湖南省九校聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（解析版）

湖南省2023屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

是符合題目要求的.

1,已知集合A={加T<lKδ={x∣%Aα},且Ag,則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(→X>,1)B.(-∞,O]C.[0,+∞)D.[l,+∞)

【答案】B

【解析】

【分析】首先解絕對值不等式求出集合4再根據(jù)集合的包含關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】由題意可得：A={x∣∣x-l∣<l}={x∣-l<x-l<l}={x∣0<x<2},

若A08,則α≤0.

故選：B.

2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解得方程χ2+4χ+5=0的兩根為公,當(dāng)，則歸一目=()

A.4B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】求出方程的兩根，即可求出歸一的值.

【詳解】由題意，

在d+4χ+5=0中，

解得：x=—2±i,

Λ∣x,-x2∣=∣-2-i-(-2+i)∣=∣-2i∣=2,

故選：C.

3.已知函數(shù)/(x)=log2∣cosx∣,則下列論述正確的是()

A.玉∣,與e(0,2π)且玉/々，使〃5)+/(W)=O

B.?x∣,x2∈^,π,當(dāng)王<々時，有/(x∣)<∕(x2)恒成立

C.使/(x)有意義的必要不充分條件為x∈JxeRx≠萬,左∈Z>

1Jrτr

D.使f(X)≥――成立的充要條件為X￡VXER——≤X≤—?

【答案】B

【解析】

【分析】通過分析函數(shù)的定義域，單調(diào)性和值域，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，

?∕(x)=Iog2ICo對中,

對于A,

V∕(x)≤0,

.?.若XG(0,2兀)，當(dāng)且僅當(dāng)X=π時,/(χ)=O,A錯；

對于B,

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，當(dāng)Xe(I,π時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，B正確;

對于C,

：log2∣coW有意義，

.71.

1?X≠Kit+5,攵EZ,

∕al]π]

XWE+∈ZI的充分不必要條件，C錯;

對于D,

,X∈R—區(qū)≤X≤四I是/(χ)≥—,成立的充分不必要條件，D錯誤.

故選：B

4.如圖所示，一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和4,球的表面積為100π,則該圓

臺的體積為()

238π259π

B.75πC.-------D.-------

33

【答案】D

【解析】

【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進一步求出圓臺的體積.

【詳解】因為圓臺外接球的表面積S=4π∕=100π,所以球的半徑r=5,

設(shè)圓臺的上、下底面圓心分別為。2,G,在上、下底面圓周上分別取點48,

連接Oo2,0Q∣,OAObOzAOB,如圖，

因為圓臺上、下底面的半徑分別為3和4,

所以IOjBI=Ia4|=4,IaM=IO24|=3,

22

所以IOobJoBFTaw=3,?002?=λ∕∣OA∣-∣O2A∣=4,

所以Iao2∣=7,

所以圓臺體積V=§X（9兀+16兀+12兀）x7=上三

故選：D.

5.兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用切割圓錐的方法研究圓錐曲線，他用平行于圓錐的軸的平

面截取圓錐得到的曲線叫做“超曲線”，即雙曲線的一支，已知圓錐PQ的軸截面為等邊三角形，平面

a//PQ,平面。截圓錐側(cè)面所得曲線記為C,則曲線C所在雙曲線的離心率為（）

A.B,—C.√3D.2

33'

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，得到點E的坐標，從而得到雙曲線方程，然后結(jié)合離心率公式,

即可得到結(jié)果.

【詳解】如圖，設(shè)平面a〃PQ,平面α與圓錐側(cè)面的交線為C,過P垂直于M的母線與曲線C交于

M,不妨延長PM至A,使PM=M4.

F

過A垂直于PQ的截面交曲線C為E,尸,

設(shè)P在平面α內(nèi)的投影為點0,以。為原點，尸。投影為X軸建立平面直角坐標系，易知點〃為雙曲線

22?2[

頂點.設(shè)QW=α,則可求E點坐標為（2α,α）,代入方程：二—4=1,知[=?L,故雙曲線離心率為

arb"Cr3

2√3

e=----，

3

故選：A.

