3.1.2 橢圓的簡單幾何性質（精練）（解析版）

3.1.2橢圓的簡單幾何性質（精練）1．（2022·全國·高二假期作業(yè)）已知橢圓，則下列各點不在橢圓內部的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由橢圓方程為，因為，所以點在橢圓內部，A錯誤；因為，所以點在橢圓內部，B錯誤；因為，所以點在橢圓外部，C正確；因為，所以點在橢圓內部，D錯誤.故選：C.2．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】對于直線，整理得，令，解得，故直線過定點.∵，則點在橢圓C的內部，所以直線l與橢圓C相交.故選：A.3．（2023秋·黑龍江雞西·高二雞西實驗中學?？计谀┤糁本€與：沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)是（

）A．至多為 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，圓心到直線的距離，即，則點在圓內，由橢圓幾何性質知點也在橢圓內，∴與橢圓的交點個數(shù)為.故選：B4．（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）（多選）若橢圓的離心率為，則實數(shù)的值可能為（

）A． B． C． D．4【答案】AD【解析】因為橢圓的離心率為，當焦點在軸上時，即，得到，由，解得；當焦點在軸上時，即，得到，由，解得.故選：AD.5．（2022秋·高二課時練習）已知橢圓的離心率，則的值為（

）A．3 B．或C． D．3或【答案】D【解析】當焦點在軸上，即時，則，可得，解得；同理當焦點在軸，即時，則，可得，解得；故選：D.6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭縣一中校聯(lián)考期末）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星看作一個質點，繞太陽的運動軌跡近似成曲線，行星在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離.若行星的近日點距離和遠日點距離之和是18（距離單位：億千米），近日點距離和遠日點距離之積是16，則（

）A．39 B．52 C．86 D．97【答案】D【解析】根據(jù)橢圓方程，得長半軸，半焦距，近日點距離為，遠日點距離為，近日點距離和遠日點距離之和是，近日點距離和遠日點距離之積是，解得，則.故選：D.7．（2022秋·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學統(tǒng)考期中）1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人連地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開向了人造衛(wèi)層的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普物行星運動定律；衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面積相等，如圖建系，設橢圓道的長軸長，短軸長，焦距分別為2a，2b，2c，下列結論正確的是（

）A．衛(wèi)星向徑的最大值為2aB．衛(wèi)星向徑的最小值為2bC．衛(wèi)星繞行一周時在第三象阻內運動的時間小于在第四象限內運動的時間D．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓【答案】D【解析】由題意得：向徑為衛(wèi)星與地球的連線，即橢圓上的點與焦點的連線的距離，由橢圓的幾何性質可知衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c，故AB錯誤；由開普勒行星運動定律衛(wèi)星的向徑在相同的時間內掃過的面積相等，在第二象限運動時掃過的面積大于在第一象限運動時掃過的面積，故衛(wèi)星在第二象限內運動的時間大于在第一象限運動時掃過的時間，由橢圓的對稱性可知，衛(wèi)星繞行一周時在第三象限內運動的時間大于在第四象限運動的時間，故C錯誤；當衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大時，由，可得e越小，橢圓越圓，故D正確，故選：D8．（2023·全國·高三專題練習）嫦娥五號完成了人類航天史上的壯舉，在我國航天事業(yè)發(fā)展史上具有里程碑意義.嫦娥五號返回時要經(jīng)過多次變軌，根據(jù)開普勒第一定律，嫦娥五號以橢圓軌道環(huán)繞地球運動，地球處于其中一個焦點上，嫦娥五號在近地點處加速即可保持近地距離而增大遠地距離，由月地轉移軌道Ⅰ進入月地轉移軌道Ⅱ.若某探測器的月地轉移軌道Ⅱ的遠地距離是軌道Ⅰ的3倍，月地轉移軌道Ⅰ的離心率是軌道Ⅱ的.則月地轉移軌道Ⅰ的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設月地轉移軌道Ⅰ的長半軸為，焦半距為，離心率為，軌道Ⅱ的長半軸為，焦半距為，所以，解得:,,則，整理為：，兩邊同時除以，得，.故選：B9．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓E，直線與橢圓E相切，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【【解析】由題意，聯(lián)立橢圓和直線的方程得：整理得：，因為橢圓和直線相切，則，化簡得：，則橢圓的離心率，故選：B.10．（2023春·江西吉安·高二?？计谥校┲本€與橢圓的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【解析】聯(lián)立，則所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以直線與橢圓相交故選：C.11．（2022秋·山西晉城·高二晉城市第一中學校?？茧A段練習）已知直線與橢圓相交于、兩點，若線段的中點縱坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程得，整理得，設、，則線段的中點縱坐標為，解得，故選：D.12．（2022秋·高二課時練習）若橢圓的弦的中點為，則弦的長為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，因為弦的中點為，可得，又因為在橢圓上，可得，兩式相減可得，可得，即直線的斜率為，所以弦的直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，由弦長公式，可得.故選：A.13．（2023秋·高二課時練習）直線被橢圓所截得的弦的中點坐標是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設弦為,,由，消去y得，即.，，所以弦的中點的橫坐標是，代入直線方程中，得.所以弦的中點坐標是.故選：A.14（2022秋·四川資陽·高二四川省資陽中學?？计谥校┻^點作斜率為的直線與橢圓相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，則，兩式相減得又，，則，則，.故選：A15．（2023·四川巴中·南江中學?？寄M預測）已知橢圓四個頂點構成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則橢圓C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，，則，，兩式作差并化簡整理得，因為線段AB的中點為，所以，，所以，由，得，又因為，解得，，所以橢圓C的方程為．故選：A．16．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知直線過橢圓C；的一個焦點，與C交于A，B兩點，與平行的直線與C交于M，N兩點，若AB的中點為P，MN的中點為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，則，兩式作差得所以若O為坐標原點，則，同理，所以O，P，Q三點共線，即，所以，又過點，即橢圓的焦點，所以解得，所以C的方程為故選：C17．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預測）（多選）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點．若的中點坐標為，則（

