江西省南昌市2023屆高三二模數(shù)學（理）試題（含答案與解析）

江西省南昌市2023屆高三第二次模擬試題

數(shù)學（理科）

（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）

注意事項：

1.答題前，考生先用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在試卷及答題卡的指定

位置，然后將條形碼準確粘貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”內(nèi)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體

工整，筆跡清晰。

3.按照題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。

4.在草稿紙、試卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

2

-A=(Λ∣X-4Λ-5≤O∣,β=∣Λ∣log9Λ<2∣δR

1,已知集合Il?11&2J,則AB=

A.[-1,4)B.[-1,4]C.[-1,5]D.(0,4)

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足（z+i）i=l+z,則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知數(shù)列{%},若6+4,1=4〃—6,則%=（）

A.9B.11C.13D.15

4.已知函數(shù)/（》）=2疝",命題〃：七,々∈（0,π）,使得/（χ）+/（X2）=2，命題g:g,/e

當王時，都有/（χj<∕（w）,則下列命題中為真命題的是（）

A.p~qB.PAq

C.P八DD.（一P）Λ（F）

5.已知拋物線C:V=4χ的準線為/,點M是拋物線上一點，若圓M過點A（3,0）且與直線/相切，則圓M

與y軸相交所得弦長是（）

A.2√2B.2√3C.4D.2√5

6.如圖，A,B,C是正方體的頂點，/W=2,點P在正方體的表面上運動，若三棱錐P-ABC的主視圖、

左視圖的面積都是1,俯視圖的面積為2,則Q4的取值范圍為（）

C

/主視

A.[1,√5]B.[√5,31

C.[2,√51D.[1,3]

7.已知單位向量d,力滿足∣α+b∣+2α?b=0,則a,b的夾角為（）

ππ2πD.2

A.-B.-C.—

6336

8.已知Q=Iog4上25,〃=log51?2,c=log48,則（）

Ac>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.a>c>b

9.已知數(shù)列｛0,,｝的通項公式為α,,=2"τ,保持數(shù)列｛a,,｝中各項順序不變，對任意的々eN,,在數(shù)列

｛%｝的4與％I項之間，都插入N丘N.）個相同的數(shù)（-1）隈，組成數(shù)列也｝,記數(shù)列也｝的前〃項的

和為則工Oo=（）

A.4056B.4096C.8152D.8192

10.已知正四面體的棱長為26，現(xiàn)截去四個全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個八面體能放進

半徑為指的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長最小值為（）

B.√6-√3

C.√2÷1D.√3-l

11.已知正實數(shù)”使得函數(shù)/（幻=卜*一火）（％-。111幻有且只有三個不同零點內(nèi),工2，工3，若玉<々<當，

則下列王,々，七的關(guān)系式中，正確的是（）

B.X]+χ=4ax

A.x1+Λ3=2X223

12.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品.燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙扎、刺縫等工藝,

與中國人的生活息息相連.燈籠成了中國人喜慶的象征.經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩

的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈.、楠木紗燈、

花梨木紗燈、恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個隨機掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為

（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機變量X的分布列為

X-101

P0.20.404

則隨機變量X2的數(shù)學期望EX2=.

x-2y+2≥0

14.已知變量X,y滿足，2x+γ-l≤0,則z=x-y的最大值為.

γ≥-1

.,、αe"^H—x,—2,x,x>2,、

15.已知函數(shù)/（x）T2的圖象關(guān)于點（2,%）中心對稱（e為自然對數(shù)的底

e2-t+bx:+ex2+dx+f,x<2

數(shù)），貝∣Jα+h=.

16.足球是大眾喜愛的運動,足球比賽中，傳球球員的傳球角度、接球球員的巧妙跑位都讓觀眾贊不絕口.甲、

乙兩支球隊一場比賽的某一時刻，三位球員站位如圖所示，其中A,8點站的是甲隊隊員，C點站的是乙隊

隊員，4〃4,這兩平行線間的距離為3m.C41AB,∣AC∣<∣AB∣,∣BC?=Iom,點B在直線∕±,Ji∕1∕2,

這時，站位A點球員傳球給站位B點隊友（傳球球員能根據(jù)隊友跑位調(diào)整傳球方向及控制傳球力度，及時

準確傳到接球點），記傳球方向與4的夾角為α,已知站位8,C兩點隊員跑動速度都是8m∕s,現(xiàn)要求接球

點滿足下面兩個條件：

①站位B點隊員能至少比站位C點隊員早IS跑到接球點；

②接球點在直線/的左側(cè)（包括/）；貝IJtana的取值范圍是.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

(71

17.如圖是函數(shù)/(x)=sin(tyx+*)[ty>0,0<e<5的部分圖象，已知48?AC=2?

