3.1 函數(shù)的概念及其表示（十一大題型）（解析版）

3.1函數(shù)的概念及其表示【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的概念題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域題型三：抽象函數(shù)求定義域題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍題型五：同一函數(shù)的判斷題型六：給出自變量求函數(shù)值題型七：求函數(shù)的值域題型八：求函數(shù)的解析式題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題題型十：區(qū)間的表示與定義題型十一：函數(shù)的圖象【知識點梳理】知識點一：函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．知識點詮釋：（1）A、B集合的非空性；（2）對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性．2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）；②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)．3、區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；．知識點二：函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：簡明，給自變量求函數(shù)值．圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢．列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值．2、分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識點三：函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則．在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示．知識點四：函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．【典型例題】題型一：函數(shù)的概念例1．（2023·新疆巴音郭楞·高一八一中學(xué)?？计谥校┤鐖D圖形，其中能表示函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】由函數(shù)的定義可知，對定義域內(nèi)的任何一個變量有唯一的一個變量與對應(yīng)，由圖可知，ACD三個選項不符合函數(shù)的定義，B選項符合函數(shù)的定義.故選：B.例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，下列對應(yīng)法則不可以作為從到的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A選項，當(dāng)時，，且，A中的對應(yīng)法則可以作為從到的函數(shù)；對于B選項，當(dāng)時，，且，B中的對應(yīng)法則可以作為從到的函數(shù)；對于C選項，當(dāng)時，，且，C中的對應(yīng)法則不能作為從到的函數(shù)；對于D選項，當(dāng)時，，則，且，D中的對應(yīng)法則可以作為從到的函數(shù).故選：C.例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某校有一班級，設(shè)變量x是該班同學(xué)的姓名，變量y是該班同學(xué)的學(xué)號，變量z是該班同學(xué)的身高，變量w是該班同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績，則下列選項中正確的是（

）A．y是x的函數(shù) B．w是y的函數(shù)C．w是z的函數(shù) D．w是x的函數(shù)【答案】B【解析】對于AD，由于同學(xué)姓名非數(shù)字，故AD錯誤；對于B，任意一個學(xué)號都對應(yīng)一位確定的同學(xué)，則該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績也是唯一確定的，故B正確；對于C，假設(shè)班級中有兩位身高相同的同學(xué)，則這個身高可能對應(yīng)兩個不同同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，故C錯誤；故選：B.變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列對應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】A【解析】對于A選項，滿足函數(shù)的定義，A選項正確；對于B選項，集合A中取，在集合B中沒有對應(yīng)元素，故B選項錯誤；對于C選項，集合A中取，在集合B中沒有對應(yīng)元素，故C選項錯誤；對于D選項，集合A中當(dāng)時，在集合B中都有兩個元素與x對應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故D選項錯誤.故選：A．變式2．（2023·高一課時練習(xí)）下列變量之間是函數(shù)關(guān)系的是（

）A．某十字路口通過汽車的數(shù)量與時間的關(guān)系B．家庭的食品支出與電視機價格之間的關(guān)系C．高速公路上行駛的汽車所行駛的路程與時間的關(guān)系D．某同學(xué)期中考試的數(shù)學(xué)成績與物理成績的關(guān)系【答案】C【解析】對于A，某十字路口通過汽車的數(shù)量與時間沒有確定的關(guān)系，與其它自然因素也有關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，故A錯誤；對于B，家庭的食品支出與電視機價格之間沒有確定的關(guān)系，故B錯誤；對于C，高速公路上行駛的汽車所行駛的路程與時間這兩個變量存在依賴關(guān)系，且對于每一個時間的值，路程是唯一確定的，因此它們之間存在函數(shù)關(guān)系，且時間是自變量，路程是因變量，故C正確；對于D，同學(xué)期中考試的數(shù)學(xué)成績與物理成績沒有必然的關(guān)系，故D錯誤.故選：C變式3．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列等量關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】A：當(dāng)時，不符合函數(shù)的定義，故錯誤；B：當(dāng)時，不符合函數(shù)的定義，故錯誤；C：顯然任意都有唯一y值與之對應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，故正確；D：當(dāng)時，不符合函數(shù)的定義，故錯誤．