）A．直線的方程為 B．C．橢圓的標準方程為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【解析】因為直線過點和點，所以直線的方程為，代入橢圓方程，消去，得，所以的中點的橫坐標為，即，又，所以，離心率為，所以圓的方程為．故選：ABD．

18．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）（多選）已知橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，則（

）A．的周長為20 B．的面積為C．線段中點的橫坐標為 D．線段的長度為【答案】ACD【解析】依題意，直線過橢圓的左焦點，橢圓長軸長，所以的周長，A正確；由消去y得：，設，則，，因此線段中點的橫坐標為，C正確；線段的長度為，D正確；點到直線的距離，所以的面積為，B錯誤.故選：ACD19．（2023春·遼寧朝陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右頂點為A，P、Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，設，則，可得，則，又因為點在橢圓上，則，整理得，可得，即，所以C的離心率.故選：A.

20．（2022秋·廣東惠州·高二惠州市惠陽高級中學實驗學校校考期中）已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】直線，令，解得，所以直線恒過定點，直線與橢圓恒有公共點，即點在橢圓內或橢圓上，，即，又，否則是圓而非橢圓，或，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：21．（2022秋·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內一點引一條恰好被點平分的弦，則這條弦所在直線的方程是【答案】【解析】橢圓即，設弦的兩端點分別為,，,，則，則，，兩式作差可得：，．直線過點，這條弦所在直線的方程是，即．故答案為：．22．（2023·全國·高三對口高考）直線截橢圓所得弦的中點M與橢圓中心連線的斜率為．【答案】/【解析】設線與橢圓的交點坐標為，則，可得，因為在橢圓上，則，兩式相減得，整理得，即所以.故答案為：.23．（2023·高二課時練習）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分，過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上.由橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點.已知，，，則截口所在橢圓的離心率為.【答案】【解析】：取焦點在軸建立平面直角坐標系，由及橢圓性質可得，為橢圓通徑，所以，又，解得所以截口所在橢圓的離心率為故答案為：24．（2023春·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）設橢圓的半焦距為，由題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）當直線的斜率不存在時，則，可得，所以；當直線的斜率存在時，設，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，則，令，則，可得，因為，所以；綜上所述：的取值范圍為.

25．（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓：的離心率為，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與橢圓交于不同的A，B兩點，且滿足（為坐標原點），求弦長的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由得焦點，則橢圓的焦點為，因為橢圓離心率為，所以，解得，則，所以橢圓的方程為．（2）設，由得，，易得，則，，，因為，所以，解得，所以．

