4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用（五大題型）（解析版）

4．5．3函數(shù)模型的應(yīng)用【題型歸納目錄】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題題型五：根據(jù)實(shí)際問題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、幾種常見的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對(duì)數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：知識(shí)點(diǎn)二、解答應(yīng)用問題的基本思想和步驟1、解應(yīng)用題的基本思想2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．第二步：建模在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型．這時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題的要求．第三步：求模運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果．第四步：還原把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題作出解答，對(duì)于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，使其符合實(shí)際背景．上述四步可概括為以下流程：實(shí)際問題（文字語言）數(shù)學(xué)問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學(xué)語言）求模（求解數(shù)學(xué)問題）反饋（還原成實(shí)際問題的解答）．知識(shí)點(diǎn)三、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問題首先，要認(rèn)真閱讀理解材料．應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語言多為“文字語言、符號(hào)語言、圖形語言”并用，往往篇幅較長(zhǎng)，立意有創(chuàng)新脫俗之感．閱讀理解材料要達(dá)到的目標(biāo)是讀懂題目所敘述的實(shí)際問題的意義，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時(shí)性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解體思路和下一步的努力方向，對(duì)于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它．其次，建立函數(shù)關(guān)系．根據(jù)前面審題及分析，把實(shí)際問題“用字母符號(hào)、關(guān)系符號(hào)”表達(dá)出來，建立函數(shù)關(guān)系．其中，認(rèn)真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵．在閱讀這一過程中應(yīng)像解答語文和外語中的閱讀問題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因?yàn)橐话愕膽?yīng)用問題，一方面為了描述的問題與客觀實(shí)際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時(shí)為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關(guān)系的語言來敘述，而我們解決問題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對(duì)那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過來，對(duì)那些刻畫數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題的部分，則應(yīng)“精讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時(shí)切忌草率．【典型例題】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課時(shí)注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)在40min的一節(jié)課中，學(xué)生的注意力指數(shù)y與聽課時(shí)間x（單位：min）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象．當(dāng)時(shí)，圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，其中頂點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圖象是線段BC，其中點(diǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，求注意力指數(shù)y與聽課時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳．要使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，求老師安排核心內(nèi)容的時(shí)間段（結(jié)果用區(qū)間表示）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，而點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上，則，解得，所以所求函數(shù)關(guān)系為.（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，由線段過點(diǎn)、，得，解得，則，依題意，，則由（1）得，當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，，解得或，因此，所以老師就在時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳.例2．（2023·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）為刺激消費(fèi)，某商場(chǎng)開展讓利促銷活動(dòng)，規(guī)定：顧客購物總金額不超過1000元；若購物總金額超過1000元，則享受一定的折扣優(yōu)惠可以享受折扣優(yōu)惠的金額（購物金額超出1000元的部分）折扣率不超過500元的部分10%超過500元的部分20%例如，某人購物1300元，則其享受折扣優(yōu)惠的金額為元，實(shí)際付款1270元．(1)某顧客購買1800元的商品，他實(shí)際應(yīng)付款多少元？(2)設(shè)某人購物總金額為x元，實(shí)際應(yīng)付款y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【解析】（1）顧客購買1800元的商品時(shí)，實(shí)際付款為元；（2）某人購物總金額為元，當(dāng)時(shí)，應(yīng)付款為，當(dāng)時(shí)，應(yīng)付款為，當(dāng)時(shí)，應(yīng)付款為，∴關(guān)于的函數(shù)解析式為.例3．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）沈陽市地鐵4號(hào)線開通后將給和平長(zhǎng)白島居民出行帶來便利．已知該條線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足．經(jīng)測(cè)算，地鐵載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為1300人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為660人．(1)寫出p關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的最大凈收益為多少?【解析】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，為常數(shù)，由時(shí)，，得，解得，則，所以p關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式是.（2）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，而，所以當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的最大凈收益為元.變式1．（2023·福建福州·高一福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┠彻旧a(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本25萬元，此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入50萬元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為t件時(shí)，銷售所得的收入為萬元．(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量的函數(shù)為，求；(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，當(dāng)年所獲得的利潤(rùn)最大？