17.2 勾股定理及逆定理 人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假分層作業(yè)(解析版)

第03練勾股定理及逆定理知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．?dāng)?shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的，中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時(shí)，首先看題目中有沒(méi)有具備這個(gè)條件，只有具有這個(gè)條件，才能利用勾股定理求第三條邊。（2）在應(yīng)用勾股定理時(shí)要注意它的變式：（3）應(yīng)用勾股定理時(shí)要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母表示，只有當(dāng)時(shí)，，若，則。（4）在實(shí)際問(wèn)題中，若圖中無(wú)直角，可通過(guò)添加輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形。2.勾股定理的驗(yàn)證方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．，所以．知識(shí)點(diǎn)二：勾股定理的應(yīng)用勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)三：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，且，那么這個(gè)三角形是直角三角形．勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：勾股定理是以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件，進(jìn)而得到這個(gè)三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，即；勾股定理的逆定理是以“一個(gè)三角形的三邊滿足”為條件，進(jìn)而得出這個(gè)三角形是直角三角形，是識(shí)別一個(gè)三角形是直角三角形的重要依據(jù)。聯(lián)系：（1）兩者都與三角形三邊關(guān)系有關(guān)；（2）兩者都與直角三角形有關(guān)。2.勾股數(shù)滿足關(guān)系的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)。常見(jiàn)的勾股數(shù)有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；一、單選題1．下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．2，3，4 B．，， C．1，，2 D．，，8【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理，判定選項(xiàng)中的值能否組成直角三角形即可．【詳解】解：∵，故A選項(xiàng)中不能組成直角三角形，錯(cuò)誤；∵，故B選項(xiàng)中不能組成直角三角形，錯(cuò)誤；∵，故C選項(xiàng)中能組成直角三角形，正確；∵，故D選項(xiàng)中不能組成直角三角形，錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．如圖，△OAB的頂點(diǎn)O(0，0)，頂點(diǎn)A，B分別在第一、四象限，且AB⊥x軸，若AB=6，OA=OB=5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用HL證明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【詳解】解：∵AB⊥x軸，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=AB=3，∵OA=5，∴OC=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．3．如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中在距地面處折斷，倒下后樹(shù)頂著地點(diǎn)A距樹(shù)底B的距離為，則這棵大樹(shù)在折斷前的高度為（

）A．10 B．17 C．18 D．20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)大樹(shù)的折斷部分與未斷部分、地面恰好構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵樹(shù)的折斷部分與未斷部分、地面恰好構(gòu)成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴，∴這棵樹(shù)原來(lái)的高度為：BC+AC=5+13=18（m），即：這棵大樹(shù)在折斷前的高度為18m，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟知直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，分別以點(diǎn)、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于、兩點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由作圖可得MN是AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=EB，設(shè)，然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】由題意得，MN垂直平分AB，，設(shè)，，，，，，，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的作圖和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開(kāi)雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)O，過(guò)D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【詳解】解：取AB的中點(diǎn)O，過(guò)D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．如圖，我國(guó)古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，則直角三角形較短的直角邊a與較長(zhǎng)的直角邊b的比的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到2ab的值，然后根據(jù)即可求得（a＋b）的值；根據(jù)小正方形的面積為即可求得，進(jìn)而聯(lián)立方程組求得a與b的值，則可求出答案．【詳解】解：∵大正方形的面積是13，設(shè)邊長(zhǎng)為c，∴，∴，∵直角三角形的面積是，又∵直角三角形的面積是，∴，∴，∴．∵小正方形的面積為，又∵，∴，聯(lián)立可得，解得，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式的知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟記完全平方公式，還要注意圖形的面積和a、b之間的關(guān)系．二、填空題7．一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形杯子的展開(kāi)圖如圖所示，現(xiàn)將一根長(zhǎng)18cm的吸管放在杯子中，則吸管露在杯子外面的部分至少有__cm．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度為：=15，則筷子露在杯子外面的筷子長(zhǎng)度為：18﹣15＝3（cm）．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=7，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和是______．