8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積 （解析版）

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝2πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πr(r＋l)圓臺(tái)上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)考點(diǎn)二圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積幾何體體積說(shuō)明圓柱V圓柱＝Sh＝πr2h圓柱底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓錐V圓錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圓錐底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓臺(tái)V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋eq\r(S′))h＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h圓臺(tái)上底面圓的半徑為r′，面積為S′，下底面圓的半徑為r，面積為S，高為h知識(shí)點(diǎn)三球的表面積和體積公式1.球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑).2.球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.【題型歸納】題型一：圓柱的表面積和體積1．（2022春·河北邢臺(tái)·高一校）過(guò)圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)截面是面積為16的正方形可求底面圓的半徑以及圓柱的高，進(jìn)而可求圓柱的側(cè)面積.【詳解】如圖所示，過(guò)圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是正方形ABCD，面積為16，故邊長(zhǎng)，即底面半徑，側(cè)棱長(zhǎng)為，則圓柱的側(cè)面積是，故選：B.2．（2022春·浙江·高一浙江省定海第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知圓錐的頂點(diǎn)為O，底面圓心為，以過(guò)的平面截該圓錐，所得截面為一個(gè)面積為的等邊三角形，則與該圓錐同底等高的圓柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，求得正三角形的邊長(zhǎng)為，得到圓錐的高為，底面圓的半徑為，結(jié)合圓柱的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，過(guò)直線的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，可得，解得，即圓錐的高為，底面圓的半徑為，所以與該圓錐同底等高的圓柱的表面積為：，故選：D.3．（2022春·江西九江·高一校聯(lián)考期末）阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他一生最為滿(mǎn)意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二．今有一“圓柱容球”模型，其圓柱表面積為，則該模型中圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，圓柱的底面直徑等于圓柱的高，然后由圓柱表面積為，可求出圓柱的底面半徑，從而可求出圓柱的體積【詳解】由題意可知，圓柱的底面直徑等于圓柱的高，設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，因?yàn)閳A柱表面積為，所以，解得，所以圓柱的高為4，所以圓柱的體積為，故選：C題型二：圓錐的表面積和體積4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：A.5．（2022春·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的底面半徑為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，再根據(jù)題意列式求解即可【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，，即，解得故選：B6．（2022春·江蘇常州·高一常州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知某圓錐的的底面半徑為2，側(cè)面積是底面積的3倍.將該圓錐切割成一個(gè)正四棱錐，且四棱錐的頂點(diǎn)和圓錐的頂點(diǎn)重合，四棱錐的底面是圓錐底面的內(nèi)接正方形，則該四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l.利用側(cè)面積是底面積的3倍求出，再求出正四棱錐的高，和底面積，即可求出該四棱錐的體積.【詳解】如圖示，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l.O為底面圓的圓心，ABCD為底面的一個(gè)圓內(nèi)接正方形，OP為圓錐的高.由題意可得：，解得：，所以.而.所以該四棱錐的體積為.故選：D題型三：圓臺(tái)的表面積和體積7．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為、，側(cè)面積是，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)的上下底面積可計(jì)算出其上下底面的半徑與周長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)之比計(jì)算出展開(kāi)圖的扇形半徑之比，根據(jù)扇環(huán)的面積求出母線l的長(zhǎng)度，由兩個(gè)半徑、高、母線構(gòu)成的直角梯形中求出圓臺(tái)的高，帶入圓臺(tái)的體積公式即可得出答案．