4

(2)若/(2)—/去求

TT

18.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABe。是邊長為4的菱形，ZPAB=ZDAB=-,PA±PB，

3

點E在線段PB上，CD1.DE,平面Q46，平面ABCQ.

(I)求PE；

(2)求直線OE與平面CpP所成角的正弦值.

19.一地質(zhì)探測隊為探測一礦中金屬鋰的分布情況，先設(shè)了1個原點，再確定了5個采樣點，這5個采樣點

到原點距離分別為須，其中為=i(i=1,2,3,4,5),并得到了各采樣點金屬鋰的含量%,得到一組數(shù)據(jù)

(七,V),i=1,2,3,4,5,經(jīng)計算得到如下統(tǒng)計量的值:

55555

Zyi=62,∑(η-x)(χ-y)=47,Z/a4.79,∑(M,-M)≈1?615,∑(∏,?-w)(y,?-j)≈19.38,

i=li=li=li=li=l

其中均=InXj,(i=1,2,3,4,5).

(1)利用相關(guān)系數(shù)判斷y=α+法與y=α+Rnx哪一個更適宜作為y關(guān)于X的回歸模型;

(2)建立〉關(guān)于X的回歸方程.

參考公式：回歸方程y=α+從中斜率、截距最小二乘估計公式、相關(guān)系數(shù)公式分別為

W1,-f)(x?-y)1?-心’Σ(c-∕^)(x?-7)

b———---------，-加，r=廠1”:

ΣU→)Ei-2?Σ(-)?Σ(χf

<■=1<=IV/=IVZ=I

2

參考數(shù)據(jù)：/19吧38-=232.56.

1.615

22

20.已知橢圓C:=+A=I(α>8>0)的焦距為2百，左、右頂點分別為4,4,上頂點為B,過點A,的

a^b^

直線4，/2斜率分別為一3?[%<-3),直線AI與直線(4的交點分別為B,P.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線4與橢圓C另一個交點為。，直線BQ與X軸的交點為R,記CPQR的面積為S-AA2QB

S

的面積為邑，求U1的取值范圍.

32

21.已知函數(shù)/(Λ)=—工—五+αInX(X〉0,α>0),∕'(X)為/(χ)的導(dǎo)函數(shù).

X

(1)當O=IM=2時，求函數(shù)“力的極值；

(2)已知X∣,Λ2W(O,49。)(X產(chǎn)W)，若存在人eR，使得/(內(nèi))=/(W)成立，求證：

∕,(?XI)+Γ(Λ?)>0?

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計分.

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

22.“太極圖”是關(guān)于太極思想的圖示，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽魚太極

圖”.在平面直角坐標系Xoy中，“太極圖”是一個圓心為坐標原點，半徑為4的圓，其中黑、白區(qū)域分

界線C∣,。2為兩個圓心在>軸上的半圓，「(-2,2)在太極圖內(nèi)，以坐標原點為極點，X軸非負半軸為極軸

建立極坐標系.

(I)求點P的一個極坐標和分界線Cl的極坐標方程；

(2)過原點直線/與分界線c∣,G分別交于“，N兩點，求APMN面積的最大值.

選修4-5：不等式選講

23.已知/(x)=∣x+l|-|2X-2∣,g(x)=α∣x-b∣.

(1)在給出的直角坐標系中畫出函數(shù)/U)的圖象；

(2)若/(x)2g(x)在R上恒成立，求匕一α的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

A-IXIX2-4%-5≤θ),B=(?llog?%<2∣

1.已知集合?1J，IlN/,則aAβB=()

A.[-1,4)B.[-1,4]C.[-1,5]D.(0,4)

【答案】D

【解析】

【分析】通過解二次不等式和對數(shù)不等式求出集合AB,然后由交集運算得出答案.

