天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查試題數(shù)學(xué)

本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．祝同學(xué)們考試順利！第Ⅰ卷（選擇題共45分）注意事項(xiàng)：1．答題Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答在試卷上的無(wú)效．3．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·錐體的體積公式，其中表示錐體的底面積，表示錐體的高．·柱體的體積公式，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高．·如果事件互斥，則．·如果事件相互獨(dú)立，則．·任意兩個(gè)事件與，若，則．一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）（1）已知集合，則（）（A） （B） （C） （D）（2）“”是“”的（）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（3）函數(shù)的大致圖象如圖所示，則它的解析式可能是（）（第3題）（A） （B） （C） （D）（4）為深入學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校開展了“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國(guó)伴我行”二十大主題知識(shí)競(jìng)賽，選派了10名同學(xué)參賽，且該10名同學(xué)的成績(jī)依次是：．針對(duì)這一組數(shù)據(jù)，以下說法正確的個(gè)數(shù)有（）①這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90；②這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為89；③這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90；④這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為93；⑤這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)都減5后，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差均無(wú)變化．（A）2個(gè) （B）3個(gè) （C）4個(gè) （D）5個(gè)（5）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（）（A）9 （B）21 （C）45 （D）93（6）已知函數(shù)，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸與一個(gè)對(duì)稱中心的最小距離為，將圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)為（）（A） （B）（C） （D）（7）如圖，已知四棱錐的體積為是的平分線，，若棱上的點(diǎn)滿足，則三棱錐的體積為（）（第7題）（A） （B） （C） （D）（8）已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系不可能成立的是（）（A） （B） （C） （D）（9）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的其中一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線與雙曲線交于點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，則雙曲線的方程為（）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非選擇題共105分）注意事項(xiàng)：1．用黑色鋼筆或簽字筆直接答在答題卡上，答在本試卷上的無(wú)效．2．本卷共11題，共105分．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分）（10）為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為______．（11）在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為______．（12）將3個(gè)黑球和2個(gè)白球放入一個(gè)不透明的盒中，各球除顏色不同外完全相同，現(xiàn)從盒中兩次隨機(jī)抽取球，每次抽取一個(gè)球．（ⅰ）若第一次隨機(jī)抽取一個(gè)球之后，將抽取出來的球放回盒中，第二次隨機(jī)抽取一個(gè)球，則兩次抽到顏色相同的球的概率是______；（ⅱ）若第一次隨機(jī)抽取一個(gè)球之后，抽取出來的球不放回盒中，第二次從盒中余下的球中隨機(jī)抽取一個(gè)球，則在已知兩次抽取的球顏色相同的條件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．（13）直線與圓相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且為等邊三角形，則的值為______．（14）如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn)，記，用表示______；設(shè)，若，則的最小值為______．（第14題）（15）若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）（16）（本小題滿分14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．（17）（本小題滿分15分）如圖，四棱柱中，側(cè)棱底面，，四棱柱的體積為36．（第17題）（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求平面與平面的夾角的余弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．（18）（本小題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，左，右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，離心率為．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為1．（Ⅰ）求橢圓的方程和拋物線的方程；（Ⅱ）直線交橢圓于點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），交軸于點(diǎn)的面積是面積的倍，求直線的斜率．（19）（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及；（Ⅱ）若等比數(shù)列滿足，且，（ⅰ）求；（ⅱ）若，是與的等比中項(xiàng)且，則對(duì)任意，求的最小值．（20）（本小題滿分16分）已知函數(shù)，（Ⅰ）若，討論在的單調(diào)性；（Ⅱ）若，函數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證：．和平區(qū)2023－2024學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（9×5分＝45分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）DBDBCABBA二、填空題（6×5分＝30分）（10）．（11）．（12）．（13）．（14）；．（15）．三、解答題（共75分）（16）（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，已知，所以且，所以，由正弦定理有，所以．（Ⅱ）（ⅰ）因?yàn)?，所以，由余弦定理得，解得或（舍），所以的值?．（ⅱ）因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，法（一），因?yàn)椋?，所以，．法（二）因?yàn)?，所以，則，所以．（17）（本小題滿分15分）解：因?yàn)閭?cè)棱底面，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又因?yàn)槔庵w積為36，易知底面為直角梯形，其面積為，柱體體積，有．所以．（第17題）（Ⅰ）證明：因?yàn)?，平面的法向量為，，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫妫á颍┙猓阂驗(yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，由（Ⅰ）得，設(shè)平面與平面的夾角為，則平面與平面的夾角的余弦值為．（Ⅲ）解：因?yàn)椋?，點(diǎn)到平面的距離為．（18）（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．依題意，，解得，于是．所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，且由題意，（法一）由，可得，即，即，則，由，即，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，則，將代入橢圓方程，求得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)?，則直線的斜率為．（法二）因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，則直線的斜率存在且大于0，設(shè)直線的方程為，因此點(diǎn)．，聯(lián)立方程組，整理得到．由韋達(dá)定理得，所以，代入直線方程．由，可得，即，所以，則，解得，因?yàn)?，則直線的斜率為1．或者因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，則直線的斜率存在且大于0，設(shè)直線的方程為，因此點(diǎn)．，聯(lián)立方程組，整理得到，由韋達(dá)定理，得，所以．由，可得，即，所以，則，解得，因?yàn)椋本€的方程為，即，則直線的斜率為1．（法三）因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，則直線的斜率存在且大于0，設(shè)直線的方程為，則，因此點(diǎn)．，聯(lián)立方程組，整理得到．由韋達(dá)定理得，所以，代入直線方程．，，，即，解得，因?yàn)?，則直線的斜率為1．或者因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，則直線的斜率存在且大于0，設(shè)直線的方程為，則，因此點(diǎn)．，聯(lián)立方程組，整理得到，由韋達(dá)定理，得，所以．，，，即，解得，因?yàn)?，直線的方程為，即，則直線的斜率為1．（19）（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，解得，，則，．所以．（Ⅱ）等比數(shù)列滿足，且，公比為2，所以，（?。┰O(shè)，，，，①．②①式－②式得，．所以．又，則．所以．則．所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，兩式相除得，，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)有最小值．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)有最大值．則，所以的最小值為．（20）（本小題滿分16分）解：（Ⅰ）因?yàn)椋?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）不等式可化為