【答案】49【解析】【分析】小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為BC的平方．兩正方形面積的和為AC2+BC2，對(duì)于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2．AB長(zhǎng)度已知，故可以求出兩正方形面積的和．【詳解】解：正方形ADEC的面積為：AC2，正方形BCFG的面積為：BC2；在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=7，則AC2+BC2=49．即正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為49．故答案為：49．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理．關(guān)鍵是根據(jù)由勾股定理得AB2=AC2+BC2．注意勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．9．如圖，把長(zhǎng)、寬、對(duì)角線的長(zhǎng)分別是a、b、c的矩形沿對(duì)角線剪開(kāi)，與一個(gè)直角邊長(zhǎng)為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補(bǔ)法能夠得到的一個(gè)等式是__．【答案】a2+b2＝c2【解析】【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積，從而列出等式，發(fā)現(xiàn)邊與邊之間的關(guān)系．【詳解】解：此圖可以這樣理解，有三個(gè)Rt△其面積分別為ab，ab和c2．還有一個(gè)直角梯形，其面積為（a+b）（a+b）．由圖形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的證明，主要利用了三角形的面積公式：底×高÷2，和梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2．10．如圖，CD是△ABC的中線，將△ACD沿CD折疊至，連接交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．若的面積為12，，則點(diǎn)F到AC的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，由翻折的性質(zhì)可知S△AA'D=24，由D為AB的中點(diǎn)，則S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通過(guò)AAS證明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，最后通過(guò)面積法即可求出FH的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，根據(jù)翻折的性質(zhì)得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D為AB的中點(diǎn)，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F為A'E的中點(diǎn)，∴A'F=EF，在△A'BF與△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA==10，在△CAF中，CA?HF=AF?CE，∴HF==，即點(diǎn)F到AC的距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用等積法求垂線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，AB＝，BC＝1，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】如圖，以AB為直角邊，在AB左側(cè)作等腰直角三角形ABE，連接CE，證明△EAC≌△BAD（SAS），得到CE=BD，勾股定理求出CE可得答案．【詳解】解：如圖，以AB為直角邊，在AB左側(cè)作等腰直角三角形ABE，連接CE，∴AB=AE，∠BAE=90°，∠ABE=45°，∴AE=AB＝，，∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC=AD，∴∠CAD=∠BAE=90°，∴∠BAD=∠EAC，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴CE=BD，∵∠CBE=∠CBA+∠ABE=90°，BC=1，∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定定理及正確作出等腰直角三角形ABE是解題的關(guān)鍵．12．如圖，中，，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，連接DE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DF的垂線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，若，則________．【答案】3【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)F作FHBC交AG于點(diǎn)H，利用三角形的外角的性質(zhì)和證明∠DAE＝∠CED，進(jìn)一步證得∠DAE＝∠BEF，再證明△ADE≌△FHE（ASA），得到EH＝DE＝2，AE＝EF，同時(shí)證得∠FHG＝∠GFH，GH＝GF，設(shè)GF＝GH＝x，則EG＝x＋2，EF＝AE＝AG－GH－EH＝9－x－2＝7－x，由勾股定理得，列出方程解方程即可得到GF的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作FHBC交AG于點(diǎn)H，∵∠CDE是△ADE的一個(gè)外角，∴∠CDE＝∠DAE＋∠AED，∵∠CEA＝∠CED＋∠AED，，∴∠DAE＋∠AED＝∠CED＋∠AED，∴∠DAE＝∠CED，∵∠CED＝∠BEF，∴∠DAE＝∠BEF，∵FHBC，∴∠BEF＝∠EFH，∠FHG＝∠BEH＝∠AEC＝90°－∠DAE，∴∠DAE＝∠EFH，∵在中，，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠CBA是△BEF的一個(gè)外角，∴∠BFE＝∠CBA－∠BEF＝45°－∠BEF＝45°－∠DAE，∵∠BAE＝∠CAB－∠DAE＝45°－∠DAE，∴∠BFE＝∠BAE，∴△AEF是等腰三角形，∴AE＝FE，在△ADE和△FHE中，，∴△ADE≌△FHE（ASA）∴EH＝DE＝2，AE＝EF，∵DF⊥EF，∴∠DFE＝90°，∴∠GFH＝90°－∠EFH＝90°－∠DAE，∴∠FHG＝∠GFH，∴△FGH是等腰三角形，∴GH＝GF，設(shè)GF＝GH＝x，則EG＝x＋2，EF＝AE＝AG－GH－EH＝9－x－2＝7－x，由勾股定理得，∴，解得，，∵AE＝7－x，∴0＜x＜7，∴不合題意，舍去，∴x＝3，∴GF＝3．故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FHBC是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．一艘輪船從A港向南偏西48°方向航行100km到達(dá)B島，再?gòu)腂島沿BM方向航行125km到達(dá)C島，A港到航線BM的最短距離是60km．若輪船速度為25km/h，求輪船從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，再求出CD的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，即可求出所需時(shí)間．【詳解】解：由題意，得：AD＝60km，Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002，∴BD＝80km，∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km），∴，∴75÷25＝3（h），∴從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間為3h．