【詳解】依題意知圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，設(shè)圓臺(tái)的高為h，如圖所示圓臺(tái)展開(kāi)為一個(gè)圓環(huán)的一部分即ABCD，其小扇形弧長(zhǎng)，大扇形弧長(zhǎng)，由知道，則圓臺(tái)的側(cè)面積所以高，圓臺(tái)的體積故選：C.8．（2022春·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）已知圓臺(tái)下底面半徑是上底面半徑的2倍，若從該圓臺(tái)中挖掉一個(gè)圓錐，圓錐的底面是圓臺(tái)的上底面，圓錐的頂點(diǎn)是圓臺(tái)下底面的圓心，則圓錐的側(cè)面積是圓臺(tái)側(cè)面積的（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求得圓錐的側(cè)面積與圓臺(tái)側(cè)面積，即可得到二者之間的關(guān)系.【詳解】設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，則圓臺(tái)下底面半徑為2r，圓錐的底面半徑為r，設(shè)圓臺(tái)的高為h，則圓錐的的高為h則圓臺(tái)母線長(zhǎng)為，圓錐的母線長(zhǎng)為則圓錐的側(cè)面積為圓臺(tái)側(cè)面積為，則圓錐的側(cè)面積是圓臺(tái)側(cè)面積的故選：B9．（2022春·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）一個(gè)直角梯形上底、下底和高之比為，將此直角梯形以垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓臺(tái)，則這個(gè)圓臺(tái)上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知設(shè)直角梯形上底、下底和高為，它們分別為圓臺(tái)的上、下底半徑和高，代入圓臺(tái)底面積及側(cè)面積公式，求出兩底面積及側(cè)面積，可得答案．【詳解】解：由題意可設(shè)直角梯形上底、下底和高為，它們分別為圓臺(tái)的上、下底半徑和高．如圖示，過(guò)點(diǎn)作于，則中，，，．．故選：D題型四：球的表面積和體積10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早多年．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬．如圖是陽(yáng)馬，，，，．則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題目條件有，則陽(yáng)馬的外接球與以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球相同.【詳解】因，平面ABCD，平面ABCD，則，又因四邊形ABCD為矩形，則.則陽(yáng)馬的外接球與以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球相同.又，，．則外接球的直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線，故外接球半徑為：，則外接球的表面積為：故選：B11．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）“陽(yáng)馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．《九章算術(shù)》總結(jié)了先秦時(shí)期數(shù)學(xué)成就，是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)巨著，對(duì)后世數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響．書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有陽(yáng)馬，廣五尺，袤七尺，高八尺．問(wèn)積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長(zhǎng)、寬分別為尺和尺，高為8尺，問(wèn)它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為（

）平方尺.A． B． C． D．【答案】C【分析】將四棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球，然后求外接球表面積即可.【詳解】如圖所示，這個(gè)四棱錐的外接球和長(zhǎng)方體的外接球相同，所以外接球的半徑為，外接球的表面積.故選：C.12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是球O的直徑.若平面平面，，，球O的體積為，則三棱錐的體積為（

）A．9 B．18 C．27 D．36【答案】A【分析】由題意可得，，進(jìn)而說(shuō)明平面，再求得球的半徑，根據(jù)即可求得答案.【詳解】如圖，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是球O的直徑O為中點(diǎn)，∴，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，設(shè)，由球O的體積為，可得，則，∴三棱錐的體積為9，故選∶A．題型五：組合體的表面積和體積計(jì)算13．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.14．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第四十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因?yàn)椋裕?，，，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.故選：B.15．（2022春·山東青島·高一山東省萊西市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知A，B，C是表面積為的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為，外接圓的半徑為，根據(jù)題意求出，再根據(jù)球心到的距離，即三棱錐的高，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)球的半徑為，外接圓的半徑為，在中，由，，則得，所以，因?yàn)榍騉的表面積為，則，解得，所以球心到的距離，即三棱錐的高為，，所以三棱錐的體積.