滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 27.2圓心角、弧 弦、弦心距之間的關(guān)系（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

27.2圓心角、弧弦、弦心距之間的關(guān)系（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023·上海浦東新區(qū)民辦遠(yuǎn)翔實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧B．如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對(duì)的圓心角相等C．圓的對(duì)稱軸是任意一條直徑所在的直線D．拱形不一定是弓形2．(2023·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．真命題的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個(gè)說(shuō)法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．(2023·上海金山·二模）下列命題中，真命題是（

）A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 B．互為補(bǔ)角的兩個(gè)角都是銳角C．相等的弦所對(duì)的弧相等 D．等腰梯形的對(duì)角線相等5．(2023·上海金山區(qū)世界外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）如圖，是弧所在圓的圓心．已知點(diǎn)B、C將弧AD三等分，那么下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的是（

）A． B． C． D．．6．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，E、F是正方形邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，連接交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．7．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，已知為的直徑，點(diǎn)，在上，若，則（

）A． B． C． D．8．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在⊙O中，AB為直徑，圓周角∠ACD=20°，則∠BAD等于（）A．20° B．40° C．70° D．80°二、填空題9．(2023·上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，是的直徑，，，則______．10．(2023·上海浦東新區(qū)民辦遠(yuǎn)翔實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在中，，則______________．11．(2023·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）在半面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），P是第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，則我們把（m°，n°）叫做點(diǎn)P的“雙角坐標(biāo)”例如，點(diǎn)（1，1）的“雙角坐標(biāo)”為（45°，90°）（1）點(diǎn)（）的“雙角坐標(biāo)”為___．（2）若“雙角坐標(biāo)”為（30°，60°），則點(diǎn)坐標(biāo)為___．（3）若點(diǎn)P到x軸的距離為，則m+n的最小值為___．12．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，若，那么與__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．13．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的直徑，C為上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得，若，則的最大值為__________．三、解答題14．(2023·上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，△ABC的邊AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，DE交邊BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DE的垂線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，線段DF交AC于點(diǎn)N．(1)求證：四邊形CMDN是矩形；(2)聯(lián)結(jié)CD，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求證：EF?CB＝2AB?ME．15．(2023·上海市青浦區(qū)教育局二模）如圖，已知是的直徑，是上一點(diǎn)，點(diǎn)、在直徑兩側(cè)的圓周上，若平分，求證：劣弧與劣弧相等．16．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點(diǎn)M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．（1）求證：AB＝AC；（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．【能力提升】一、單選題1．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直徑相等的兩個(gè)圓是等圓B．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長(zhǎng)的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧二、填空題2．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知⊙的直徑是4，⊙上兩點(diǎn)、分⊙所得劣弧與優(yōu)弧之比為1：3，則弦的長(zhǎng)為__________．3．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知半圓直徑，點(diǎn)C、D三等分半圓弧，那么的面積為________．4．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三條邊所截得弦長(zhǎng)相等，則∠BOC=__．5．(2023·上海市進(jìn)才中學(xué)一模）如圖，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)．將扇形AOB沿EF對(duì)折，使得折疊后的圓弧恰好與半徑OB相切于點(diǎn)G，若OE＝5，則O到折痕EF的距離為________________．三、解答題6．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長(zhǎng)為，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)(B、C兩點(diǎn)除外)(參考數(shù)據(jù)：，，．(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)求△ABC面積的最大值．7．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知是⊙的弦，半徑、與分別交于點(diǎn)、，且．求證：．8．(2023·上海楊浦·三模）如圖，已知在中，，垂足為點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在弦的延長(zhǎng)線上，與相交于點(diǎn)，，．（1）求的半徑長(zhǎng)；（2）求的值．9．