河南省南陽市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期終質(zhì)量評估（期末考試）數(shù)學(xué)（理科）試卷

河南省南陽市20202021學(xué)年高二下學(xué)期期終質(zhì)量評估數(shù)學(xué)(理)試題一?選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.從裝有2個白球、3個黑球的袋中任取2個小球，下列可以作為隨機變量的是（）A.至多取到1個黑球 B.至少取到1個白球C.取到白球個數(shù) D.取到的球的個數(shù)2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.某數(shù)列前10項是，按此規(guī)律推理，該數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式可以是（）A. B. C. D.4.某市有10000人參加期末考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布(試卷滿分150分，大于等于120分為優(yōu)秀)，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)位于(90，105]的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)約為（）A.4000 B.3000 C.2000 D.10005.設(shè)離散型隨機變量可能取值為，若的均值，則等于（）A. B.0 C. D.6.如圖，矩形ABCD四個頂點的坐標(biāo)分別為，，，，正弦曲線和余弦曲線在矩形ABCD內(nèi)交于點F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A. B. C. D.7.二維空間中，圓的一維測度(周長)，二維測度(面積)，三維空間中，球的二維測度(表面積)，三維測度(體積)應(yīng)用合情推理，若四維空間中，特級球”的三維測度，則其四維測度（）A. B. C. D.8.設(shè)隨機變量，記.在研究的最大值時，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若為正整數(shù)，則時，，此時這兩項概率均為最大值；若為非整數(shù)，當(dāng)取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值.以此為理論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的股子并實時記錄點數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投鄭到第30次時，記錄到此時點數(shù)1出現(xiàn)7次，若繼續(xù)再進行70次投擲試驗，則當(dāng)投擲到第100次時，點數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為（）的概率最大A.16 B.17 C.18 D.199.如圖是某個閉合電路一部分，每個元件的可靠性是，則從到這部分電路暢通的概率為（）A B. C. D.10.已知直線與曲線在點處相切，則下列說法正確的是（）A.的極大值為B.的極小值為C.在上單調(diào)遞增D.的極值存在，但隨著的變化而變化11.為了發(fā)揮“名師引領(lǐng)”作用，加強教育資源融合，上級將六位專家型“教學(xué)名師”分配到我市第一?第二?第三中學(xué)支教，每位專家只去一個學(xué)校，且每校至少分配一人，其中不去市一中，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.160 B.240 C.360 D.42012.已知命題不等式恒成立，命題在上存在最小值，且(其中的導(dǎo)數(shù)是，若或為假命題，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二?填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.的展開式中，項的系數(shù)為__________.14.同學(xué)們，對于本張數(shù)學(xué)試卷的12個選擇題，我們假定：某考生對選擇題中每個題的四個選項都能判斷其中有一個選項是錯誤的，而對其它三個選項都沒有把握，設(shè)該生選擇題的總得分為分，則__________.15.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，已知取出的兩卦有一卦恰有一個陰線，則另一卦至少有兩個陰線的概率是__________.16.若，不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.三?解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(其中是正整數(shù)).18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求表達式的展開式中二項式系數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時，若，求.19.某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周移動支付次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上總計男1087321545女546463055總計1512137845100（1）若把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活夭用戶”，完成下列列聯(lián)表，并判斷：是否有的把握認為“移動支付活夭用戶”與性別有關(guān)？非移動支付活夭用戶移動支付活夭用戶總計男2545女40總計60（2）把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”?