【詳解】由％2-4x-5≤0可得T<x<5,所以A=[T,5],

由log2X<2,即log?X<log?4,可得0<x<4,所以8=(0,4),

所以A3=(0,4).

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足(z+i)i=l+z,則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運算得到Z=-I-i，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】復(fù)數(shù)Z滿足(z+i)i=l+z,

22(i+l)2i+2

Z-------------------------------=-----------——1—1.

i-1(i-l)(i+l)-2

對應(yīng)點為(-1,-1),在第四象限.

故選：D.

3.已知數(shù)列{%},若q+/"T=4〃-6,則%=()

A.9B.11C.13D.15

【答案】B

【解析】

【分析】由題中條件，分別令〃=1,〃=4,即可得解.

【詳解】由α∣+4,i=4〃-6,

令〃=1,則4+q=4—6=-2,則α∣=-1,

令〃=4,則q+%=4x4-6=10,則%=IL

故選：B.

4.已知函數(shù)/(x)=2'inx,命題∕r*,X2∈(0,7τ),使得/(％)+/(%2)=2,命題∕?X∣,X2

當王<々時，都有/(%)</(%),則下列命題中為真命題的是()

A.p、qB.PAq

C.p^(-1<7)D.1-p)八(-q)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷命題p、q的真假，結(jié)合命題“且”、“或”、“非”

的概念，依次判斷即可.

詳解】命題〃：當0<x<兀時，O<sinx≤l,

所以l<2'in*≤2,即l<∕(x)≤2,

則玉€(。,兀)，使得f(χ∣)+∕(??)>2,故命題P為假命題；

TTπ

命題4：當——<x<一時，函數(shù)y=sinx單調(diào)遞增，

22

(π

又函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(X)=2Smx在一不,3上單調(diào)遞增，

TTTT

所以一,<玉時,，∕Ul)<∕(?)>故命題4為真命題.

則命題PVq為真，故A正確；

命題PAq為假，故B錯誤；

命題P八(「幻為假，故C錯誤；

命題(可)^為假，故D錯誤.

故選：A.

5.已知拋物線C：V=4x的準線為/,點M是拋物線上一點，若圓M過點A(3,0)且與直線/相切，則圓M

與y軸相交所得弦長是()

A.2√2B.2√3C.4D.2√5

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)M(XO,%),則W=4%,r=?+l,進而(3-Xo>+(O-%)2=(無(.+D?,解得4=2,利

用垂徑定理計算即可求解.

【詳解】由題意得，C：y=4χ,貝攤線/為m—1,

設(shè)M(Xo,%),因為圓M與直線/相切，所以圓的半徑為r=x0+1,

則圓的標準方程為(X-/V+(y-%)2=(?+1尸，

又圓M過點A(3,0),所以(3-％)2+(0-%)2=(%+1)?①.

又y；=4X0(2),

由①②，解得％=2,則廠=3,設(shè)圓M與y軸交于點8、C,

則忸C∣=2√r2-?=2√32-22=2√5.

故選：D.

6.如圖，A,B,C是正方體的頂點，A6=2,點P在正方體的表面上運動，若三棱錐P-ABC的主視圖、

左視圖的面積都是1,俯視圖的面積為2,則/%的取值范圍為（）

C.[2,√5]D.[1,3]

【答案】D

【解析】

【分析】如圖，當點P的軌跡為4MNQ（含邊界）時符合題意，結(jié)合圖形，即可求解.

【詳解】如圖，取A4*與,CG的中點MM。，連接MN,NQQM,

則當點P的軌跡為aMNQ（含邊界）時，

三棱錐尸-ABC的主視圖、左視圖的面積都是1,俯視圖的面積為2,

此時若P與M重合，Q4最小，且最小值為1,

若P與。重合，/%最大，且最大值為,2?+2?+F=3,

所以PA的取值范圍為[1,3].

故選：D.

7.已知單位向量4*滿足+〃∣+2Q?Z?=0,則a,。的夾角為（）

【答案】C

【解析】

【分析】由∣4+b∣=-24?b兩邊平方，根據(jù)向量數(shù)量積的運算即可求出夾角.