(2023·上海虹口·二模）已知：如圖，、是的兩條弦，，點(diǎn)、分別在弦、上，且，，聯(lián)結(jié)、．(1)求證：；(2)當(dāng)為銳角時(shí)，如果，求證：四邊形為等腰梯形．10．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑的⊙Q分別交BC、BA于點(diǎn)F、E，點(diǎn)E位于點(diǎn)D下方，連接EF交CD于點(diǎn)G．（1）如圖1，如果BC＝2，求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，設(shè)BC＝x，＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；（3）如圖3，連接CE，如果CG＝CE，求BC的長(zhǎng)．11．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn)，連接，是⊙上一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)位于兩側(cè)，且，連接．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)及的值．12．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，AB是圓O的一條弦，點(diǎn)O在線段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=．求：(1)圓O的半徑長(zhǎng)；(2)BC的長(zhǎng)．13．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直徑．求證：BD=CD．14．(2023·上海楊浦·二模）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)A作ADOC交半圓于點(diǎn)D，E是直徑AB上一點(diǎn)，且AE＝AD，聯(lián)結(jié)CE、CD．（1）求證：CE＝CD；（2）如果，延長(zhǎng)EC與弦AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OD，求證：四邊形OCFD是菱形．15．(2023·上海市奉賢區(qū)金匯學(xué)校九年級(jí)期末）已知⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)P為弧AB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA、PO，點(diǎn)C為劣弧AP上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、P重合），聯(lián)結(jié)BC交PA、PO于點(diǎn)D、E．（1）如圖，當(dāng)cos∠CBO＝時(shí)，求BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)C為劣弧AP的中點(diǎn)，且△EDP與△AOP相似時(shí)，求∠ABC的度數(shù)；（3）當(dāng)AD＝2DP，且△BEO為直角三角形時(shí)，求四邊形AOED的面積．16．(2023·上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，菱形，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓分別交邊、、、于點(diǎn)、、、．（1）求證：；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求證：．17．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知，內(nèi)接于，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，連接、；（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若平分，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，求的值．27.2圓心角、弧弦、弦心距之間的關(guān)系（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023·上海浦東新區(qū)民辦遠(yuǎn)翔實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧B．如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對(duì)的圓心角相等C．圓的對(duì)稱軸是任意一條直徑所在的直線D．拱形不一定是弓形答案:B分析：根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)過(guò)圓心的直線都為圓的對(duì)稱軸可對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)拱形與弓形的定義對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對(duì)的圓心角相等，所以B選項(xiàng)符合題意；C．圓的對(duì)稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．拱形加上跨度為弓形，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了軸對(duì)稱．2．(2023·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．真命題的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:C分析：利用圓的有關(guān)性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧不一定相等，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，正確，是真命題，符合題意；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，真命題有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了真假命題的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)，難度不大．3．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個(gè)說(shuō)法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:C分析：根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，∴，，，，∴＝2，故①正確；AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②錯(cuò)誤；OC⊥BD，故③正確；∠AOD＝3∠BOC，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．(2023·上海金山·二模）下列命題中，真命題是（

）A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 B．互為補(bǔ)角的兩個(gè)角都是銳角C．相等的弦所對(duì)的弧相等 D．等腰梯形的對(duì)角線相等答案:D分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，圓內(nèi)弧、弦、圓周角的關(guān)系，等腰梯形的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，故原命題是假命題，不合題意；B、互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不一定是銳角，例如100°和80°，故原命題是假命題，不合題意；C、同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等，故原命題是假命題，不合題意；D、等腰梯形的對(duì)角線相等，故原命題是真命題，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，圓內(nèi)弧、弦、圓周角的關(guān)系，等腰梯形的性質(zhì)，判斷命題的真假，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．(2023·上海金山區(qū)世界外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）如圖，是弧所在圓的圓心．已知點(diǎn)B、C將弧AD三等分，那么下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的是（