【解析】（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故；（2）當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；顯然，故當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為450件時(shí)，當(dāng)年獲得的利潤(rùn)最大．變式2．（2023·浙江金華·高一校考階段練習(xí)）某公司決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估，該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬元.作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).【解析】（1）依題意，設(shè)每件定價(jià)為元，得，整理得，解得.所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元.（2）依題意知當(dāng)時(shí)，不等式有解，等價(jià)于時(shí)，有解，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)該商品改革后銷售量至少達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.變式3．（2023·山東煙臺(tái)·高一萊陽一中?？茧A段練習(xí)）某企業(yè)為積極響應(yīng)國(guó)家垃圾分類號(hào)召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，新上一個(gè)把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目．已知該企業(yè)日加工處理量（單位：噸）最少為70噸，最多為100噸．日加工處理總成本（單位：元）與日加工處理量之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價(jià)為100元．(1)該企業(yè)日加工處理量為多少噸時(shí)，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時(shí)該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？(2)為了使該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對(duì)該企業(yè)進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方案共有兩種：①每日進(jìn)行定額財(cái)政補(bǔ)貼，金額為2300元；②根據(jù)日加工處理量進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，金額為元．如果你是企業(yè)的決策者，為了使每日獲利最大，你會(huì)選擇哪種補(bǔ)貼方案？為什么？【解析】（1）由題意知，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本為，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以該企業(yè)日加工處理量為80噸時(shí)，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低，因?yàn)?，所以此時(shí)該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態(tài)．（2）若該企業(yè)采用第一種補(bǔ)貼方案，設(shè)該企業(yè)每日獲得為元，由題可得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，企業(yè)每日獲利最大為850元，若該企業(yè)采用第二種補(bǔ)貼方案，設(shè)該企業(yè)每日獲利為元，由題可得．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，企業(yè)每日獲利最大為850元．因?yàn)閮煞N方案所獲最大利潤(rùn)相同，所以選擇兩種方案均可．【方法技巧與總結(jié)】1、一次函數(shù)模型的應(yīng)用利用一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式（或）．解答時(shí)，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．2、二次函數(shù)模型的應(yīng)用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時(shí)，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域的對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用例4．（2023·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中?？计谥校?021年3月1日，國(guó)務(wù)院新聞辦公室舉行新聞發(fā)布會(huì)，工業(yè)和信息化部提出了芯片發(fā)展的五項(xiàng)措施，進(jìn)一步激勵(lì)國(guó)內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查某科技公司生產(chǎn)某款電子產(chǎn)品的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入20萬元.若該科技公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款電子產(chǎn)品萬部并能全部銷售完，平均每萬部的銷售收入為萬元，且(1)寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【解析】（1）依題意.（2）當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸，萬元.當(dāng)時(shí)，萬元，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)產(chǎn)量為萬部時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.例5．（2023·貴州黔東南·高一凱里一中校考階段練習(xí)）某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2024年新增300萬元資金購買一項(xiàng)新技術(shù)，并利用該技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機(jī)的售價(jià)預(yù)定為6000元，且生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年全部銷售完.(1)求2024年該款手機(jī)的利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，因此當(dāng)年產(chǎn)量為50（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4300萬元.例6．（2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）新學(xué)期開學(xué)季，成都某學(xué)校附近又新開了一家奶茶店，其中有一種名為“奶茶三兄弟”的飲品很受學(xué)生歡迎，老板費(fèi)盡心思想在這種飲品上賺得第一桶金，其銷售的價(jià)格在一學(xué)期不同周次有所變化.設(shè)開始時(shí)每杯定價(jià)10元，從第一次周開始每周漲價(jià)2元，5周后開始保持20元的價(jià)格平穩(wěn)銷售，10周后，學(xué)生的新鮮感已過，平均每周削價(jià)2元，直到16周周末，老板為了讓學(xué)生安心準(zhǔn)備期末考試復(fù)習(xí)而不掛念“三兄弟”，該飲品暫停銷售.(1)試求該飲品每杯價(jià)格（元）與周次之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若此飲品每杯成本價(jià)（元）與周次之間的關(guān)系是，，，試問該飲品第幾周每杯的銷售利潤(rùn)最大，并求出最大值.【解析】（1）由題意得當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，綜上所述，；（2）由（1）得，，，，設(shè)利潤(rùn)為，則，∴當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)在且上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)在且上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴該飲品第5周每杯的銷售利潤(rùn)最大，且最大值元.變式4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本萬元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.(1)寫出年利潤(rùn)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)銷售收入成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）由題意可得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故．（2）當(dāng)時(shí)，，得時(shí)萬元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)萬元.綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1760萬元.變式5．