高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案1-2第2課時(shí)高度角度問(wèn)題

第2課時(shí)高度、角度問(wèn)題[目標(biāo)]1.鞏固正、余弦定理等基本知識(shí)點(diǎn)；2.能夠運(yùn)用正、余弦定理等知識(shí)和方法求解高度和角度問(wèn)題．[重點(diǎn)]在三角形中利用正、余弦定理解決高度、角度問(wèn)題．[難點(diǎn)]把實(shí)際問(wèn)題中的條件和所求轉(zhuǎn)化為三角形中的已知和未知的邊角，建立數(shù)學(xué)模型求解．知識(shí)點(diǎn)一測(cè)量中的有關(guān)概念、名詞、術(shù)語(yǔ)[填一填]1．俯角和仰角：如下圖所示，當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．2．方向角和方位角：①指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫方向角．目標(biāo)方向線方向一般可用“×偏×”多少度來(lái)表示，這里第一個(gè)“×”是“北”或“南”，第二個(gè)“×”是“東”或“西”．如圖所示，OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東60°、北偏西30°、西南方向、南偏東20°.②方位角：從某點(diǎn)開(kāi)始的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線為止的水平角叫方位角．3．坡度和坡比：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)叫坡度，坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫坡比eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝\f(h,l))).如圖所示．[答一答]1．“視角”是“仰角”嗎？提示：不是．視角是指觀察物體的兩端視線張開(kāi)的角度．如圖所示，視角60°指的是觀察該物體上下兩端點(diǎn)時(shí)，視線的張角．2．方向角和方位角有何區(qū)別？提示：方向角是指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，而方位角是從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角．3．坡度和坡比有什么區(qū)別？提示：坡度是坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)，而坡比是坡面的鉛直高度與水平寬度的比．知識(shí)點(diǎn)二高度與角度問(wèn)題[填一填]1．高度問(wèn)題測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題．由于底部不可到達(dá)，這類問(wèn)題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦或余弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．2．角度問(wèn)題測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函數(shù)值，然后求角，再根據(jù)需要求所求的角．[答一答]4．為了測(cè)量某建筑物的高度所構(gòu)造的三角形，其所在平面與地面之間有什么關(guān)系？提示：為了測(cè)量某建筑物的高度所構(gòu)造的三角形，其所在平面與地面垂直．5．解三角形應(yīng)用問(wèn)題常見(jiàn)的幾種情況是什么？提示：解三角形實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題經(jīng)抽象概括為解三角形問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)情況有以下幾種：(1)已知量與未知量全都集中在一個(gè)三角形中，可直接用正弦定理或余弦定理求解；(2)已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形．這時(shí)可先解條件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形；有時(shí)需要設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程組，解方程或方程組得到答案．類型一底面不可達(dá)到的高度問(wèn)題[例1]如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.[分析]將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝600m．已知兩角及其夾邊，可考慮用正弦定理求解．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，求CD.[解析]由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．[答案]100eq\r(6)對(duì)于底部不可到達(dá)的建筑物的高度測(cè)量問(wèn)題，我們可選擇一條過(guò)建筑物底部點(diǎn)的基線，在基線上取另外兩點(diǎn)，這樣四點(diǎn)可以構(gòu)成兩個(gè)小三角形.其中，把不含未知高度的那個(gè)小三角形作為依托，從中解出相關(guān)量，進(jìn)而應(yīng)用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可.[變式訓(xùn)練1]如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝150m解析：根據(jù)圖示，AC＝100eq\在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，∴MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．類型二頂部不可達(dá)到的高度問(wèn)題[例2]如圖所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測(cè)得點(diǎn)A的俯角為β，已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD.[分析]根據(jù)已知條件，應(yīng)該先設(shè)法計(jì)算出AB的長(zhǎng)，再在Rt△ABD中解得BD，最后求出CD.[解]在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，則eq\f(BC,sinα－β)＝eq\f(AB,sin90°＋β)，∴AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β).在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCsin90°＋βsinα,sinα－β)＝eq\f(hsin90°＋βsinα,sinα－β)，∴CD＝BD－BC＝eq\f(sin90°＋βsinα－sinα－β,sinα－β)h.對(duì)于頂部不能到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量，我們可以選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可.[變式訓(xùn)練2]如圖，線段AB，CD分別表示甲、乙兩樓，AB⊥BD，CD⊥BD，從甲樓頂部A處測(cè)得乙樓頂部C的仰角α＝30°，測(cè)得乙樓底部D的俯角β＝60°，已知甲樓高AB＝24米，則乙樓高CD＝32米解析：ED＝AB＝24米，在△ACD中，∠CAD＝α＋β＝30°＋60°＝90°，AE⊥CD，DE＝24米，則AD＝eq\f(DE,sinβ)＝eq\f(24,sin60°)＝16eq\r(3)(米)，則CD＝eq\f(AD,cos∠ADC)＝eq\f(AD,cos30°)＝eq\f(16\r(3),\f(\r(3),2))＝32(米)．