）A． B． C． D．．答案:B分析：利用三等分點(diǎn)得到，由此判斷A；根據(jù)AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判斷B；根據(jù)即可判斷C；根據(jù)，得到，由此判斷D．【詳解】解：連接AB、BC，OB，∵點(diǎn)B、C將弧AD三等分，∴，∴，故A選項(xiàng)正確；∵，∴AB=BC=CD，∵AB+BC>AC，∴AC<2CD，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴，故C選項(xiàng)正確；∵，∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∴，∴，故D選項(xiàng)正確；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角、弧、弦定理：在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦中有一個(gè)量相等，另兩個(gè)量也對(duì)應(yīng)相等．6．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，E、F是正方形邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，連接交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．答案:A分析：延長(zhǎng)AG交CD于M，如圖1，可證△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再證△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可證△ABE≌△ADM，可得H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)，取AB中點(diǎn)O，連接OD，OH，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得不等式，可解得DH長(zhǎng)度的最小值．【詳解】解：延長(zhǎng)AG交CD于M，如圖1∵ABCD是正方形∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG∴△ADG≌△DGC∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC∴△ADM≌△CDF∴FD=DM且AE=DF∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°∴△ABE≌△ADM∴∠DAM=∠ABE∵∠DAM+∠BAM=90°∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°∴點(diǎn)H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)．如圖2，取AB中點(diǎn)O，連接OD，OH∵AB=AD=2，O是AB中點(diǎn)，∴AO=1=OH，在Rt△AOD中，OD=，∵DH≥OD-OH，∴DH≥，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是證點(diǎn)H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)．7．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，已知為的直徑，點(diǎn)，在上，若，則（

）A． B． C． D．答案:C分析：連接AD,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，求∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，利用內(nèi)角和求解.【詳解】解：連接AD,則∠BAD=∠BCD=28°,∵AB是直徑，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，運(yùn)用圓周角定理是解決圓中角問(wèn)題的重要途徑，直徑所對(duì)的圓周角是90°是圓中構(gòu)造90°角的重要手段.8．(2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在⊙O中，AB為直徑，圓周角∠ACD=20°，則∠BAD等于（）A．20° B．40° C．70° D．80°答案:C分析：連接OD，根據(jù)∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】連接OD．∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°．∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO=（180°﹣40°）=70°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．二、填空題9．(2023·上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，是的直徑，，，則______．答案:##40度分析：根據(jù)圓周角定理（同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，均等于所對(duì)圓心角的一半）求解即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是圓周角定理的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見(jiàn)，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．10．(2023·上海浦東新區(qū)民辦遠(yuǎn)翔實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在中，，則______________．答案:##40度分析：根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等，求出的度數(shù)，即可利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解：∵在中，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，正確求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．(2023·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）在半面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），P是第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，則我們把（m°，n°）叫做點(diǎn)P的“雙角坐標(biāo)”例如，點(diǎn)（1，1）的“雙角坐標(biāo)”為（45°，90°）（1）點(diǎn)（）的“雙角坐標(biāo)”為___．（2）若“雙角坐標(biāo)”為（30°，60°），則點(diǎn)坐標(biāo)為___．（3）若點(diǎn)P到x軸的距離為，則m+n的最小值為___．答案:

（，）

（，）