視頻率為概率，在我市所有“移動支付達人”中，隨機抽取4名用戶設(shè)抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的事件為，求.附公式及表如下：，其中.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：；（2）若，對任意，總有，求的取值范圍.21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；（2）若，曲線在點的切線也是曲線的切線，證明.22.某中學(xué)組織學(xué)生前往電子科技產(chǎn)業(yè)園，學(xué)習(xí)加工制造電子產(chǎn)品．該電子產(chǎn)品由A、B兩個系統(tǒng)組成，其中A系統(tǒng)由3個電子元件組成，B系統(tǒng)由5個電子元件組成．各個電子元件能夠正常工作的概率均為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立每個系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則該系統(tǒng)可以正常工作，否則就需要維修．（1）當(dāng)時，每個系統(tǒng)維修費用均為200元．設(shè)為該電子產(chǎn)品需要維修的總費用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)該電子產(chǎn)品出現(xiàn)故障時，需要對該電子產(chǎn)品A，B兩個系統(tǒng)進行檢測．從A，B兩個系統(tǒng)能夠正常工作概率的大小判斷，應(yīng)優(yōu)先檢測哪個系統(tǒng)？參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．從裝有2個白球、3個黑球的袋中任取2個小球，下列可以作為隨機變量的是（）A．至多取到1個黑球 B．至少取到1個白球 C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù)【分析】利用隨機變量的定義直接求解．解：從裝有2個白球、3個黑球的袋中任取2個小球，對于A，至多取到1個黑球是隨機事件，不是隨機變量，故A錯誤；對于B，至少取到1個白球是隨機事件，不是隨機變量，故B錯誤；對于C，取到白球的個數(shù)是隨機變量，故C正確；對于D，取到的球的個數(shù)是常量，故D錯誤．故選：C．2．復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（）A．（1，0） B．（0，1） C． D．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡即可得z對應(yīng)的點的坐標(biāo)，則答案可求．解：由＝＝＝i；則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是：（0，1）．故選：B．3．某數(shù)列前10項是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，按此規(guī)律推理，該數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式可以是（）A． B． C． D．【分析】取特殊值代入利用排除法即可求解結(jié)論．解：因為第一項為0，故D錯；第三項為4，故AC錯；故選：B．4．某市有10000人參加期末考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N（105，σ2）（σ＞0）（試卷滿分150分，大于等于120分為優(yōu)秀），統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)位于（90，105]的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)約為（）A．4000 B．3000 C．2000 D．1000【分析】根據(jù)已知條件，可得P（105≤X＜120）＝P（90＜X≤105）＝，即可得P（X≥120）的概率，即可求解．解：設(shè)數(shù)學(xué)成績?yōu)閄，∵數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)位于（90，105]的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，又∵數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N（105，σ2），∴P（105≤X＜120）＝P（90＜X≤105）＝，∴P（X≥120）＝，∴此次數(shù)學(xué)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)約10000×．故選：D．5．設(shè)離散型隨機變量X可能的取值為1，2，3，P（X＝k）＝ak+b，若X的均值E（X）＝，則a+b等于（）A． B．0 C． D．【分析】根據(jù)已知條件，可得隨機變量X的分布列，由分布列的性質(zhì)，可推得6a+3b＝1，再結(jié)合期望的公式，可得，聯(lián)立兩個方程，即可求解．解：∵離散型隨機變量X可能的取值為1，2，3，P（X＝k）＝ak+b，∴隨機變量X的分布列為X123Pa+b2a+b3a+b由分布列的性質(zhì)，可得（a+b）+（2a+b）+（3a+b）＝1，即6a+3b＝1①，∵X的均值E（X）＝，∴，即②，聯(lián)立①②，解得，∴．故選：C．6．如圖，矩形ABCD的四個頂點的坐標(biāo)分別為A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲線f（x）＝sinx和余弦曲線g（x）＝cosx在矩形ABCD內(nèi)交于點F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．【分析】利用定積分計算公式，算出曲線y＝sinx與y＝cosx圍成的區(qū)域包含在區(qū)域D內(nèi)的圖形面積為S＝2π，再由定積分求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式加以計算即可得到所求概率．