【詳解】記α,b的夾角為6,則α/=同MCoSe=COS。，

由∣α+8∣+24必=0,即∣α+bI=-2。m，兩邊平方，得2+2α?b=4(α4)2,

BP2+2COS^=4COS2θ>即2cos?，一COSe-I=O,貝∣J(2cosO+l)(cos夕-1)=°,

當COSe=I時，∣α+b∣=-2α?0=-2,不符合題意,

所以CoSe=—,，又o≤e≤π,則。=2無.

23

故選：C.

8.e^a=log4l.25,6=k)g5l.2,c=k)g48,則()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>h>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)換底公式判斷即可.

【詳解】C=Iog48>Iog4?.25=a,

,cu?g1?25Ig1.25Ig1.2…，

α=I1og1.25=——>——>——=1Iog?,2=b,

4Ig4Ig5Ig55

綜上，c>a>b.

故選：A.

9.已知數(shù)列｛”,,｝的通項公式為4=2"τ,保持數(shù)列｛%｝中各項順序不變，對任意的AGN-在數(shù)列

｛%｝的4與4+∣項之間,都插入％(ZeN+)個相同的數(shù)(―1)9,組成數(shù)列也｝,記數(shù)列也｝的前〃項的

和為T“，則加O=()

A.4056B.4096C.8152D.8192

【答案】C

【解析】

【分析】插入W組共以〃十0個,可知前面插入12組數(shù)，最后面插入9個-13,從而可得插入的數(shù)之和為

2

22222

-l+2-3+4--11+12-9×13=-39.又數(shù)列｛?,｝的前13項和幾=8191,可得

小=8191-39=8152.

【詳解】插入“組共妁上D個，..?U^U=78,.?.前面插入12組數(shù)，最后面插入9個—13.

22

1,-1,2,2,2,22,-3,-3,-3,23,,2",12,,12,2l2,-13,,-13

]個2個芥-I2φ—9φ-

*.*—vr+(〃+1)^^=2∕ι+19

?-l+22-32+42--Il2÷122-9×13=3+7÷ll+15+19+23-9×13

=(3+23)X6_]]7=_39,

2

又數(shù)列｛4｝的前13項和為

lx1)30

Sl3=a,+a2++Q13=^~=2'-l=2'×8-l=1024x8-1=8191,

.?.ZoO=8191—39=8152.

故選：C.

10.已知正四面體的棱長為2指，現(xiàn)截去四個全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個八面體能放進

半徑為指的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長最小值為（）

A.√2-lB.√6-√3

C,??∕2+1D.?/?—1

【答案】B

【解析】

【分析】正四面體A—BCD中，頂點A在面BCZ）的投射影為ABCD的中心。，正四面體A—BCD外

接球球心為點。，在直角三角形中求出A。，OA,設(shè)小正四面體的棱長AM=X,N為上面小正四面體

底面中心，可得MN,AN,由題意，八面體的外接球半徑R=OM≤√^,由此即可解得答案.

【詳解】如圖，正四面體A—BCD中，棱長為2指；頂點A在面BCO的投射影為ABCO的中心。，

正四面體4-BCD外接球球心為點。（截去四個全等的小正四面體之后得到的八面體的外接球球心同樣

為點。）.

A

E為CO中點，AB=2瓜,BE=WAB=3叵,BQ=WBE=2近,

在Rt_AQ6中，AQ=JA4—9=4,

在Rt_0Q3中，BQ2+OQ2=OB2,又OA=OB,

則BQ2+(AQ-QA)2=。42,即8+(4-OA)2=32,解得OA=3,

則OQ=AQ-。4=1,

設(shè)小正四面體的棱長AM^x,N為上面小正四面體底面中心，

則MN='?X,AN=近?X-

33

由題意，八面體能放進半徑為遙的球形容器，則八面體的外接球半徑R=OM≤"?

在RtzMW√中，OM2=MN?+OM，

Cryc12y

則6≥——Λ+3——X,即X?—2＞∕^x+3≤O,解得≤X≤+.

?√?J

所以截去的小正四面體的棱長最小值為Jξ-y∣3.

故選：B.