故選：C【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)的定義（特別是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解決某些問題的關(guān)鍵．題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域例4．（2023·江西·高一江西師大附中校考期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得且，因此，函數(shù)的定義域為.故選：C.例5．（2023·新疆烏魯木齊·高一校考期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故選：D.例6．（2023·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得，，解得且，即函數(shù)的定義域為.故選：A變式4．（2023·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，且，，且，函數(shù)的定義域為.故選：C.變式5．（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的定義域為M，的定義域為N，則＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，所以M＝.要使函數(shù)有意義，則，解得，所以．故＝，故選:B．變式6．（2023·高一單元測試）函數(shù)的定義域是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使得函數(shù)有意義，則，且，解得，且，即定義域為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】小結(jié)幾類函數(shù)的定義域：（1）如果是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；（2）如果是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；（3）如果是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合；（4）如果是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；（即求各集合的交集）（5）滿足實際問題有意義．當(dāng)函數(shù)解析式是由多個式子構(gòu)成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解．題型三：抽象函數(shù)求定義域例7．（2023·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以的定義域為，由，得，所以的定義域為，故選：D例8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域為，即，得，因此由函數(shù)有意義，得，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：D例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的定義域為，則，可得，所以，函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，則有，解得，因此，函數(shù)的定義域為.故選：C.變式7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以,即的定義域為，所以，解得，即的定義域是.故選:C.變式8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，故，故函數(shù)的定義域為.故選：D變式9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)的定義域為，即，可得，∴函數(shù)的定義域為，令，解得，故函數(shù)的定義域為.故選：B.變式10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：A.變式11．（2023·河南信陽·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵函數(shù)的定義域為，即，∴，又∵，解得，∴的定義域為,故選：.【方法技巧與總結(jié)】求抽象函數(shù)的定義域，一要理解定義域的含義是的取值范圍；二要運用整體思想，也就是在同一對應(yīng)關(guān)系下括號內(nèi)的范圍是一樣的．題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍例10．（2023·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)校考期中）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，在中，定義域為，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，解得：，綜上，.故答案為：.例11．（2023·廣西桂林·高一桂林十八中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的定義域為，則的取值范圍是【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以不等式對于恒成立，所以方程無實根，可得，即，解得：，所以的取值范圍是，故答案為：.例12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，對任意的，恒成立.①當(dāng)時，則有，合乎題意；②當(dāng)時，由題意可得，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想．題型五：同一函數(shù)的判斷例13．（多選題）（2023·云南德宏·高一校考期中）下列四組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】BC【解析】A中，的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；B，C中，函數(shù)的解析式相同，定義域也相同，所以為同一函數(shù)；D中，的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù).故選：BC.例14．（多選題）（2023·福建廈門·高一廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（