90分析：（1）分別求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度數(shù)，從而得出答案；（2）作于點(diǎn)B，設(shè)，利用三角函數(shù)求出OB、AB，由即可解出答案；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，則∠OPA需取得最大值，以O(shè)A中點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，與直線y＝相切于點(diǎn)P，由∠OPA＝∠1＞∠OP′A知此時(shí)∠OPA最大，∠OPA＝90°，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵P（，），OA＝1，，，∴∠POA＝45°，∠PAO＝45°，即點(diǎn)P的“雙角坐標(biāo)”為（45°，45°），故答案為：（45°，45°）；（2）如圖，點(diǎn)P的“雙角坐標(biāo)”為（30°，60°），作于點(diǎn)B，∵“雙角坐標(biāo)”為（30°，60°），∴∠POA＝30°，∠PAO＝60°，設(shè)，則，，解得，，，∴點(diǎn)P的點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．故答案為：（，）；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，則∠OPA需取得最大值，如圖，∵點(diǎn)P到x軸的距離為，OA＝1，∴以O(shè)A中點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，與直線y＝相切于點(diǎn)P，在直線y＝上任取一點(diǎn)P′，連接、，交圓于點(diǎn)Q，∵∠OPA＝∠1，，∴，∴此時(shí)∠OPA最大，∠OPA＝90°，∴m+n的最小值為:．故答案為90．【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)及圓周角定理，根據(jù)內(nèi)角和定理推出m+n取得最小值即為∠OPA取得最大值，且找到滿足條件的點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵．12．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，若，那么與__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．答案:一定分析：根據(jù)圓心角、弧、弦關(guān)系定理進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴AB=AC,∴=，故答案為：一定．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角，熟知在同圓和等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等是解答此題的關(guān)鍵．13．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的直徑，C為上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得，若，則的最大值為__________．答案:分析：將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，則D與點(diǎn)C重合，B′是定點(diǎn)，BD的最大值即B′C的最大值，當(dāng)B′，O，C三點(diǎn)共線時(shí)，BD最大【詳解】解：將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，則D與點(diǎn)C重合，B′是定點(diǎn)，BD的最大值即B′C的最大值，當(dāng)B′，O，C三點(diǎn)共線時(shí)，BD最大過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E由題意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°∴AE=2，B′E=，OC=OB=2在Rt△OEB′中，B′O=∴B′D=B′O+OC=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，題目有一定的難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．三、解答題14．(2023·上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，△ABC的邊AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，DE交邊BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DE的垂線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，線段DF交AC于點(diǎn)N．(1)求證：四邊形CMDN是矩形；(2)聯(lián)結(jié)CD，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求證：EF?CB＝2AB?ME．答案:(1)過(guò)程見(jiàn)解析(2)過(guò)程見(jiàn)解析分析：對(duì)于（1），先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得∠ACB=90°，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得∠CMD=90°，然后根據(jù)已知條件得出∠EDF=90°，即可得出結(jié)論；對(duì)于（2），連接CD，根據(jù)同角的余角相等得∠CDM=∠B，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得CD=CE，可知∠CDM=∠E，進(jìn)而得出∠B=∠E，然后結(jié)合“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)DE=2DM=2EM代入得出答案即可．（1）∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°．∵點(diǎn)E和點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，∴DM=EM，DE⊥BC，∴∠CMD=90°．∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°，∴∠ACB=∠EDF=∠CMD=90°，∴四邊形CMDN是矩形；（2）如圖，連接CD．∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠DCM+∠B=90°．∵DE⊥DF，∴∠CDM+∠DCM=90°，∴∠CDM=∠B．∵點(diǎn)E和點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，∴CD=CE，∴∠CDM=∠E，∴∠B=∠E．∵∠ACB=∠FDE=90°，∴，∴，即EF·BC=AB·DE．由（1）得DM=EM，∴DE=2ME，∴EF·BC=AB·2ME，即EF·BC=2AB·ME．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于圓的綜合問(wèn)題，考查了矩形的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，對(duì)稱的性質(zhì)等．15．(2023·上海市青浦區(qū)教育局二模）如圖，已知是的直徑，是上一點(diǎn)，點(diǎn)、在直徑兩側(cè)的圓周上，若平分，求證：劣弧與劣弧相等．答案:見(jiàn)詳解分析：過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分別為E、F，連接OC、OD，由題意易得OE=OF，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求證．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分別為E、F，連接OC、OD，如圖所示：∵平分，∴OE=OF，∵OC=OD，∴（HL），∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．16．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點(diǎn)M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．