3.1.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（精講）（解析版）

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（精講）考點(diǎn)一點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系【例1】（2023北京）（多選）已知點(diǎn)(3,2)在橢圓上，則下列各點(diǎn)一定在該橢圓上的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由橢圓關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱可知，只有點(diǎn)(2，3)不在橢圓上．故選：ABC.【一隅三反】1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在橢圓上，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)不在橢圓上 B．點(diǎn)不在橢圓上C．點(diǎn)在橢圓上 D．無(wú)法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系【答案】C【解析】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，若點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，，，三點(diǎn)都在橢圓上，故選：C2．（2023秋·廣東廣州）（多選）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則的值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【解析】由題意知，解得．故選：BC3．（2023·湖南）點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以,解得,故選：B考點(diǎn)二離心率【例2-1】（2023云南）方程表示的曲線是（

）A．焦點(diǎn)為點(diǎn)與，離心率為的橢圓B．焦點(diǎn)為點(diǎn)與，離心率為的橢圓C．焦點(diǎn)為點(diǎn)與，離心率為的橢圓D．焦點(diǎn)為點(diǎn)與，離心率為的橢圓【答案】A【解析】方程表示的曲線為焦點(diǎn)在軸上，中心為原點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸為，半焦距為，則，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為與，離心率為故選：A.【例2-2】（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，其上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為，且三角形為等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，橢圓，其上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為，為等邊三角形，則橢圓的離心率為.故選：A.

【例2-3】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則它的離心率的取值范圍是（

）A．（0，） B．（，]C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，∴，解得：，又，∴它的離心率的取值范圍為，故選：C.【一隅三反】1．（2023·浙江）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，由題意得：，，由橢圓定義得：，所以，故選：B．2．（2023春·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓分別是的左，右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于線段的中點(diǎn)在軸上,是的中點(diǎn)，所以軸，，，所以，由橢圓定義可得，故選：A

3．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線y=kx-1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C:總有公共點(diǎn)，則橢圓C的離心率取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】

因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以b2<4，又因?yàn)閎>0，所以0<b<2；易知直線y=kx-1過(guò)定點(diǎn)且與橢圓總有公共點(diǎn)，所以該定點(diǎn)位于橢圓內(nèi)或橢圓上，即，解之得，所以b≥1，綜上1≤b<2，故故選：D.考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系【例3-1】（2023秋·湖北）直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，消去并整理得，因?yàn)橹本€與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，得．故選:C.【例3-2】（2023秋·高二單元測(cè)試）若直線與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線恒過(guò)定點(diǎn)，若直線與橢圓總有公共點(diǎn)，則定點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，，解得或，又表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故，，故選：C.【一隅三反】1．（2023春·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）若直線與橢圓相切，則實(shí)數(shù)m的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將直線與橢圓聯(lián)立，得，由題意可知.故選：B2．（2022秋·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)?？计谥校┲本€：與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交【答案】A【解析】方法1：∵，即：，∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)，又∵橢圓∴，∴定點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，∴直線l與橢圓相交.方法2：∴恒成立，∴直線l與橢圓相交.故選：A.3．（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)校考期中）直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，曲線，即，雙曲線右半部分；一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；當(dāng)時(shí)，曲線，即，橢圓的左半部分；畫(huà)出曲線和直線的圖像，如圖所示：