6,下列關(guān)于統(tǒng)計概率知識的判斷，正確的是（）

A.將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為吊,用和且

I

已知X1=X2,則總體方差S=；+）

B.在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)「越接近于1

C.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（〃,b2）,若P（X龐-1）+P（X5）=1,則〃=2

D.按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27,30,37,m,40,50；乙組：24,〃,33,44,48,52,若這兩

組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則m+n=67

【答案】C

【解析】

【分析】對于A項，由分層抽樣的方差公式判斷即可；對于B項，運用M越大相關(guān)性越強可判斷；對于C

項，由正態(tài)分布的對稱性可求得結(jié)果；對于D項，運用百分位數(shù)計算公式即可求得結(jié)果.

【詳解】對于A項，總體方差與樣本容量有關(guān)，故A項錯誤；

對于B項，相關(guān)性越強，H越接近于1；故B項錯誤；

對于C項，若P(X≥-1)+P(X≥5)=1,則P(XN-I)=P(X<5),所以〃=W≤2=2,故C項

正確;

37+

對于D項，甲組：第30百分位數(shù)為30,第50百分位數(shù)為------，乙組：第30百分位數(shù)為〃，第50百

2

33+4477

分位數(shù)為二——

T

〃=30

〃二30

所以《37+加77>解得:故m+〃=70.故D項錯誤.

m=40,

.2=T

故選：C.

7.如圖，。是平行四邊形ABCo所在平面內(nèi)的一點，且滿足

ZAOB=-ZBOC=-,2y∕3?OA?=2?OB?=3?OC?=6,則?OD?=()

26

O

A.2B.√3C.√2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】運用向量線性運算及數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】由已知，可得。4卜G,∣O用=3,1OC=2,/AOC=5，

又四邊形ABCo為平行四邊形，

所以IOOi2=(OC+8)2=(OC+BA)2=(OC+OA—。為2

222

=OC+OA+OB+20COA—20C?OB—2OA,OB

=4+3+9+0-2x2x3xcos--2×V3×3×cos—=1,

36

所以口4=ι.

故選：D.

8.已知。、heR,且而。0,對任意工>0均有。11無一0)(工一人)(％—4-/7岸0,則()

A.a<0,b<QB.a<0,b>0

C.α>0,b<0D,α>0,b>0

【答案】B

【解析】

【分析】

推導(dǎo)出InX-α與x—e"符號相同，構(gòu)造函數(shù)/(x)=(x-e")(x—3(x—。一與，然后對四個選項中的條

件逐一驗證，即可得出合適的選項.

XY

【詳解】lnx-6Z=lnx-ln^=ln-,故InX—。與In「的符號相同，

ee

YY

當(dāng)In二>O=lnl時，χ>e";當(dāng)ln=<O=lnl時，χ<∕.

ee

所以，lnx-α與χ-e"的符號相同.

.?.(lnx-α)(x-6)(x-α-b)≥00(x-e")(x-b)(x-α-b)20,

令/(x)=(X-e")(x-b)(x-α—,所以，當(dāng)x>0時，/(χ)≥o恒成立，

令/(x)=。,可得％=e"'x2=b,x3=a+b.

ab≠O,分以下四種情況討論：

對于A選項，當(dāng)“<0,h<O時，則α+0<8<0<e",當(dāng)0<x<e"時，/(Λ)<0,不合乎題意，A選

項錯誤；

對于B選項，當(dāng)α<0,>>0時，則α+h<h,

若α+∕j>O,若a+8、b、e"均為正數(shù)，

①若e"=8，則/(x)=(x-a-b)(x-A*)?,當(dāng)O<x<a+/?時，/(x)<0,不合乎題意；

②若e"=a+Z?,則/(x)=(x-a-人)-(x-Z?),當(dāng)O<x<a+Z?時，/(x)<0,不合乎題意.

③若a+Z?、b、e"都不相等，記t=min{b,a+"e"},則當(dāng)O<χ<r時，/(x)<0,不合乎題意.

由上可知，a+b≤O,當(dāng)χ>O時，若使得/(χ)≥o恒成立，則〈“，，，如下圖所示，

e=b>0

所以，當(dāng)a<0,b>0時，S.a+h<O,0=e">0時，當(dāng)χ>O時，/(χ)≥o恒成立；

對于C選項，當(dāng)。>0,。<0時，則6<a+b,

①若a+8≤0時，則當(dāng)0<x<e"時，/(x)<0,不合乎題意；

②當(dāng)a+8>0時，構(gòu)造函數(shù)g(a)=e"-a-h,其中a>0,g'(a)=e"—1>0,

a

函數(shù)g(a)在(0,+e)上單調(diào)遞增，則g(a)>g(O)=l-Z?>O,.?,e>a+b-

當(dāng)a+8<x<e"時，由于x-b>O,則/(x)<0,不合乎題意，C選項錯誤；

對于D選項，當(dāng)a〉0,力>0時，則。<〃+/?,此時/?、a+b>e"為正數(shù).