）．A．與B．與C．與D．與【答案】BC【解析】選項A，當(dāng)時，，，所以與對應(yīng)關(guān)系不完全一致，故不是同一個函數(shù)；選項B，與定義域都為，且對應(yīng)關(guān)系完全一致，故是同一個函數(shù)；選項C，與的定義域都為，且，對應(yīng)關(guān)系完全一致，故是同一個函數(shù)；選項D，對，由，解得，所以的定義域為，對，由，解得或，所以的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，故不是同一個函數(shù).故選：BC.例15．（多選題）（2023·重慶萬州·高一校考階段練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】BC【解析】函數(shù)與，，，對應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一個函數(shù)，故A錯誤；函數(shù)與的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是同一個函數(shù)，故B正確；函數(shù)與的定義域相同，都是，化簡函數(shù)解析式得與，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是同一個函數(shù)，故C正確；函數(shù)與，，，對應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一個函數(shù)，故D錯誤；故選：BC變式12．（多選題）（2023·云南紅河·高一彌勒市一中校考階段練習(xí)）下列各組函數(shù)表示的是不同函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ACD【解析】A.的定義域為，且，的定義域為，解析式不同，所以不是同一函數(shù)，故錯誤；B.的定義域為R，定義域為R，且解析式相同，所以是同一函數(shù)，故正確；C.的定義域為R，的定義域為，所以不是同一函數(shù)，故錯誤；D.，由得，所以的定義域為，由，得或，所以函數(shù)的定義域為或，所以不是同一函數(shù)，故錯誤；故選：ACD變式13．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列各組函數(shù)不是同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ABC【解析】對于A，函數(shù)的定義域是，函數(shù)的定義域是，兩個函數(shù)定義域不同，故這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于B，函數(shù)的定義域是，函數(shù)的定義域是或，兩個函數(shù)的定義域不同，故這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于C，函數(shù)，，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，故這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于D，函數(shù)和的定義域都是，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也相同，故這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).故選：ABC.變式14．（多選題）（2023·高一單元測試）下列四組函數(shù)，表示相同函數(shù)的一組是（）A．，（）B．，C．，D．，【答案】AC【解析】對于A，，（）的定義域相同，化簡后對應(yīng)關(guān)系相同，是相同函數(shù)；對于B，的定義域為，的定義域為，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，對應(yīng)關(guān)系不同，不是相同函數(shù)；對于C，的定義域為，的定義域為，這兩函數(shù)的定義域相同，且對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是相同函數(shù)；對于D，的定義域為，的定義域為或，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，化簡后對應(yīng)關(guān)系相同，不是相同函數(shù).故選：AC【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應(yīng)法則，其中核心是對應(yīng)法則，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征．只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：（1）定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；（2）對應(yīng)法則不同，兩個函數(shù)也是不同的．（3）即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則．題型六：給出自變量求函數(shù)值例16．（2023·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)滿足，，則．【答案】【解析】因為，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，所以，又因為，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，由，，可得，又因為，所以，所以.故答案為：例17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則．【答案】【解析】令，則，所以.故答案為：.例18．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)對任意正實數(shù)都有，已知，則.【答案】/【解析】因為，所以令，則，令，則，令，則，因為，所以，所以，故答案為：變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義域為的函數(shù)和，則.【答案】【解析】因為，，所以，，所以.故答案為：變式16．（2023·高一單元測試）若，則．【答案】5【解析】，.故答案為：5變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)，則．【答案】4【解析】因為,所以,故答案為：4.變式18．（2023·河北邯鄲·高一校考期末）已知函數(shù)滿足，則.【答案】1【解析】因為，令，可得.故答案為：1.【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)值時，遇到復(fù)合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分，如f（g（x）），里層函數(shù)就是g（x），外層函數(shù)就是f（x），其對應(yīng)關(guān)系可以理解為，類似的g（f（x））為，類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結(jié)果．題型七：求函數(shù)的值域例19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).