報(bào)童賣報(bào)問題(第16組)

報(bào)童銷售策略問題模型摘要：報(bào)童賣報(bào)問題實(shí)際上是求解使得報(bào)童贏利取得最大期望值或報(bào)童損失的最小期望值的臨界值，本文對(duì)報(bào)童賣報(bào)獲得最大盈利的條件進(jìn)行了研究，建立日期望收入以及日均損失模型，當(dāng)日需求量r為離散型和連續(xù)型時(shí)分別進(jìn)行了計(jì)算，得出無論以收入或者損失作為模型，報(bào)童的最正確銷售策略都是相同的，即保證每天批發(fā)的報(bào)紙賣不完的概率與賣完的概率之比正好等于他賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。另外本文還沿用此模型對(duì)當(dāng)上下午報(bào)紙售價(jià)不同的兩種情況進(jìn)行了分析，得到了結(jié)論。關(guān)鍵字：報(bào)童報(bào)紙期望收入問題的提出：在日常生活中，經(jīng)常會(huì)碰到一些季節(jié)性強(qiáng)、更新快、不易保存等特點(diǎn)的物品，如海產(chǎn)、山貨、時(shí)裝、生鮮食品和報(bào)紙等，因此在整個(gè)的需求過程中只考慮一次進(jìn)貨，也就是說當(dāng)存貨售完時(shí)，并不發(fā)生補(bǔ)充進(jìn)貨的問題。這就產(chǎn)生一種兩難局面：訂貨量過多，出現(xiàn)過剩，會(huì)造成損失；訂貨量少，又可能失去銷售時(shí)機(jī)，影響利潤(rùn)。報(bào)童就面臨這種局面，報(bào)童每天早上從報(bào)社購進(jìn)報(bào)紙?jiān)诮稚狭闶?，到晚上賣不完的報(bào)紙可退回報(bào)社，每份要賠錢，那么報(bào)童每天要訂購多少份報(bào)紙，以獲得最大的收入。報(bào)童每天從報(bào)站批發(fā)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣完的報(bào)紙送回。每份報(bào)紙的批發(fā)價(jià)為b，零售價(jià)為a，退回價(jià)為c，且a>b>c。因此，報(bào)童每售出一份報(bào)紙賺錢(a?b)，退回一份報(bào)紙賠(b?c)，報(bào)童該如何確定每天的批發(fā)數(shù)量，可使收入最大？。如果將每天分為上午和下午售報(bào)，且假定上午的需求量為，且上午的售價(jià)為a；下午的需求量為且下午的售價(jià)為d〔〕進(jìn)一步假定，試將報(bào)童的收入的期望表達(dá)出來。是否能得到報(bào)童應(yīng)該購進(jìn)多少份報(bào)紙獲利最大？模型假設(shè)：〔1〕假設(shè)報(bào)童賣報(bào)的經(jīng)驗(yàn)豐富，能夠掌握每天報(bào)紙需求量為r的大致概率?！?〕不考慮有重大事件發(fā)生時(shí)賣報(bào)的頂峰期，也不考慮風(fēng)雨天氣時(shí)賣報(bào)的低谷期。〔3〕報(bào)社有足夠的報(bào)紙可供報(bào)童購置。〔4〕當(dāng)天的報(bào)紙賣不出去，第二天就沒有人再買，當(dāng)天剩余報(bào)紙要退回報(bào)社?！?〕報(bào)童除了在從報(bào)社買報(bào)所需費(fèi)用以外，其他費(fèi)用〔如交通費(fèi)、攤位費(fèi)等〕一概不計(jì)。問題的分析：報(bào)童購進(jìn)數(shù)量應(yīng)根據(jù)需求量確定，但需求量是隨機(jī)的，所以報(bào)童每天如果購進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，不夠買的，會(huì)少賺錢；如果購進(jìn)太多，賣不完就要賠錢，這樣由于每天報(bào)紙的需求量是隨機(jī)的，致使報(bào)童每天的收入也是隨機(jī)的，因此衡量報(bào)童的收入，不能是報(bào)童每天的收入，而應(yīng)該是他長(zhǎng)期〔幾個(gè)月、一年〕賣報(bào)的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點(diǎn)看，這相當(dāng)于報(bào)童每天收入的期望值，以下簡(jiǎn)稱日期望收入〔日平均收入〕。模型的建立與求解：?jiǎn)栴}一：變量與常量的設(shè)定符號(hào)含義a每份報(bào)紙上午的零售價(jià)b每份報(bào)紙的批發(fā)價(jià)c每份報(bào)紙的退回價(jià)n每天報(bào)紙的購進(jìn)量報(bào)紙需求量為〔離散型〕的概率報(bào)紙需求量為〔連續(xù)型〕的概率密度函數(shù)報(bào)童購進(jìn)n份報(bào)紙的日期望收入〔損失〕把r看作離散型隨機(jī)變量由題意知當(dāng)時(shí)，報(bào)童的日均收入為；報(bào)童的日均損失。當(dāng)r<n時(shí)，報(bào)童的日均收入為；報(bào)童的日均損失為。報(bào)童的日均損失為要使報(bào)童日均期望收入最大，即要求其日均損失最低，即取最小值時(shí)n的值。。當(dāng)所求的n值很大時(shí)：又因?yàn)榈盟砸驗(yàn)橐虼擞缮弦粋€(gè)公式，我們可以看出，報(bào)童每天批發(fā)的報(bào)紙賣不完的概率與賣完的概率之比恰好等于他賣出一份報(bào)紙賺到的錢與退一份報(bào)紙所賠的錢之比。〔2〕把r看作連續(xù)型變量由于每天的需求量一般很大，所以我們可以把這里的需求量r當(dāng)做一個(gè)連續(xù)型變量來處理，那么用概率密度函數(shù)p(r)來描述，報(bào)童的日期望收入為：〔1〕要使G〔n〕最大，故對(duì)〔1〕式求導(dǎo)，使得,又：即：令：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)可知：00rpnnP1P2即取的并且：?jiǎn)栴}二：如果將每天分為上午和下午售報(bào)，且假定上午的需求量為，且上午的售價(jià)為a；下午的需求量為且下午的售價(jià)為d〔〕，假定。變量與常量的設(shè)定符號(hào)含義a每份報(bào)紙上午的零售價(jià)b每份報(bào)紙的批發(fā)價(jià)c每份報(bào)紙的退回價(jià)d每份報(bào)紙下午的零售價(jià)n每天報(bào)紙的購進(jìn)量每天上午報(bào)紙的需求量每天下午報(bào)紙的需求量當(dāng)上午報(bào)紙需求量為〔離散型〕的概率當(dāng)下午報(bào)紙需求量為〔離散型〕的概率當(dāng)上午報(bào)紙需求量為〔連續(xù)型〕的概率密度函數(shù)當(dāng)下午報(bào)紙需求量為〔連續(xù)型〕的概率密度函數(shù)報(bào)童購進(jìn)n份報(bào)紙上午的收入報(bào)童購進(jìn)n份報(bào)紙下午的收入報(bào)童購進(jìn)n份報(bào)紙的日期望收入由于每天的需求量一般很大，所以我們可以把這里的需求量r當(dāng)做一個(gè)連續(xù)型變量來處理，那么用概率密度函數(shù)來描述：上午報(bào)童的收入為：下午報(bào)童的收入為：報(bào)童的日均收入為：此時(shí)我們將看作連續(xù)性變量來處理：要求的最大值，即先對(duì)其求導(dǎo)，得，即即：兩邊關(guān)于n求導(dǎo)得：即由于a、b、c、d，且知密度函數(shù)模型的