11.已知正實數(shù)。使得函數(shù)/(x)=(e*-&v)(X-αlnx)有且只有三個不同零點內(nèi),乙,工3，若為＜々＜七，

則下列X,々,毛的關(guān)系式中，正確的是()

A.%+七=2x?B.X]+%2=?/ɑ??

C.X1X3D.xlx3=xl

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點的意義用X表示。，再數(shù)形結(jié)合探求出玉,馬，X3的關(guān)系，然后逐項判

斷作答?

QXY

【詳解】依題意，由F(X)=O得：ex=ajc,x=a?nχ即J=

fXInx

QXY?t(?—1)1∏X—1

令g(x)=—(X>0),%(X)=L(X>1)，g'(χ)=---；—，〃(X)=~不，

Xln.rX-(InX)

當x∈(0,l)時,g'(x)<0,函數(shù)g(χ)單調(diào)遞減,當x∈(l,+8)時,g'(x)>O,函數(shù)g(χ)單調(diào)遞增，

當Xe(Le)時，Λ,(χ)<O,函數(shù)∕ι(x)單調(diào)遞減,當x∈(e,+8)時,h?x)>O,函數(shù)g(χ)單調(diào)遞增,

CX

函數(shù)y=F(X)有三個零點，即直線y=α與函數(shù)gθ)=-(x>0)與函數(shù)∕z(χ)=—(χ>l)的圖象共有三

XInx

個公共點,

pxX

在同一坐標平面內(nèi)作出函數(shù)g(X)=幺(X>0)與函數(shù)力(X)=—(X>1)的圖象，它們有公共點

XInX

與函數(shù)8(*)=^(》>0)的圖象另一交點為8(工2，%)，與函數(shù)

X

X

QF(X>1)

ex'_eλ_2_x_x

的圖象另一交點為C(X3，%)，顯然0<X<1<%2<e<f,且有23

XIX21∩Λ2Inx3

由JF即g(X1)=g(lnX2),而0<lnw<l,于是玉=InX2,

xlInx2xlInx2

e'2Xv2%,

e2

由一=丁，~得：-1-=~?E[J/i(e?)=A(X3),而e"2>e,于是x3=e',

x2Inx3Ine-Inx3

2

由￡_=_^―得：x;-e??Inχ2=χ3χ1,即再占二君，D正確；

x2Inx2

對于A,x1÷Λ3>2y∣xlx3=2x2,A錯誤;

對于B,令夕(X)=e--%-l,x>l,φf(x)=ev-1>O,函數(shù)型?在(l,+∞)上遞增，

即有。(％)>θ(l)=e-2>0,因此e">x+l,則Λ?=e^t2,/+I〉/+%，

9L

而。=-->1,從而>/。工3>工3>%2+不，B錯誤；

xι

對于C,因為X∣X3=X.若XR=成立，則必有。=4，

令u(x)=ex-4x,x>0,uf(x)=ex-4,當x∈(0,In4)時,ur(x)<0,u(x)遞減,

當x∈(In4,+oo)時，M(X)>0,〃(X)遞增,而

;23

M(l)=e*-l>0,w(l)=e-4<0,M(2)=e-4<0,w(3)=e-12>0,

v1

因此函數(shù)〃(X)=e'-4x,x>0的兩個零點，即方程Je=4的兩個根分別在區(qū)間(-,1),(2,3)內(nèi),

X4

4,

令r(x)=x-41nx,x>l,f'(x)=l——，當XW(1,4)時，f(χ)<O,f(x)遞減，

X

當x∈(4,÷x)時，f'(x)>O,f(x)遞增，而

r(l)=l>0,r(2)=2(1-In4)<0√(4)=4(1-In4)<0,r(e3)=e3-12>0,

V*

因此函數(shù)f(x)=x-41nx,x>l的兩個零點，即方程一=4的兩個根分別在區(qū)間(1,2),(4,e?)內(nèi),

Inx

z?YY

顯然直線y=4與函數(shù)g()=—(χ>0)和h(χ)=—(χ>l)的圖象的交點有4個，不符合題意，

xXInx

所以O(shè)H4,即%當=等X；不正確，C錯誤.