（2023·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)，每生產(chǎn)臺(tái)，需另投入成本萬元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.(1)寫出年利潤(rùn)萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)銷售收入-成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；所以.（2）若，則，所以當(dāng)時(shí)，萬元；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即臺(tái)時(shí)，等號(hào)成立，萬元；因?yàn)?，所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬元.【方法技巧與總結(jié)】1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集．3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例7．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）某科研小組培育一種水稻新品種，由第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子．寫出第n代得到的種子數(shù)與n的函數(shù)關(guān)系式，并求第5代得到的種子數(shù)．（結(jié)果寫成（，n為正整數(shù)）的形式，a精確到0.01）【解析】根據(jù)題意，假設(shè)第代得到的種子數(shù)為，由于第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子，則，當(dāng)時(shí)，粒.例8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多國(guó)家肆虐，目前的新冠病毒是奧密克戎變異株，其特點(diǎn)是：毒力顯著減弱，但傳染性很強(qiáng)，絕大多數(shù)人感染后表現(xiàn)為無癥狀或輕癥，重癥病例很少，長(zhǎng)期一段時(shí)間以來全國(guó)沒有一例死亡病例．某科研機(jī)構(gòu)對(duì)奧密克戎變異株在特定環(huán)境下進(jìn)行觀測(cè)，每隔單位時(shí)間T進(jìn)行一次記錄，用x表示經(jīng)過的單位時(shí)間數(shù)，用y表示奧密克戎變異株感染人數(shù)，得到如下觀測(cè)數(shù)據(jù)：123456…(人數(shù))…6…36…216…若奧密克戎變異株的感染人數(shù)y與經(jīng)過個(gè)單位時(shí)間T的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)求至少經(jīng)過多少個(gè)單位時(shí)間該病毒的感染人數(shù)不少于1萬人．【解析】（1）若選，將，和，代入得，解得得，代入有，不合題意．若選，將，和，代入得，解得，得．代入有，符合題意．（2）設(shè)至少需要x個(gè)單位時(shí)間，則，即，則，又，，，∵，∴x的最小值為11，即至少經(jīng)過11個(gè)單位時(shí)間不少于1萬人．例9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某醫(yī)學(xué)專家為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行試驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒細(xì)胞的個(gè)數(shù)與天數(shù)的記錄如下表：天數(shù)病毒細(xì)胞的個(gè)數(shù)已知該病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過的時(shí)候小白鼠將死亡，但注射某種藥物，可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的.(1)為了使小白鼠在試驗(yàn)過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物(精確到天，)?(2)第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命(精確到天)?【解析】（1）由題意知：第一次注射藥物前病毒細(xì)胞個(gè)數(shù)關(guān)于天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為，為了使小白鼠在試驗(yàn)過程中不死亡，則，，解得：，又，第一次最遲應(yīng)在第天注射該種藥物．（2）由題意知：注射藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞個(gè)數(shù)為，則再經(jīng)過天后小白鼠體內(nèi)的病毒細(xì)胞個(gè)數(shù)為，由得，，即，，再經(jīng)過天必須注射藥物，即第二次最遲應(yīng)在第天注射該種藥物.變式6．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過一定時(shí)間后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在的房間中，如果咖啡降溫到需要，那么降溫到，需要多長(zhǎng)時(shí)間（結(jié)果精確到）？【解析】由題意知，即，解得，故，當(dāng)時(shí)，代入上式，得，即.兩邊取對(duì)數(shù)，用計(jì)算器求得.因此，約需要咖啡可降溫到.變式7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）北京時(shí)間2023年3月30日18時(shí)50分，中國(guó)在太原衛(wèi)星發(fā)射中心成功將宏圖一號(hào)01組衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功．據(jù)了解，在不考慮空氣動(dòng)力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計(jì)算火箭的最大速度（單位：），其中（單位：）是噴流相對(duì)速度，（單位：）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，（單位：）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為總質(zhì)比，已知A型火箭的噴流相對(duì)速度為．(1)當(dāng)總質(zhì)比為200時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；(2)經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來的倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值．參考數(shù)據(jù)：，．【解析】（1）當(dāng)總質(zhì)比為200時(shí)，，∴當(dāng)總質(zhì)比為200時(shí)，A型火箭的最大速度約為．（2）由題意，經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度為，總質(zhì)比變?yōu)椋够鸺淖畲笏俣戎辽僭黾?，則需，化簡(jiǎn)得，，∴，整理得，∴，則，由參考數(shù)據(jù)，知，∴，∴材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值為74．變式8．（2023·上海靜安·高一?？计谥校┯幸环N候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學(xué)家經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度y(單位：km/min)和候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)x，滿足關(guān)系式其中常數(shù)表示測(cè)量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.(1)若，候鳥停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為多少個(gè)單位?(答案四舍五入到整數(shù))(2)若雄鳥的飛行速度為1.5km/min，雄鳥的飛行速度為1km/min，那么此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍?，【解析】（1）由題意得函數(shù)，令得，，即所以所以，所以候鳥停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為466個(gè)單位；（2）設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘耗氧量為，由題意可得，兩式相減可得所以，解得，所以此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍.變式9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬元的生源利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在生源利潤(rùn)達(dá)到5萬元時(shí)，按生源利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨生源利潤(rùn)x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過3萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：，，，其中哪個(gè)模型符合該校的要求？【解析】借助工具作出函數(shù)，，，的圖象（如圖所示）．