【解析】（1），，即，的值域為.（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；，的值域為.（3），，，的值域為.（4）令，則且，，則當(dāng)時，，的值域為.例20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.(1)；(2)，.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，的值域為.（2）,則的對稱軸是，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故；，的值域為.例21．（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【解析】（1）（觀察法）由，分別代入求值，可得函數(shù)的值域為．（2）（配方法），由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域為．（3）（分離常數(shù)法）

，因為，所以，所以故函數(shù)的值域為．（4）（換元法）

設(shè)，則，且，所以，由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域為．（5）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故函數(shù)的值域為．（6）因為，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，，故函數(shù)的值域為．（7）由知，整理得．當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，，即．故所求函數(shù)的值域為．變式19．（2023·高一校考課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域:(1)，(2)，(3)，(4)【解析】（1）由題意可得：，因為，則，所以原函數(shù)的值域為.（2）因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以原函數(shù)的值域為.（3）令，解得，可得函數(shù)的定義域為，因為，可得所以原函數(shù)的值域為.（4）設(shè)，則，所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，因為函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸方程為，可知當(dāng)時，函數(shù)取到最大值，所以原函數(shù)的值域為.變式20．（2023·安徽·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)和，設(shè)．(1)若函數(shù)，試判斷與是否為同一函數(shù)，并說明理由；(2)求的值域．【解析】（1）和不是同一函數(shù)，．∵的定義域為，的定義域為，∴的定義域為與的定義域的交集，即．∴，．雖然函數(shù)解析式相同，但是定義域不同，前者定義域為，后者定義域為．所以和不是同一函數(shù)．（2），．令，則，所以原式轉(zhuǎn)化為，其值域為．故的值域為．【方法技巧與總結(jié)】求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．題型八：求函數(shù)的解析式例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則.【答案】【解析】設(shè)，則，，則.又在上單調(diào)遞增，即，所以，，則.故答案為：例23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若一次函數(shù)滿足：對任意都有，則的解析式為．【答案】【解析】設(shè)一次函數(shù)，，化簡得：，因為對任意，上式都滿足，取和代入上式得：，解得：，所以.故答案為：.例24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是二次函數(shù)．且．則．【答案】【解析】設(shè)，則，，所以，又，因此，解得，所以，故答案為：.變式21．（2023·江西·高一江西師大附中?？计谥校┮阎瑒t的解析式為.【答案】【解析】，令，則，所以，所以.故答案為：.變式22．（2023·福建泉州·高一?？计谥校┮阎?，則的解析式是【答案】【解析】因為，令，則，所以，所以.故答案為：變式23．（2023·甘肅臨夏·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則.【答案】【解析】因為，令，則，所以，所以，.故答案為：變式24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則．【答案】【解析】設(shè)（），則，，（），則.故答案為：變式25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)，則．【答案】【解析】令，則，∴，故，∴.故答案為：.變式26．（2023·高一課時練習(xí)）已知f(x－)＝x2＋，則f（x+）＝.【答案】【解析】先利用配湊法由f(x－)＝x2＋，得到，然后再利用代入法求解.因為f(x－)＝x2＋，所以，所以f（x+），故答案為：變式27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知，則＝；（2）已知函數(shù)是一次函數(shù)，若，則＝；（3）已知函數(shù)對于任意的都有，則＝.【答案】或【解析】（1）利用換元法或者配湊法求復(fù)合函數(shù)的解析式；（2）已知函數(shù)的性質(zhì)和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）利用方程組的方法求函數(shù)解析式.（1）法一(換元法)：令，則，代入原式有，所以.故答案為：.法二(配湊法)：，因為，所以.故答案為：.（2）設(shè)，則，又，所以，即，解得或，所以或.故答案為：或.（3）由題意，在中，以代可得，聯(lián)立可得，消去可得.故答案為：.變式28．（2023·全國·高一課堂例題）是R上的函數(shù)，且滿足，并且對任意的實數(shù)都有，則的解析式【答案】【解析】令，代入得，又，則，∴，故答案為：．變式29．（2023·江蘇南通·高一啟東中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則.【答案】【解析】，①；令，得，②；再由①②，得：，．故答案為：.變式30．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為【答案】【解析】由題意，用代換解析式中的，可得，…….（1）與已知方程，……（2）聯(lián)立（1）（2）的方程組，可得，令，則，所以，所以.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）解析式類型已知的，如本例（1），一般用待定系數(shù)法，對于二次函數(shù)問題要注意對一般式，頂點式和兩點式的選擇．