（1）求證：AB＝AC；（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．答案:（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．分析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，利用角平分線的性質(zhì)和垂徑定理即可得出答案；（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，首先證明，然后再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】證明：（1）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE．，．，，∴AB＝AC；（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，如圖所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直徑相等的兩個(gè)圓是等圓B．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長(zhǎng)的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧答案:B分析：利用圓的有關(guān)定義進(jìn)行判斷后利用排除法即可得到正確的答案；【詳解】A、直徑相等的兩個(gè)圓是等圓，正確，不符合題意；B、長(zhǎng)度相等的兩條弧圓周角不一定相等，它們不一定是等弧，原題的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，符合題意；C、圓中最長(zhǎng)的弦是直徑，正確，不符合題意；D、一條直徑把圓分成兩條弧，這兩條弧是等弧，正確，不符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，了解圓中有關(guān)的定義及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題2．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知⊙的直徑是4，⊙上兩點(diǎn)、分⊙所得劣弧與優(yōu)弧之比為1：3，則弦的長(zhǎng)為__________．答案:分析：根據(jù)題意可得出劣弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，利用半徑是2，由勾股定理求出即可．【詳解】解：∵圓的一條弦把圓分成度數(shù)的比為1：3的兩條弧，∴劣弧的度數(shù)為:，∴劣弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)90°，∵⊙的直徑是4，∴OB=OC=2，∴BC=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，以及勾股定理，根據(jù)已知得出圓心角的度數(shù)90°，再利用勾股定理求出是解題的關(guān)鍵．3．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知半圓直徑，點(diǎn)C、D三等分半圓弧，那么的面積為________．答案:分析：連接OC，OD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)C、D三等分半圓弧，可知是等邊三角形，從而可以證得CD∥AB，所以和的面積相等，利用30°所對(duì)的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，即可求得面積．【詳解】解：連接OC，OD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，如圖，∵點(diǎn)C、D三等分半圓弧，∴∠COD=∠BOD=60°，∵OC=OD，∴是等邊三角形，∴∠CDO=60°，∴∠CDO=∠BOD，∴CD∥AB，∴，∵OE⊥CD，∴∠COE=∠COD=30°，∴，在中，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧與圓心角的關(guān)系、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、30°所對(duì)的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．4．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三條邊所截得弦長(zhǎng)相等，則∠BOC=__．答案:125°分析：先利用O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，得出即O是△ABC的內(nèi)心，從而，∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)一步求出∠BOC的度數(shù)．【詳解】∵△ABC中∠A=70°，O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3=(180°?∠A)=(180°?70°)=55°；∴∠BOC=180°?(∠1+∠3)=180°?55°=125°.故答案為125°.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)與應(yīng)用.5．(2023·上海市進(jìn)才中學(xué)一模）如圖，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)．將扇形AOB沿EF對(duì)折，使得折疊后的圓弧恰好與半徑OB相切于點(diǎn)G，若OE＝5，則O到折痕EF的距離為________________．答案:分析：過(guò)點(diǎn)G作OG的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交EF于點(diǎn)H，連接，則點(diǎn)、G、F在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，證得四邊形為矩形，接著求得的長(zhǎng)，再求得的長(zhǎng)，又證得，從而得到，進(jìn)而得到O到折痕EF的距離．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作OG的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交EF于點(diǎn)H，連接，則點(diǎn)、G、F在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，∵與是等弧∴與是等圓∴∵∴∴四邊形為矩形∴∴∵∴若則∴∴連接，有∵∴∴∴∴∴即O到折痕EF的距離為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱、三角形、矩形與圓的綜合問(wèn)題，是填空題的壓軸題，懂得根據(jù)題意構(gòu)造出等圓是解題的關(guān)鍵．三、解答題6．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長(zhǎng)為，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)(B、C兩點(diǎn)除外)(參考數(shù)據(jù)：，，．(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)求△ABC面積的最大值．答案:（1）60°；（2）分析：（1）連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，得到∠DCB＝90°，BD＝4，再解直角三角形即可解答.（2）因?yàn)椤鰽BC的邊BC的長(zhǎng)不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)A應(yīng)落在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)處，過(guò)OE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EO交O于點(diǎn)A，則A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，連接AB，AC，則AB=AC，由圓周角定理可求出∠BAE的度數(shù)，在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值可求出AE的長(zhǎng)，由三角形的面積公式即可解答．