湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練 專題2.11 平方差公式（知識講解）

專題2.11平方差公式（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如【典型例題】類型一、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算 1、(2023·南陽市第三中學(xué)八年級月考）先化簡再求值：，其中x=-2【答案】，－16【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘法的計(jì)算法則和平方差公式化簡原式后再把x的值代入計(jì)算即可．解：原式∴當(dāng)時(shí)，原式=．【點(diǎn)撥】本題考查整式的化簡求值，根據(jù)多項(xiàng)式乘法的計(jì)算法則和平方差公式對原式進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】(2023·全國七年級）已知，求代數(shù)式的值．【答案】－10【分析】先算乘法，再合并同類項(xiàng)，最后整體代入求出即可．解：＝＝＝．∵，∴．∴原式＝．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，能運(yùn)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，用了整體代入思想，難度適中．【變式2】(2023·山東棗莊市·七年級期末）通過學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)體會到靈活運(yùn)用乘法公式給整式的乘法運(yùn)算帶來的方便、快捷，相信通過下面材料的學(xué)習(xí)、探究，會使你大開眼界，并獲得成功的喜悅．例：用簡便方法計(jì)算．解：（1）例題求解過程中，第步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（2）用簡便方法計(jì)算：．【答案】（1）平方差公式；（2）9999【分析】（1）利用平方差公式的特征進(jìn)行判斷；

（2）把9×11×101化為（100-1）（100+1），然后利用平方差公式計(jì)算．解：（1）由題意可得：第步變形是利用平方差公式，故答案為：平方差公式；

（2）9×11×101=99×101=（100-1）（100+1）=10000-1=9999．【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計(jì)算問題．2(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級課時(shí)練習(xí)）【答案】【分析】原式看成分子為1的分?jǐn)?shù)，分子和分母同時(shí)乘以，再利用平方差公式依次計(jì)算即可．解：原式【點(diǎn)撥】本題考查利用平方差公式計(jì)算．能將原式變形，湊成平方差公式是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級課時(shí)練習(xí)）【答案】【分析】利用平方差公式計(jì)算即可．解：原式＝＝＝＝．【點(diǎn)撥】本題考查平方差公式，熟悉平方差公式的形式是關(guān)鍵．類型二、運(yùn)用平方差公式解決面積問題 3(2023·岳陽市第十中學(xué)七年級期中）從邊長為的正方形中剪掉一個(gè)邊長為的正方形(如圖1)，然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2)．上述操作能驗(yàn)證的等式是；(請選擇正確的一個(gè)）A．B．C．D．應(yīng)用你從選出的等式，完成下列各題：①已知，求的值．②計(jì)算：．【答案】（1）C；（2）①x=；②【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，即可列出等式；（2）①把x2﹣4y2利用（1）的結(jié)論寫成兩個(gè)式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求出x－2y，然后聯(lián)立方程組即可求出x的值；②利用（1）的結(jié)論化成式子相乘的形式即可求解．解：（1）第一個(gè)圖形中陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個(gè)圖形的面積是（a+b）（a﹣b），則a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故選C；（2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3聯(lián)立①＋②，得2x=7解得：x=；②=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）=×=．【點(diǎn)評】本題主要考查了平方差公式的幾何表示，表示出圖形陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】(2023·浙江杭州市·七年級其他模擬）（1）①如圖1，從動長為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，設(shè)圖1中的陰影部分面積為s，則______（用含a，b代數(shù)式表示）②若把圖1中的圖形，沿著線段剪開（如圖2），把剪成的兩張紙片拼成如圖3的長方形，請寫出上述過程你所發(fā)現(xiàn)的乘法公式．

（2）下列紙片中有兩張是邊長為a的正方形，三張是長為a，寬為b的長方形紙片，一張是邊長為b的正方形紙片，你能否將這些紙片拼成一個(gè)長方形，請你畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式．

【答案】（1）①a2-b2；②a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）能，圖見解析，(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2【分析】（1）①利用正方形的面積公式，陰影部分的面積=大正方形的面積-空白部分小正方形的面積；②利用長方形的面積公式得圖3的面積，與①中的陰影面積建立等式即可；（2）拼成長方形的長為b+2a，寬為a+b，計(jì)算長方形的面積即可得到結(jié)論．解：（1）①陰影部分的面積s=a2-b2，故答案為：a2-b2；②∵圖3中s=(a+b)(a-b)，∴a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）拼接的長方形如圖所示，長為(b+2a)，寬為a+b，面積為b2+3ab+2a2，所以，得到的等式為(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2．【點(diǎn)撥】此題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運(yùn)用不同方法表示面積是解題的關(guān)鍵．【變式2】(2023·福建莆田市·七年級期中）在邊長為a的正方形的一角減去一個(gè)邊長為的小正方形（），如圖①（1）由圖①得陰影部分的面積為_______________；（2）沿圖①中的虛線剪開拼成圖②，則圖②中陰影部分的面積為_________________；（3）由（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論：______________=_________________；（4）利用（3）中得出的結(jié)論計(jì)算：【答案】（1）；（2）；（3），；（4）【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論；

（3）由（1）（2）的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（4）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．解：（1）由圖①得陰影部分的面積為；故答案為：；

（2）沿圖①中的虛線剪開拼成圖②，則圖②中陰影部分的面積為；故答案為：；（3）由（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論：=；故答案為：，；

（4）．【點(diǎn)撥】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)正方形的面積公式和梯形的面積公式得出它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】(2023·山西臨汾市·八年級期中）實(shí)踐與探索如圖1，邊長為的大正方形有一個(gè)邊長為的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是__________；（請選擇正確的一個(gè)）A．B．C．（2）請應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知，，則__________．②計(jì)算：【答案】（1）A；（2）①4；②5050【分析】（1）圖1表示，圖2的面積表示，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影面積相等即可判斷；（2）①將原式變形為，代入即可求解；②將原式每兩項(xiàng)應(yīng)用平方差公式進(jìn)行變型，然后即可求解．解：（1）圖1表示，圖2的面積表示，兩個(gè)圖形陰影面積相等，得到故選A；（2）①∵∴，解得②原式=（1002-992）+（982