2018-2023年高考數(shù)學真題匯編：平面向量及其應用（附答案解析）

2018-2023年高考數(shù)學真題知識點分類匯編：平面向量及其應用

選擇題（共14小題）

1.（2022?全國）已知向量Z=（X+2,l+x）,b=（X-2,1-χ）.若Z〃4，則（）

A?/=2B.|x|—2C.f=3D.|x|—3

2.（2022?乙卷）已知向量W=（2,1）,E=（-2,4）,則IW-EI=（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2022?新高考∏）已知向量a=（3,4）,b=（1，0），c=a+∕b,若Va，c>=<b,

c>，貝h=（）

A.-6B.-5C.5D.6

o

4.（2022?北京）在aZBC中，AC=3,BC=4fZC=90.P為445C所在平面內(nèi)的動點，

且PC=1,則市?瓦的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

5.（2022?乙卷）已知向量a，b滿足IaI=I，∣b∣=我，∣a-2b∣=3,則a?b=（）

A.-2B.-1C.1D.2

6.（2022?新高考I）在ANBC中，點。在邊48上，BD=IDA,記而=1，CD=n，則混

=（）

A.3ιr-2nB.-2∏÷3nC.3ιr÷2nD.2∏+3n

7.（2021?全國）已知向量W=（cosθ,sinθ）,b=（3,-4）,則WE的最大值是（）

A.7B.5C.4D.1

8.（2021?浙江）已知非零向量W,b，c，則WE是αa=b,*的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.（2021?乙卷）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學著作，其中第一題是

測量海島的高.如圖,點E,H,G在水平線/C上，OE和FG是兩個垂直于水平面且等

高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和￡//都稱為“表目距”，

GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高/8=（）

第1頁（共33頁）

表高×表距

A.+表高

表目距的差

表高X表距

B.-表高

表目距的差

表高X表距

C.

表目距的差

表高X表距

D.-表距

表目距的差

10.（2021?甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位：〃?），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個

示意圖，現(xiàn)有4B,C三點，且/,B,C在同一水平面上的投影4,B',。滿足/4C9

=45°,/489=60°.由C點測得8點的仰角為15°,89與CC的差為100；由B

點測得Z點的仰角為45°,貝∣J4C兩點到水平面⑷夕。的高度差Z4-C。約為（）

（√3≈1.732）

A.346B.373C.446D.473

II.（2021?甲卷）在4/18C中，已知8=120°,JC=√19./8=2,則BC=（）

A.1B.√2C.√5D.3

12.（2021?上海）在44δC中，D為BC中點、,E為AO中點，則以下結(jié)論：①存在44SC,

使得瓦?通=0;②存在AZBC,使得無〃（CB+CA）;它們的成立情況是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

13.（2020?全國）設(shè)點尸1,P2,P3在。。上，若西+麗?+砧=五，則∕P1P2P3=（）

第2頁（共33頁）

A.30oB.45oC.60°D.90o

14.（2020?海南）在AZBC中，。是ZB邊上的中點，則CB=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

二.多選題（共1小題）

（多選）15.（2021?新高考I）已知。為坐標原點，點PI（CoSα,sina）,P2（cosβ,-sinβ),

Pi(COS(a+β),sin(a+β)),A(1,0),則()

?-Iop?i=IOPJIb?I?p?i=IAPJI

c?冰苗=苗?麗d???`op?=op?^op?

≡.填空題（共9小題）

16.（2023?上海）已知而、而、瓦為空間中三組單位向量，且加上而、OAlOC.諉與京

夾角為60°,點尸為空間任意一點，且IOPl=1,滿足∣0P?0C∣W∣0P?0B∣W∣0P?0A∣,則

fδ？?^δδ∣最大值為.

17.（2023?上海）已知向量Z=（3,4）,E=（1,2）,則Z-2芯=.

——?.—?.*■?l?^?

18.（2022?天津）在中，CA=a,CB=b,。是/C中點，CB=2BE,試用a，b表

示而為,若屈，而，則乙4C8的最大值為.

19.（2022?上海）若平面向量IaI=Ibl=Id=入，且滿足a?b=0,a?c=2,b,c—1，則入

20.（2022?浙江）設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形…48的邊/1加上，則PA產(chǎn)PA『+…

+市「的取值范圍是.