故選：C.題型六：常考幾何體的綜合問(wèn)題16．（2022春·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑，高(1)求圓錐的表面積和體積(2)如圖若圓柱內(nèi)接于該圓錐，試求圓柱側(cè)面積的最大值【答案】(1),;(2).【分析】（1）由已知求得圓錐的母線長(zhǎng),再由圓錐的側(cè)面積與體積公式求解;（2）作出圓柱與圓錐的截面圖，把圓柱的側(cè)面積用h表示,然后結(jié)合二次函數(shù)求最值.【詳解】（1）∵圓錐的底面半徑R=6，高H=8，圓錐的母線長(zhǎng)，則表面積，體積.（2）作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示,其中，設(shè)圓柱底面半徑為r，則，即.設(shè)圓柱的側(cè)面積為.當(dāng)時(shí)，有最大值為.17．（2022春·湖南永州·高一?？计谥校┤鐖D一個(gè)半球，挖掉一個(gè)內(nèi)接直三棱柱（棱柱各頂點(diǎn)均在半球面上），棱柱側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)為的正方形.(1)求挖掉的直三棱柱的體積；(2)求剩余幾何體的表面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）記球心為O，BC中點(diǎn)為E，連接AO，OE，AE，由球的性質(zhì)知是所在小圓直徑，又是一個(gè)長(zhǎng)為的正方形，因此，球半徑為，挖掉的直三棱柱的體積；（2）由（1）知，，，，半球表面積＝，所以剩余幾何體表面積為半球表面積－＝．18．（2022春·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，正四棱錐，.(1)求此四棱錐的的表面積；(2)求此四棱錐外接球的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知正四棱錐的側(cè)面都是等邊三角形，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可求得該正四棱錐的表面積；（2）連接、交于點(diǎn)，連接，分析可知點(diǎn)為正四棱錐外接球球心，求出球的半徑，利用球體體積公式可求得結(jié)果.(1)解：在正四棱錐中，，則該正四棱錐的側(cè)面都是等邊三角形，所以，該四棱錐的表面積為.(2)解：連接、交于點(diǎn)，連接，則為、的中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，由已知，正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，同理，則，所以，點(diǎn)為正四棱錐外接球球心，且球的半徑為，因此，此四棱錐外接球的體積為.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）用與球心距離為的平面去截球，截面面積為，則球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)截面面積求得截面半徑r，進(jìn)而求得球的半徑R，再利用球的體積公式求解即可．【詳解】設(shè)截面半徑r，球的半徑R，截面與球心距離為，由題意得，截面面積，解得，因?yàn)?，所以，所以球的體積．故選：A．20．（2023·高一單元測(cè)試）如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m，底面直徑和球的直徑都是0.6m，現(xiàn)對(duì)這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（

）克（精確到個(gè)位數(shù)）A．176 B．207 C．239 D．270【答案】B【分析】求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由臺(tái)燈是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成可求得臺(tái)燈表面積的值，進(jìn)而求得涂膠的克數(shù).【詳解】由已知得圓錐的母線長(zhǎng)，所以臺(tái)燈表面積為，需要涂膠的重量為（克），故選：B.21．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某車(chē)間需要對(duì)一個(gè)圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑15cm，高10cm，加工方法為在底面中心處打一個(gè)半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計(jì)為（

）A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】表示出表面積后，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】大圓柱表面積為小圓柱側(cè)面積為，上下底面積為所以加工后物件的表面積為，當(dāng)時(shí)表面積最大.故選：D22．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知A，B，C，D在球O的表面上，為等邊三角形且邊長(zhǎng)為3，平面ABC，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】球心在平面的投影為的中心，設(shè)為，連接，計(jì)算，，根據(jù)勾股定理得到，計(jì)算表面積得到答案.【詳解】球心在平面的投影為的中心，設(shè)為，連接，是中點(diǎn)，連接，如圖所示：，，則，四邊形為矩形，，，故，.故選：C23．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）平行于圓錐底面的截面將圓錐分為體積相等的兩部分，則圓錐側(cè)面被截面分成上、下兩部分的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別表示出原來(lái)圓錐與截后的小圓錐的體積，根據(jù)被截成的兩部分體積相等可以得到，即可求出上下兩部分的面積之比.【詳解】設(shè)原來(lái)的圓錐體積為V，底面半徑為R，高為H，側(cè)面積為S，母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，被截面分截后，上面小圓錐的體積為，底面半徑為r，高為h，側(cè)面積為，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)?即有,又因?yàn)?所以,即有,且,而，故圓錐側(cè)面被截面分成上、下兩部分的面積之比為，故選：D24．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，已知，則該青銅器的表面積為（

