【高考大贏家·拔高】?？家族e突破卷（預(yù)測卷）（解析版）

絕密★啟用前【高考沖刺滿分】2022年高考數(shù)學名師押題預(yù)測全真模擬卷（全國乙卷）理科數(shù)學【高考大贏家·拔高】?？家族e突破卷（預(yù)測卷）（本卷共6頁，22小題，試卷滿分：150分，考試用時：120分鐘）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必填寫好自己的姓名、準考證考號等信息。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A．2 B．1 C．－2 D．－1【答案】A【分析】令，則，利用可得答案.【詳解】解：令，則，，，∴，，∴，故選：A．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式求得集合，由此求得.【詳解】解：，所以，由于，所以.故選：B3．甲，乙，丙，丁四支足球隊進行單循環(huán)比賽（每兩個球隊都要比賽一場），每場比賽的計分方法是﹔勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，全部比賽結(jié)束后，四隊的得分為：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，則（

）A．甲勝乙 B．乙勝丙 C．乙平丁 D．丙平丁【答案】C【分析】甲，乙，丙，丁四支足球隊總比賽場次6場，總得分為16分，由比賽計分規(guī)則可得出在6場比賽中有2場比賽是平局，丁在3場比賽中有1場是平局，丙在3場比賽中有1場是平局，乙在3場比賽中有2局是平局，由此可得答案.【詳解】解：甲，乙，丙，丁四支足球隊總比賽場次6場，總得分為6+5+4+1=16分，由比賽計分規(guī)則：勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，所以在6場比賽中有2場比賽是平局，即，丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3場比賽中有1場是平局，丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3場比賽中有1場是平局，而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3場比賽中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，故選：C.4．設(shè)a，，若時，恒有，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用特殊值及解決恒成立問題常用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求最值問題即可求解.【詳解】解：當時，恒有，當時，原式化為；當時，原式化為，即，.又時，恒成立；，即恒成立；恒成立；當時，恒成立，令，則由二次函數(shù)的性質(zhì)，知在單調(diào)遞增；，即，又，，則.對于A，，故A不正確；對于B，，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D不正確.故選：C.5．一個三棱錐的正視圖如圖①所示，則下列圖形中可以是相應(yīng)幾何體的側(cè)視圖和俯視圖的組合為（

）A．③④ B．③⑤ C．②④ D．②⑤【答案】A【分析】根據(jù)三視圖的定義和性質(zhì)，逐個判斷即可【詳解】解：由題意及正視圖可知，三棱錐只能在如圖所示的三棱柱中，且三棱錐的靠后的一個頂點必然被前面的面遮住，最下面的頂點一定在上，右邊的頂點在上，左邊靠前的頂點在上，故側(cè)視圖不可能為②④⑤．故側(cè)視圖為③，三棱錐只可以為如圖所示的三棱錐，此時俯視圖為④．故選：A6．甲，乙，丙，丁四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，四名同學各自的五次點數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如下：甲：平均數(shù)為3，中位數(shù)為2；

乙：中位數(shù)為3，眾數(shù)為2；丙：中位數(shù)為3，極差為4；

?。浩骄鶖?shù)為2，方差為2.4通過以上數(shù)據(jù)可以判斷一定沒出現(xiàn)6點的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、從數(shù)、極差、方差的定義進行判斷即可.【詳解】解：當甲5次出現(xiàn)的點數(shù)為：，顯然平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，也會出現(xiàn)6點；當乙5次出現(xiàn)的點數(shù)為：，顯然中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，也會出現(xiàn)6點；當丙5次出現(xiàn)的點數(shù)為：，顯然中位數(shù)為3，極差為4，也會出現(xiàn)6點；丁為平均數(shù)為2，方差為2.4，當有6點時，，顯然不可能，故選：D7．一種藥在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（