觀察圖象可知，在區(qū)間上，，的圖象都有一部分在直線的上方，只有的圖象始終不超過和，這說明只有按模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合學(xué)校的要求．【方法技巧與總結(jié)】1、涉及平均增長(zhǎng)率的問題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通常可以表示為（其中N為原來的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間）的形式．2、在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型．題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題例10．（2023·四川達(dá)州·高一四川省萬源中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2022年8月9日，美國(guó)總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對(duì)中國(guó)的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來說，短期內(nèi)可能會(huì)受到“芯片法案”負(fù)面影響，但它不是決定性的，因?yàn)樗鼘⒓ぐl(fā)中國(guó)自主創(chuàng)新更強(qiáng)的爆發(fā)力和持久動(dòng)力．某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對(duì)研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元．(1)求調(diào)整后企業(yè)對(duì)全部技術(shù)人員的年總投入和對(duì)全部研發(fā)人員的年總投入的表達(dá)式.(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件，①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不低于調(diào)整前的水平．請(qǐng)問是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由．【解析】（1）由題意得，，且，，且.（2）由條件①得：，整理得，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；由條件②得：，解得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最大值，所以；綜上所述，存在這樣的滿足以上兩個(gè)條件，的范圍為.例11．（2023·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）某企業(yè)積極響應(yīng)國(guó)家垃圾分類號(hào)召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工品，已知該企業(yè)日加工處理量x（噸）最少為70噸，最多為120噸，日加工處理總成本y（元）與日加工處理量x之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價(jià)為100元.(1)該企業(yè)日加工處理量為多少噸時(shí)，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時(shí)該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？（平均成本=）(2)為了該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對(duì)該企業(yè)進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方式有兩種方案方案一：每日進(jìn)行定額財(cái)政補(bǔ)貼，金額為2300元；方案二：根據(jù)日加工處理量進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，金額為40x元.如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得每日最大利潤(rùn)，你會(huì)選擇哪個(gè)方案進(jìn)行補(bǔ)貼？為什么？.【解析】（1）由題意可知，每噸廚余垃圾平均加工成本為當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，每噸廚余垃圾的平均加工成本最低，因?yàn)?，所以此時(shí)該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態(tài).（2）若該企業(yè)采用補(bǔ)貼方式①，設(shè)該企業(yè)每日獲利為，因?yàn)?，所以?dāng)噸時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，為850元.若該企業(yè)采用補(bǔ)貼方式②，設(shè)該企業(yè)每日獲利為，因?yàn)?，所以?dāng)噸時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，為1800元.結(jié)論：選擇方案一，當(dāng)日加工處理量為70噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)850元；選擇方案二，當(dāng)日加工處理量為100噸時(shí)，獲得最大利潤(rùn)1800元；所以選擇方案二進(jìn)行補(bǔ)貼..例12．（2023·上海寶山·高一校考階段練習(xí)）某運(yùn)輸公司今年初用49萬元購進(jìn)一臺(tái)大型運(yùn)輸車用于運(yùn)輸．若該公司預(yù)計(jì)從第1年到第n年（）花在該臺(tái)運(yùn)輸車上的維護(hù)費(fèi)用總計(jì)為萬元，該車每年運(yùn)輸收入為25萬元．(1)該車運(yùn)輸幾年開始盈利？（即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正值）；(2)若該車運(yùn)輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以15萬元的價(jià)格賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以6萬元的價(jià)格賣出．哪一種方案較為合算？請(qǐng)說明理由．【解析】（1）由題意可得：，即（），解得，因?yàn)?，，該車運(yùn)輸3年開始盈利.；（2）該車運(yùn)輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以15萬元的價(jià)格賣出，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，方案①最后的利潤(rùn)為：（萬；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬元的價(jià)格賣出，，時(shí)，利潤(rùn)最大，方案②的利潤(rùn)為（萬，兩種方案收入均為57萬，但是方案二可使用10年，方案一只能使用7年，所以方案一更合算.變式10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）科研小組研制鈦合金產(chǎn)品時(shí)添加了一種新材料，該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y是這種新材料的含量（單位：克）的函數(shù)．研究過程中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（單位：克）02610…－488…已知當(dāng)時(shí)，，其中為常數(shù)．當(dāng)時(shí)，和的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個(gè)：①；②且；③且；其中均為常數(shù)．(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述之間的關(guān)系，并求出其解析式；(2)求該新材料的含量為多少克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大．【解析】（1）由表格知當(dāng)時(shí)，，若選①，則，若選②且，則，此時(shí)且不滿足時(shí)，，故不選，若選③且，時(shí)無意義，故不選，所以選①的函數(shù)模型來描述之間的關(guān)系，由題意有當(dāng)時(shí)，由，且時(shí)得：；當(dāng)時(shí)得：；當(dāng)時(shí)得：；聯(lián)立，解得：，所以當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，將代入上式有：，解得：，即當(dāng)時(shí)，綜上有，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)新材料的含量克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大.變式11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢，在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間x（單位：小時(shí)）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.2353.54.55.5(1)當(dāng)時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型和建立關(guān)于的函數(shù)解析式.(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時(shí)間來估計(jì)某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實(shí)際的細(xì)菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計(jì)值之間的差的絕對(duì)值不超過0.5時(shí)，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當(dāng)培養(yǎng)時(shí)間為9小時(shí)時(shí)，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬個(gè)，你認(rèn)為（1）中哪個(gè)函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）(3)請(qǐng)用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計(jì)17小時(shí)后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，由圖表數(shù)據(jù)可得，，，聯(lián)立上式，解方程可得，，則；當(dāng)時(shí)，，由圖表數(shù)據(jù)可得，聯(lián)立上式，解方程可得，則；（2）考慮①，由，可得，而，可得模型①是“理想函數(shù)模型”；考慮②，由，可得而，所以模型②不是“理想函數(shù)模型”；（3）由（2）可得時(shí)，（百萬個(gè)變式12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）2022年11月，國(guó)務(wù)院發(fā)布了簡(jiǎn)稱優(yōu)化防控二十條的通知后，某藥業(yè)公司的股票在交易市場(chǎng)過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)，包括第30天），第x天每股的交易價(jià)格（元）滿足，第x天的日交易量（萬股）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：第x（天）12410（萬股）14121110.4(1)給出以下兩種函數(shù)模型：①；②.請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù).從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述該股票日交易量（萬股）與時(shí)間第x天的函數(shù)關(guān)系（簡(jiǎn)要說明理由），并求出該函數(shù)的關(guān)系式；(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，求出該股票在過去一個(gè)月內(nèi)第x天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并求其最小值.【解析】（1）對(duì)于函數(shù)，根據(jù)題意，把點(diǎn)代入可得，解得，而點(diǎn)均不在函數(shù)的圖象上；對(duì)于函數(shù)，根據(jù)題意，把點(diǎn)代入可得，解得，此時(shí).而均在函數(shù)的圖象上.所以.（2）由（1）知.所以，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).所以函數(shù)的最小值為，綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值484.【方法技巧與總結(jié)】在沒有給出具體模型的問題中，首先要由已知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過檢測(cè)所求函數(shù)模型與實(shí)際誤差的大小，探求相近的數(shù)學(xué)關(guān)系，預(yù)測(cè)函數(shù)的可能模型．題型五：根據(jù)實(shí)際問題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型例13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)和的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，且.