21.（2022?甲卷）設(shè)向量之，4的夾角的余弦值為工，且百=1,∣b∣=3,則（21+b）,b

3

o

22.（2022?甲卷）己知4/8C中，點。在邊BC上，AADB=?2Q,AD=2fCD=2BD.當

星?取得最小值時，BD=.

AB

Tr

23.（2022?上海）已知在ANBC中，ZA^—,AB=2,/C=3,則4/8C的外接圓半徑

3

第3頁（共33頁）

為.

24.(2022?上海)在AASC中，NN=90°,∕8=NC=2,點M為邊/8的中點，點P在邊

BCl.,則而?而的最小值為.

四.解答題(共9小題)

25.(2023?上海)在4/18C中，角Z、B、C所對應的邊分別為a、b、c,其中6=2.

(1)若/+C=120°,a=2c,求邊長c；

(2)若N-C=I5°,α=√2csiny4,求448C的面積.

26.(2022?全國)記C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為q,b,c,己知siιυ4=3sin8,C

W，CS

(1)求4；

(2)求SirL4.

27.(2022?天津)在AASC中，角N,B,C所對的邊分別為α,b,c.已知α=JE,b=2c,

CosA=-

4

(1)求C的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sinC2A-B)的值.

28.(2022?上海)如圖，在同一平面上，AD=BC=6,AB=20,。為N8中點，曲線CZ)上

任一點到。距離相等，角ND4B=∕4BC=12Q°,P,。關(guān)于OM對稱，MOl.AB-,

(1)若點P與點C重合，求NPOB的大??；

(2)尸在何位置，求五邊形M0/8尸面積S的最大值.

29.(2022?北京)在Z?(8C中,sin2C=√3sinC.

(I)求/C；

(Il)若b=6,且aASC的面積為6?,求448C的周長.

30.(2022?乙卷)記的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為α,b,c,已知SinCSin(A-B)

第4頁(共33頁)

=Sin8sinCC-A).

(1)若4=2B,求C；

(2)證明:2a2=b2+c2.

31.(2022?新高考I)記C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為α,h,c,已知COSA=

1+sinA

sin2B

l+cos2B

(1)若c=22L,求&

3

2.,2

(2)求里要-的最小值.

C

32.(2022?新高考II)記AZBC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為。，b,c,分別以Q,b,c

為邊長的三個正三角形的面積依次為Si,S2.S3?已知Si-S2+S3=近，sin5=工.

23

(1)求aZBC的面積；

(2)若SirL4sinC=Y^,求b.

3

33.(2022?乙卷)記448C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為“，b,c,已知SinCSin(J-B)

=SinBSin(C-A).

(1)證明：2α2=62+c2;

(2)若α=5,cos/=里求4∕8C的周長.

31

第5頁（共33頁）

2018-2023年高考數(shù)學真題知識點分類匯編：平面向量及其應用

參考答案與試題解析

一.選擇題(共14小題)

1.(2022?全國)已知向量2=(x+2,l+x),b=(X-2,1-?).若之〃E，則()

A.X2=2B.∣x∣=2C.X2=3D.IXl=3

【考點】向量相等與共線.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】由已知可得x+2)(I-X)-(l÷x)G-2)=0,計算即可.

【解答】解：Z=(x+2,l+x),b=(x-2,1-χ).

：?(X+2)(1-%)-(l÷x)(X-2)=0,

：.-2X2÷4=0,ΛX2=2.

故選：A.

【點評】本題考查兩向量共線的坐標運算，屬基礎(chǔ)題.

2.(2022?乙卷)已知向量；=(2,1),b=(-2,4),則茂-芯=()

A.2B.3C.4D.5

【考點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角；向量的概念與向量的模.

【專題】平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】先計算Z-E的坐標，再利用坐標模長公式求解.

【解答】解：；-b=(4,-3)，

故|；VlW42+(-3)2=5,

故選：D.

【點評】本題主要考查向量坐標公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2022?新高考II)已知向量Z=(3,4),4=(1,0),c=a+∕b,若<2,c>=<b,

C>，則E=()

A.-6B?-5C.5D.6

第6頁(共33頁)

【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角.

