專題09天體運動的互繞模型

專題09天體運動的互繞模型天體運動中的互繞模型雖然仍為圓周運動模型，但由于涉及兩個或多個天體，分析時要注意兩點：一是互繞星體之間存在的等量關系；二是互繞星體做圓周運動所需的向心力來源，特別是對于不在同一直線上的互繞星體，必須由力的合成求解對應的向心力。模型(一)雙星模型1、模型構建在天體運動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點做周期相同的勻速圓周運動的行星稱為雙星。2、模型特點如圖所示為質量分別是和的兩顆相距較近的恒星。它們間的距離為.此雙星問題的特點是：(1)兩星的運行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點。(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供。(3)兩星的運動周期、角速度相同。(4)兩星的運動半徑之和等于它們間的距離，即.3、規(guī)律推導設：兩顆恒星的質量分別為和，做圓周運動的半徑分別為、，角速度分別為、。根據題意有 ① ②根據萬有引力定律和牛頓定律，有 ③ ④③/④得 ⑤②⑤聯立得：③④分別化簡得 ⑥ ⑦⑥⑦相加得又得⑧雙星問題的兩個結論(1)運動半徑：，即某恒星的運動半徑與其質量成反比。(2)質量之和：兩恒星的質量之和m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)。模型(二)雙星與多星系統(tǒng)的結構類型雙星模型多星模型結構圖向心力由兩星之間的萬有引力提供，故兩星的向心力大小相等運行所需向心力都由其余行星對其萬有引力的合力提供運動參量各行星轉動方向相同，周期、角速度相等【模型演練1】[雙星模型](多選)根據科學家們復原雙中子星合并的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈。將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星()A．質量之積 B．質量之和C．速率之和 D．各自的自轉角速度【答案】BC【解析】：兩顆中子星運動到某位置的示意圖如圖所示每秒轉動12圈，角速度已知，中子星運動時，由萬有引力提供向心力得eq\f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1，eq\f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2，l＝r1＋r2，聯立解得eq\f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq\f(ω2l3,G)，質量之和可以估算。由線速度與角速度的關系v＝ωr得v1＝ωr1，v2＝ωr2，解得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算。質量之積和各自的自轉角速度無法求解?！灸Ｐ脱菥?】[三星模型](多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則()A．每顆星做圓周運動的線速度為eq\r(\f(Gm,R))B．每顆星做圓周運動的角速度為eq\r(\f(3Gm,R3))C．每顆星做圓周運動的周期為2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關【答案】ABC【解析】：每顆星受到的合力為F＝2Geq\f(m2,R2)sin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,R2)，軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)R，由向心力公式F＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，v＝eq\r(\f(Gm,R))，ω＝eq\r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,3Gm))，顯然加速度a與m有關，故A、B、C正確?！灸Ｐ脱菥?】[四星模型]宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。設四星系統(tǒng)中每顆星的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))【答案】B【解析】：其中一顆星在其他三顆星的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為eq\f(\r(2),2)a，故A正確，B錯誤；在每顆星表面，根據萬有引力近似等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正確。