）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，結(jié)果精確到）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時【答案】A【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可得不等式，結(jié)合對數(shù)運算法則解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥小時后再向病人的血液補充這種藥，則，整理可得：，，，，，即應(yīng)在用藥小時后再向病人的血液補充這種藥.故選：A.8．將5名支援某地區(qū)抗疫的醫(yī)生分配到A、B、C三所醫(yī)院，要求每所醫(yī)院至少安排1人，則其中甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，5名醫(yī)生分配到三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排1人，有“”和“”兩種人數(shù)分配方法，分別計算兩種分配方法的數(shù)目以及滿足甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院的分配數(shù)目，然后加在一起，利用古典概型的公式即可完成求解.【詳解】解：由已知，5名醫(yī)生分配到三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排1人，則人數(shù)的分配方法有“”和“”兩種，分別是：①，若采用“”時，共有種分堆方法，再分配到三所醫(yī)院，共有種分配方法，其中甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院，需要將甲、乙兩醫(yī)生放到3人組，并從其他3位醫(yī)生中再選一位湊夠3人，剩下的全排，共有種分配方法；②，若采用“”時，共有種分堆方法，再分配到三所醫(yī)院，共有種分配方法，其中甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院，需要將甲、乙兩醫(yī)生放到2人組，分配剩下的3人，為種，然后再全排，共有種分配方法；所以，5名醫(yī)生分配到三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排1人，則人數(shù)的分配方法共有