【專題】方程思想；定義法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】先利用向量坐標運算法則求出W=(3+f,4),再由<Z,c>=<b-c>>利

用向量夾角余弦公式列方程，能求出實數(shù)f的值.

【解答】解：???向量；=(3,4),b=(1，O),c=a+zb)

ΛC=(3+Z,4),

V<a.c>=<b-c>>

?a?c一b?c-25+31_3+t

"∣a∣?∣c∣IbI-1cΓr,

解得實數(shù)f=5.

故選：C.

【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查向量坐標運算法則、向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知

識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.(2022?北京)在C中，∕C=3,BC=4,∕C=90°.P為4/8C所在平面內(nèi)的動點,

且PC=1,則而?而的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)條件，建立平面直角坐標系，設(shè)P(x,y),計算可得而?而=-3x-4y+l,

進而可利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解.

【解答】解：在A∕8C中，ΛC=3,βC=4,ZC=90o,

以C為坐標原點，CA,CB所在的直線為X軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖：

第7頁(共33頁)

設(shè)P(x,?),

因為PC=1,

所以fty2=l,

又PA=(3-X,-?),PB=(-X,4-?),

所以PA?PB=-X(3-x)-y(4-j；)=x2÷y2-3x-4y=-3x-4y÷l,

設(shè)X=COS。，y=sinθf

所以PA?PB=-(3cosθ+4sinθ)+1=-5Sin(θ+φ)+1,其中tanφ=亙，

當Sin(θ+φ)=1時，瓦?而有最小值為-4,

當Sin(θ+φ)=-1時，瓦?而有最大值為6,

J?WPA?PB∈[-4,6],

故選：D.

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的最值問題，屬于中檔題.

5.(2022?乙卷)已知向量a，b滿足同=1，IbI=A/5，∣a-2b∣=3,則a?b=()

A.-2B.-IC.1D.2

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題：方程思想：綜合法：平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】利用卜-21=丫金_2石)2,結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)計算可得結(jié)果.

第8頁(共33頁)

【解答】解：因為向量之，E滿足百=1,∣b∣=√3,Ia-2b∣=3,

所以Ia-2b∣=7(a-2b)2=Va2-4a?b+4b2l-4a?b+4×3=3l

兩邊平方得，

13-4a?b=9,

解得a?b=1，

故選：C.

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2022?新高考I)在4/BC中，點。在邊上，BD=IDA.記忌=彳，CD=n，則而

=()

A.3ιr-2nB.-2∏÷3∏C.3ιτ+2∏D.2ιr+3n

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】直接利用平面向量的線性運算可得頡4而一以，進而得解.

【解答】解：如圖，

1.*Q—I?—?.—?——

?*?yCB=yCD-CA-BPCB=3CD-2CA=3n-2ιr?

故選：B.

【點評】本題主要考查平面向量的線性運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2021?全國)已知向量Z=(cosθ,sinθ),b=(3,-4),則二4的最大值是()

A.7B.5C.4D.1

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

第9頁(共33頁)

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；平面向量及應用；邏輯推理；

數(shù)學運算.

【分析】利用向量的數(shù)量積，結(jié)合輔助角公式，利用三角函數(shù)的有界性求解最值即可.

【解答】解：向量Z=(cosθ,sinθ),b=(3,-4),

貝∣Ja*b=3cos0-4sin0=5cos(θ+φ),其中tanφ='?

V5cos(θ+φ)≤5,...Z?E的最大值是5.

故選：B.

【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，輔助角公式的應用，是基礎(chǔ)題.

8.(2021?浙江)已知非零向量b.c.則WE兀"是‘'Z=k'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡易邏輯；邏輯推理.

【分析】分別從充分性和必要性進行判斷，由充分條件與必要條件的定義，即可得到答

案.

【解答】解：當ZIQΞLE1W,則Z?3=E?3=O,但之與E不一定相等，

故a?b=b■C不能推出a=b，

則W?1=E?2是W=E”的不充分條件;

由a=b，可得a-b=0,

則(a-b)?c=0,即a?b=b?c,

所以a=b可以推出a?b=b?c，

故囁t=E?冬是W=口的必要條件.