）（假設(shè)上、下底面圓是封閉的）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的側(cè)面積公式分別求解側(cè)面積，再加上底面積，即可得該青銅器的表面積【詳解】解：因?yàn)椋?，所以該青銅器的表面積.故選：A.25．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成.已知球的直徑為8cm，圓柱筒高為3cm.(1)求這種“浮球”的體積；(2)要在這樣的3000個(gè)“浮球”的表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠多少克？【答案】(1)(2)26400克【分析】（1）由球的體積公式和圓柱的體積公式求解即可；（2）由球的表面積公式和圓柱的側(cè)面積公式求解出一個(gè)的表面積，然后乘以3000得總面積，按照規(guī)定再乘以0.1即可解決問(wèn)題.【詳解】（1）由題意得該幾何體由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成，所以體積為一個(gè)球體體積和一個(gè)圓柱體積之和，由球體的體積為：，圓柱體積為：，所以浮球的體積為：.（2）上下半球的表面積：，圓柱側(cè)面積：，所以，1個(gè)浮球的表面積為，3000個(gè)浮球的表面積為：，因此每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠克.26．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，其高為，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為，，.(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分幾何體的體積；(2)求該三棱柱的外接球的表面積與內(nèi)切球的體積.【答案】(1)(2)外接球的表面積為，內(nèi)切球的體積為【分析】（1）求出三棱柱的體積，得到三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而去除圓柱的體積，相減即可答案；（2）結(jié)合第一問(wèn)得到內(nèi)切球半徑，求出內(nèi)切球體積，再根據(jù)將三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體得到外接球半徑，求出外接球的表面積.【詳解】（1）因?yàn)榈酌嫒切蔚倪呴L(zhǎng)分別為，，，由勾股定理逆定理可知：底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為，，又因?yàn)槿庵膫?cè)棱垂直于底面，其高為，所以設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則，圓柱體積所以剩下的幾何體的體積（2）由（1）可知該直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，則內(nèi)切球球的體積直三棱柱可補(bǔ)形為棱長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方體，它的外接球的球半徑滿(mǎn)足，即所以，該直三棱柱的外接球的表面積為.【高分突破】一、單選題27．（2023春·全國(guó)·高一）要制作一個(gè)容積為的圓柱形封閉容器，要使所用材料最省，則圓柱的高和底面半徑應(yīng)分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為．由，可得，再利用基本不等式即可得出．【詳解】解：設(shè)圓柱的高為，底面半徑為．，．當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)．此時(shí)．即當(dāng)，時(shí)取得最小值．故選：C.28．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）以斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形一直角邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得所形成的幾何體為圓錐，圓錐的高和底面半徑均為，母線長(zhǎng)為2，從而可求出其表面積【詳解】由題意可得所形成的幾何體為圓錐，圓錐的高和底面半徑均為，母線長(zhǎng)為2，所以圓錐的表面積為．故選：.29．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐中，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，平面平面，則四棱錐外接球的表面積為（