【解答】解根據(jù)題意，可得曲線y＝sinx與y＝cosx圍成的區(qū)域，其面積為（sinx﹣cosx）dx＝（﹣cosx﹣sinx）＝1﹣（﹣）＝1+；又矩形ABCD的面積為2π，由幾何概型概率公式得該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是；故選：B．7．在二維空間中，圓的一維測度（周長）l＝2πr，二維測度（面積）S＝πr2；在三維空間中，球的二維測度（表面積）S＝4πr2，三維測度（體積）．應(yīng)用類比推理，若在四維空間中，“特級球”的三維測度V＝12πr3，則其四維測度W＝（）A．4πr4 B．3πr4 C．2πr4 D．πr4【分析】根據(jù)所給的示例及類比推理的規(guī)則得出高維的測度的導(dǎo)數(shù)是低一維的測度，從而得到W′＝V，從而求出所求．解：二維空間中圓的一維測度（周長）l＝2πr，二維測度（面積）S＝πr2；觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l，三維空間中球的二維測度（表面積）S＝4πr2，三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S，四維空間中“特級球“的三維測度V＝8πr3，猜想其四維測度W，則W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4，故選：B．8．設(shè)隨機變哩X～B（n，p），記．在研究pk的最大值時，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若（n+1）p為正整數(shù)，則k＝（n+1）p時，pk＝pk﹣1，此時這兩項概率均為最大值；若（n+1）p為非整數(shù)，當(dāng)k?。╪+1）p的整數(shù)部分，則pk是唯一的最大值．以此為理論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的股子并實時記錄點數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投鄭到第30次時，記錄到此時點數(shù)1出現(xiàn)7次，若繼續(xù)再進行70次投擲試驗，則當(dāng)投擲到第100次時，點數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為（）的概率最大A．16 B．17 C．18 D．19【分析】再進行70次投擲試驗中，出現(xiàn)點數(shù)為1的次數(shù)服從二項分布，結(jié)合條件求解．解：由題意知，繼續(xù)進行70次投擲試驗，出現(xiàn)點數(shù)為1的次數(shù)服從二項分布X～B（70，），因為，由條件知當(dāng)k＝11時，概率最大．所以總共出現(xiàn)11+7＝18次時概率最大．故選：C．9．如圖是某個閉合電路的一部分，每個元件的可靠性是，則從A到B這部分電路暢通的概率為（）A． B． C． D．【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式以及對立事件的概率公式求解即可．解：因為每個元件的可靠性是，所以從A到B這部分電路不暢通的概率為＝，故從A到B這部分電路暢通的概率為1﹣＝．故選：C．10．已知直線與曲線在點（1，f（1））處相切，則下列說法正確的是（）A．f（x）的極大值為 B．f（x）的極小值為 C．f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增 D．f（x）的極值存在，但隨著m的變化而變化【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在點（1，f（1））處的球心的斜率，結(jié)合已知求得m值，可得原函數(shù)的解析式，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值得答案．解：由，得f′（x）＝，∴，由已知可得，則m＝﹣1．∴f（x）＝，f′（x）＝，當(dāng)x∈（﹣∞，2）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝2時，f（x）取得極小值為f（2）＝，故AC錯誤，B正確；f（x）的極小值為定值，與m無關(guān)，故D錯誤．故選：B．11．為了發(fā)揮“名師引領(lǐng)”作用，加強教育資源融合，上級將a，b，c，d，e，f六位專家型“教學(xué)名師”分配到我市第一、第二、第三中學(xué)支教，每位專家只去一個學(xué)校，且每校至少分配一人，其中c不去市一中，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．160 B．240 C．360 D．420【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將6位專家分為3組，②將三組專家安排到三個學(xué)校，其中c所在的組不去市一中，由分步計數(shù)原理計算可得答案．解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①將6位專家分為3組，若分為2﹣2﹣2的三組，有＝15種分組方法，若分為4﹣1﹣1的三組，有＝15種分組方法，若分為1﹣2﹣3的三組，有＝60種分組方法，則有15+15+60＝90種分組方法；②將三組專家安排到三個學(xué)校，其中c所在的組不去市一中，有2×2＝4種情況，則有90×4＝360種安排方法；故選：C．12．已知命題p：不等式3lnx﹣a（x﹣1）≤0恒成立，命題在（c，c+5）上存在最小值，且f'（1+x）＝f'（1﹣x）（其中f（x）的導(dǎo)數(shù)是f'（x）），若（￢p）或（￢q）為假命題，則的取值范圍是（）A．（﹣1，2） B． C． D．