①當(dāng)》、a+b>e"都不相等時，記r=min{"a+"e"},當(dāng)O<χ<r時，/(r)<0,不合乎題意;

②若〃=e"，則/(x)=(x-6)2(x-a—匕)，當(dāng)O<x<A時，/(x)<0,不合乎題意；

③當(dāng)e"=a+0時，/(x)=(x-?)(x-a-?)2>當(dāng)0<x<力時，f(x)<O,不合乎題意

所以，D選項錯誤.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點：

CD分析InX—。與χ-e"同號；

(2)對》、a+b,e"的大小關(guān)系進行討論，結(jié)合穿針引線法進行驗證.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+2)+∕(x)=0,且y=∕(2—x)為偶函數(shù)，則下列說法一定

正確的是()

A.函數(shù)/(X)的周期為2B.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于(1,0)對稱

C.函數(shù)/(尤)為偶函數(shù)D.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于X=3對稱

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)給定的信息，推理論證周期性、對稱性判斷AB；借助變量替換的方法，結(jié)合偶函數(shù)的定義

及對稱性意義判斷CD作答.

【詳解】依題意，R上的函數(shù)/(x),/(x+2)=-/(X),則/(x+4)=-"x+2)="x),函數(shù)/(x)的

周期為4,A錯誤；

因為函數(shù)y=∕(2r)是偶函數(shù)，則/(2-x)=∕(2+x),函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，

且/(2-x)=-∕(x),即/(2—x)+∕(x)=0,函數(shù)/(x)圖象關(guān)于(1,0)對稱，B正確；

由"2-x)=∕(2+x)得,f(τ)=∕(4+x)=∕(x),則函數(shù)〃力為偶函數(shù)，C正確；

由“x+2)+∕(x)=0得"x+3)+∕(l+x)=0,由/(2-X)=/(2+x)得"3τ)=∕(l+x),

因此F(X+3)+f(3r)=0,函數(shù)J(X)的圖象關(guān)于(3,0)對稱,D錯誤.

故選：BC

10.已知A,B為圓。：/+丁=i上的兩點，P為直線/：%+丁一2=0上一動點，貝I]()

A.直線/與圓。相離

Tr

B.當(dāng)A8為兩定點時，滿足NAPB=—的點P有2個

2

C.當(dāng)∣A8∣=g時，|弘+尸@的最大值是2a+1

(11、

D.當(dāng)PAPB為圓。的兩條切線時，直線AB過定點亍孑

【答案】AD

【解析】

【分析】利用點到直線的距離判斷A；確定/APB最大時的情況判斷B；取AB中點力，由線段P。長判

斷C；求出直線A3的方程判斷D作答.

∣-2∣

【詳解】對于A,因為。到直線/的距離d=JI=Jr2>1,即直線/與圓。相離，A正確；

√12+12

對于B,當(dāng)A,B為過點P的圓。的切線的切點時，NAPB最大，而NB43=2NOR4,

OA1

顯然NOPA是銳角，正弦函數(shù)在(0,π2)上單調(diào)遞增，SinNoPA=J=—,

2OPOP

TT

因此/"B最大，當(dāng)且僅當(dāng)NOPA最大，當(dāng)且僅當(dāng)OP最小，則有PO_L/,此時NAPB=一，

2

TT

所以當(dāng)AB為兩定點時，滿足NAPB=上的點P只有1個，B錯誤；

2

對于C,令A(yù)B的中點為。，則ODj.A8,OO=JOA2-(JAB)2=；,點。在以。為圓心，為半徑

的圓上，

?PA+PB?=?2PD?=2?PD?,顯然當(dāng)P在/上運動時，∣PO|無最大值，C不正確；

對于D,設(shè)P(a,2-α),當(dāng)PAPB為切線時，B4_LOAPBLQB,點AB在以。尸為直徑的圓上,

此圓的方程為X(X-a)+y(y-2+α)=0,于是直線AB為方+(2-α)y=l,即

α(χ-y)+2y-1=°，

所以直線AB過定點g)，D正確.