(1)請(qǐng)指出圖中曲線分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷的大?。窘馕觥浚?）對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（2）因?yàn)椋?，，，所以，，所以，，從圖像上可以看出：當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.又由函數(shù)的單調(diào)性易知，，所以.例14．（2023·四川巴中·高一?？计谀┛茖W(xué)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)員將某種染料倒入裝有水的透明水桶，想測(cè)試染料的擴(kuò)散效果，染料在水桶中擴(kuò)散的速度是先快后慢，1秒后染料擴(kuò)散的體積是，2秒后染料擴(kuò)散的體積是，染料擴(kuò)散的體積y與時(shí)間x（單位：秒）的關(guān)系有兩種函數(shù)模型可供選擇：①，②，其中m，b均為常數(shù)．(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)若染料擴(kuò)散的體積達(dá)到，至少需要多少秒．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)中，隨的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)的速度也越來越快，二函數(shù)中，隨的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)的速度也越來越慢，根據(jù)染料擴(kuò)散的速度是先快后慢，所以選第二個(gè)模型更合適，即，由題意可得：，解得：，所以該模型的解析式為：，（2）由（1）知：，由題意知：，也即，則有，∴，∴，∴至少需要4秒．例15．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）某公司發(fā)放員工的薪水有三種方式：①第一個(gè)月工資3000元，以后每月以1%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)；②第一個(gè)月工資2400元，以后每月以2%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)；③第一個(gè)月工資為3200元，每月漲工資30元．（1）設(shè)第x個(gè)月的工資分別為元，試分別建立關(guān)于x的函數(shù)；（2）借助計(jì)算器計(jì)算這三種情況下各個(gè)月的工資；（3）請(qǐng)分析這三種領(lǐng)薪方法的區(qū)別，作為員工選擇何種方法更合算？【解析】（1），，；（2）第一種方式，第一個(gè)月的工資是3000元，第二個(gè)月的工資是3030元，第三個(gè)月的工資是3060元，第四個(gè)月的工資是3091元，第5個(gè)月的工資是3122元，第6個(gè)月的工資是3153元，第7個(gè)月的工資是3185元，第8個(gè)月的工資是3217元，第9個(gè)月的工資是3249元，第10個(gè)月的工資是3281元，第10個(gè)月的工資是3314，第11個(gè)月的工資是3348，第12個(gè)月的工資是3381元，第13個(gè)月的工資是3415元，第14個(gè)月的工資是3449元，第15個(gè)月的工資是3483元，第16個(gè)月的工資是3518元，第17個(gè)月的工資是3553元，第18個(gè)月的工資是3589元，第19個(gè)月的工資是3625元，第20個(gè)月的工資是3661元，第21個(gè)月的工資是3698元，第22個(gè)月的工資是3735元，第23個(gè)月的工資是3772元，第24個(gè)月的3809元，第25個(gè)月的工資是3847元，…….第二種方法，第一個(gè)月的工資是2400元，第二個(gè)月的工資是2448元，第3個(gè)月的工資是2497元，第4個(gè)月的工資是2547元，第5個(gè)月的工資是2598元，第6個(gè)月的工資是2650元，第7個(gè)月的工資是2703元，第8個(gè)月的工資是2757元，第9個(gè)月的工資是2812元，第10個(gè)月的工資是2868元，第11個(gè)月的工資是2925元，第12個(gè)月的工資是2984元，第13個(gè)月的工資是3044元，第14個(gè)月的工資是3105元，第15個(gè)月是3167元，第16個(gè)月的工資是3230元，第17個(gè)月的工資是3295元，第18個(gè)月的工資是3361元，第19個(gè)月的工資是3428元，第20個(gè)月的工資是3497元，第21個(gè)月的工資是3567元，第22個(gè)月的工資是3638元，第23個(gè)月的工資是3711元，第24個(gè)月的工資是3785元，第25個(gè)月的工資是3861元，第26個(gè)月的工資是3755元，第27個(gè)月的工資是3830元，第28個(gè)月的工資是3907元，第29個(gè)月的工資是3985元，第30個(gè)月的工資是4065元，第31個(gè)月的工資是4146元，…….第三種方法，第一個(gè)月的工資是3200，第二個(gè)月的工資是3230元，第3個(gè)月的工資是3260元，第4個(gè)月的工資是3290元，第5個(gè)月的工資是3320元，第6個(gè)月的工資是3350元，第7個(gè)月的工資是3380元，第8個(gè)月的工資是3410元，第9個(gè)月的工資是3440元，第10個(gè)月的工資是3470元，第11個(gè)月的工資是3500元，第12個(gè)月的工資是3530元，第13個(gè)月的工資是3560元，第14個(gè)月的工資是3590元，第15個(gè)月的工資是3620元，第16個(gè)月的工資是3650元，第17個(gè)月的工資是3680元，第18個(gè)月的工資是3710元，第19個(gè)月的工資是3740元，第20個(gè)月的工資是3770元，第21個(gè)月的工資是3800元，第22個(gè)月的工資是3830元，第23個(gè)月的工資是3860元，第24個(gè)月的工資是3890元，第25個(gè)月的工資是3920元，第26個(gè)月的工資是3950元，第27個(gè)月的工資是3980元，第28個(gè)月的工資是4010元，第29個(gè)月的工資是4040元，第30個(gè)月的工資是4070元，第31個(gè)月的工資是4100元，……（3）根據(jù)（2）的結(jié)果可知，如果最多打算干30個(gè)月，那么選擇第三種方法，如果打算干30個(gè)月以上選擇第二種方法，到第31個(gè)月的時(shí)候，第二種方法是工資最多的.變式13．（2023·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科學(xué)家在研究了各行星離太陽的距離（單位：，是天文學(xué)中計(jì)量天體之間距離的一種單位）的排列規(guī)律后，預(yù)測(cè)在火星和木星之間應(yīng)該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星（后被命名為谷神星）存在，并按離太陽的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：行星編號(hào)1（金星）2（地球）3（火星）4（