故選：D

【點睛】思路點睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形

結(jié)合思想分析問題，使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).

12.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品.燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙扎、刺縫等工藝，

與中國人的生活息息相連.燈籠成了中國人喜慶的象征.經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩

的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、

花梨木紗燈、恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個隨機掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為

()

25

A.B.n

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為4,。2；楠木紗燈、花梨木紗燈為白，打；恭喜發(fā)財?shù)鯚簟⒓槿缫獾鯚?/p>

為ClJ.先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個元素，分三種情況討論：排在首尾：64排在五

個位置中第二、第四位；排在第三個位置，同理得僅仇仇相鄰，僅C,2相鄰的情況，進而得出概率.

【詳解】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為4,4；楠木紗燈、花梨木紗燈為自，打；恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊?/p>

為qg-

先求僅。必2相鄰的種數(shù)，把4%看作一個元素，

當排在首尾時，不同的排法有M=(A；XC(XA9X2=32種；

當。必排在五個位置中第二、第四位時，不同的排法有N2=(C：xA；xA；)x2=32種；

當44排在第三個位置時，不同的排法有=C；C；A；xA；xA；=32利

故僅aia2相鄰共有2+N?+M=96種排法，

同理得僅々/相鄰，僅CIQ相鄰的情況，也都有96種排法，

96×32

所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為Pn=.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機變量X的分布列為

X-10I

P0.20.40.4

則隨機變量χ2的數(shù)學期望EX?=

【答案】0.6

【解析】

【分析】根據(jù)EX?為χ2的數(shù)學期望求解

【詳解】解：因為隨機變量X的分布列為

X-IO1

P0.20.40.4

所以隨機變量X2的數(shù)學期望EX2=(-1)2X0.2+02×0.4+12X0.4=0.6,

故答案為：0.6

x-2y+2≥0

14.已知變量X,y滿足＜2x+y-l≤0,則Z=無一丁的最大值為

y≥T

【答案】2

【解析】

【分析】作出不等式組所對應(yīng)的線性規(guī)劃區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】如圖，作出不等式組所對應(yīng)的線性規(guī)劃區(qū)域：

z=χ-y=y=χ-z,當直線Z=X-丫過A(I「1)時，Z取得最大值，最大值為ZrnaX=I+1=2,

故答案為：2.

ae^-2+]χ3_2xX>2

15.已知函數(shù)/(x)={2一,的圖象關(guān)于點(2,%)中心對稱(e為自然對數(shù)的底

e2^?v+bxi+ex2+dx+f,x<2

數(shù))，貝IJa+h=.

【答案】—,##-0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性可得/(2—X)+/(2+x)=2%,由2—x<2,2+x>2可得

1,

(π+l)c'+(—―k>)x^+(3+6b+4c-)x+(4—12b—4c—d)x+(Sb÷4c+2d÷/)=2%,

列出方程組，解出。即可求解.

【詳解】若函數(shù)/(X)滿足Aa-X)+f(a+x)=2b,

則函數(shù)/(χ)的圖象關(guān)于點S,份對稱.

因為函數(shù)f(χ)的圖象關(guān)于點(2,九)對稱，不妨令x>0,

則/(2一x)+/(2+x)=2y0,

由2-x<2,得/(2-X)=e2^(2^x)+?(2-Λ)3+c(2-x)2+d(2-x)+f,

由2+x>2,Wf(2+x)=ae(2+A')-2+?(2+x)3-2(2+x),

所以`'+。(l+uΛ

el2—X)，+c(2—Λ)^+d(2,—Λ)+f+βe^^+-(2+X),—2(2+x)=2y0,

即(α+l)e'+0(2—X?+c(2—x)2+d(2—x)+/+；(2+x)3_2(2+x)=2%

整理，得

1,,

32。一。+

(a+l)e'+(--b)x+(3+6b+4c)x+(4-124c-d)x+(84c+2d+/)=2y0,

fα+l=0

--l>=0

2解得α=-1,力=工,

其中％為常數(shù),有3+6H4C=0

2

4-12?-4c-√=0

8b+4c+2d+f-2y0

所以α+/?=—.

2

故答案為：—?