【分析】由（￢p）或（￢q）為假命題可得命題p和命題q都是真命題，若命題p是真命題，即直線y＝a（x﹣1）恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，數(shù)形結(jié)合可得a＝3；若命題q是真命題，先根據(jù)f'（1+x）＝f'（1﹣x）求出b，再利用導(dǎo)數(shù)知識作出函數(shù)f（x）的大致圖象，數(shù)形結(jié)合建立關(guān)于c的不等式，即可求c的取值范圍，進而得到的取值范圍．解：（?p）或（?q）為假命題，則命題?p和命題?q都是假命題，即命題p和命題q都是真命題，若命題p是真命題，令g（x）＝3lnx，直線y＝a（x﹣1）是過點（1，0）的一條直線，，所以g′（1）＝3，所以函數(shù)g（x）在點（1，0）處的切線方程為y＝3（x﹣1），3lnx﹣a（x﹣1）?0?3lnx?a（x﹣1），題意轉(zhuǎn)化為直線y＝a（x﹣1）恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，數(shù)形結(jié)合可知a＝3．若命題q為真命題，，因為f′（1+x）＝f′（1﹣x），所以f′（x）關(guān)于直線x＝1對稱，所以，解得b＝1．所以，當(dāng)x＜0或x＞2時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，于是當(dāng)x＝2時，f（x）取得極小值，令f（x）＝0?x＝﹣1或x＝2，作出函數(shù)f（x）的大致圖象，由f（x）在（c，c+5）上存在最小值，數(shù)形結(jié)合可得?﹣1?c＜2，所以．故選：D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（3x﹣2）（x﹣1）7的展開式中，x5項的系數(shù)為﹣147．【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得含x5項的系數(shù)．解：∵（x﹣1）7的通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r?x7﹣r，∴（3x﹣2）（x﹣1）7的展開式中，x5項的系數(shù)3×（﹣）﹣2＝﹣147，故答案為：﹣147．14．同學(xué)們，對于本張數(shù)學(xué)試卷的12個選擇題（每小題5分），我們假定：某考生對選擇題中每個題的四個選項都能判斷其中有一個選項是錯誤的，而對其它三個選項都沒有把握，設(shè)該生選擇題的總得分為X分，則D（X）＝．【分析】設(shè)該考生答對題的個數(shù)為n，由題意可得，n服從二項分布，即n～B（12，），再結(jié)合方差公式D（X）＝npq，以及D（aX+b）＝a2D（X），即可求解．解：設(shè)該考生答對題的個數(shù)為n，∵選擇題每小題5分，∴X＝5n，∵n服從二項分布，即n～B（12，），∴D（n）＝，∴D（Y）＝．故答案為：．15．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“”表示一根陽線，“”表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，已知取出的兩卦有一卦恰有一個陰線，則另一卦至少有兩個陰線的．【分析】求出總的基本事件數(shù)和符合條件的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可．解：從八卦中任取兩卦，兩卦中恰有一根陰線的取法有種，從八卦中任取兩卦，兩卦中恰有一根陰線，另一卦中至少有兩根陰線的取法有種，所以取出的兩卦有一卦恰有一個陰線，則另一卦至少有兩個陰線的概率為＝．故答案為：．16．若a＞1，不等式xex﹣x+（a﹣2）lnx﹣xa﹣1＞0在（1，+∞）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（1，e+2）．【分析】設(shè)f（x）＝ex﹣x（x＞0），則原式可化為f（x+lnx）＞f（lnxa﹣1），結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性，可得，構(gòu)造函數(shù)m（x）＝，x＞1，結(jié)合m（x）的單調(diào)性，可得m（x）的極小值，即m（x）的最小值，即可求解．解：設(shè)f（x）＝ex﹣x（x＞0），求導(dǎo)可得f'（x）＝ex﹣1，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∵xex﹣x+（a﹣2）lnx﹣xa﹣1＞0，∴xex﹣x﹣lnx＞xa﹣1﹣（a﹣1）lnx，∵xex＝ex+lnx，（a﹣1）lnx＝lnxa﹣1，，∴f（x+lnx）＞f（lnxa﹣1），∵x＞1，a＞1，∴x+lnx＞0，lnxa﹣1＞0，又∵f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴x+lnx＞（a﹣1）lnx，即x＞（a﹣2）lnx，∵lnx＞ln1＝0，∴，設(shè)m（x）＝，x＞1，求導(dǎo)可得m'（x）＝，令m'（x）＞0，解得x＞e，m'（x）＜0，解得1＜x＜e，∴m（x）在（e，+∞）單調(diào)遞增，在（1，e）單調(diào)遞減，∴m（x）在x＝e取得極小值點，也為m（x）的最小值點，∴m（x）min＝m（e）＝e，即a﹣2＜e，可得1＜a＜e+2則實數(shù)a的取值范圍是（1，e+2）．故答案為：（1，e+2）．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1+α）n≥1+nα（其中α＞﹣1，n是正整數(shù)）．【分析】要證明當(dāng)α＞﹣1時，（1+α）n≥1+nα，先證明n＝1時，（1+α）n≥1+nα成立，再假設(shè)n＝k時，（1+α）n≥1+nx成立，進而證明出n＝k+1時，（1+α）n≥1+nα也成立，即可得到對于任意正整數(shù)n：當(dāng)α＞﹣1時，（1+α）n≥1+nα．解：因為（1+α）n≥1+αn為關(guān)于n的不等式，x為參數(shù)，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)n＝1時，原不等式成立；當(dāng)n＝2時，左邊＝1+2α+α2，右邊＝1+2α，因為x2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n＝k時，不等式成立，即（1+α）k≥1+kα，則當(dāng)n＝k+1時，∵α＞﹣1，∴1+α＞0，于是在不等式（1+α）k≥1+kα兩邊同乘以1+α得（1+α）k?