類型三角度問(wèn)題[例3]某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45°、距離為10km的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，以10km/h的速度向小島靠攏，海軍艦艇立即以10eq\r(3)km/h的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間．[分析]由題意知，要求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間，可設(shè)靠近的位置為B處．因此只要確定∠BAC及AB的值即可．故先設(shè)出艦艇與漁船靠近的時(shí)間t，然后在△ABC中利用余弦定理建立關(guān)于t的方程，即可求解．[解]如圖所示，設(shè)t小時(shí)后，艦艇與漁船在B處靠近，則AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以艦艇需1小時(shí)靠近漁船．此時(shí)AB＝10eq\r(3)，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).又因?yàn)椤螩AB為銳角，所以∠CAB＝30°.所以艦艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.答：艦艇航行的方位角為75°，航行的時(shí)間為1小時(shí)．測(cè)量角度問(wèn)題主要是指在海上或空中測(cè)量角度的問(wèn)題，如確定目標(biāo)的方位，觀察某一建筑物的視角等.解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解.解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，結(jié)合圖形去選擇定理，這是最關(guān)鍵、最重要的一步.[變式訓(xùn)練3]某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60°且相距20(eq\r(3)＋1)海里的海面上有一臺(tái)風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時(shí)10eq\r(2)海里的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心將從基地東北方向刮過(guò)且(eq\r(3)＋1)小時(shí)后開(kāi)始影響基地持續(xù)2小時(shí)，求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向．解：如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B，開(kāi)始影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為D，則B，C，D在一直線上，且AD＝20，AC＝20.由題意AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)×10eq\r(2).在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2).∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏東60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，∴臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向?yàn)橄蛄縠q\o(CD,\s\up6(→))的方向．即北偏西45°方向．答：臺(tái)風(fēng)向北偏西45°方向移動(dòng)．1.若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°方向上，且AC＝BC，如圖，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的(B)A．北偏東15°方向上B．北偏西15°方向上C．北偏東10°方向上D．北偏西10°方向上解析：如圖，∵AC＝BC，由圖可知，∠CAB＝∠CBA＝45°，利用內(nèi)錯(cuò)角相等可知，A位于B北偏西15°，故選B.2．如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝100m，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別是60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于(A)A．50eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．50m D．100m解析：因?yàn)椤螪AC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC為等腰三角形．所以AC＝DC＝100m，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq\3．如圖，位于A處的海面觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原地等待營(yíng)救．在A處南偏西30°且相距20海里的C處有一艘救援船，該船接到觀測(cè)站通知后立即前往B處救助，則sin∠ACB＝eq\f(\r(21),7).解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).4.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝15eq\解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以BC＝eq\f(30sin30°,sin135°)＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)tan60°＝15eq\r(6)(米)．5．某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°距A處8海里處有一走私船，正沿東偏南15°的方向以12海里/小時(shí)的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12eq\r(3)海里/小時(shí)的速度沿直線追擊，問(wèn)巡邏艇最少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能追到走私船，并指出巡邏艇的航行方向．解：設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)在點(diǎn)C處剛好追上走私船，依題意：AC＝12eq\r(3)t，BC＝12t，如圖，∠ABC＝120°，在△ABC中，eq\f(12\r(3)t,sin120°)＝eq\f(12t,sin∠BAC)，所以sin∠BAC＝eq\f(1,2)，∠BAC＝30°，所以∠BCA＝180°－30°－120°＝30°，所以AB＝BC＝8＝12t，解得t＝eq\f(2,3)，航行的方向?yàn)椋簴|偏北15°.答：最少經(jīng)過(guò)eq\f(2,3)小時(shí)可追到走私船，沿東偏北15°的方向航行．——本課須掌握的三大問(wèn)題1．?dāng)?shù)學(xué)建模思想：解三角形應(yīng)用題時(shí)，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角