根據(jù)圖像知有個(gè)公共點(diǎn).故選：B考點(diǎn)四弦長(zhǎng)及其應(yīng)用【例4-1】（2023秋·山東）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的弦的長(zhǎng)是．【答案】/【解析】設(shè)點(diǎn)、，在橢圓中，，，，所以，橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.【例4-2】（2023·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．±1 B．±C． D．±【答案】A【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．設(shè)，則，．由題意，得，解得．故選:A【例4-3】（2023春·寧夏銀川·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn).(1)求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求△OAB的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，其中，，從而，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：，設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，消去得，.，由韋達(dá)定理可得，，，，即線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）點(diǎn)O到直線的距離，由韋達(dá)定理知，所以.【一隅三反】1（2022秋·廣西欽州·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓中，，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題知，，即，又，解得，所以橢圓方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，整理得，則，，.所民認(rèn).2．（2023·河南南陽(yáng)）已知橢圓C：的離心率，上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為．(1)求C的方程；(2)過(guò)C的右焦點(diǎn)的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，若．求l的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.（2）右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，得，不符合題意.所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得：，由于直線過(guò)焦點(diǎn)，所以直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，所以，，所以直線的方程為.3．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學(xué)校考期中）已知橢圓的離心率為，且橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)橢圓左焦點(diǎn)為，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知有，解得，則橢圓的方程為.（2）消去，整理得，解得，，如圖

則，，則，直線的方程為，到直線的距離.所以的面積為.4．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，右頂點(diǎn)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，直線過(guò)交橢圓于，兩點(diǎn)，問(wèn)：面積是否有最大值，若沒(méi)有，說(shuō)明理由；若有，求出最大值.【答案】(1)(2)有，【解析】（1）由題意可知，得；又因?yàn)橛翼旤c(diǎn)為，所以；故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知，直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓必定有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理可得，，如圖所示，

，令，則（），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞減，故，所以的面積的最大值為.考點(diǎn)五中點(diǎn)弦及其應(yīng)用【例5-1】（2023春·云南曲靖）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)，，，，斜率為．則，，兩式相減得，又，，，代入解得．故選：D．【例5-2】（2023·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，設(shè)某條弦過(guò)點(diǎn)P且以P為中點(diǎn)，那么這條弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)滿足題意的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則，，兩式相減得，即.又直線過(guò)，由此可得所求的直線方程為，所以弦所在直線的方程為，故選：B.【例5-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則，，直線的斜率.由，得，，，故橢圓的離心率.故選：B.【一隅三反】1．（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）若橢圓的弦AB被點(diǎn)平分.則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則滿足，兩式作差得，即，又被點(diǎn)平分，故，且直線的斜率存在，所以，整理得，即，則所在直線方程為，化簡(jiǎn)得.故選：A.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A3．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，由已知有，，作差得，則，所以，解得，則的方程為.故選：D．考點(diǎn)六橢圓的實(shí)際應(yīng)用【例6-1】（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)橢圓形拱橋，當(dāng)水面在處時(shí)，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構(gòu)成一個(gè)橢圓.此時(shí)拱頂離水面，水面寬，那么當(dāng)水位上升時(shí)，水面寬度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以圖中水面所在的直線為軸，水面的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件可知：橋洞與其倒影恰好構(gòu)成的橢圓方程為：，當(dāng)水位上升時(shí)，水面的寬度也即當(dāng)時(shí)，直線被橢圓所截的弦長(zhǎng).把代入橢圓方程可得：，所以當(dāng)水位上升時(shí)，水面的寬度為，故選：.【例6-2】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過(guò)橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖按橢圓對(duì)稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．【一隅三反】1．（2023秋·河南鄭州·高二鄭州四中?？计谀E圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都經(jīng)過(guò)橢圓的另一焦點(diǎn)．電影放映機(jī)聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，燈絲（看成一個(gè)點(diǎn)）在橢圓的右焦點(diǎn)處，燈絲與反射鏡的頂點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的弦，在軸上移動(dòng)電影機(jī)片門(mén)，將其放在光線最強(qiáng)處，則片門(mén)應(yīng)離燈絲（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)知，解得所以片門(mén)放在光線最強(qiáng)處，片門(mén)應(yīng)離燈絲為．故選：C.2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，卡門(mén)位于另一個(gè)焦點(diǎn)上．由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門(mén)時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程為（

）A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm【答案】A【解析】設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)榇藱E圓的離心率為，且，所以，所以，所以根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義得燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門(mén)時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程為cm.故選：A3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