（2）已知求的問題，方法一是用配湊法；方法二是用換元法．（3）函數(shù)方程問題，需建立關(guān)于的方程組，如本例（3），若函數(shù)方程中同時出現(xiàn)、，則一般用代之，構(gòu)造另一個方程．題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題例25．（2023·山西太原·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則．【答案】5【解析】由題意，可得，.故答案為：5.例26．（2023·廣東佛山·高一佛山一中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)可用表示，例如，當(dāng)時，．若函數(shù)．則的值為．【答案】【解析】，.故答案為：.例27．（2023·江西南昌·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，則.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：變式31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，若，則x的值為．【答案】【解析】若，則無解；若，則，所以x＝.若，則無解．綜上：.故答案為：變式32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，若，則a的取值范圍為．【答案】【解析】當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，則，不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.變式33．（2023·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若，求實數(shù).【答案】或【解析】當(dāng)時，由，得，解得，當(dāng)時，由，得，解得（舍去），或，綜上，或故答案為：或變式34．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)則使成立的的值組成的集合為.【答案】【解析】由題意可得或由解得；由解得.綜上所述，使成立的的值組成的集合為.故答案為：.變式35．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù),若，則的取值范圍是.【答案】【解析】（i）當(dāng)，即時，，，由得，即，因為，所以恒成立，所以；（ii）當(dāng)，即時，，，由得，即，即恒成立，所以；（iii）當(dāng)，即時，，，由得，即，所以，綜上所述：的取值范圍是.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．（1）由實際問題決定的分段函數(shù)，要寫出它的解析式，就是根據(jù)實際問題需要分成幾類，就分成幾段，求解析式時，先分段分別求出它的解析式，在綜合在一起即可．（2）注意分段函數(shù)的解析式，最后要把各段綜合在一起寫成一個函數(shù)，分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)．題型十：區(qū)間的表示與定義例28．（2023·高一課時練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合：（1）：；（2）：；（3）：；（4）：．【答案】【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.故答案為：，，，.例29．（2023·全國·高一課堂例題）用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．【答案】【解析】；；且；；.故答案為：；；；；.例30．（2023·山東東營·高一利津縣高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知區(qū)間，，若，則a的范圍是【答案】【解析】區(qū)間，，若，則有，則a的范圍是.故答案為：.變式36．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知區(qū)間，則的取值范圍為．【答案】【解析】由題意，區(qū)間，則滿足，解得，即的取值范圍為．故答案為．變式37．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合，，則【答案】【解析】因為，，所以，由數(shù)軸可知，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】題型十一：函數(shù)的圖象例31．（2023·高一課時練習(xí)）列車從A地出發(fā)直達(dá)500km外的B地，途中要經(jīng)過離A地300km的C地，假設(shè)列車勻速前進(jìn)，5h后從A地到達(dá)B地，則列車與C地距離y（單位：km）與行駛時間t（單位：h）的函數(shù)圖象為（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】∵列車勻速前進(jìn)，∴列車行駛速度∴列車后到達(dá)C地，此時距離C地0km，即函數(shù)圖象經(jīng)過點，由此可排除A、B、D，知C正確，故選：例32．（2023·廣東東莞·高一校考期中）如圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時期的青銅器皿，其身流線自若、紋理分明，展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù)．科研人員為了測量其容積，以恒定的流速向其內(nèi)注水，恰好用時30秒注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為h，注水時間為t，則下面選項中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】由文物的形狀知，兩頭細(xì)中間粗，在注水過程中，以恒定的流速向其內(nèi)注水，前段部分注水高度逐漸遞增，但增長速度逐步變慢，當(dāng)超過中間部分，注水高中繼續(xù)遞增，但增長速度逐步變快，對應(yīng)圖象滿足條件.故選：．例33．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)均為非零實數(shù)，則直線和在同一坐標(biāo)系下的圖形可能是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A，若圖象正確，則，，開口方向向上，對稱軸為，與圖象符合，A正確；對于B，若圖象正確，則，，開口方向向下，與圖象不符，B錯誤；對于C，若圖象正確，則，，開口方向向上，與圖象不符，C錯誤；對于D，若圖象正確，則，，開口方向向上，與圖象不符，D錯誤.故選：A.變式38．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，將一個“瘦長”的圓柱鋼錠經(jīng)過多次鍛壓，使之成為一個“矮胖”的圓柱鋼錠（不計損耗），則在鍛壓過程中，圓柱鋼錠的體積與時間的關(guān)系可用圖象表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在鍛壓過程中，圓柱鋼錠的體積不隨高的變化而變化，故B正確.