圓錐曲線基礎(chǔ)知識專項(xiàng)練習(xí)

圓錐曲線練習(xí)一、選擇題(本大題共13小題，共分)1.若曲線表示橢圓，則k的取值范圍是（）

＞1??????????????＜-1

＜k＜1????????????＜k＜0或0＜k＜12.方程表示橢圓的必要不充分條件是（）

∈（-1，2）??????????∈（-4，2）

∈（-4，-1）∪（-1，2）????∈（-1，+∞）3.已知橢圓：+=1，若橢圓的焦距為2，則k為（）

或3????????????????4.已知橢圓的焦點(diǎn)為（-1，0）和（1，0），點(diǎn)P（2，0）在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.?B.?C.?D.5.平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B及動點(diǎn)P，設(shè)命題甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是：“點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓”，那么()

A.甲是乙成立的充分不必要條件???B.甲是乙成立的必要不充分條件

C.甲是乙成立的充要條件??????D.甲是乙成立的非充分非必要條件6.“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示橢圓”的（）

A.充要條件????????????B.充分非必要條件

C.必要非充分條件?????????D.既不充分也不必要條件7.方程+=10，化簡的結(jié)果是（）

A.+=1?B.+=1?C.+=1?D.+=18.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，P為橢圓上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，則|PF|=（）

A.?B.?C.?D.9.若點(diǎn)P到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線x+5=0?的距離小1，則P點(diǎn)的軌跡方程是（）

=-16x???=-32x???=16x???=32x10.拋物線y=ax2（a＜0）的準(zhǔn)線方程是（）

=-?=-?=?=11.設(shè)拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到直線x=-3的距離為5，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（）

??????????????????12.已知點(diǎn)P是拋物線x=y2上的一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，2）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為（）

??????B.????????????D.+113.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k=（）

???????????或-1????±二、填空題(本大題共2小題，共分)14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)A（-4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在橢圓上，則=______．15.已知橢圓，焦點(diǎn)在y軸上，若焦距等于4，則實(shí)數(shù)k=____________．三、解答題(本大題共6小題，共分)16.已知三點(diǎn)P（，-）、A（-2，0）、B（2，0）．求以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

17.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸長為4．橢圓與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；??

（2）求弦長|AB|

18.設(shè)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線漸近線方程為y=±x，且焦距為4，已知點(diǎn)A（1，）

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)A（1，），過點(diǎn)A的直線L交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn)，求直線L方程．

19.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，

（1）求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，

（2）直線L過已知拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°，且與拋物線的交點(diǎn)為A、B，求AB的長度．

20.已知橢圓的離心率，直線y=bx+2與圓x2+y2=2相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)E（1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，試判斷是否存在實(shí)數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

21.已知橢圓C：4x2+y2=1及直線L：y=x+m．

（1）當(dāng)直線L和橢圓C有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）當(dāng)直線L被橢圓C截得的弦最長時(shí)，求直線L所在的直線方程．

答案和解析【答案】

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14.

.解：（1）2a=PA+PB=2，

所以a=，又c=2，所以b2=a2-c2=6則以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1．

17.解：（1）∵橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸長為4，

∴，

解得a=4，b=2，

∴橢圓方程為=1．

（2）聯(lián)立，得5x2+16x=0，

解得，，

∴A（0，2），B（-，-），

∴|AB|==．

18.解：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞0，b＞0），則

∵雙曲線漸近線方程為y=±x，且焦距為4，

∴，c=2∵c2=a2+b2

∴a=1，b=

∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），代入雙曲線方程可得，

兩式相減，結(jié)合點(diǎn)A（1，）為線段MN的中點(diǎn)，可得

∴=

∴直線L方程為，即4x-6y-1=0．

19.解：（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，焦點(diǎn)在x軸上，開口向右，2p=6，∴=

∴焦點(diǎn)為F（，0），準(zhǔn)線方程：x=-，

（2）∵直線L過已知拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°，

∴直線L的方程為y=x-，

代入拋物線y2=6x化簡得x2-9x+=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=9，

所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．

故所求的弦長為12．

20.解：（1）因?yàn)橹本€l：y=bx+2與圓x2+y2=2相切，

∴，

∴b=1，

∵橢圓的離心率，

∴，

∴a2=3，

∴所求橢圓的方程是．

（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2-36＞0，∴k＞1或k＜-1，

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則有，，

若以CD為直徑的圓過點(diǎn)E，則EC⊥ED，

∵，，

∴（x1-1）（x2-1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k-1）（x1+x2）+5=0∴，

解得，

所以存在實(shí)數(shù)使得以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E．

21.解：（1）由方程組，消去y，

整理得5x2+2mx+m2-1=0．（2分）

∴△=4m2-20（m2-1）=20-16m2（4分）

因?yàn)橹本€和橢圓有公共點(diǎn)的條件是△≥0，即20-16m2≥0，

解之得-．（5分）

（2）設(shè)直線L和橢圓C相交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

由韋達(dá)定理得，（8分）

∴弦長|AB|=

==，-，

∴當(dāng)m=0時(shí)，|AB|取得最大值，此時(shí)直線L方程為y=x．（10分）

【解析】

1.解：∵曲線表示橢圓，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．

故選：D．

曲線表示橢圓，可得，解出即可得出．

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

2.解：方程表示橢圓的充要分條件是，即m∈（-4，-1）∪（-1，2）．

由題意可得，所求的m的范圍包含集合（-4，-1）∪（-1，2），

故選：B．

由條件根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得方程表示橢圓的充要條件所對應(yīng)的m的范圍，則由題意可得所求的m的范圍包含所求得的m范圍，結(jié)合所給的選項(xiàng)，得出結(jié)論．