一、單選題1．（2024下·內蒙古通遼·高一校考期中）某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動。由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G，由此可求出S2的質量為（）。A． B．C． D．【答案】D【詳解】對星體S1由萬有引力提供向心力可得，S2的質量為故選D。2．（2023下·高一課時練習）兩個質量不同的天體構成雙星系統(tǒng)，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）A．質量大的天體線速度較大B．質量小的天體角速度較大C．兩個天體的向心力大小相等D．若在圓心處放一個質點，它受到的合力為零【答案】C【詳解】B．雙星系統(tǒng)的結構是穩(wěn)定的，所以它們的角速度相等，周期相等，故B錯誤；C．兩個星球間的萬有引力提供向心力，根據牛頓第三定律可知，兩個天體的向心力大小相等，故C正確；A．根據牛頓第二定律，有＝m1ω2r1＝m2ω2r2其中r1＋r2＝L聯立解得半徑分別為r1＝Lr2＝L所以線速度之比為即質量大的天體線速度較小，故A錯誤；D．若在圓心處放一個質點，所受的合力為故D錯誤。故選C。3．（2023下·高一課時練習）宇宙中兩顆相距較近的天體稱為雙星，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因相互之間的引力作用吸引到一起。設兩者相距為L，質量分別為m1和，且r1<r2，下列說法正確的是（）A．m1一定小于m2B．軌道半徑為r1的星球線速度更大C．若雙星的質量一定，雙星間距離越大，其轉動周期越大D．只要測得雙星之間的距離L和雙星周期T，即可計算出某一顆星的質量【答案】C【詳解】A．根據萬有引力提供向心力＝m1ω2r1＝m2ω2r2可得m1r1＝m2r2因r1<r2則有m1>m2故A錯誤；B．根據v＝ωr可知軌道半徑為r1的星球線速度更小，故B錯誤；C．根據萬有引力提供向心力解得可知若雙星的質量一定，雙星間距離越大，其轉動周期越大，故C正確；D．由可知，只要測得雙星之間的距離L和雙星周期T，即可計算出兩星的質量之和，不能計算出某一顆星的質量，故D錯誤。故選C。4．（2023下·山西晉中·高一?？茧A段練習）假設宇宙中存在質量相等的三顆星體且分布在一條直線上，其中兩顆星體圍繞中央的星體轉動，假設兩顆星體做圓周運動的半徑為R，每個星體的質量均為m，引力常量為G。忽略其他星體對該三顆星體的作用，則做圓周運動的星體的線速度大小為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動，萬有引力做向心力；根據星體受到另兩個星體的引力作用可得星體做圓周運動的線速度大小為故選C。5．（2023·全國·高一專題練習）銀河系的恒星中大約四分之一是雙星，某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動。由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G。由此可求出S2的質量為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以S1為研究對象，S1做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得解得故選D。6．（2023下·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谀╇x其他恒星較遠的四星系統(tǒng)的形式如圖所示，三顆星體位于邊長為的等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道做勻速圓周運動，而第四顆星體剛好位于三角形的中心不動。設每顆星體的質量均為，引力常量為，則（）A．位于等邊三角形三個頂點上的每顆星體做圓周運動的向心加速度大小與無關B．三星的總動能為C．若距離不變，四顆星體的質量均變?yōu)?，則角速度變?yōu)樵瓉淼?倍D．若四顆星體的質量均不變，距離均變?yōu)?，則周期變?yōu)樵瓉淼谋丁敬鸢浮緿【詳解】A．依題意，根據萬有引力定律及幾何知識，可求得位于等邊三角形三個頂點上的每顆星體做圓周運動的合外力為根據牛頓第二定律可得，每顆衛(wèi)星的的向心加速度大小為故A錯誤；B．三星的總動能為根據由幾何知識得聯立求得故B錯誤；C．結合選項A分析可知，每顆衛(wèi)星受到的合外力若距離不變，四顆星體的質量均變?yōu)椋瑒t每顆衛(wèi)星受到的合力將變?yōu)樵瓉淼?倍，根據可知每顆衛(wèi)星的角速度將變?yōu)樵瓉淼谋叮蔆錯誤；D．若四顆星體的質量均不變，距離均變?yōu)?，根據結合選項A，可得每顆衛(wèi)星做勻速圓周運動的周期則周期變?yōu)樵瓉淼谋?，故D正確。故選D。