故選：AD

11.已知函數(shù)/(x)=sin(α)x+o)(0>O,O<e<2π)的部分圖象如圖所示，則()

4π

A.φ--

3

5JrJr

B./(x)在區(qū)間一工，一]上單調(diào)遞增

1TT

c.將函數(shù)y=COf圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?(縱坐標不變)，再將所得圖象向右平移一個單位長

212

度，可得函數(shù)/(x)的圖象

D.函數(shù)^=4/(1)+,2^+,的零點個數(shù)為7

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點法作答求出函數(shù)/(X)的解析式，再分析判斷ABC：換元并構(gòu)造函

數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖形判斷D作答.

SjrJT9TTTl

【詳解】觀察圖象知，函數(shù)/(X)的周期T=2(-1-])=π,則/=Ir=2,而/(§)=(),

兀4兀

即有2?g?+0=EMeZ,由SinQ<0,0<e<2π知，π<φ<2π,因此％=2,°=—,A正確；

4TT5TtTi4τr冗Tt

顯然/(x)=sin(2x+-),當(dāng)x∈[-一,一一]時，2x÷-∈[—一因此/O)單調(diào)遞增，B正確；

362333

將y=COM圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼腡得y=cos2x,再將所得圖象向右平移《個單位長度，得

y=cos(2x-兀-)、,

Jr3兀TT4TT

而y=cos(2x——)=-sin(—+2x——)=-sin(2x+一),C錯誤；

6263

由4∕(x)+,2x+(=0，得4sin(2x+])=/x+三,令2X+1=，，則4sin∕=JF,

令g(x)=4sinx—?,顯然當(dāng)x>16時，4sinx≤4,√x>4,即恒有g(shù)(x)<O,函數(shù)g?在(16,+∞)

上無零點，

f,

當(dāng)OVXVl時，g(x)=4cosX——L=,A(x)=4cosX——?=,∕z(x)=-4sinx+—↑-j=,

2√x2√x4X?JX

1

函數(shù)y=-4sinx,y=±x2在(0,。上都遞減，即有"(χ)在(0,1)上遞減，

4

”(-l-)=-4sin?l→16>0,

1616

〃'(1)=—4Sinld—<—4sin—I—=—2H—<0,因此存在Xoe(O』)，"'(%)=0,

4644

當(dāng)時,,當(dāng)時，,有在上遞增，在遞

O<X<ΛO?(x)>O,XIJ<X<1Λ(x)<O,g'(x)=∕z(x)(O,XO)(X(Pl)

減，

g'(??)>g'⑴=4cosl-?>4cos--?>0,g'(-?-)=4cos———4<0，

°2326464

于是存在石∈,g'(x∣)=0,當(dāng)0<x<x時,g'(x)<0,當(dāng)x∣<x<l時，g'(x)>(),

64l

TT

則函數(shù)g(x)在(0,苞)上遞減，在(X1/)遞增，g(χ∣)Vg(O)=O,^(l)=4sinl-l>4sin--l>0,

6

從而函數(shù)g(x)在(0,1)上存在唯一零點，而函數(shù)y=4sinx周期為2兀，y=4在(0,+8)上單調(diào)遞增,

g(^)=4-∣√2π>0,^(^)=4-∣√iδπ>0,^(?)=4-∣√2π>0,

從而函數(shù)g(x)在(0,π),(2π,3π),(4π,5π)上各有一個零點，又0是g(x)的零點，即函數(shù)g(x)在定義域上共

有7個零點，

所以函數(shù)y=4∕(x)+j2x+;的零點個數(shù)為7,D正確.

故選：ABD

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出大X)=O的解；(2)圖象法：作出函數(shù)

7U)的圖象，觀察與X軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀

察它們的公共點個數(shù).

12.如圖，正方體ABCr)-A'B'CZ)'的棱長為3,點”是側(cè)面皿)'A'上的一個動點(含邊界)，點P

在棱CC'上，且IPCi=1,則下列結(jié)論正確的有()

D'

A.沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為2而

B.保持PM與RD'垂直時，點用的運動軌跡長度為2J5

C.若保持∣PM∣=屈，則點”的運動軌跡長度為∣?τι

99

D.當(dāng)M在W點時，三棱錐笈一M4P的外接球表面積為一無

4

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)平面展開即可判斷A；過P做平面J平面ACB',即可判斷B；根據(jù)點〃的軌跡是圓

弧，即可判斷C；建立空間直角坐標系求得圓心坐標即可判斷D.