）A．4π B．8π C． D．【答案】C【分析】將該四棱錐的外接球放在一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，畫(huà)出圖形，利用已知條件找出球心，建立相應(yīng)的關(guān)系式，求出外接球的半徑，利用球體表面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意將該四棱錐放在一個(gè)長(zhǎng)方體的中，如圖①所示：取的中點(diǎn)，連接，連接交于，由，則在等腰中有：，又平面平面，且平面平面ABCD=，則平面，又，所以在中，，由底面為正方形，所以它的外接圓的圓心為對(duì)角線的交點(diǎn)，連接，則，外接圓的圓心為，且在上，過(guò)點(diǎn)，分別作平面與平面的垂線，則兩垂線必交于點(diǎn)，點(diǎn)即為四棱錐外接球的球心，且平面，又平面，即平面，所以，所以四邊形為矩形.如圖②連接，則，在中，，所以，解得，所以，所以，在圖①中連接，由，所以在中，，即四棱錐外接球的半徑為，所以四棱錐外接球的表面積為：，故選：C.30．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）唐朝著名的鳳鳥(niǎo)花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2），當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米）固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓柱的高為，根據(jù)圓柱和球的表面積公式求得，再根據(jù)圓柱和球的體積公式求出酒杯和半球的體積，結(jié)合題意求得的范圍，即可得解.【詳解】解：設(shè)圓柱的高為，則，所以,酒杯的體積，半球的體積，因?yàn)榫票娜莘e不大于半球體積的2倍，所以，解得，又因，所以，所以.故選：D.31．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，所有棱長(zhǎng)都等于的三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球上，球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷幾何體外接球的球心位置，再根據(jù)幾何關(guān)系求外接球的半徑，即可計(jì)算球的體積.【詳解】如圖，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心連線的中點(diǎn)處，（分別是等邊三角形和的中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即外接球的球心），，,所以球的體積.故選：D二、多選題32．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由已知中圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，高為2cm的和圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，高為4cm，兩種情況分別由體積公式即可求解.【詳解】側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，若圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，則底面半徑，，此時(shí)圓柱的體積若圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，則底面半徑，，此時(shí)圓柱的體積故選：BD33．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓錐的高是 B．圓錐的母線長(zhǎng)是4C．圓錐的表面積是 D．圓錐的體積是【答案】BD【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖可求得圓錐母線和高，進(jìn)而得到其體積和表面積，即可判斷出正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)圓錐母線為，高為，側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)與底面圓周長(zhǎng)相等，由弧長(zhǎng)公式得，即；所以圓錐的母線長(zhǎng)是4，即B正確；高為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；圓錐的表面積是，故C錯(cuò)誤；圓錐的體積是，即D正確.故選：BD34．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫(huà)的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖1甲)，圖乙是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖(扇形的一部分)，若兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺(tái)的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．內(nèi)切球的半徑為【答案】ACD【分析】將圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖還原可得圓臺(tái)，并根據(jù)圓弧所在圓的半徑和圓心角，可計(jì)算圓臺(tái)的高、體積、表面積以及內(nèi)切球的半徑.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，所以圓臺(tái)的高，故A正確；圓臺(tái)的體積，故B錯(cuò)誤；圓臺(tái)的表面積，所以C正確；由于圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上下底面半徑和，所以圓臺(tái)的高即為內(nèi)切球的直徑，所以?xún)?nèi)切球的半徑為，即D正確.故選：ACD.35．（2022春·吉林·高一校聯(lián)考期末）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為 B．圓錐的表面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等 D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3：1：2【答案】CD【分析】對(duì)于A：直接求出圓柱側(cè)面積，即可判斷；對(duì)于B：直接求出圓錐表面積，即可判斷；對(duì)于C：直接求出球的表面積，即可判斷；對(duì)于D：直接求出所以圓柱、圓錐、球的體積，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：球半徑為R，所以圓柱側(cè)面積為.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：圓錐側(cè)面積為，表面積為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：球的表面積為,所以圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等.故C正確；對(duì)于D：，，，所以圓柱、圓錐、球的體積之比為3：1：2.故D正確．故選：CD．36．（2022春·遼寧撫順·高一校聯(lián)考期末）下列說(shuō)法正確的有（