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，充分條件、必要條件，要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．

3.解：①橢圓+=1，中a2=2，b2=k，

則c=，

∴2c=2=2，

解得k=1．

②橢圓+=1，中a2=k，b2=2，

則c=，

∴2c=2=2，

解得k=3．

綜上所述，k的值是1或3．

故選：A．

利用橢圓的簡單性質(zhì)直接求解．

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中各字母的幾何意義，屬于簡單題．

4.解：設(shè)橢圓方程為=1（a＞b＞0），

由題意可得c=1，a=2，b=，

即有橢圓方程為+=1．

故選：B．

設(shè)橢圓方程為=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，a=2，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程．

本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查橢圓的焦點(diǎn)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．

5.解：命題甲是：“|PA|+|PB|是定值”，

命題乙是：“點(diǎn)P的軌跡是以A．B為焦點(diǎn)的橢圓

∵當(dāng)一個(gè)動點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)距離之和等于定值時(shí)，

再加上這個(gè)和大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離，

可以得到動點(diǎn)的軌跡是橢圓，沒有加上的條件不一定推出，

而點(diǎn)P的軌跡是以A．B為焦點(diǎn)的橢圓，一定能夠推出|PA|+|PB|是定值，

∴甲是乙成立的必要不充分條件

故選B．

6.解：a＞0，b＞0，方程ax2+by2=1不一定表示橢圓，如a=b=1；

反之，若方程ax2+by2=1表示橢圓，則a＞0，b＞0．

∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示橢圓”的必要分充分條件．

故選：C．

直接利用必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．

本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題．

7.解：由+=10，可得點(diǎn)（x，y）到M（0，-3）、N（0，3）的距離之和正好等于10，

再結(jié)合橢圓的定義可得點(diǎn)（x，y）的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=10、c=3，∴a=5，b=4，

故要求的橢圓的方程為+=1，

故選：C．

有條件利用橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

8.解：橢圓的左焦點(diǎn)為F（-，0），右焦點(diǎn)為（，0），

∵P為橢圓上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，

∴P到右焦點(diǎn)的距離為

∵橢圓的長軸長為4∴P到左焦點(diǎn)的距離|PF|=4-=

故選D．

確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義，即可求得P到左焦點(diǎn)的距離．

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，屬于中檔題．

9.解：∵點(diǎn)P到點(diǎn)（4，0）的距離比它到直線x+5=0的距離少1，

∴將直線x+5=0右移1個(gè)單位，得直線x+4=0，即x=-4，

可得點(diǎn)P到直線x=-4的距離等于它到點(diǎn)（4，0）的距離．

根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)（4，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-4為準(zhǔn)線的拋物線．

設(shè)拋物線方程為y2=2px，可得=4，得2p=16，

∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x，即為P點(diǎn)的軌跡方程．

故選：C

根據(jù)題意，點(diǎn)P到直線x=-4的距離等于它到點(diǎn)（4，0）的距離．由拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，不難得到P點(diǎn)的軌跡方程．

本題給出動點(diǎn)P到定直線的距離比到定點(diǎn)的距離大1，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和動點(diǎn)軌跡求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．

10.解：拋物線y=ax2（a＜0）可化為，準(zhǔn)線方程為．

故選B．

拋物線y=ax2（a＜0）化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出拋物線的準(zhǔn)線方程．

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵．

11.解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1，

∵點(diǎn)P到直線x=-3的距離為5，

∴點(diǎn)p到準(zhǔn)線x=-1的距離是5-2=3，

根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是3，

故選A．

先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)點(diǎn)P到直線x=-3的距離求得點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而利用拋物線的定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離相等，從而求得答案．

本題主要考查了拋物線的定義．充分利用了拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離相等這一特性．

12.解：拋物線x=y2，可得：y2=4x，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）．

依題點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，2）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值，就是P到（0，2）與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離的和減去1．

由拋物線的定義，可得則點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，2）的距離與P到該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的距離之和減1，

可得：-1=．

故選：C．

先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解即可．

本小題主要考查拋物線的定義解題，考查了拋物線的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．

13.解：聯(lián)立直線y=kx-2與拋物線y2=8x，

消去y，可得k2x2-（4k+8）x+4=0，（k≠0），

判別式（4k+8）2-16k2＞0，解得k＞-1．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=，

由AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

即有=4，

解得k=2或-1（舍去），

故選：A．

聯(lián)立直線y=kx-2與拋物線y2=8x，消去y，可得x的方程，由判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，計(jì)算即可求得k=2．

本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線和拋物線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，注意判別式大于0，屬于中檔題．

14.解：利用橢圓定義得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=

故答案為

先利用橢圓的定義求得a+c，進(jìn)而由正弦定理把原式轉(zhuǎn)換成邊的問題，進(jìn)而求得答案．

本題主要考查了橢圓的定義和正弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對橢圓的定義的靈活運(yùn)用．

15.解：將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，

顯然k-2＞10-k，即k＞6，

，解得k=8故答案為：8．

16.

利用橢圓定義，求出2a，得出a，可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

本題考查了橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意橢圓的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用．

17.

（1）由橢圓的離心率為，短軸長為4，列出方程組，能求出橢圓方程．

（2）聯(lián)立，得5x2+16x=0，由此能求出弦長|AB|．

本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．

18.

（1）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線漸近線方程為y=±x，且焦距為4，求出幾何量，即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）利用點(diǎn)差法，求出