綜上所述，W?W=E?3”是W=M的必要不充分條件.

故選:B.

【點評】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的基本概

第10頁(共33頁)

念和基本運算，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2021?乙卷）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學著作，其中第一題是

測量海島的高.如圖，點E，H,G在水平線/C上，OE和尸G是兩個垂直于水平面且等

高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，Ge和E”都稱為“表目距”,

GC與的差稱為“表目距的差”，則海島的高/8=（）

表高X表距

表目距的差

表高X表距

表目距的差

表高X表距

表目距的差

表高X表距

表目距的差

【考點】三角形中的幾何計算.

【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出.

【解答】解：些=里，電=竺，故典="，即_^1_=一∞一，

ABAHBACAAHCAAE+EHAE+EG-KJC

解得/E=更避AH=AE+EH,

CG-EH

故∕E=DE?AH_DE(AE+EH)_DE?AEDE?EH_DE?EG工4后.表高X表距+表

EHEHEH+EHCG-EH'表目距的差?

高.

另解：如圖所示，連接ED并延長交/8于點

表目總典差_GC_EH=AC_AH=CH

表高FGDEABABAB"

整津鳥f靠扁親=臀=邁X3毀X/”迎火所小

表目距的差表目距的差CHCHBHAB

AB

?+表高.

故選：A.

第11頁（共33頁）

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了

推理能力與計算能力，屬于中檔題.

10.（2021?甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個

示意圖，現(xiàn)有4B,C三點,且/,B,C在同一水平面上的投影4,B',。滿足N4。夕

=45°,N∕5C=60°.由C點測得8點的仰角為15°,89與C。的差為100：由8

點測得力點的仰角為45°,貝∣J4C兩點到水平面的高度差N4-CC約為（）

（√3Λ≈1.732）

【考點】解三角形.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形；數(shù)學建模.

【分析】本題要注意各個三角形不共面，在每個三角形中利用正弦定理求邊長，進而找

到高度差.

【解答】解：過C作CH_L88'于H,過8作BA/，//'于"，

則NBC4=15°,BH=IQQ,ZABM^45°,CH=CB1,A1B1=BM=4M,BB'

=MA',ZCA1B1=75°

第12頁（共33頁）

ΛtanZBC7∕=tanl5o=tan(45°-30°)=tan45-tanW0=2-√^,sin75°=Sin

l+tan45tan30

(450+30°)=2^-(2^-4Λ)

則在RtZ?8C"中，CH=——典!——=Ioo(2+√3)>'-C'B'=IoO(2+√3)

tanZBCH

1β,z

在△，8'C'中，由正弦定理知，AB'=------ξ-----_7-?sin∕AC，B=

sinZCyAzBySIn少LD

IOO(√3+l).,/M=IOO(√3+l),

：.AA'-CC'^AM+BH^?00(√3+l)+100≈373,

【點評】理解仰角的概念，各個三角形不共面，因此做好輔助線是關(guān)鍵.

11.（2021?甲卷）在aN8C中，已知8=120°,AB=2,則BC=（）

A.1B.√2C.√5D.3

【考點】余弦定理.

【專題】計算題；對應思想；定義法；解三角形；數(shù)學運算.

【分析】設(shè)角4B,C所對的邊分別為“，h,c,利用余弦定理得到關(guān)于。的方程，解

方程即可求得a的值，從而得到BC的長度.

【解答】解：設(shè)角Z,B,C所對的邊分別為α,b,c

結(jié)合余弦定理，可得19=q2+4-2XqX2Xcosl20°,

即/+24-15=0,解得α=3（α=-5舍去），

所以8C=3.

故選：D.

【點評】本題考查了余弦定理，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題.

12.（2021?上海）在4/8C中，。為BC中點，E為4D中點、,則以下結(jié)論：①存在4N8C,

使得AB?CE=O;②存在ANBC,使得CE〃（CB+CA）；它們的成立情況是（）

第13頁（共33頁）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】存在型；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算.

【分析】設(shè)/(2x,2y),B(-1,O),C(1,O),D(0,0),E(x,y),由向量數(shù)量的

_?1?'1?'