【詳解】對于A，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，

連接AP,則AP=JAB2+§產(chǎn)=用<2√jξ,故A錯誤；

對于B，因為￡>￡/!_平面ABCO,ACU平面ABCr),DD'±AC,又ACj.BD,

DD'?BD=D,DD；BDU平面DiyB,

所以AC_L平面DDf8，Be>'u平面"B，

所以AC_LBD',同理可得8D'_LAB',ACA8'=A,AC,AB'u平面ACB',

所以Bzy，平面AeB',

所以過點P作PG//CO交CO交于G,過G作GfV/AC交A。交于F,

由AB'//CD,可得PG/∕AB',PGa平面AC8'，AB'u平面AcB

所以PG//平面ACB',同理可得GF//平面AC8',PGcGF=G,

則平面PGR//平面AC3',

設(shè)平面PEF交平面ADIyA!于EF,則M的運動軌跡為線段EF,

由點P在棱CC'上,且IPCl=1,可得IDGl=ID同=IAEI=1,

所以IEFI=g∣AQ∣=2√L故B正確；

對于C,若IPMl=舊，則M在以尸為球心，舊為半徑的球面上,

過點P作尸。工平面AZ)DA,貝“。。|=1,此時IQM=1PM2-PQ2=2,

2

所以點M在以。為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為］兀，

24

點Λ/的運動軌跡長度為一兀x2=-兀，故C正確；

33

對于D,以。為坐標原點，D4,OC所在直線分別為KXz軸建系，

則”(0,0,3),P(0,3,2),8'(3,3,3),A(3,0,0),設(shè)三棱錐笈一MAP的外接球球心為N(無,y,z),由

?NMF=INPI2=INBT=∣Λ64∣2得，

%2+/+(z-3)2=x2+(y-3)2+(z-2)2=(x-3)2+(y-3)2+(z-3)2=(x-3)2+y2+z2,

75

解得：x=z=-,y=-f

44

所以三棱錐S-MAP的外接球半徑R=M—3j+j+(qj=邛?,

99

所以三棱錐？一MAP的外接球表面積為S=4?；?=—π,D正確.

4

故選：BCD.

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知I(X-二］的展開式中第3項與第8項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項為.

【答案】-84

【解析】

【分析】求出展開式有幾項，并寫出(x-的展開式的通項，即可得到展開式中的常數(shù)項.

【詳解】由題意，

在(X一4)中，展開式中第3項與第8項的二項式系數(shù)相等，

.?.Cj=C>解得：〃=9,

因此,一二)的展開式的通項為：qx9-r(-ιp^2r=(-ι),c^9-v,

故(x—的展開式中的常數(shù)項為(—1)3Cj=—84.

故答案為：—84.

14.對于一個給定的數(shù)列｛%｝,把它的連續(xù)兩項與%的差。,用-。,記為勿，得到一個新數(shù)列｛"｝,

把數(shù)列｛2｝稱為原數(shù)列｛為｝的一階差數(shù)列.若數(shù)列｛2｝為原數(shù)列｛??｝的一階差數(shù)列，數(shù)列｛4｝為原數(shù)列

｛2｝的一階差數(shù)列，則稱數(shù)列｛c,J為原數(shù)列｛aιl｝的二階差數(shù)列.已知數(shù)列｛%｝的二階差數(shù)列是等比數(shù)

列，且4=2,阻=3,%=6,%=13,則數(shù)列｛可｝的通項公式.

【答案】2n-n+l

【解析】

【分析】運用等比數(shù)列通項公式及累加法可求得結(jié)果.

[詳解】設(shè)數(shù)列｛bn｝為原數(shù)列｛%｝的一階差數(shù)列，｛?,｝為原數(shù)列｛%｝的二階差數(shù)列.

則由題意可知4=。2—q=1力2=。3—。2=3,4=%—“3=7,G=b2—b?—2,C2=“3—“2=4.

又｛c,,｝為等比數(shù)列，故公比4=2=2,所以*=2",即2+=2".

c?

+n

當(dāng)形≥2時,bn=(bn-?,j)+(?n-ι-?-2)+02-4)+〃=2"T+2""++2'+l=2-l,

將〃=1代入a=2"—1得偽=2-1=1,符合，

所以勿=2"-1,〃wN*.

