABE的面積最小，則AD與⊙C相切，連接CD，則CD⊥AD；

Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；

由勾股定理，得：AD=22；∴S△ACD=12AD?CD=2；

易證得△AOE∽△ADC，

∴S△AOES△ADC=（OAAD)2=（222)2=12，

即S△AOE=12S△ADC=22；

∴S△ABE=S△AOB-S分析：由于OA的長(zhǎng)為定值，若△ABE的面積最小，則BE的長(zhǎng)最短，此時(shí)AD與⊙相切；可連接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的長(zhǎng)，即可得到△ADC的面積；易證得△AEO∽△ACD，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出△AOE的面積，進(jìn)而可得出△AOB和△AOE的面積差，由此得解．此題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角形面積的求法等知識(shí)；能夠正確的判斷出△BE面積最小時(shí)AD與⊙C的位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．7．答案：A解析：解答：解：在甲中：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為a，三角形面積1=12×AC×BC，則BC=2，∵DE∥CF，

∴∠AED=∠B，

又∠ADE=∠EFB=90°，

∴?ADE~?EFB，

∴ADEF=DEBF，

∴1?aa=a2?a，

∴a=23，

∴正方形面積為49；

在乙中：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為b，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，交DE于N，

由題意AB=AC2+BC2=5，

∵三角形面積1=12AB×CM=12×5CM，

∴CM=25，

∵DE∥AB，

∴?CDE~?CAB，

分析：要比較兩個(gè)正方形面積面積，求出兩個(gè)邊長(zhǎng)即可；在甲中，∠AED=∠B，∠ADE=∠EFB=90°，兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，得出?ADE~?EFB，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，ADEF=DEBF，解得DE=23；在乙中，要求DE，以現(xiàn)在的已知條件無(wú)法求出，題目給出三角形面積，由此可得三角形的高，故過(guò)C作三角形的高CM，由DE∥AB得?CDE~?CAB，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，8．答案：D解析：解答：解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC=∠ECD=90°，∴∠NBC+∠GCD=∠ECD+∠GCD=即：∠NBC=∠ECD∴△NBC?△ECD（ASA）∴CN=DE，故①符合題意；②∴在正方形ABCD中，AB//CD，∴△NBH～△CDH，∴NBDC∵△NBC?△EDC，E為BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是正方形∴NB=1∴NBDC=BH③如下圖示，過(guò)H點(diǎn)作IJ//AD，∴根據(jù)△NBH～△CDH，有HI=1則：HI=∴S△DECS即是：S△DEC=3S④過(guò)B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延長(zhǎng)線于E，∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，∴四邊形PBQG是矩形，∴∠PBQ=90°，∵∠ABC=90°，∴∠NBP=∠QBE，由①得：△BNC≌△CED，∴EC=BN，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=EC，∴BE=BN，∵∠BPN=∠BQE=90°，∴△BPN≌△BQE，∴BP=BQ，∴四邊形PBQG是正方形，∴∠BGE=45°，故④符合題意；⑤如圖示，連接N，E設(shè)BN=x,則BE=EC=x,BC=2x,∵CG⊥DE，∠NBC=∴CN=BEN=B由△ECN的面積可得：1化簡(jiǎn)得：GE=5∴GN=E則有：GN+GE=∴GC=CN?GN=5∵AB//CD，∴△NGB～△CGF，∴BNFC∴BG=3則BG=3FC=2并∵BF=∴2∴GN+GE=2BG，故綜上所述，故答案為：D．分析：根據(jù)題目已知證明△NBC?△ECD可判斷①符合題意；證明△NBH～△CDH可判斷②符合題意；過(guò)H點(diǎn)作IJ//AD，利用S△DEC=12EC·DC，S△BNH=12BN·HI求解即可判斷③符合題意；添加輔助線過(guò)B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延長(zhǎng)線于E，利用△BNC≌△CED，證得△BPN≌△BQE，即可判斷④符合題意；連接N，E，設(shè)BN=x,則9．答案：4.5(也可填寫(xiě)92解析：解答：∵AB//CD，

∴∠BAO=∠DCO，

∵∠AOB=∠COD，

∴△OAB∽△OCD，

∴CDAB=CEBE，

∴CD6=68，10．答案：8m/8米解析：解答：解：根據(jù)題意可得：

∴∠ECF=90°，ED=4m，F(xiàn)D=16m，

∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，

∴∠CED=∠FCD，

∵∠EDC=∠FDC=90°，

∴△EDC∽△FDC，

∴EDDC=DCFD，

∴DC2=ED×FD，

∴DC2=4×16=64，

∴DC=8，

故答案為：8m.