2

16.足球是大眾喜愛的運動,足球比賽中，傳球球員的傳球角度、接球球員的巧妙跑位都讓觀眾贊不絕口.甲、

乙兩支球隊一場比賽的某一時刻，三位球員站位如圖所示，其中A,B點站的是甲隊隊員，C點站的是乙隊

隊員〃。，這兩平行線間的距離為點在直線

，43m,CA±AB,?ACHAB∣,∣BCIOm,B11.,3.1-Ll2,

這時，站位A點球員傳球給站位8點隊友（傳球球員能根據(jù)隊友跑位調(diào)整傳球方向及控制傳球力度，及時

準確傳到接球點），記傳球方向與4的夾角為α,已知站位8,C兩點隊員跑動速度都是8m∕s,現(xiàn)要求接球

點滿足下面兩個條件：

①站位8點隊員能至少比站位C點隊員早IS跑到接球點；

②接球點在直線/的左側(cè)（包括/）；貝IJtane的取值范圍是.

17

【答案】

12,12

【解析】

【分析】如圖，以BC的中點。為原點，建立平面直角坐標系，設(shè)接球點為尸，根據(jù)IPCITPB∣=8m,可

得點P在以C,8為焦點的雙曲線的右支上，根據(jù)AC，AB,求得A點的坐標，直線/與雙曲線的右支交于

Pi,P2(片在旦的上方)，求出不￡兩點的坐標，再求出A[,A鳥的斜率，結(jié)合圖象即可的解.

【詳解】如圖，以BC的中點。為原點，建立平面直角坐標系，

則B(5,0),C(-5,0),

設(shè)接球點為P，若IPCHP卻=8m,

22

得點P在以CB為焦點的雙曲線2-E=1的右支上，

169

設(shè)A(XA,3),則CA=(XA+5,3),BA=(4一5,3),(%<0),

因為ACLAB,

所以04.胡=(%+5,3>(4_5,3)=/_25+9=0,解得XA=-4,

即A(-4,3),

設(shè)直線/與雙曲線工-￡=1的右支交于幾鳥(耳在鳥的上方)，

169

令x=5,則y=±j,所以《∣5,?),4,

則接球點為尸位于雙曲線右支與直線/圍成的區(qū)域內(nèi)或邊界，則4≤與<5,

因為直線AP的傾斜角與α互補，

^17一

由圖可知，tanae—.

Γ17^

故答案為：—.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：以BC的中點。為原點，建立平面直角坐標系，根據(jù)IPqTP目=8m再結(jié)合雙曲

線的定義求得P點的軌跡，是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.如圖是函數(shù)/(x)=sin(0x+8)(tυ>O,O<e<])的部分圖象，已知ARA。=2.

Tr

【答案】(I)0=—

2

π

(2)φ=-

3

【解析】

【分析】⑴設(shè)A(??,0),則《Xo+gl),c[xo+日,一)，再根據(jù)4B?AC=2求得周期T，即解;

(2)根據(jù)/(2)-/(g)=-等結(jié)合三角恒等變換化簡計算即可的解.

【小問1詳解】

設(shè)A(Ao,0),函數(shù)的最小正周期為7,則小o+f,l),c[/+2,-1

故A瓦AC=I,1)任T=Q2.1=2,

解得T=4(負值舍去)，

2τrTT

所以f=4,所以3=2；

ω2

【小問2詳解】

界+0卜?苦)

由⑴得/(X)=sin

(4?.f2π、

f(2)-f--?-,得sin(π+e)-sin----?-φ

??7<3

即一sin。一等1..π

cos?9÷-sιn?9=—sinφ-?--

22\3

√3

所以Sinφ-?--,

\3)^τ

LE八?？?兀兀5π

又因0＜。＜7，則一＜9+一＜—，

2336

兀2兀Tt

所以夕+一二一，所以夕=—

333

TT

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCO是邊長為4的菱形，ZPAB=ZDAB=-,PA±PB,

點E在線段PB上，CDlDE,平面B4B_L平面ABCr）.

（1）求PE；

（2）求直線DE與平面CDP所成角的正弦值.