）A．若一個(gè)圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為，則其內(nèi)切球的表面積為B．正方體的棱長(zhǎng)為分別為棱的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面被正方體所截，則截面圖形的面積為C．已知邊長(zhǎng)為1的菱形中，，則用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的這個(gè)菱形水平放置時(shí)的直觀圖的面積為D．正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，其內(nèi)切球體積為【答案】AC【分析】畫(huà)出球內(nèi)切于圓臺(tái)、正三棱錐的軸截面，利用圖形中的長(zhǎng)度關(guān)系可求出球的半徑，即可判斷AD，對(duì)于B，分別取線段的中點(diǎn)為，即可得到經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面被正方體所截的圖形為正六邊形，求出其面積可判斷，根據(jù)平面圖形的原圖形與直觀圖面積的關(guān)系可判斷C.【詳解】對(duì)于A，球內(nèi)切于圓臺(tái)的軸截面如圖：其中，所以，所以，因?yàn)闉榍虻闹睆?，所以球的半徑為，其表面積為，故A正確；對(duì)于B，分別取線段的中點(diǎn)為，則經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面被正方體所截的圖形為正六邊形，其邊長(zhǎng)為，面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的菱形中，，所以菱形的面積為，所以用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的這個(gè)菱形水平放置時(shí)的直觀圖的面積為，故C正確；對(duì)于D，球內(nèi)切于正三棱錐的軸截面為：其中為該三棱錐的高，為該三棱錐的斜高，為球的半徑，因?yàn)檎忮F的所有棱長(zhǎng)均為2，所以可求出，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，解得，所以該三棱錐的內(nèi)切球體積為，故D錯(cuò)誤；故選：AC37．（2022春·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）已知圓錐（為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心）軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則下面選項(xiàng)正確的是（

）A．圓錐PO的表面積為B．圓錐PO的內(nèi)切球半徑為C．圓錐PO的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，該圓柱的高為D．若C為PB的中點(diǎn)，則沿圓錐PO的側(cè)面由點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路程是【答案】ABC【分析】根據(jù)圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合圓錐的表面積公式和內(nèi)切球的性質(zhì)，以及內(nèi)接圓柱、側(cè)面展開(kāi)圖的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，圓錐軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得圓錐的底面圓的半徑為，高，母線長(zhǎng)為，則圓錐的表面積為，所以A正確；對(duì)于B中，設(shè)圓錐的內(nèi)切球球心為，半徑為，如圖所示，由與相似，可得，即，解得，即圓錐的內(nèi)切球的半徑為，所以B正確；對(duì)于C中，如圖所示，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，在直角中，可得，則，所以，所以?xún)?nèi)接圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)所以圓錐PO的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，該圓柱的高為，所以C正確；對(duì)于D中，如圖所示，設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的與圓心角為，由弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，可得，可得，在直角中，，可得，即當(dāng)為的中點(diǎn)，則沿圓錐的側(cè)面由點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程是，所以D不正確.故選：ABC.三、填空題38．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）四面體中，，，則此四面體外接球的表面積為_(kāi)____．【答案】【分析】將四面體放入長(zhǎng)方體中，使得六條棱分別為長(zhǎng)方體六個(gè)面的面對(duì)角線，則長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，利用數(shù)據(jù)計(jì)算長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，可得球的表面積．【詳解】將四面體放入長(zhǎng)方體中，使得六條棱分別為長(zhǎng)方體六個(gè)面的面對(duì)角線，如圖：則長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，又長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則有，，，所以，所以外接球的表面積為，故答案為：39．