）5（木星）6（土星）離太陽的距離(1)為了描述行星離太陽的距離與行星編號(hào)之間的關(guān)系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的一種函數(shù)模型（直接給出結(jié)論）；①；②；③．(2)根據(jù)你的選擇，依表中前三組數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷奈呛锨闆r；（誤差小于0.2的為吻合）(3)請(qǐng)用你求得的模型，計(jì)算谷神星離太陽的距離．【解析】（1）散點(diǎn)圖如圖所示：根據(jù)散點(diǎn)圖可知，模型②符合題意；（2）將，，分別代入，得，解得，，所以當(dāng)時(shí)，，誤差，吻合，當(dāng)時(shí)，，誤差，吻合，所以，模型與數(shù)據(jù)吻合；（3）當(dāng)時(shí)，，即谷神星距太陽的距離為.變式14．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）（1）在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出下列個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的圖象：，，，.結(jié)合這個(gè)函數(shù)的圖象，比較它們隨著的增大函數(shù)值增長(zhǎng)的快慢，并指出：當(dāng)?shù)闹底銐虼螅ǎ┑臅r(shí)候，這個(gè)函數(shù)的值的大小關(guān)系；（2）先想象下列兩組函數(shù)圖象之間的關(guān)系，再用數(shù)值驗(yàn)算，提出更一般的猜想.①與；②與.（3）借助圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，作出下列兩組函數(shù)的圖象，驗(yàn)證你在（2）中的猜想.①與；②與.【解析】（1）這個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示.