種分配方法，甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院的分配方法有種，所以甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院的概率為.故選：B.9．函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再將圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，則的表達式可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由圖像中最大值及求出、，再結(jié)合及求得，即可求得，最后通過平移伸縮變換得到即可.【詳解】解：由圖像可知：；，又，所以；由，可得，解得，又，即，解得，故，，即，將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得，再將圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍得.故選：B.10．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】選取適當?shù)闹虚g值，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可求解.【詳解】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，，，又，又故選：C.11．如圖，在半徑為的半圓弧上取一點，以為直徑作半圓，則圖中陰影部分為月牙，在上取個點將圓弧等分，設(shè)月牙面積的平均值為，若對于均有，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用對稱性知月牙的面積等于月牙的面積，然后求面積平均值，根據(jù)定積分定義將所求轉(zhuǎn)化為定積分問題，然后可得.【詳解】解：由對稱性可知月牙的面積等于月牙的面積，因為，，月牙面積=半圓面積-弓形面積，而弓形面積=扇形面積-三角形面積，所以月牙、的面積之和為，所以，因為對于均有，所以的最大值為.故選：B12．已知數(shù)列滿足，.若對恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則問題轉(zhuǎn)化為，，且，再分別在，，，進行分類討論即可.【詳解】解：令，則問題轉(zhuǎn)化為，，且.當時，則，不符合題意；當時，首先，解得.當時，用數(shù)學歸納法可得，其中滿足，所以.令，，則，令，得，所以存在使得，當時，，當時，，所以先增后減.所以.所以.當時，設(shè)滿足，則存在，此時，不符合題意.綜上，正實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，屬于難題.解決該問題應(yīng)該注意的事項：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點；(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時，應(yīng)準確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為，以為圓心的圓恰好與雙曲線的兩漸近線相切，且該圓過線段的中點，則雙曲線的離心率是_____．【答案】##【分析】先由焦點到漸近線的距離求出半徑，再利用該圓過線段的中點得到，即可求出離心率,【詳解】解：由題意知：漸近線方程為，由焦點，，則圓的半徑為，又該圓過線段的中點，故，離心率為.故答案為：.14．已知向量，，若，則λ的值為___．【答案】【分析】首先求出的坐標，然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可得答案.【詳解】解：因為，，所以，所以，解得，故答案為：15．在銳角中，分別為三邊為，，且，則的取值范圍是_____.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理角化邊，求得，進而根據(jù)正弦定理表示出，根據(jù)角A的范圍，求得答案.【詳解】解：由；得：，則，而，故，故，則，因為在銳角中，，故，故,故，所以，故答案為：16．陀螺是中國民間的娛樂工具之一，也叫作陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由一個同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長分別為，，r，且，設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為S1和S2，則___________.【答案】【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積公式，求得圓錐和圓柱的側(cè)面積，即可求解.【詳解】解：由題意，圓錐的母線長為，則圓錐的側(cè)面積為，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得圓柱的側(cè)面積為，所以.故答案為：.三、解答題：本題共7小題，共70分。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-23題為選答題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（本題滿分12分）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是首項為1公比為的等比數(shù)列，其前n項和為，且，對任意恒成立.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式即可求解；（2）利用（1）得出的通項公式，再利用錯位相減法求出，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為則由，得即由①得，由②得，由③得，所以數(shù)列的通項公式為，所以數(shù)列的通項公式為.(2)由（1）知，，所以，①②②-①得：化簡得：，又因為，即即，（i）當時，，所以；（ii）當時，，令，則當時，，所以單調(diào)遞減；當時，，所以單調(diào)遞增；當時，取得最小值為，即,所以的取值范圍是.18．（本題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，.(1)證明：；(2)若為等邊三角形，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）要證，即證平面，即證，可得結(jié)論；（2）分別找出幾何體的高和底面積，求出底面積和高代入體積公式即可求解.【詳解】(1)解：證明：如圖，連接.在中，由余弦定理，得，可得，則，即.又，故.又，所以平面.又平面，所以.(2)解：設(shè)E為的中點，連接，，如圖：由（1）可知，故.又，所以.又，故平面.又平面，所以.又，故平面.又為等邊三角形，所以，故.又在中，，故.故四棱錐的體積.19．（本題滿分12分）已知實數(shù)滿足，方程表示雙曲線.（1）若，命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）解不等式即可得；（2）解不等式，得的范圍，再由表示雙曲線得的范圍，然后根據(jù)充分不必要條件與集合包含之間的關(guān)系求解．【詳解】解：（1）當，命題，解得：；（2）∵，命題，命題方程表示雙曲線，則，即，因為是的充分不必要條件，則是的真子集，∴，等號不同時成立，解得，∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】命題對應(yīng)集合，命題對應(yīng)的集合，則（1）是的充分條件；（2）是的必要條件；（3）是的充分必要條件；（4）是的既不充分又不必要條件集合之間沒有包含關(guān)系．20．（本題滿分12分）為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產(chǎn)生抗體與某項指標值的相關(guān)性，研究人員從某地區(qū)10萬人中隨機抽取了200人，對其注射疫苗后的該項指標值進行測量，按，，，，分組，得到該項指標值頻率分布直方圖如圖所示.同時發(fā)現(xiàn)這200人中有120人在體內(nèi)產(chǎn)生了抗體，其中該項指標值不小于60的有80人.(1)填寫下面的列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān)”.指標值小于60指標值不小于60合計有抗體沒有抗體合計(2)以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，若從該地區(qū)注射疫苗的人群中隨機抽取4人，求產(chǎn)生抗體的人數(shù)的分布列及期望.附：，其中n=a+b+c+d.P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，有的把握認為“注射疫苗后人體產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān)”(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：【分析】（1）由頻率分布直方圖求出樣本中指標值不小于60和標值小于60的人數(shù)，即可完成列聯(lián)表，計算出卡方，即可判斷；（2）首先求出注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，依題意可得，根據(jù)二項分布的概率公式得到分布列，即可求出數(shù)學期望；【詳解】(1)解：由頻率分布直方圖可知，樣本中指標值不小于60的人數(shù)為，則標值小于60的人數(shù)為80.所以列聯(lián)表如下：指標值小于60指標值不小于60合計有抗體4080120沒有抗體404080合計80120200.所以有的把握認為“注射疫苗后人體產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān)”.(2)解：注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，由題可知，，∴，所以的分布列為：01234所以.21．（本題滿分12分）已知雙曲線經(jīng)過點，，，，中的3個點.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知點M，N是雙曲線C上與其頂點不重合的兩個動點，過點M，N的直線，都經(jīng)過雙曲線C的右頂點，若直線，的斜率分別為，，且，判斷直線MN是否過定點，若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說明理由【答案】(1)；(2)直線過定點，且定點坐標為【分析】（1）分析出雙曲線經(jīng)過的個點，然后求得，從而求得雙曲線的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由列方程進行化簡，進而求出直線過定點【詳解】解：(1)由于關(guān)于軸對稱，所以要么都在雙曲線上，要么都不在雙曲線上.點不可能都在雙曲線上，因為雙曲線經(jīng)過個點，所以都在雙曲線上.將的坐標代入得，由都在雙曲線上可知、都不在雙曲線上，所以點在雙曲線上，故，結(jié)合可得，所以雙曲線的方程為.(2)設(shè)，其中，故可設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，.因為雙曲線的右頂點為，且，所以，所以，代入得，當時，，所以直線過定點.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分?！具x修4-4：坐標系與參數(shù)方程】（10分）22．已知在極坐系中，點繞極點順時針旋轉(zhuǎn)角得到點.以為原點，極軸為軸非負半軸，并取相同的單位長度建立平面直角坐標系，曲線繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到曲線.（1）