所以明一凡=2"-1，

當(dāng)〃≥2時，4=(/_“"-2)++(4_q)+ɑι=(2"I—1)+(2"2—])++(2∣-l)+2

=2n^l+2n^2++2'-(rt-l)+2=2,,-n+l,

將〃=1代入%=2"-〃+1得％=2∣-1+1=2,符合，

所以=2"—〃+1,n∈N*?

故答案為：2"—"+L

15.已知直線/：丁=一1,拋物線C:/=4y的焦點為尸，過點尸的直線交拋物線。于AB兩點，點8

關(guān)于y軸對稱的點為P.若過點AB的圓與直線/相切，且與直線PB交于點。，則當(dāng)QB=3PQ時，直

線AB的斜率為.

【答案】±立

4

【解析】

【分析】根據(jù)題意設(shè)直線AB的方程為y=去+1,聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達定理即可得到結(jié)果.

【詳解】如圖，易知過點AB且與直線/相切的圓就是以AB為直徑的圓，設(shè)A(Al,χ),JB(A2,%),

則。（王，必），。（一%2，%），由QB=3PQ有％=-2x∣,

設(shè)直線AB的方程為y="+1,代入—=4y有/一46-4=0,

?

所以玉+/=4k,x∣%7=-4,結(jié)合%2=-2x∣,得k—±—'

4

故答案為：土立

4

16.已知不等式e*≥4ln小二D(α>O)恒成立，則實數(shù)。的最大值為.

e

【答案】e2

【解析】

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為e*τnα+(x-Ina)N(X-1)+In(X-I),構(gòu)造函數(shù)/(x)=e'+x,研究函數(shù)單調(diào)

性，將問題轉(zhuǎn)化為X-Ina≥ln(x-1)恒成立，再運用分離參數(shù)法求最值即可.

【詳解】因為。>0,所以e"≥0ln----=—≥lnα+ln(x-l)-1,x>l.

ea

即e"T"'-InQ≥In(x—1)-Ioev-l,v'+(x-lncz)≥(x-l)+ln(x-l).

令/(x)=e*+x,易知/(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增，

又/(X-Ina)=ev^lna+(X-Ina)N(X-I)+In(X-I)=/(In(X-I)),

所以X-Ina≥In(%—1)恒成立，即X-In(X-I)≥Ina恒成立.

所以(X-In(X-l))min>lnα.

令g(x)=x—In(X-1),χ>l,則g'(χ)=l-----=-----,%>1,

X-Ix-l

由g'(x)>0=>x>2,gf(x)<0=>1<Λ<2,

則g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，

所以g(x)rain=g(2)=2,

所以Ina≤2,即a≤e"

故實數(shù)。的最大值為e?.

故答案：e^?

【點睛】同構(gòu)法的三種基本模式：

①乘積型，如αe"≤bln匕可以同構(gòu)成αe"≤(lnb)emj進而構(gòu)造函數(shù)/(x)=Xe)

ahpahX

②比商型，如e幺<--可以同構(gòu)成、一<--,進而構(gòu)造函數(shù)/(X)=/一；

a]nbIneα?nbInX

③和差型，如e"±α>b±lnb,同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)/(x)=e'±x或/(x)=x±lnx.

分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略：

(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

⑵4≥/(X)恒成立=α≥f(X)rrax；a≤/(x)恒成立Oα≤f(x)min；

a≥fM能成立<^a≥f(x)min；a≤/(x)能成立="≤/(%)max.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(TTIh+C

17.己知α,>,c分別為三角形4BC三個內(nèi)角AB,C的對邊，且有2sinC+qJ=-y-.

(1)求角A；

(2)若。為邊BC上一點，且2CZ)=4D=BD,求SinC.

TT

【答案】(1)A=§

(2)SinC=I

【解析】

【分析】(1)運用正弦定理邊化角、和角公式及輔助角公式求解即可.

(2)解法一：運用正弦定理求解即可；解法二：運用向量線性表示證得NMLAB即可.