由圖可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；對(duì)應(yīng)地，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)闹底銐虼螅ǎr(shí)，這個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系是；（2）①可以想象，在區(qū)間上，函數(shù)與的圖象都是隨著的增大而上升的，函數(shù)值的大小有如下特征：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，例如，當(dāng)時(shí)，，，顯然，當(dāng)時(shí)，，例如，當(dāng)時(shí)，，，顯然；②可以想象，在區(qū)間上，函數(shù)與的圖象都是隨著的增大而上升的，函數(shù)值的大小有如下特征：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，例如，當(dāng)時(shí)，，，顯然；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，例如，當(dāng)時(shí)，，，顯然，因此，我們可以得到更一般的猜想：對(duì)于指數(shù)函數(shù)（），冪函數(shù)（）和對(duì)數(shù)函數(shù)（），當(dāng)足夠大時(shí)，總有.（3）借助圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，觀察函數(shù)，的圖像，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)闹祻拈_始增大時(shí)，隨著的增大，當(dāng)時(shí)，；之后很快有，直到時(shí)，總有.

同樣，借助圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，觀察函數(shù)，的圖像，

可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)從開始增大時(shí)，一直有，直到時(shí)，總有.由此，我們進(jìn)一步驗(yàn)證了（2）中的猜想：當(dāng)x足夠大時(shí)，總有.變式15．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出下列各組函數(shù)的草圖，比較它們?cè)诜秶鷥?nèi)增長(zhǎng)的快慢．(1)和；(2)和；(3)和；(4)和．【解析】（1）函數(shù)圖形如下圖所示：由圖可知在范圍內(nèi)增長(zhǎng)得較快；（2）函數(shù)圖形如下圖所示：由圖可知在范圍內(nèi)增長(zhǎng)得較快；（3）函數(shù)圖象如下所示：由圖可知在范圍內(nèi)增長(zhǎng)得較快；（4）函數(shù)圖形如下所示：由圖可知在范圍內(nèi)增長(zhǎng)得較快；變式16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩城市現(xiàn)有人口總數(shù)都為100萬人，甲城市人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2%，乙城市每年增長(zhǎng)人口1.3萬.試解答下面的問題：(1)寫出兩城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)對(duì)兩城市人口增長(zhǎng)情況作出分析.參考數(shù)據(jù)：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.【解析】（1）1年后甲城市人口總數(shù)為100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后甲城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后甲城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)3；…；x年后甲城市人口總數(shù)為＝100×(1＋1.2%)x.x年后乙城市人口總數(shù)為＝100＋1.3x.（2）10年、20年、30年后，甲、乙兩城市人口總數(shù)(單位：萬人)如表所示.10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113126139（3）甲、乙兩城市人口都逐年增長(zhǎng)，而甲城市人口增長(zhǎng)的速度快些，呈指數(shù)增長(zhǎng)型，乙城市人口增長(zhǎng)緩慢，呈線性增長(zhǎng).從中可以體會(huì)到，不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型，增長(zhǎng)變化存在很大差異.變式17．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）設(shè)，，．令，．(1)請(qǐng)分別化簡(jiǎn)下列各式：①；②；③；(2)結(jié)合（1）中的化簡(jiǎn)結(jié)果，談?wù)勀銓?duì)對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)變化的感受．【解析】（1）①將，代入可得；②將，代入可得；③將，代入可得（2）結(jié)合（1）中的化簡(jiǎn)結(jié)果可知，對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)都會(huì)隨著的增大而增大，但是它們的增長(zhǎng)速度不同，當(dāng)自變量的增量相同時(shí)可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來越慢，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來越快，且的增長(zhǎng)速度大于.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）百端待舉、日理萬機(jī)中，毛澤東主席仍不忘我國(guó)的教育事業(yè).1951年9月底，毛主席在接見安徽參加國(guó)慶的代表團(tuán)時(shí)，送給代表團(tuán)成員----渡江小英雄馬毛姐一本精美的筆記本，并在扉頁上題詞：好好學(xué)習(xí)，天天向上.這8個(gè)字的題詞迅速在全國(guó)傳播開來，影響并指導(dǎo)著一代代青少年青春向上，不負(fù)韶華.他告訴我們：每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，持之以恒，收獲不止一點(diǎn)點(diǎn).把學(xué)生現(xiàn)在的學(xué)習(xí)情況看作1，每天的“進(jìn)步率”為，那么經(jīng)過一個(gè)學(xué)期（看作120天）后的學(xué)習(xí)情況為，如果每天的“遲步率”為，同樣經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)情況為.經(jīng)過一個(gè)學(xué)期，進(jìn)步者的學(xué)習(xí)情況是遲步者學(xué)習(xí)情況的倍還多，按上述情況，若“進(jìn)步”的值是“遲步”的值的100倍，要經(jīng)過的的天數(shù)大約為（保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B．77 C． D．200【答案】B【解析】依題意，設(shè)要經(jīng)過天，“進(jìn)步"的值是“遲步”的值的100倍，則，即，則.故選：B.2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一?？茧A段練習(xí)）已知超市內(nèi)某商品的日銷量（單位：件）與當(dāng)日銷售單價(jià)（單位：元）滿足關(guān)系式，其中為常數(shù).當(dāng)該商品的銷售單價(jià)為15元時(shí)，日銷量為110件.若該商品的進(jìn)價(jià)為每件10元，則超市該商品的日利潤(rùn)最大為（

）A．1500元 B．1200元 C．1000元 D．800元【答案】C【解析】根據(jù)條件，將，代入，得，所以，超市內(nèi)該商品的日利潤(rùn)為：，其中，所以，當(dāng)時(shí)，超市該商品的日利潤(rùn)取得最大值，且最大值為1000元，故選：C3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若三個(gè)變量，，隨著變量x的變化情況如下表.則關(guān)于x分別呈函數(shù)模型：，，變化的變量依次是（）x135791152545658510552924521891968517714956.106.616.957.27.6A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】由題表可知，隨著x的增大而迅速增大，是指數(shù)型函數(shù)的變化；隨著x的增大而增大，但是變化緩慢，是對(duì)數(shù)型函數(shù)的變化；相對(duì)于的變化要慢一些，是冪函數(shù)型的變化.故選:.4．（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)所公布的數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例（的單位：天）的Logistic模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（

）A．35 B．36 C．40 D．60【答案】B【解析】，故，兩邊取對(duì)數(shù)，，解得，故約為.故選：B5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某地2019年人均GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)為8000元，預(yù)計(jì)以后年增長(zhǎng)率為10%，使該地區(qū)人均GDP超過16000元，至少要經(jīng)過（

）A．4年 B．5年C．8年 D．10年【答案】C【解析】設(shè)第年的人均GDP超過16000元，根據(jù)題意，可得，即，所以，即第8年的人均GDP超過16000元.故選：C.6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某地2018年人均GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)為8000元，預(yù)計(jì)以后年增長(zhǎng)率為，使該地區(qū)人均GDP超過16000元，至少要經(jīng)過（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．4年 B．5年C．8年 D．10年【答案】C【解析】依題意，，則，解得.又，則至少要經(jīng)過年.故選：C.7．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┌盐矬w放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度可由公式求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數(shù)，現(xiàn)有100℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，5分鐘后物體的溫度是40℃，則k約等于（