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)球形的冰淇淋，圓錐底的直徑與球的直徑相同均為6，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不會(huì)溢出杯子，則杯子圓錐形部分的高度最小為_(kāi)_____.【答案】12【分析】利用球的體積和圓錐的體積公式，結(jié)合球的體積等于圓錐的體積即可求解.【詳解】解：設(shè)圓錐的高為，則圓錐的體積為圓錐，球的體積為球由題意可知，圓錐球，即，解得.所以杯子高度的最小值為.故答案為:.40．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知圓柱的全面積為，圓柱內(nèi)有一平行于圓柱軸的截面，截面面積為，且截面上的兩條母線將圓柱側(cè)面分成兩部分的表面積之比為，則圓柱的體積是______.【答案】【分析】依題意畫(huà)出圖形，根據(jù)面積之比求出弦所對(duì)的圓心角，從而求出，設(shè)底面半徑為、圓柱的高為，根據(jù)面積公式得到方程組，解得、，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)榻孛嫔系膬蓷l母線將圓柱側(cè)面分成兩部分的表面積之比為，可知由圓柱底面圓心向截面與底面的兩個(gè)交點(diǎn)連線形成的圓心角，即弦所對(duì)的圓心角為，設(shè)底面半徑為，則弦，設(shè)圓柱的高為，則，解得或（舍去），所以圓柱的體積.故答案為：41．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）一名學(xué)生參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)，利用3D技術(shù)打印一個(gè)幾何模型該模型由一個(gè)幾何體及其外接球組成，幾何體由一個(gè)內(nèi)角都是120°的六邊形繞邊旋轉(zhuǎn)一周得到且滿(mǎn)足，，則球與幾何體的體積之比為_(kāi)_____.【答案】##【分析】方法一：設(shè)，，由求出、，可得，，相除可得答案；方法二：設(shè)，，，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐，求出、，可得，設(shè)中點(diǎn)為，為球心，由求出，可得，相除可得答案.【詳解】方法一：設(shè)，，連接，因?yàn)?，且每一個(gè)內(nèi)角都為，所以，所以，即，所以四邊形是長(zhǎng)方形，，∴，∴，，，；方法二：設(shè)，，∴，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐，，，∴，∵幾何體存在外接球，設(shè)中點(diǎn)為，∴為球心，由，∴，，∴，，∴.42．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）底邊和腰長(zhǎng)之比為的等腰三角形被稱(chēng)為“黃金三角形”，四個(gè)面都為“黃金三角形”的四面體被稱(chēng)為“黃金四面體”.“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為_(kāi)_____.【答案】【分析】畫(huà)出符合題意的四面體，由其特征將其補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，分別計(jì)算外接球與內(nèi)切球表面積可得答案.【詳解】如圖，設(shè)四面體為“黃金四面體”，且，得，又因四個(gè)面都為“黃金三角形”，則.注意到四面體對(duì)棱相等，則將其補(bǔ)形為如圖所示長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體外接球與該四面體外接球重合.設(shè)，則長(zhǎng)方體外接球半徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，有，又注意到：，得，又，得.注意到，，則.又在中，，取中點(diǎn)為E，則，故，又由前面分析可知四面體的四個(gè)面全等，則四面體的表面積.設(shè)四面體的內(nèi)切球半徑為，則，得.注意到，則，又，得，又，則.則“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為：，代入，得比值為：.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及求幾何體的外接球半徑及內(nèi)切球半徑，難度較大.題目關(guān)鍵為由題目條件得到“黃金四面體”的對(duì)棱相等，從而將其補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，而適當(dāng)?shù)拇鷵Q也可減小計(jì)算的復(fù)雜度.43．（2022春·云南文山·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面，三棱錐的體積為，已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)外接球與三棱柱的幾何位置關(guān)系，作出圖形，在直角中利用勾股定理求出外接球半徑即可求解.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下，設(shè)，則，所以，所以，如圖，點(diǎn)為等邊三角形外接圓的圓心，則，設(shè)外接球的球心為，則有,所以在直角中，，所以外接球的表面積為,故答案為:.四、解答題44．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是一圓柱形樹(shù)樁的底面直徑，是圓柱的母線，且，點(diǎn)是圓柱底面圓周上的點(diǎn)．(1)求該樹(shù)樁的側(cè)面積和體積；(2)若，是的中點(diǎn)，線有一只小蟲(chóng)在點(diǎn)，先在線段上鉆一個(gè)小洞，記為點(diǎn)，若該小蟲(chóng)要從點(diǎn)鉆過(guò)小洞點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，要使得小蟲(chóng)爬過(guò)的路徑最短，請(qǐng)你確定小洞點(diǎn)的位置，并求出路徑的最小值．【答案】(1)，(2)位置見(jiàn)解析，最小值為【分析】（1）根據(jù)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖即可求解側(cè)面積，