（1+α）≥（1+kα）?（1+α）＝1+（k+1）α+kα2≥1+（k+1）α，所以（1+α）k+1≥1+（k+1）α．即當(dāng)n＝k+1時，不等式也成立．綜合（?。áⅲ┲瑢σ磺姓麛?shù)n，不等式都成立18．已知函數(shù)f（x）＝．（1）當(dāng)0＜x＜1時，求f（f（x））表達式的展開式中二項式系數(shù)的最大值；（2）當(dāng)x＞1時，若f2（x）＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+?+a10（1﹣x）10，求a7．【分析】（1）由題意利用分段函數(shù)，二項展開式的通項公式，得出結(jié)論．（2）把二項式變形，利用二項展開式的通項公式，得出結(jié)論．解：（1）由題，所以當(dāng)0＜x＜1時，，故，而的展開式共有6項，故二項式系數(shù)的最大值為．（2）當(dāng)x＞1時，f2（x）＝（x+1）10，即，由Tr+1＝?210﹣r?[﹣（1﹣x）]r，可知，a7＝?23?（﹣1）7＝﹣960．19．某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周移動支付次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上總計男1087321545女546463055總計1512137845100（1）若把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活夭用戶”，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷：是否有99%的把握認為“移動支付活夭用戶”與性別有關(guān)？非移動支付活夭用戶移動支付活夭用戶總計男2545女40總計60（2）把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”、視頻率為概率，在我市所有“移動支付達人”中，隨機抽取4名用戶設(shè)抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的事件為A，求P（A）．附公式及表如下：，其中n＝a+b+c+d．P（χ2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算K2，對照附表得出結(jié)論．（2）利用頻率得出對應(yīng)的概率，求出所求的概率值．解：（1）由表格數(shù)據(jù)可得2×2列聯(lián)表如下：非移動支付活躍用戶移動支付活躍用戶總計男252045女154055總計4060100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得K2＝＝≈8.249＞6.635，所以有99%的把握認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān)．（2）視頻率為概率，在我市“移動支付達人”中，隨機抽取1名用戶，該用戶為男“移動支付達人”的概率為，女“移動支付達人”的概率為．于是，抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”，又有女“移動支付達人”的概率為：P（A）＝1﹣﹣＝．20．已知函數(shù)f（x）＝a（1﹣x2）+lnx，a∈R．（1）當(dāng)a＝0時，證明：；（2）若h（x）＝f（x）+（x2﹣1）lnx，對任意，總有h（x）＞0，求a的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)a＝0時，f（x）＝lnx，即證lnx，設(shè)，結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性，即可證明．（2）由（1）可推得h（x）≥（1﹣a）（x﹣1）（x﹣），結(jié)合a的取值范圍，即可求解．解：（1）證明：當(dāng)a＝0時，f（x）＝lnx，即證lnx，設(shè)，求導(dǎo)可得g'（x）＝，當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＜0，當(dāng)x＞1時，g'（x）＞0，故g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）≥g（1）＝0，即．（2）由（1）可得，h（x）＝f（x）+（x2﹣1）lnx＝x2lnx+a（1﹣x2）＝（x﹣1）[（1﹣a）x﹣a]＝（1﹣a）（x﹣1）（x﹣）①，∵，∴0＜a＜1，即1﹣a＞0，數(shù)形結(jié)合只需0＜＜1成立即可，解得，又當(dāng)＝1時，即a＝時，①式取“＝”，結(jié)合h（1）＝0，可知a＝符合題意，綜上所述，．21．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣mx+1，m∈R．（1）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求m的取值范圍；（2）若m＝0，曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））的切線也是曲線g（x）＝ex的切線，證明：lnx0＝．【分析】（1）令f（x）＝lnx﹣mx+1＝0，得m＝，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案；（2）由題意，當(dāng)m＝0時，f（x）＝lnx+1，求出曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））的切線方程，設(shè)出該切線與曲線g（x）＝ex的切點坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)求得曲線g（x）＝ex在切點處的切線方程，由斜率相等及切點處的函數(shù)值相等列式即可證明結(jié)論．解：（1）令f（x）＝lnx﹣mx+1＝0，得m＝，