）（參考數(shù)據(jù)A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55【答案】A【解析】根據(jù)題意，即，解得，故選：A8．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）某學(xué)校開展研究學(xué)習(xí)活動(dòng)，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：1.99345.180.991.582.012.353.00如下四個(gè)模擬函數(shù)，能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A項(xiàng)增長(zhǎng)速度不變，不符合題意；B項(xiàng)增長(zhǎng)越來越快，不符合題意；C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)越來越快，不符合題意；D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)越來越慢，符合題意；故選：D.二、多選題9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）“雙11”購物節(jié)中，某電商對(duì)顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購物付款總額滿一定額度，可以給與優(yōu)惠：（1）如果購物總額不超過100元，則不給予優(yōu)惠；（2）如果購物總額超過100元但不超過200元，可以使用一張10元優(yōu)惠券；（3）如果購物總額超過200元但不超過500元，其中200元內(nèi)的按第（2）條給予優(yōu)惠，超過200元的部分給予9折優(yōu)惠．（4）如果購物總額超過500元，其中500元內(nèi)的按第（2）（3）條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予8折優(yōu)惠．某人購買了部分商品，則下列說法正確的是（

）A．如果購物總額為168元，則應(yīng)付款為158元B．如果購物總額為368元，則應(yīng)付款為351.2元C．如果購物總額為768元，則應(yīng)付款為674.4元D．如果購物時(shí)一次性全部付款1084元，則購物總額為1280元【答案】ACD【解析】設(shè)購買總額為元，應(yīng)付款為元，根據(jù)題意：當(dāng)時(shí)，且.當(dāng)時(shí)，且.當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，且選項(xiàng)A.

購物總額為168元，故元，故正確.選項(xiàng)B.

購物總額為368元，故元，故不正確.選項(xiàng)C.

購物總額為768元，故元，故正確.選項(xiàng)D.

若購物時(shí)一次性全部付款1084元，則，即，則元，故正確.故選：ACD10．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）研究表明，地震時(shí)釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，則（

）A．震級(jí)為2級(jí)的地震釋放能量為焦耳B．釋放能量為焦耳的地震震級(jí)為3級(jí)C．9級(jí)地震釋放能量是8級(jí)地震釋放能量的10倍D．釋放能量之比為的兩場(chǎng)地震的震級(jí)相差2級(jí)【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，解得，B正確；對(duì)于C，令9級(jí)地震釋放能量為，8級(jí)地震釋放能量為，則，于是，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，釋放的能量為，對(duì)應(yīng)的震級(jí)為，釋放的能量為，對(duì)應(yīng)的震級(jí)為，則，且，兩式相減得，解得，D正確.故選：BD11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（，、為常數(shù)）．若該食品在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，則關(guān)于該食品保鮮的描述正確的結(jié)論是（

）A．B．儲(chǔ)存溫度越高保鮮時(shí)間越長(zhǎng)C．在℃的保鮮時(shí)間是小時(shí)D．在℃的保鮮時(shí)間是小時(shí)【答案】AC【解析】因?yàn)樵诘谋ｕr時(shí)間是小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，所以易知是減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，A正確，則儲(chǔ)存溫度越高保鮮時(shí)間越短，B錯(cuò)誤；由題可知，，則，故，故，C正確，，D錯(cuò)誤，故選：AC.12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口年增長(zhǎng)率，為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，則（

）A．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)B．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈擺動(dòng)變化C．當(dāng)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)時(shí)，的最小值為3【答案】AC【解析】，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，即人口數(shù)呈下降趨勢(shì)，故A正確，B不正確；，所以，所以，，所以的最小值為3，故C正確；，所以，所以，，所以的最小值為2，故D不正確；故選：AC.三、填空題13．（2023·浙江臺(tái)州·高一路橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有兩種理財(cái)產(chǎn)品，已知投資這兩種理財(cái)產(chǎn)品所獲得的年利潤(rùn)分別是和萬元，它們與投入資金（萬元）的關(guān)系如下：，某人有5萬元準(zhǔn)備投入這兩種理財(cái)，則他可以獲得的最大利潤(rùn)是萬元.【答案】/【解析】設(shè)這兩種理財(cái)產(chǎn)品投入分別為，，總利潤(rùn)為，故，令，則，故總利潤(rùn)即為，即，所當(dāng)時(shí)，.故答案為：.14．（2023·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某地區(qū)2022年1月，2月，3月新冠肺炎治愈的人數(shù)分別為52、54、58，為了預(yù)測(cè)以后各月的治愈人數(shù)，我們可以選擇模型，其中為治愈人數(shù)，為月份數(shù)，，，，都是常數(shù)，那么至少要經(jīng)過個(gè)月該病治愈的人數(shù)將會(huì)超過2000人？【答案】11【解析】由題意可得，解之得，即，則要治愈數(shù)超過2000人，需，易知，所以，滿足題意.故答案為：1115．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某人從地出發(fā)，開汽車以千米/小時(shí)的速度經(jīng)小時(shí)到達(dá)地，在地停留小時(shí)，則汽車離開地的距