坐標運算即可判斷①；F為4B中點,可得(CB+CA)=2CF,由。為BC中點，可得

CF與4D的交點即為重心G,從而可判斷②

【解答】解：不妨設(shè)Z(2x,2y),β(-1,0),C(1,0),D(0,0),E(X,y),

①AB=(-1-2x,-2y),CE=(x-1,_v),

若標?無=0，則-(l+2x)(?-l)-2y2=0,即-(l+2x)(X-I)=2√,

滿足條件的(x,y)存在，例如(0,場)，滿足上式，所以①成立；

2

②尸為ZB中點，(而+取)=2CF，CF與力。的交點即為重心G,

因為G為/。的三等分點，E為力。中點，

所以CE與CG不共線，即②不成立.

故選：B.

【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，共線向量的判斷，屬于中檔題.

13.(2020?全國)設(shè)點尸1，乃，尸3在G)O上，若麗丁麗/麗?=^6,則NPIP2P3=()

A.30oB.45oC.60oD.90°

【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角.

第14頁(共33頁)

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)已知條件，推得OP；+OP；=-OP；，即（CIPl'+而。2=op；2,再結(jié)合平

面向量的數(shù)量積公式，即可求解.

【解答】解：設(shè)I西=I西I=I西If

—*

7OP?+OPJ+OP?=0，

??OP1+OP2=-OP3（即（OPI+OP2）=OP3，

221

.?.r+r+2×r×r×cosZP?OP2=r,解得COSZPIOP2=」，

2

o

ΛZP∣OP2=120°,同理可得，NPloP3=120°,ZP2OP3=120,

...△尸1尸#3是等邊三角形，

.?.NPlPlft=60°.

故選：C.

【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2020?海南）在4/8C中，。是邊上的中點，則而=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.≡+2CA

【考點】向量的三角形法則.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應用；直觀想象.

【分析】利用向量加法法則直接求解.

【解答】解：在A∕8C中，。是48邊上的中點，

則而=≡+而=≡+標

=≡+（AC+≡）

=2CD-CA.

故選：C.

第15頁（共33頁）

DB

【點評】本題考查向量的表示，考查向量加法法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

二.多選題(共1小題)

(多選)15.(2021?新高考I)己知O為坐標原點，點P?(cosα,sina),Pl(cosβ,-sinβ).

尸3(CoS(a+β),sin(a+β)),4(1,0),貝!|()

?-Iop?i=IOPJIB?∣AP?∣=IAPJI

c?欣?麗=西?西d?源?苗=恒?西

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】法一、由已知點的坐標分別求得對應向量的坐標，然后逐一驗證四個選項得答

案；

法二、由題意畫出圖形，利用向量的模及數(shù)量積運算逐一分析四個選項得答案.

【解答】解：法一>VPi(cosa,sina),Pl(cosβ,-sinβ),Py(cos(a+β)>sin(a+β)),

A(1,0),

/.QP'=(cosa,sina),θp^=(cosβ,-sinβ),

θp?=(cos(a+β),sin(a÷β)),OA=(1，0),

,

API=(COSa-1,Sina),AP2=(cosβ-1,-sinβ)

則lθp?I=√cos2a+sin2a=1>IOP^I=√cos2β+(-sinβ)2=υ則∣0P7∣

=IOPJ,故A正確；

22

IAP1I=√(eosɑ-1)+sinɑ-=YCoS2a+si-2CoSa+1=√2-2cosQ-?

2222

IAP2I=√(cosβ-1)+(-sinβ)=Vcosβ+sinβ-2cosβ+1=

√2-2cosβ，

第16頁(共33頁)

∣AP11∣≠∣AP^∣1故B錯誤;

=1×cos(α÷β)+0×sin(a+β)=cos(a+β),

OA-OP3

QP??op2=c0sac0sβ-sinasinβ=cos(a+β),

?0A?QP?=Q^?0PJ1故C正確;

??p?p?=1XCoSa+OXsina=Cosa,

0P2*0P??cosPcos(a+β)-sinβsin(a÷β)=cos[β+(a+β)]=cos(a÷2β),

?OA,o7j'≠OP^?op?-故。錯誤?

故選：AC.