【詳解】(1)連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．∵BD是直徑，∴BD＝4，∠DCB＝90°．在Rt△DBC中，，∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°．(2)因?yàn)椤鰽BC的邊BC的長(zhǎng)不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)A應(yīng)落在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)處．過(guò)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)A，則A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)．連結(jié)AB，AC，則AB＝AC，∠BAE∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE，∠BAE＝30°，∴，∴．答：△ABC面積的最大值是．【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，解直角三角形，解題關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值.7．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知是⊙的弦，半徑、與分別交于點(diǎn)、，且．求證：．答案:見(jiàn)解析分析：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)與⊙交于，利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到，再根據(jù)及垂徑定理求解即可；【詳解】證明：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)與⊙交于．∵是圓心，且是弦的中點(diǎn)，∴，，∵且，∴．∵，平分，∴．∴平分．∴．又∵過(guò)圓心，∴．∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和垂徑定理，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．8．(2023·上海楊浦·三模）如圖，已知在中，，垂足為點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在弦的延長(zhǎng)線上，與相交于點(diǎn)，，．（1）求的半徑長(zhǎng)；（2）求的值．答案:（1）5；（2）分析：（1）連接，設(shè)半徑為，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理即可求出；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，利用圓周角定理以及已知條件求出和的長(zhǎng)即可計(jì)算的值．【詳解】解：（1）連接，如圖所示：設(shè)半徑為，則由題意可知：，，又，垂足為點(diǎn)，，在中，，即，，解得：，的半徑長(zhǎng)為5；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則，由（1）可知，，，在中：，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)計(jì)算，涉及圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練相關(guān)知識(shí)結(jié)合圖形合理作出輔助線是解題關(guān)鍵．9．(2023·上海虹口·二模）已知：如圖，、是的兩條弦，，點(diǎn)、分別在弦、上，且，，聯(lián)結(jié)、．(1)求證：；(2)當(dāng)為銳角時(shí)，如果，求證：四邊形為等腰梯形．答案:(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析分析：（1）證明即可；（2）由可得，可得，再證明OM∥AC即可．（1）∵、是的兩條弦，，∴在和中∴（SAS）∴；（2）∵∴∵∴∴∵∴∴，OM∥AC∴∴四邊形為等腰梯形．【點(diǎn)睛】本題考查圓的弧弦關(guān)系、全等三角形的證明、等腰梯形、相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是由弦得到．10．(2023··九年級(jí)專題練習(xí)）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑的⊙Q分別交BC、BA于點(diǎn)F、E，點(diǎn)E位于點(diǎn)D下方，連接EF交CD于點(diǎn)G．（1）如圖1，如果BC＝2，求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，設(shè)BC＝x，＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；（3）如圖3，連接CE，如果CG＝CE，求BC的長(zhǎng)．答案:（1）DE＝；（2）y＝（x＞1）．（3）BC＝1+．分析：（1）如圖1中，連接CE．在Rt△CDE中，求出CD，CE即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，連接CE，設(shè)AC交⊙Q于K，連接FK，DF，DK．想辦法用x表示CD，DE，證明FK∥AB，推出，延長(zhǎng)構(gòu)建關(guān)系式即可解決問(wèn)題．根據(jù)點(diǎn)E位于點(diǎn)D下方，確定x的取值范圍即可．（3）如圖3中，連接FK．證明ED＝EC，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）如圖1中，連接CE．在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，∵CD是⊙Q的直徑，∴∠CED＝90°，∴CE⊥AB，∵BD＝AD，∴CD＝∵?AB?CE＝?BC?AC，∴CE＝，在Rt△CDE中，DE＝．（2）如圖2中，連接CE，設(shè)AC交⊙Q于K，連接FK，DF，DK．∵∠FCK＝90°，∴FK是⊙Q的直徑，∴直線FK經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，∵CD是⊙Q的直徑，∴∠CFD＝∠CKD＝90°，∴DF⊥BC，DK⊥AC，∵DC＝DB＝DA，∴BF＝CF，CK＝AK，∴FK∥AB，∴，∵BC＝x，AC＝1，∴AB＝，∴DC＝DB＝DA＝，∵△ACE∽△ABC，∴可得AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝，∴，，∴y＝（x＞1）．（3）如圖3中，連接FK．∵CE＝CG，∴∠CEG＝∠CGE，∵∠FKC＝∠CEG，∵FK∥AB，∴∠FKC＝∠A，∵DC＝DA，∴∠A＝∠DCA，∴∠A＝∠DCA＝∠CEG＝∠CGE，∴∠CDA＝∠ECG，∴EC＝DE，由（2）可知：，整理得：x2﹣2x﹣1＝0，∴x＝1+或1﹣（舍棄），∴BC＝1+．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．11．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn)，連接，是⊙上一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)位于兩側(cè)，且，連接．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)及的值．