2024年中考數(shù)學專題訓練 專題02 線圓最值（知識解讀）

專題02線圓最值（知識解讀）【專題說明】直線與圓的位置關系是中考數(shù)學一個非常重要的內容，它涉及的知識點較多，題型也千變萬化.最值是數(shù)學知識體系中的重要內容，也是數(shù)學中最具挑戰(zhàn)性的問題.中考命題者對直線與圓知識中的最值問題常常是情有獨鐘，這種導向性使得該知識成為教學中的重點與難點.從問題解決的思路來看，學生要想順利地解決此類問題，需要綜合運用幾何與代數(shù)的相關知識與方法，以及數(shù)形結合等思想，并在此過程中尋找到解決最值問題的方法.本文通過教學實踐，枚舉幾例直線與圓中的最值問題，以供參考.【方法技巧】考點：線圓最值已知O及直線l，O的半徑為r，點Q為O上一點，圓心O與直線l之間的距離為d.位置關系直線與O相離直線與O相切直線與O相交圖示點Q到直線l距離的最大值d＋r2rd＋r此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，其反向延長線與O的交點，即為點Q點Q到直線l距離的最小值d－r0r－d此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，與O的交點即為點Q拓展：在解決某些面積最值問題時，常利用此模型，將問題轉化為求動點到定邊的最大（?。┚嚯x，進而利用面積公式求解【典例分析】【典例1】如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，點E是AB的中點，點P是矩形ABCD內一點，且EP＝AE，連接CP，PD，則△PCD面積的最小值為．【典例2】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，點M是DE的中點，連接BM，CM．將△ADE繞點A逆時針旋轉，則在旋轉過程中，△BMC面積的最大值為．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P是矩形ABCD內一點，且∠BPC＝90°，連接AP，PD，則△APD面積的最小值為．【典例4】如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'B，A'C，則△A'BC面積的最小值為．【典例5】如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，點D是AC邊上一點，點E是平面內一點，且DE＝1，連接AE，CE，則四邊形ABCE面積的最大值為．【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠BCD＝90°，AB＝12，BC＝16．點M是AB上一點，AM＝4，點N是四邊形ABCD內一點，且DN＝5，連接CN，MN．（1）當M，N，D三點共線時，求MN的長；（2）求四邊形BCNM面積的最小值．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的兩個動點，連接EF，將矩形沿EF折疊，點A，B的對應點分別為點H，G．（1）如圖①，當點G落在DC邊上時，連接BG．①若點G為DC的中點，求CF的長；②試探究EF與BG之間的位置關系和數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖②，若點E為AD的中點，連接AH，HC，求四邊形AHCB面積的最大值． 專題02線圓最值（知識解讀）【專題說明】直線與圓的位置關系是中考數(shù)學一個非常重要的內容，它涉及的知識點較多，題型也千變萬化.最值是數(shù)學知識體系中的重要內容，也是數(shù)學中最具挑戰(zhàn)性的問題.中考命題者對直線與圓知識中的最值問題常常是情有獨鐘，這種導向性使得該知識成為教學中的重點與難點.從問題解決的思路來看，學生要想順利地解決此類問題，需要綜合運用幾何與代數(shù)的相關知識與方法，以及數(shù)形結合等思想，并在此過程中尋找到解決最值問題的方法.本文通過教學實踐，枚舉幾例直線與圓中的最值問題，以供參考.【方法技巧】考點：線圓最值已知O及直線l，O的半徑為r，點Q為O上一點，圓心O與直線l之間的距離為d.位置關系直線與O相離直線與O相切直線與O相交圖示點Q到直線l距離的最大值d＋r2rd＋r此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，其反向延長線與O的交點，即為點Q點Q到直線l距離的最小值d－r0r－d此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，與O的交點即為點Q拓展：在解決某些面積最值問題時，常利用此模型，將問題轉化為求動點到定邊的最大（?。┚嚯x，進而利用面積公式求解【典例分析】【典例1】如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，點E是AB的中點，點P是矩形ABCD內一點，且EP＝AE，連接CP，PD，則△PCD面積的最小值為．【答案】3【解答】解：∵BC＝2AB＝4，∴AB＝2，?點E是AB的中點，∴AE＝BE＝1．