法二、如圖建立平面直角坐標系,

A(1,0),作出單位圓。，并作出角a,β,-β,

使角a的始邊與。1重合，終邊交圓。于點P,角B的始邊為OP1，終邊交圓。于尸3，

角-B的始邊為04交圓。于尸2，

于是尸1(cosa,sina),Py(COS(a+β),sin(a+β)),Pl(cosβ,-sinβ),

由向量的模與數(shù)量積可知，/、C正確；B、。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角

和的三角函數(shù)，考查運算求解能力，是中檔題.

≡.填空題(共9小題)

16.(2023?上海)已知贏、0B＞無為空間中三組單位向量，且而_L而、OAlOC.而與前

夾角為60°,點P為空間任意一點，且IOPl=1,滿足∣0P?0C∣W∣0P?0B∣W∣0P?0A∣,則

第17頁(共33頁)

|加?沃|最大值為_X*_.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；空間向量及應用：邏輯推理：數(shù)學運算.

【分析】將問題坐標化，表示出示，而，祠的坐標，再設(shè)而=(χ,y,Z)，代入條

件，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.

【解答】解：設(shè)贏=(0,0,1)，C)B=(喙?，y>θ),OC=(0,1,0),

222

QP=(χ,y,ZA不妨設(shè)X,歹，Z>09則IoPI=X+J??=L

-.........?.?■-1*'-------?

因為IOP?OCIWloP?OBIw10P?OAI，

所以y≤*^x+?^^y≤z,可得x≥^~y,z-y,

所以I=χ2+y2+z?A^?y2+y2+y2,解得丫24多

故而?0C-v≤^l.

故答案為：返L.

7

【點評】本題考查空間向量的坐標運算以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.(2023?上海)已知向量Z=(3,4),E=(1,2),則:-2玉=(1,0).

【考點】平面向量的坐標運算.

【專題】對應思想；定義法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算法則，計算即可.

【解答】解：因為向量Z=(3,4),b=(1，2),

所以藪2芯=(3-2×l,4-2×2)=(1,0).

故答案為：(1,0).

【點評】本題考查了平面向量的坐標運算問題，是基礎(chǔ)題.

18.(2022?天津)在4/8C中，CA=a,CB=b,。是/C中點，CB=2BE,試用a，b表

示應為_他二若瓦，無，則/ZC8的最大值為_三_.

26

【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

第18頁(共33頁)

【分析】由題意，利用兩個向量加減法及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積公式，基本不

等式，求出CoSC的最小值，可得NzCB的最大值.

【解答】解：?.?AZBC中，CA=a，CB=b,。是/C中點，CB=2BE.如圖:

?,.DE=CE-CD=CB+BE-?=b+-^-A=lk∑a..

222

AB=CB-CA=b-a，AB±DE，

ΛAB-DE=(b-?)(3b2→I-b÷a2)=。，即后用=鏟+3針,

即4??Z)?cosC=a1+3b1,即COSC=口社)=y^,

當且僅當o=√Eb時，等號成立，故COSC的最小值為乂生，故。的最大值為工,

26

BPZJCS的最大值為士,

6

故答案為：的二亙;2Ξ

26

B-----------??

【點評】本題主要考查兩個向量加減法及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積公式，基本不

等式的應用，屬于中檔題.

19.（2022?上海）若平面向量a∣=∣b∣=∣c∣=入，且滿足a，b=0，a?c=2,b,c=?）則入=

Vs-

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題；對應思想；分析法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】利用平面向量的數(shù)量積進行分析，即可得出結(jié)果.

【解答】解：由題意，有a?b=0,則aJLb，設(shè)<之，^^>=θ>

'7￡=2Ialn∣co≡θ=2,①

b?^c=lIblICICOs（m-8）=1,②

第19頁（共33頁）

則蓄得，tan。=/

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得：cosO=2恒,

5

則a*C=IaIIc∣cosθ=入?入

5

λ2=Vδ,

則λ=娟?

故答案為：Vδ?

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

20.(2022?浙江)設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形出42?“8的邊出山上，則PAJ+PA『+…

+q2的取值范圍是ri2+2√2,161.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；二倍角的三角函數(shù).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】以圓心為原點，曲/3所在直線為X軸，/5小所在直線為N軸，建立平面直角坐

標系，求出正八邊形各個頂點坐標，設(shè)尸(χ,?),進而得到PA,+PA?+…+

(/+?2)+8,根據(jù)點尸的位置可求出X2+/的范圍，從而得到PA；+PA，+…+PA：的

取值范圍.