【小問1詳解】

由2sin[c+4]=星，有氐inC+c。SC=Sim+sin。,

I6JaSinA

即GSinASinC+SinAcosC=sinB+sinC=Sin(A+C)+sinC,

所以V3sinAsinC=SinCcosA+sinC?因為SinC≠0,所以J^SinA-cosA=1，

Tr71I

即：2sin(A——)=l=>sin(A——)=—,

662

又因為A∈(0,7Γ),故A=，

【小問2詳解】

解法一：設(shè)∕6AO=e,6e]θ,二],則/AOC=26,/ZMC=4―a/AC。=@一

I3J33

ADDC

在AAOC中，由正弦定理知，.(2兀Z)I-.(無Tf,

I3JU)

即2sin-8)=sin一6),

化簡得，tan。=走，則。=烏,/ACD=@一。=四，

3632

即sinC=1.

解法二：如圖所示，

A

取AB中點〃，延長M力與AC的延長線交于點N,連接N3,

1211

由2CD=BD有ND=—NB+—NC,由NM=-NB+-NA,

3322

I2λλ2-3∕lλ2

設(shè)ND=入NM，則一NB+—NC=—NB+—NA,即-----NB=—NA——NC,

3322623

2

故九=§,所以NA=2NC,即C為AN中點.

又AD=BD,M為AB中點,所以NM_LAB,

JT

又A=§,所以AABN為正三角形，

又BC平分AN,所以BCLAN,所以SinC=L

SS1

18.記S“為數(shù)列｛a,,｝的前〃項和，已知q=l,-lj---jl=~~.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）令2=2/，記數(shù)列也｝的前〃項和為7；,試求QT除以3的余數(shù).

【答案】（1）an=n

（2）2

【解析】

Snn+1[S1,（n=1）

（分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式求出口=二，再根據(jù)an=?J。/求出為二〃；

a

n2[ξl-5n.1,（n>2）

（2）利用等比數(shù)列前"項和公式求出n“T，然后應(yīng)用二項式展開式求余數(shù)

【小問1詳解】

SS1S"+∣二4+1S1SSK1

由j----^=一不有11即*n+iL—

aaaa

,,+in22,ι+?n2

S

又4=1,故一1=11,

%

C

所以數(shù)列」L｝是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列,

Sn〃+1〃+1

所以二L=，即S,

凡"T^F

故S"+∣=^2α,,+∣，兩式相減得",,+∣=g22+ι一等4，即3%+∣=等4，

所以4±k=%==3=1,

H+1n1

因此｛%｝的通項公式為4=〃.

【小問2詳解】

由⑴及4=2"“，有勿=2",所以QT=22"-2=4"-2,

又4"=(3+1)"=C：3"+CW++C7'3'+1,

因為C1,C,,C：T均為正整數(shù)，所以存在正整數(shù)々使得4"=3Z+1,

故(,I=22,,-2=4,,-2=3ZΓ-1,

所以TLT除以3的余數(shù)為2.

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCZ)為直角梯形，AB//CD,

AB±BC,AB=BC=3,CD=4,PC=PD=√22,PA=√10.

（1）證明：平面B43，平面ABCZ）；

（2）求平面P4C與平面PCo所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

（2）2屈

19

【解析】

【分析】（1）取CD中點M,A3靠近點A的三等分點。，連接OM,PO,PM,由題意可得四邊形OBMC

為矩形，ABrOM,AB1PM，進而可得AB工平面PQ0,ABLPO,再由PQ0為等腰直角三

角形，可得POl.QW,即可得Pol平面ABCQ,進而得證；

（2）利用空間向量法求解.

【小問1詳解】

證明：取CO中點M,AB靠近點A的三等分點。，連接OM,PO,PM,

因為底面ABC。為直角梯形，且A8〃C2AB工BC,

則有OB〃/DOB=MC,

所以四邊形。BMC為平行四邊形，

又因為NOBC=90。，

所以四邊形OBMC為矩形，

所以ABLQW,

因為PC=PQ=√^,

所以PMLCD,

所以ABJ_PM，

因為OMCPM=MQM、PMU平面POM,

所以ABjL平面POM.

又POU平面POM,所以ABLPO,

由Po=后,PA=W,MO=2,OA=I,

2222

得po=√PA-CM=3,PM=√PD-MD=3√2，

又OM=BC=3,

所以POM為等腰直角三角形，

所以PO_LQM,

又PO_LAB,0MCAB=O,OM、ABu平面ABC。，

所以Po1平面ABC￡）,

又PoU平面PAB,

所以平面PAB_L平面ABCD.

【小問2詳解】

由（1）可知，。&OM、QP三條直線兩兩互相垂直且交于點0,

以。為坐標原點，03、QM、OP分別為X又z軸建立如圖空間直角坐標系,

z.