26．（2023秋·廣東東莞·高二東莞市東莞中學?？计谀┮阎獔A經(jīng)過橢圓的左焦點和上頂點．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點，若，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：對于圓,令得，解得，即與軸的交點為，令得，解得，即與軸的交點為因為圓經(jīng)過橢圓的左焦點和上頂點，橢圓的焦點在軸上，所以為橢圓的左焦點，為橢圓的上頂點，所以，，所以橢圓的方程為（2）解：因為直線與橢圓交于兩點，所以聯(lián)立方程得，所以，，解得，設，則，因為，所以，整理得，解得，滿足，所以，.1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江）（多選）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則為正三角形C．角A的最小值為D．若，則面積的最大值為【答案】ABD【解析】如圖所示，不是一般性，將看做定值，則根據(jù)已知條件和橢圓的定義，得到B的軌跡為以為焦點，焦距位，長軸長為的橢圓上的動點（長軸的端點除外），以所在直線為軸，線段中點原點建立坐標系，如圖所示.橢圓的半長軸為，半焦距為，半短軸為，橢圓方程為.當且僅當在橢圓的短軸的端點時，，對應，此時,為正三角形，面積取得最大值.若，則面積最大值為，角的值可以任意接近于0，沒有最小值.故A正確，B正確，C錯誤，D正確.故選：ABD2．（2022秋·湖北荊州·高二沙市中學校考階段練習）已知橢圓，若橢圓上存在兩點、關于直線對稱，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】橢圓，即：，設橢圓上兩點關于直線對稱，中點為，則，，所以，∴，∴，代入直線方程得，即，因為在橢圓內部，∴，解得，即的取值范圍是．故選：A．3．（2022秋·安徽·高二合肥市第八中學校聯(lián)考期中）已知橢圓C：上存在關于直線l：對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設C上關于直線對稱的兩點分別為，，其中點為，則，，兩式相減，得，由，得，又，，所以，即，又，所以，，即，又點E在C的內部，所以，所以．故選：C．4．（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W?？计谀┮阎獧E圓的左焦點為，上兩點、滿足，若的最小值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設橢圓的右焦點為，連接，，因為，由橢圓的對稱性知，四邊形為矩形，所以，

由橢圓的定義知，，所以，在中，，所以，而，所以，即，所以離心率．故選：D．5．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）設點、分別是橢圓的左、右焦點，點、在上（位于第一象限）且點、關于原點對稱，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：

由題意可知，為、的中點，則四邊形為平行四邊形，則，又因為，則四邊形為矩形，設，則，所以，，由勾股定理可得，所以，該橢圓的離心率為.故選：B.6．（2022秋·高二課時練習）已知是橢圓的左、右焦點，過右焦點的直線與橢圓交于兩點，且滿足，，則該橢圓的離心率是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】

因為，所以，又因為，所以，因，所以，，可得：，，，所以點在短軸的頂點上，在等腰三角形中，，故選為：D7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎獧E圓的左，右焦點分別為，，上頂點為A，直線與橢圓E的另一個交點為B，若，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，則直線的方程為，聯(lián)立，消去y得，則，所以，因為，所以，因為，化簡得，即，所以，所以.故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的上頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，的中點為，因為都在橢圓上，所以，作差可得，即，所以，即，因為，所以，又因為為△BMN的重心，所以，所以，則，所以，整理得，即，所以，則，所以離心率.故選:A.9．（2023·全國·高三專題練習）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個橢圓圍成.經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長軸長之比與短軸長之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質地均勻的長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設切點為，盤子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點為、，點關于的對稱點為．給出下列四個命題：①兩橢圓的焦距長相等；②兩橢圓的離心率相等；③；④與小橢圓相切.其中正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設大、小橢圓的長軸長之比與短軸長之比均為，設點、、，以橢圓的中心為坐標原點，橢圓的長軸、短軸所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設小橢圓的方程為，則大橢圓的方程為，對于①，大橢圓的焦距長為，兩橢圓的焦距不相等，①錯；對于②，大橢圓的離心率為，則兩橢圓的離心率相等，②對；對于③，當直線與坐標軸垂直時，則點、關于坐標軸對稱，此時點為線段的中點，合乎題意，當直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為，聯(lián)立可得，，可得，此時，，聯(lián)立可得，由韋達定理可得，即點為線段的中點，綜上所述，，③對；對于④，當點的坐標為時，將代入可得，不妨取點、，則，若，則直線的方程為，此時直線與橢圓不相切，④錯.故選：B.10．（2023·云南曲靖·校考三模）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術節(jié).活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，傘的傘沿與地面接觸點B是橢圓長軸的一個端點，傘沿在地面上最遠的投影點A是橢圓長軸的另一個端點，對應的傘沿為C，O為傘的圓心，F(xiàn)為傘柄底端，即橢圓的左焦點，令橢圓的長半軸