【答案】（1）PE=吏■

3

⑵尋

【解析】

【分析】（1）如圖，根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得PG_L平面ABCD，由線面垂直的性質(zhì)可得

PALPG,PBLPG,建立如圖空間直角坐標系，利用空間共線向量的坐標表示求得CO=（2,-2百,0）,

結(jié)合空間垂直向量的坐標表示計算即可求解;

（2）利用空間向量法求出平面CZ）P的一個法向量，結(jié)合數(shù)量積的定義計算即可求解.

【小問1詳解】

取A5的中點0,連接3￡＞、DO,過P作。。的平行線PG,

在菱形ABCO中，ZDAB=I,則AABO為等邊三角形，得Oo=2百，且Oo_LAB,

又平面Q4B_L平面ABCQ,平面∕?8C平面ABCf)=AB,Z)OU平面ABCQ,

所以Z)O，平面ASCD,由DO//PG,則PGL平面ABc￡),

又Q4、PBU平面ABC。，所以PALPG,PB工PG,由∕?±PB,

建立如圖空間直角坐標系P-孫Z,由NPAB=A,AS=4,得PA=2,PB=26，

取用的中點尸，連接。凡則OF=6,Af=I,

所以P(0,0,0),A(2,0,0),5(0,2√3,0),0(1,√3,0),D(l,√3,2√3),

有A月=(一2,2百,0),設(shè)C(α,b,c),則。C=(α-l,b-百,c一2百)，

由AB=DC，得。=一12=38,。=2百，即C(—1,3百,28)，CZ)=(2,-2√3,0).

設(shè)PE=d,則E(O,d,O),有OE=(Td-6,-2百)，

由CDLOE，得CDDE=-2+(d-眄)(-2?=O,解得d=迪

3

即PE:正;

3

【小問2詳解】

設(shè)平面CDP的一個法向量為"=(χ,y,z),

由Po=(LG,26)，CD=(2,-2√3,0),

“?CD=2x-2島=OL

得r-γ-,令X=G,則y=l,z=-l,

n-PD=x+√3j+2√3z=0

所以〃=(75,1,-1),又DE=(-1,-與'-26)

DEn2石一6一*

所以cos(DE,n

DE^n4010

?∣5×

故直線。E與平面COP所成角的正弦值為也

10

【點睛】

19.一地質(zhì)探測隊為探測一礦中金屬鋰的分布情況，先設(shè)了1個原點，再確定了5個采樣點，這5個采樣點

到原點距離分別為須，其中為=i(i=1,2,3,4,5),并得到了各采樣點金屬鋰的含量y,得到一組數(shù)據(jù)

(七,y),i=1,2,3,4,5,經(jīng)計算得到如下統(tǒng)計量的值：

55555

Zyi=62,Z(Xj-可(K-刃=47,Z”產(chǎn)4.79,Z(%-aH1.615,?^(u,.-w)(χ.-?)≈19.38,

i=li=li=li=lZ=I

其中%=InXj,(i=1,2,3,4,5).

(1)利用相關(guān)系數(shù)判斷y=。+嬴與y=α+RnXIw一個更適宜作為y關(guān)于X的回歸模型；

(2)建立〉關(guān)于X的回歸方程.

參考公式：回歸方程y=α+初中斜率、截距的最小二乘估計公式、相關(guān)系數(shù)公式分別為

∑(r,-7)(z?-y)1?-而f(fT)(χ-y)

0"jz?~-=?，a=y-bt,r=In'=l_In`

∑(f(?-r)∑r<2^nr2↑∑(ti~τ)2↑∑(yi-y)2

<=ι<?=ιV,=ιV>=∣

2

參考數(shù)據(jù)：生193更8=232.56.

1.615

【答案】(1)用y=α+blnx作為>關(guān)于X的回歸模型方程更適宜，理由見解析；

(2)y=0.904+121nx

【解析】

【分析】(1)用y=。+法作回歸模型求出相關(guān)系數(shù)、用y=α+勿nx作為回歸模型求出

相關(guān)系數(shù)弓，比較大小可得答案；

(2)由已知條件求出6,4可得答案.

【小問1詳解】

若用y=α+fex作回歸模型，

22222

,=1+2+3+4+5=3>￡(尤廠亍)=(l-3)+(2-3)+(3-3)+(4-3)+(5-3)=10,

5∕=ι