故選：B.變式39．（2023·福建福州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由可排除C，D；當(dāng)時，，排除A.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】先把要畫的函數(shù)圖象進(jìn)行變形，依據(jù)所學(xué)習(xí)過的基本函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象的平移、對稱和翻折得到要求的圖象．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）具有性質(zhì)：的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)①②③y＝中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是（）A．①② B．①③ C．② D．只有①【答案】B【解析】①設(shè)，∴，∴是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)；②設(shè)，∵，∴不是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)③設(shè)則∵時，，此時；時，，此時時，，此時∴，∴y＝是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)故選：B．2．（2023·北京·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則則有，所以函數(shù)的解析式為：.故選：D.3．（2023·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若，實數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為，所以，所以，解得.故選：C4．（2023·甘肅酒泉·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：B.5．（2023·甘肅酒泉·高一?？计谥校┫铝懈鹘M函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與.②與.③與.④與.A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】①中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，但與的對應(yīng)關(guān)系不一致，所以①不是同一函數(shù).②中，函數(shù)與的定義域都是，但與的對應(yīng)關(guān)系不一致，所以②不是同一函數(shù).③中，函數(shù)與的定義域都是，且與的對應(yīng)關(guān)系一致，所以③是同一函數(shù).④中，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)關(guān)系都一致，所以④是同一函數(shù).故選：C.6．（2023·浙江臺州·高一溫嶺中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，的定義域為，不符合題意；當(dāng)時，依題意得在R上恒成立，則，解得.故選：D7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，所以，要使函數(shù)有意義，則解得.故選：D8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，其中，函數(shù)的定義域為A，值域為B，則a，k的值分別為（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為A，值域為B，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，又，所以若，解得或，因為，所以.此時，所以，則；若，又，所以不成立.綜上，.故選：D.二、多選題9．（2023·江西·高一江西師大附中?？计谥校┲形摹昂瘮?shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項中是同一個函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AD【解析】對于A，因為與的定義域均為，對應(yīng)關(guān)系也相同，故為同一函數(shù)；對于B，的定義域為，的定義域為，定義域不同，故不是同一個函數(shù)；對于C，的定義域是，的定義或是，定義域不同，故不是同一個函數(shù)；對于D，，與的定義域都是，且對應(yīng)關(guān)系相同，所以是同一函數(shù).故選：AD.10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）周末，自行車騎行愛好者甲、乙兩人相約沿同一路線從地出發(fā)前往地進(jìn)行騎行訓(xùn)練，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)分鐘.乙騎行分鐘后，甲以原速的繼續(xù)騎行，經(jīng)過一段時間，甲先到達(dá)地，乙一直保持原速前往地.在此過程中，甲、乙兩人相距的路程（單位：米）與乙騎行的時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．乙的速度為米/分鐘B．分鐘后甲的速度為米/分鐘C．乙比甲晚分鐘到達(dá)地D．，兩地之間的路程為米【答案】ABD【解析】因為乙比甲早出發(fā)分鐘，由圖知乙的速度為米/分鐘，故選項A正確；設(shè)甲的原速度為，由圖可知，解得米/分鐘，所以分鐘后甲的速度為米/分鐘，故選項B正確；根據(jù)圖像當(dāng)時，甲到達(dá)地，此時乙距離地還有米，所以還需要分鐘，所以乙比甲晚分鐘到達(dá)地，故選項C不正確；利用甲行駛的路程計算可得，，兩地之間的路程為米，故選項D正確；故選：ABD11．（2023·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）如圖所示，函數(shù)的圖象由兩條線段組成，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）

A．B．C．D．，不等式的解集為【答案】BC【解析】由函數(shù)的圖象由兩條線段組成可知，函數(shù)為分段函數(shù)，且過點，當(dāng)時，設(shè)，代入得，所以，得，當(dāng)時，設(shè)，代入，得，所以，故故，選項A：，故A錯誤；選項B：，故B正確；選項C：因為所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故C正確；選項D：由函數(shù)圖象知，若時，的解集為，則，因，，故D錯誤.故選：BC12．（2023·四川成都·高一石室中學(xué)?？茧A段