答案:（1）證明見(jiàn)解析；（2）CE=，分析：（1）利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∽得出比例式求出，，利用勾股定理求出，再判斷出∽，可求出FM；進(jìn)而判斷出四邊形是矩形，求出，即可求出，再用勾股定理求出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，∴，∵是⊙的直徑，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴∽，∴，∵，，∴，，∴，在中，，∴，，過(guò)點(diǎn)作于，∵，，∴∽，∴，∵，∴，，∴，過(guò)點(diǎn)作于，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，在中，．故答案為（1）證明見(jiàn)解析；（2）CE=，【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)，等角的余角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，AB是圓O的一條弦，點(diǎn)O在線段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=．求：(1)圓O的半徑長(zhǎng)；(2)BC的長(zhǎng)．答案:（1）5（2）分析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，設(shè)OH＝3k，AO＝5k，則AH＝，得到AB＝2AH＝8k，求得AC＝AB＝8k，列方程即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，在Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，∴sinA＝，設(shè)OH＝3k，AO＝5k，則AH＝，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝8k，∴AC＝AB＝8k，∴8k＝5k+3，∴k＝1，∴AO＝5，即⊙O的半徑長(zhǎng)為5；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∴sinA＝，∵AC＝8，∴CG＝，AG＝，BG＝，在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，∴BC＝．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．(2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直徑．求證：BD=CD．答案:證明見(jiàn)解析分析：根據(jù)AB=AC，得到，于是得到∠ADB=∠ADC，根據(jù)AD是⊙O的直徑，得到∠B=∠C=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到結(jié)論．【詳解】證明：∵AB=AC，∴，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴，∴BD=CD．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．14．(2023·上海楊浦·二模）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)A作ADOC交半圓于點(diǎn)D，E是直徑AB上一點(diǎn)，且AE＝AD，聯(lián)結(jié)CE、CD．（1）求證：CE＝CD；（2）如果，延長(zhǎng)EC與弦AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OD，求證：四邊形OCFD是菱形．答案:（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析分析：（1）由“SAS”可證△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可證OD∥CE，由菱形的判定可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）如圖１，連接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，在△DAC和△EAC中，，∴△DAC≌△EAC（SAS），∴CE＝CD；（2）如圖2，連接CA，∵，∴∠AOD＝3∠COD，∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，∴5∠ADO＝180°，∴∠ADO＝36°，∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝72°，∴∠ADC＝108°，∵△DAC≌△EAC，∴∠ADC＝∠AEC＝108°，∴∠AOD＝∠AEC，∴OD∥CE，又∵OC∥AD，∴四邊形OCFD是平行四邊形，又∵OD＝OC，∴平行四邊形OCFD是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角與弧的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，三角形的全等，菱形的判定，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，菱形的判定是解題的關(guān)鍵．15．(2023·上海市奉賢區(qū)金匯學(xué)校九年級(jí)期末）已知⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)P為弧AB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA、PO，點(diǎn)C為劣弧AP上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、P重合），聯(lián)結(jié)BC交PA、PO于點(diǎn)D、E．（1）如圖，當(dāng)cos∠CBO＝時(shí)，求BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)C為劣弧AP的中點(diǎn)，且△EDP與△AOP相似時(shí)，求∠ABC的度數(shù)；（3）當(dāng)AD＝2DP，且△BEO為直角三角形時(shí)，求四邊形AOED的面積．答案:（1）；（2）18°；（3）或分析：（1）解法一：如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理和余弦的定義可得BC的長(zhǎng)；解法二：如圖2，連接AC，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90°，根據(jù)cos∠CBO＝可得BC的長(zhǎng)；（2）如圖3，如圖3，連接OC，根據(jù)題意可知：△EDP與△AOP相似只存在一種情況：△DPE∽△OPA，得∠DPE＝∠PAO，設(shè)∠ABC＝α，則∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根據(jù)三角形外角的性質(zhì)列方程可得結(jié)論；（3）當(dāng)△BEO為直角三角形時(shí)，∠OBE不可能是直角，所以分兩種情況：①如圖4，當(dāng)∠EOB＝90°時(shí)，作輔助線，作平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算AH，OH，BH的長(zhǎng)，根據(jù)面積差可得結(jié)論；②如圖5，當(dāng)∠OEB＝90°時(shí)，連接AC，證明∠ABC＝30°，分別計(jì)算各邊的長(zhǎng)，根據(jù)面積差可得結(jié)論．【詳解】解：（1）解法一：如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，∴BG＝BC，∵AB＝4，∴OB＝2，∵cos∠CBO＝，∴BG＝，∴BC＝2BG＝；解法二：如圖2，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝，∴，∴BC＝；（2）如圖3，連接OC，∵∠P＝∠P，△EDP與△AOP相似，∴△DPE∽△OPA，∴∠DPE＝∠PAO，∵C是的中點(diǎn)，∴∠AOC＝∠COP，設(shè)∠ABC＝α，則∠AOC＝∠COP＝2α，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝α，∵C是的中點(diǎn)，∴OC⊥AP，∴∠PAO＝90°﹣2α，∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，∴4α＝90°﹣2α+α，∴α＝18°，∴∠ABC＝18°；（3）分兩種