P1

X

則A(T,0,0),C(2,3,0),P(0,0,3),0(-2,3,0),

故AC=(3,3,0),PC=(2,3,-3),L>C=(4,0,0),

設(shè)平面PAC的法向量為，”=(x,y,z),

m-AC=0[3x+3y=0

由〈，有《,

mPC=Q[2x+3y-3z=Q

取加=(—3,3,1),

設(shè)平面PCD的法向量為7=(x',歹,z'),

∕ι?DC=0[4x'=0

由〈，有《，

L.PC=O[2x'+3y'-3z'=0

取”=(0,1,1),.

設(shè)平面PAC與平面PC。所成銳二面角為9,

4__2√∣8

則cosΘ

√19?√2^19，

故平面PAC與平面PCD所成銳二面角的余弦值為2叵.

19

20.直播帶貨是扶貧助農(nóng)的一種新模式，這種模式是利用主流媒體的公信力，聚合銷售主播的力量助力打

通農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)銷鏈條，切實助力貧困地區(qū)農(nóng)民脫貧增收.某貧困地區(qū)有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2022年該地利用網(wǎng)絡(luò)

直播形式銷售農(nóng)產(chǎn)品的銷售主播年齡等級分布如圖1所示，一周內(nèi)使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2

所示，若將銷售主播按照年齡分為“年輕人”（20歲~39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以

上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用直播銷售用戶”，使用次數(shù)為5次或不

足5次的稱為“不常使用直播銷售用戶”，且“經(jīng)常使用直播銷售用戶”中有之是“年輕人”.

6

直播銷售主播年齡等級分布直播銷售使用頻率分布

50.0%

40.0%

30.0%

20.0%

10.0%

0

（1）現(xiàn)對該地相關(guān)居民進行“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡關(guān)系''的調(diào)查，采用隨機抽樣的方法，抽取一

個容量為200的樣本，請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，完成2X2列聯(lián)表，根據(jù)CT=0.10的獨立性檢驗，能否認

為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)？

使用直播銷售情況與年齡列聯(lián)表

年輕人非年輕人合計

經(jīng)常使用直播售用戶

不常使用直播銷售用戶

合計

（2）某投資公司在2023年年初準備將IOoO萬元投資到“銷售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項目上，現(xiàn)有兩種銷售方

案供選擇：方案一：線下銷售、根據(jù)市場調(diào)研，利用傳統(tǒng)的線下銷售，到年底可能獲利30%,可能虧損

711

15%,也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為市,不正.方案二：線上直播銷售.根據(jù)市場調(diào)

研，利用線上直播銷售，到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的

概率分別為上J,±.針對以上兩種銷售方案，請你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個合理的方

2510

案，并說明理由.

參考數(shù)據(jù)：獨立性檢驗臨界值表

a0.150.100.0500.0250.010

χ2.0723.8415.024

u2.7066.635

其極2=F??E"3"能

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，認為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡無關(guān)

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）運用圖表分布計算補全列聯(lián)表，運用/公式計算與2.706比較即可.

（2）分別寫出兩個方案的分布列并計算兩個方案的期望和方差比較即可.

【小問1詳解】

由圖1知，“年輕人”占比為45.5%+34.5%=80%,即有200X80%=160（人），“非年輕人”有

200-160=40(A)

由圖2知，“經(jīng)常使用直播銷售用戶”占比為30.1%+19.2%+10.7%=60%,即有200x60%=12（）

（人），“不常使用直播銷售用戶”有200-120=80（人）.

“經(jīng)常使用直播銷售用戶中的年輕人”有120χ2=100（人），“經(jīng)常使用直播銷售用戶中的非年輕人”

有120-100=20（人）.

.?.補全的列聯(lián)表如下：

年輕人非年輕人合計

經(jīng)常使用直播銷售用戶10020120

不常使用直播銷隹用戶602080

合計16040200

零假設(shè)"o：經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡相互獨立，即經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡無關(guān).

于是。=100,b=20,c=60,d=20.

=2皿(1。?2。)2=紀。<2.706.

120×80×160×4012

根據(jù)小概率。=0.10的獨立性檢驗，我們推斷HO成立,

即認為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡無關(guān).

【小問2詳解】

若按方案一，設(shè)獲利x∣萬元，則X∣可取的值為300,-150,0,則X∣的分布列為:

300-1500

7?1

P

105Io

71