11．答案：27解析：解答：解：由題意得：AC∥BD，

∴△ACO∽△BDO，

∴AC：BD=OA：OB=3，

即AC：9=3，

∴AC=27cm，

故答案為：27.

分析：由題意得AC∥BD，根據(jù)平行線可證△ACO∽△BDO，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.12．答案：（1）15（2）600解析：解答：解：∵AE⊥I，BF⊥I，又∵∠ANE=45°，

∴△ANE和△BNF為等腰三角形，

∴AE=EN，BF=FN，

∵EF=15米，F(xiàn)M=2米，MN=8米，

∴AE=EN=25（米），BF=FN=10（米），

由勾股定理得AN=252米，BN=102米，

∴AB=AN?BN=152米；

過(guò)點(diǎn)C作CH⊥l，過(guò)點(diǎn)B作PQ∥l交AE于點(diǎn)P，交CH于點(diǎn)Q，如圖所示，

∴АЕ∥СН，

∴四邊形PEHQ和四邊形PEFB為矩形，

∴PB=EF=15，PE=BF=QH=10，BQ=FH，

∵∠1=∠2，∠AEF=∠CHM=90°，

∴△AEF∽△СНМ，

∴CHHM=AEFE=2515=53，

設(shè)MH=3x，CH=5x，

∴CQ=5x-10，BQ=FH=3x+2，

∵∠APB=∠ABC=∠CQB=90°，

∴∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBQ=90°，

∴∠PAB=∠CBQ，

∴△АP?！住鰾QC，

∴APQB=PBCQ，

∴153x+2分析：根據(jù)AE⊥I，BF⊥I，∠ANE=45°，可得出△ANE和△BNF為等腰三角形，再求得AE=EN=25（米），BF=FN=10（米），依據(jù)勾股定理可求得AN、BN的值，于是求出AB=AN?BN=15213．答案：1.4解析：解答：解：由題意得，DE∥BC，所以，△ABC∽△AED，所以，DEBC即0.8?解得h=1.4m．故答案為：1.4．分析：判斷出△ABC和△AED相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．14．答案：解：∵∠PQC=∠ABC=90°，∠PCQ=∠ACB，

∴△PCQ∽△ACB，

∴PQAB=QCCB，即PQ1.5=QC1.8，

∴QC=1.2PQ，

∵∠PQF=∠EFM=90°，∠PMQ=∠EMF，

∴△PMQ∽△EMF，

∴PQEF=解析：分析：由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得△PCQ∽△ACB，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得出QC=1.2PQ，再根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得△PMQ∽△EMF，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程可求出PQ的長(zhǎng).15．答案：（1）解：△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE；（2）解：①證明：∵∠FDC是△BFD的一個(gè)外角，∴∠FDC=∠B+∠BFD.∵∠FDC=∠FDE+∠CDE，∠FDE=∠B，∴∠BFD=∠CDE.又∵∠B=∠C，∴△BFD∽△CDE；②如圖4，初始位置時(shí)，AF=0，如圖5，當(dāng)DM過(guò)點(diǎn)P時(shí)，由①知△BFD∽△CDE，∴BFCD=BDCE，即10?AF8=810?3圖4圖5③當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為20°或35°時(shí)，△BDF與△ABC相似.解析：解答：解：（2）③第一種情況：?BDF~?ABC

如下圖所示：

∵在△ABC中，AB=AC，D是邊BC的中點(diǎn)

∴∠NDB=90°

∵∠MDN=∠B=α=55°

∴∠M'DN'=55°

∵?BDF~?ABC

∴∠BDF=∠B=55°

∴∠ADF=35°

∴旋轉(zhuǎn)角為35°

第二種情況：?BFD~?ABC

如下圖所示：

∴∠BFD=∠B=55°

∴∠BDF=70°

∴∠ADF=20°

∴旋轉(zhuǎn)角為20°

綜上，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為20°或35°時(shí)，△BDF與△ABC相似.

分析：本題考查三角形相似的性質(zhì)與判定。

（1）結(jié)合AB=AC，可得∠B=∠C，根據(jù)MDN=∠B，可知△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE；

（2）①由∠FDC=∠B+∠BFD、∠FDC=∠FDE+∠CDE和∠FDE=∠B得∠BFD=∠CDE，結(jié)合∠B=∠MDN，則可證△BFD∽△CDE；②當(dāng)F在A點(diǎn)時(shí)，AF=0；當(dāng)DM過(guò)點(diǎn)P時(shí)，根據(jù)△BFD∽△CDE得BFCD=BDCE，可知AF取值范圍；③當(dāng)α=55°時(shí)，分情況討論：?BDF~?ABC得旋轉(zhuǎn)角是35°；當(dāng)?BFD~?ABC16．答案：（1）解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，

∵OE、OF分別是△OAB及△O