；∴點P在以點E為圓心，1為半徑的弧上運動，過點P作PQ⊥CD于點Q，過點E作EF⊥CD于點F，則＝PQ，∴當PQ最小時，△PCD的面積取得最小值?EP+PQ≥EF，當E，P，Q三點共線時，PQ取得最小值，最小值為EF﹣EP的值；∴四邊形ABCD是矩形，∴EF＝BC＝4，∴PQ最?。紼F﹣EP＝3，∴S△PCD最小＝PQ最?。?，故答案為：3．【典例2】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，點M是DE的中點，連接BM，CM．將△ADE繞點A逆時針旋轉，則在旋轉過程中，△BMC面積的最大值為．【答案】12．【解答】解：連接AM，交BC于H，.∵AB＝AC，AD＝AE，點M是DE的中點，∴AM⊥DE，AH⊥BC，將△ADE繞點A逆時針旋轉180°，即M'、M、H在同一直線上時，△BMC面積取最大值．∵AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，∴AD＝AE＝2，BH＝＝＝3，∴AM＝AD＝＝，∴AM'＝，∴M'H＝＝4，此時，△BMC面積＝＝＝12．故答案為：12．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P是矩形ABCD內一點，且∠BPC＝90°，連接AP，PD，則△APD面積的最小值為．【答案】2【解答】解：∵∠BPC＝90°，∴點P在以BC為直徑的圓上，即點P到BC的最大距離為2，∴點P到AD的最小值＝3﹣×4＝1，∴S△APD＝×4×1＝2，∴△APD面積的最小值為2．故答案為：2．【典例4】如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'B，A'C，則△A'BC面積的最小值為．【答案】﹣1【解答】解：如圖，由折疊知A'M＝AM，又∵M是AD的中點，∴MA＝MA'＝MD，點A'的運動軌跡就是在以點M為圓心，MA長為半徑的上，過點M作ME⊥BC于點E，連接BD，在菱形ABCD中，∵AD＝AB，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形．∵M是AD的中點，∴點E與點B重合，∴EM＝，設點A'到BC的距離為h，當點A'在ME上時，h取得最小值，最小值為EM﹣A'M＝﹣1，∴△A'BC面積的最小值為＝BC?h＝×2×（﹣1）＝﹣1，故答案為：﹣1．【典例5】如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，點D是AC邊上一點，點E是平面內一點，且DE＝1，連接AE，CE，則四邊形ABCE面積的最大值為．【答案】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝．經(jīng)分析，當DE⊥AC于D時，四邊形ABCE面積的最大．∴四邊形ABCE面積的最大值為S四邊形ABCE＝S△ABC+S△ACE＝DE＝＝．故答案為：．【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠BCD＝90°，AB＝12，BC＝16．點M是AB上一點，AM＝4，點N是四邊形ABCD內一點，且DN＝5，連接CN，MN．（1）當M，N，D三點共線時，求MN的長；（2）求四邊形BCNM面積的最小值．【解答】解：（1）延長DA到F，作MG⊥AF于G，AE⊥BC于E，∵∠B＝60°，AB＝12，∴BE＝6．∴AD＝EC＝10，∵AM＝4，∠AMG＝30°，∴AG＝2，MG＝2，∴DG＝12，∵DM2＝DG2+MG2，∴DM2＝122+（2）2，∴DM＝2，∴MN＝2﹣5；（2）取BC中點K，連接MC，MK，作NH⊥MC于H，DL⊥MC于L，∵∠B＝60°，BM＝BK＝8，∴△MBK是等邊三角形，∴MK＝KC＝6，∠MKB＝60°，∴∠KMC＝∠MCK＝30°，∴∠BMC＝90°∴MC＝8，∴S△MBC＝MC?MB＝32，∴當△NMC面積最小時，四邊形MBCN面積最小，∵DN＝5，∴當D，N，H三點共線時，NH最小，△NMC面積最小，由（1）知DC＝AE＝6，∴DL＝DC＝9，∴NH最小值為：4，∴S△NMC的最小值為：CM?NH＝16，∴四邊形MBCN面積最小值為：32+16＝48．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的兩個動點，連接EF，將矩形沿EF折疊，點A，B的對應點分別為點H，G．（1）如圖①，當點G落在DC邊上時，連接BG．①若點G為DC的中點，求CF的長；②試探究EF與BG之間的位置關系和數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖②，若點E為AD的中點，連接AH，HC，求四邊形AHCB面積的最大值．【解答】解：（1）①如圖①中，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝4，BC＝6，∵DG＝CG＝2，由翻折的性質可知，F(xiàn)B＝FG，設FB＝FG＝x，∵FG2＝CG2+CF2，∴x2＝（6﹣x）2+22，∴x＝，∴CF＝6﹣＝；②結論：EF⊥BG，＝．理由：如圖①中，過點E作ET⊥BC于點T，設BG交ET于點J，BG交EF于點O，則四邊形ABTE是矩形，ET＝AB＝4．由翻折變換的性質可知，EF垂直平分線段BG，∴∠EOJ＝∠BTJ＝90°，∵∠