【解答】解：以圓心為原點，山山所在直線為X軸，所在直線為y軸，建立平面直

角坐標系，如圖所示，

,

則小(0,IKA2~,-?)43(1,0),A4(~^~f，A5(0,-1),

A6??-),/7(-1,0),A8(-?,喙),

設(shè)P(x,y)9

貝UTIL+市ζ2+…=陷尸+圖2∣2+∣"3∣2+∣%4∣2+∣2bF+網(wǎng)#+|以7F+H8∣2=8

128

(x2+√)+8,

o+22

Vcos22.5≤∣OP∣≤I,Λlco∣?5°x+y≤

22

.??^-<x÷y<l.

Λi2+2V2≤8(x2+√)+8≤16,

第20頁(共33頁)

即PA；+PA『+',,+PAg2的取值范圍是[12+2&,16],

故答案為：[12+2√5,16].

【點評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)，考查了學生分析問題和轉(zhuǎn)化問

題的能力，屬于中檔題.

21.（2022?甲卷）設(shè)向量；，E的夾角的余弦值為二且∣Z∣=1,g=3,則（2之+芯）E=

3

1!_.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】首先計算之其，的值，然后結(jié)合向量的運算法則可得所給式子的值.

【解答】解：由題意可得ZE=IX3χL=l,b2=9-

3

則（2a+b）b=2ab+b=2+9=11-

故答案為：11.

【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，平面向量的運算法則等知識，屬于中

等題.

22.（2022?甲卷）已知448C中，點。在邊BC上，NADB=I20°,AD=2,CD=2BD.當

以取得最小值時，BD=_43-L.

AB

【考點】三角形中的幾何計算；余弦定理.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形.

第21頁（共33頁）

【分析】首先設(shè)出80,CD,在兩個三角形中分別表示/C,BC,繼而Aj=

b4x'-4x+4=4——嶺12廠，從而利用均值不等式取等號的條件即可.

zz

cX÷2x+4v+ι+-2—

【解答】解：設(shè)BQ=X,CD=Ix,

在三角形/CZ)中，?2=4X2+4-2?2x?2?cos60°,可得：fe2=4x2-4%+4,

在三角形中，C2=X2+4-2?x?2?cosl20o,可得：c2=x2+2x÷4,

2

要使得星?最小，即J最小，

ABc2

b24χ2-4x+44(X2+2X+4)-12χ-12_,…x+1

F2=-T2----------=------------o9-------------------4-12—2-----

cX+2x+4X+2x+4X+2X+4

其中x+l+-^》.，此時??>4-2F,

x÷lJ

當且僅當（x+1）2=3時，即χ=√ξ-l或乂=-百-1（舍去），即X=F-I時取等號，

故答案為：v?-i?

【點評】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應用，屬于中檔題.

23.（2022?上海）已知在448C中，ZA=-,AB=2,AC=3,則4/18C的外接圓半徑為

√21

3.

【考點】正弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出結(jié)果.

TT

【解答】解：在A∕8C中，ZA=-,AB=2,∕C=3,

利用余弦定理BC2^AC2+AB2-2AB?AC?cosA,整理得BC=E

所以￡_=2R,解得R=Y0L

SinA3

故答案為：畫.

3

【點評】本題考查的知識要點：正弦定理和余弦定理，主要考查學生的運算能力和數(shù)學

第22頁（共33頁）

思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

24.(2022?上海)在AASC中，NN=90°,∕8=NC=2,點M為邊/8的中點，點P在邊

BC上，則而?而的最小值為9_.

8

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；平面向量及應用：數(shù)學運算.

【分析】建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算求出MP?CP=2χ2-3x,再利用二

次函數(shù)求最值即可.

【解答】解：建立平面直角坐標系如下，

則B(2,O),C(0,2),M(1,0),

直線BC的方程為尹尹1,即Xty=2,

點尸在直線上，設(shè)尸(x,2-X),

ΛMP=(X-1,2-x),CP-G，-x)，

?*?MP,CP=x(X-I)-X