7．（2023下·遼寧錦州·高一?？计谥校┘僭O太空中存在著如圖所示的星體系統(tǒng)，A、B、C三個星體構成等邊三角形，邊長為r，環(huán)繞中心O處的星體做角速度相同的勻速圓周運動，已知A、B、C的質量均為m，O點處星體的質量為M，假設所有的星體均可視為質點，引力常量為G。則下列說法正確的是（）A．O處星體對A星體的萬有引力提供A做圓周運動的向心力B．C星體對O處星體的萬有引力大小為C．B星體的角速度為D．A、B、C三星體對O處星體的萬有引力的合力為【答案】C【詳解】A．B、C星體和O處星體對A星體的萬有引力的合力提供A做圓周運動的向心力，故A錯誤；B．C星體對O處星體的萬有引力大小為故B錯誤；C．對B星由牛頓第二定律有解得故C正確；D．A、B、C三星體對O處星體的萬有引力的合力為故D錯誤。故選C。8．（2024下·全國·高一隨堂練習）如圖所示，“天狼星”是除太陽外人用肉眼能看到的最亮的恒星，“天狼星”實際上是一個雙星系統(tǒng)，它由恒星“天狼星”A和白矮星“天狼星”組成?！疤炖切恰盇和“天狼星”B均繞它們連線上的點做勻速圓周運動，運動周期為，它們的軌道半徑分別為，不考慮其他天體的影響。已知引力常量為，則“天狼星”的總質量為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對“天狼星”A有對“天狼星”B有解得“天狼星”的總質量故選B。9．（2023下·山東威海·高一統(tǒng)考期末）紅矮星與中子星組成雙星系統(tǒng)，它們同時繞連線上的某點做勻速圓周運動。若兩星相距L，紅矮星的質量是中子星的n倍，中子星轉一圈的時間為t，引力常量為G，則（）A．紅矮星的軌道半徑為B．紅矮星的軌道半徑為C．紅矮星和中子星的總質量為D．紅矮星和中子星的總質量為【答案】D【詳解】AB．設紅矮星的軌道半徑為、質量為，中子星的軌道半徑為、質量為，則根據題意有由萬有引力充當向心力有，聯立以上各式解得故AB錯誤；CD．根據以上分析可得，則可得故C錯誤，D正確。故選D。10．（2023下·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）中國天眼FAST已發(fā)現約500顆脈沖星，成為世界上發(fā)現脈沖星效率最高的設備，如在球狀星團M92第一次探測到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖，距離為L的A、B雙星繞它們連線上的某點O在二者萬有引力作用下做勻速圓周運動，運動周期為T，萬有引力常量為G，則雙星總質量為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】雙星A、B之間的萬有引力提供向心力，有其中聯立解得故選C。二、多選題11．（2023下·高一課時練習）宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)。其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R。忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G。則（）A．每顆星做圓周運動的線速度為B．每顆星做圓周運動的角速度為C．每顆星做圓周運動的周期為D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關【答案】AC【詳解】A．任意兩個星體之間的萬有引力為每一顆星體受到的合力為由幾何關系知，每一顆星體做勻速圓周運動的半徑為根據牛頓第二定律可得解得故A正確；C．根據解得故C正確；B．每顆星做圓周運動的角速度為故B錯誤；D．根據可得故加速度與它們的質量有關，故D錯誤。故選AC。12．（2023下·高一課時練習）宇宙中兩顆相距較近的天體稱為雙星，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因相互之間的引力作用吸引到一起。設兩者相距為L，質量分別為m1和m2，可以想象如果不停的將m2星球上的資源源源不斷的運回m1星球，導致m2減少，m1增加。假設在一定時間內兩星球總質量不變，兩星球的間距也不變。則下列說法正確的是（）A．兩星球間的萬有引力不變B．兩星球圓周運動的周期不變C．m2做勻速圓周運動的軌道半徑變大D．m1做勻速圓周運動的軌道半徑變大【答案】BC【詳解】兩顆星球做勻速圓周運動的向心力大小相等，繞共同的圓心O做勻速圓周運動，周期相等，設的半徑為，的半徑為；根據萬有引力提供向心力可得又聯立可得，由于減少，增加，且在一定時間內兩星球總質量不變，兩星球的間距也不變；則乘積發(fā)生變化，兩星球間的萬有引力發(fā)生變化；兩星球圓周運動的周期不變；做勻速圓周運動的軌道半徑變大，做勻速圓周運動的軌道半徑變小。故選BC。13．