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出AC的長(zhǎng)度．14．湖的兩岸有A，B兩棵景觀樹(shù)，數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量?jī)煽镁坝^樹(shù)之間的距離，他們?cè)谂cAB垂直的BC方向上取點(diǎn)C，測(cè)得BC＝30米，AC＝40米．(1)求兩棵景觀樹(shù)之間的距離；(2)求點(diǎn)B到直線AC的距離．【答案】(1)米(2)米【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)面積相等即可求出點(diǎn)B到直線AC的距離．(1)在Rt△ABC，（米），∴兩棵景觀樹(shù)之間的距離為米；(2)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵，∴，∴BD＝（米），∴點(diǎn)B到直線AC的距離為米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理．15．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡(jiǎn)整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2．求整式B．聯(lián)想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時(shí)，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長(zhǎng)，如圖，填寫下表中B的值；直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ35【答案】A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37．【解析】【分析】先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則求出A，進(jìn)而求出B，再把n的值代入即可解答．【詳解】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，當(dāng)2n＝8時(shí)，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；當(dāng)n2﹣1＝35時(shí)，n＝±6（負(fù)值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ15817勾股數(shù)組Ⅱ351237故答案為：15，17；12，37．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，勾股數(shù)，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．16．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A→C→B→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求出此時(shí)t的值；(2)若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值．【答案】(1)t＝(2)t＝或12【解析】【分析】（1）連接PB，根據(jù)勾股定理得到即可得到結(jié)論．（2）過(guò)P作PE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理，列方程進(jìn)行解答即可．(1)解：連接PB，如圖所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8（cm），∵CP2+BC2＝PB2，∵PA＝PB＝2tcm，∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，∴t＝．(2)當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，如圖所示：∵∠C=90°，∴，∵AP平分∠BAC，∴，此時(shí)BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，解得：t＝，當(dāng)t＝12時(shí)，點(diǎn)P與A重合，也符合條件，∴當(dāng)t＝或12時(shí)，點(diǎn)P恰好在∠BAC的平分線上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，難度適中．利用分類討論的思想是解（2）題的關(guān)鍵．1．如圖，任意畫一個(gè)∠A＝60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD，BE和CD相交于點(diǎn)P，連接AP，有以下結(jié)論：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】①利用角平分線的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和等于進(jìn)行求解；②利用三角形三條角平分線交于一點(diǎn)進(jìn)行判斷；③過(guò)點(diǎn)作于，于，利用證明，則；④過(guò)點(diǎn)作于，易證，，結(jié)合可證；⑤利用“直角三角形中所對(duì)的邊是斜邊的一半”可得，再由勾股定理得，同理，，故，結(jié)合可得．【詳解】解：①，．平分，平分，，，，，①正確；②三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，平分，②正確；③過(guò)點(diǎn)作于，于，，，，又，，，即．平分，，，．在與中，，，，③正確；④過(guò)點(diǎn)作于，平分，，在與中，，，同理，，，，，即．，，，④正確；⑤平分，，在中，，，同理，，，又，，⑤正確．綜上，正確的結(jié)論有個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，含角的直角三角形的三邊關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，并作出正確的輔助線．2．如圖所示，AB＝4，AC＝2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使AD＝PD，則PB長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)___．【答案】4-2<PB<12+6【解析】【分析】利用三角形三邊關(guān)系得到2＜BC＜6，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD=BC，有＜BD＜3．再推出AD的取值范圍為4-<AD<4+3．在△ABP中，得到PB的取值范圍為4-2<PB<12+6．【詳解】解：由三角形的性質(zhì)：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可知，若三角形的三邊分別為a，b，c，則有：a+b＞c，a-b＜c，因此在△ABC中由AB=4，AC=2，則2＜BC＜6，∵△BCD是以BC為底邊向上構(gòu)造的等腰直角三角形，∴BD=BC，∴有＜BD＜3．又已知AB=4，在△ABD中，根據(jù)三角形的性質(zhì)：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可知，AD的取值范圍為4-<AD<4+3．又AD=PD，∴AP的取值范圍為8-2<AP<8+6，又已知AB=4，在△ABP中，PB的取值范圍為4-2<PB<12+6．故選：4-2<PB<12+6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．3．如圖，AB＝AC＝3，ADBC，CD＝5，∠ABD＝2∠DBC，則BD＝________．【答案】【解析】【分析】如圖，延長(zhǎng)BA至F，使AF=AB，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥BD于點(diǎn)E，連接AE，