（2023下·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）天文學家發(fā)現有兩顆雙中子星相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈，假設這兩顆中子星是質量均勻分布的球體。由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這兩顆中子星（）A．速率之和 B．質量之和C．各自的軌道半徑 D．各自的質量【答案】AB【詳解】A．雙中子星做勻速圓周運動的頻率f=12Hz線速度則選項A正確；B．由萬有引力等于向心力，可得又r1+r2=L=400km聯立解得選項B正確；CD．不能得出各自的軌道半徑和各自的質量，選項CD錯誤。故選AB。14．（2023下·安徽安慶·高一校聯考期中）2023年2月21日迎來“二月二，龍?zhí)ь^”?！褒垺敝傅氖嵌怂拗械臇|方蒼龍七宿星象，每歲仲春卯月之初，“龍角星”就從東方地平線上升起，故稱“龍?zhí)ь^”。10點后朝東北方天空看去，有兩顆亮星“角宿一”和“角宿二”，就是龍角星。實際上，角宿一是一個距離很近的、互相圍繞公轉的雙星系統(tǒng)，系統(tǒng)內兩顆恒星距離只有0.12個天文單位，公轉軌道周期只有4.0145天。根據以上信息以及萬有引力常量，判斷下列說法正確的是（）A．可以求出系統(tǒng)內兩恒星的質量比 B．可以求出系統(tǒng)內兩恒星的總質量C．可以求出系統(tǒng)內兩恒星的自轉角速度 D．可以求出系統(tǒng)內兩恒星的速率之和【答案】BD【詳解】設兩恒星質量為和，軌道半徑為和，有聯立可得根據線速度與角速度的關系所以故選BD。15．（2023下·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B的距離為L。已知A、B和O點三點始終共線，A和B分別在O點的兩側，引力常量為G，星球A的質量為，星球A的軌道半徑為，兩星球均可視為質點。則（）A．星球B的質量為B．星球B的質量為C．兩星球做圓周運動的周期為D．兩星球做圓周運動的周期為【答案】BD【詳解】AB．設B星的軌道半徑為，則由題意有兩星做圓周運動時的向心力由萬有引力提供，則有聯立各式解得故B正確，A錯誤；CD．由上述分析可解得解得解得故D正確，C錯誤。故選BD。16．（2023下·山東臨沂·高一沂水縣第一中學校聯考階段練習）宇宙中存在一些離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，若四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為、半徑均為，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為的正方形的四個頂點上，如圖所示。已知引力常量為，忽略其他星體對它們的引力作用，則下列說法正確的是（）A．四顆星的軌道半徑均為B．四顆星表面的重力加速度大小均為C．每顆星所受的相鄰兩顆星的萬有引力的合力等于對角星對其的萬有引力D．四顆星的周期均為【答案】AD【詳解】A．四星系統(tǒng)的圓心在正方形中心，根據幾何關系可得軌道半徑為A正確；B．在星球表面根據得B錯誤。C．每顆星所受的相鄰兩顆星的萬有引力的合力對角星對星球的萬有引力可知C錯誤；D．向心力由合力提供，故解得D正確；故選AD。三、解答題17．（2023下·河北邢臺·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，質量分別為和的兩個星球和（均視為質點）在它們之間的引力作用下都繞點做勻速圓周運動，星球和之間的距離為。已知星球和和三點始終共線，和分別在點的兩側。引力常量為。（1）求星球的周期；（2）求星球的線速度大??；（3）在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球和，月球繞其軌道中心運行的周期記為。但在處理近似問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期為。已知地球和月球的質量分別為和。求。（結果保留三位有效數字）【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）由題意知和有相同的角速度和周期，設、的運行半徑分別為、，則對有對有解得解得（2）對有解得（3）將地月系統(tǒng)看成雙星系統(tǒng)，由（1）得常常認為月球繞地心做圓周運動，有解得則18．（2023下·河南駐馬店·高一新蔡縣第一高級中學?？茧A段練習）太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式（如圖所示）：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設這三顆星的質量均為M，兩種系統(tǒng)的運動周期相同，引力常量為G，求三角形三星系統(tǒng)星體間的距離