2023年上海市高考數(shù)學(xué)考前20天復(fù)習(xí)-10 解三角形大題綜合教師版

10解三角形大題綜合

1.（2023?上海?高三專題練習(xí)）己知工ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為〃、b、c.

（1）若α=2b=Gc,,ABC的面積S=后，求c；

（2）若cosA=cosB=也cosC,求SinC.

【答案】（1）4：（2）巫.

3

【分析】（1）由給定條件求出CoSC,再由三角形面積公式即可求解；

（2）由題設(shè)條件得4=8,再由三角形內(nèi)角和定理及二倍角公式建立方程求解即得.

【詳解】（1）—45C中，令α=2√5f,則6=√5f,c=2f,

+j2―c2?2t2+3t2-4t2_11

山余弦定理得COSC=sinC=Vl-cos2C=

2ab2-2√3∕?√3r~li12

因?yàn)?3C的面積S=岳，所以La加inC='2八?√5∕?0?=岳,

2212

解得/=2,所以c=4；

(2)因函數(shù)y=cosΛ^在(0,π)單調(diào)遞減，由cosA=cosB,

得A=B，8為銳角，COSC=COSor-A-3)=-CoS23,

XcosB=?∣3cosC>BPWcosB=-?/?cos2B,cos2B=2cos2B-1?

/?/?

2√3COS2B+COSB-√3=0,解得CoSB=土或COSB=-J(舍公)，

32

則CoSC=鬻j所以SinC=述.

√333

2.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在ΛBC中，角A,B,C對應(yīng)邊為α,b,c,其中6=2.

⑴若A+C=120。，且α=2c,求邊長c；

o

(2)若A-C=15,￠7=72csinA,求二AfiC的面積Sabc.

【答案】(1)友

⑵3-√5

【分析】（1）利用正弦定理以及=角恒等變換的知識求得c.

（2）利用正弦定理、兩角和的正弦公式以及三角形的面積公式求得正確答案.

【詳解】（I）依題意，a=2c,

由正弦定理得sinΛ=2sinC,即Sin（1200-C）=2sinC,

—cosC+?sinC=2sinCtanC=-,

223

由于0°<C<120°,所以C=30°,則A=90°,8=60°,

.cb?sinC2

由正弦定理得.R-=一于二一Γ^?

SinCsinBsinB√33

~2

（2）依題意，a=?∕2csinA

由正弦定理得SinA=J^SinCSinA，

由于15。<4<180。,sinA>O,所以SinC=也,

2

由于A—C=15°>0,所以C為銳角，所以C=45。，

則A=60"=75°,

sin75°=sin（450+30o）=sin45ocos30°+cos45osin30°=,

cbbsinC2x/?4?/?-1）（∣-、

由正弦定理得碇=而萬,C=FF=京Q=夙?[?L）=2（后-1）,

4

所以Sz?,A0c=g%csinA=；x2x2（G-l）x^^=3-75.

3.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=fsinx-cosx(rWR)

(1)若函數(shù)”χ)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)/的值;

⑵當(dāng)f=6時(shí)，在AfiC中(A8,C所對的邊分別為a、b、c),若/(2A)=2,c=3,

且JWC的面積為26，求”的值.

【答案】(IH=O

√73

(2)a=------

3

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)滿足f(r)=∕(x),即可求解.

(2)先有輔助角公式得"x)=2Sin(X-T,代入"2A)=2,即可求解A=1,然后根

據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】（1）任取XWR-X）=TSinX-CoSX

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為偶函數(shù).所以

/(τ)=∕(x)nt=0

(法二：特值法，再驗(yàn)證)由函數(shù)”X)為偶函數(shù)知個(gè)方卜圖，(可取不同特殊值)

得T=t,/=O

又當(dāng)」=0時(shí)，/(X)=-CoSX,函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，.?.f=0.

(法三：觀察法，需舉反例)f(x)=tsinx-cosx,

f=0時(shí)，函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，F(xiàn)(X)=-COSX

任選Xe凡/(-x)=-COSX,則有XeR,"-x)=-cosx="x)

當(dāng)r≠0時(shí)，舉反例,如/用端卜°，/(-加圖≠°,

此時(shí)/(x)為非奇非偶函數(shù),所以，函數(shù)〃x)為偶函數(shù)時(shí)f=0;

(2)當(dāng)f=當(dāng)時(shí),/(X)=百SinX-cosX=2sin(x-1],

由“24)=2,則有2sin°A-弓)=2,A∈(0,π)=>A=^

由題意S=—besinA=2Λ∕3=>b=-f

23

在，ASC中，a2=b2+c2-2?ccosA=f-1+3?-2x9x3Xj=二，

⑶329

則”叵

3

4.(2023?上海靜安?統(tǒng)考一模)平面向量m=(39也依0$2外,〃=((：0§乂-\/^),函數(shù)

y=fW=fn?n+-.

(1)求函數(shù)y=fM的最小正周期；

TT

(2)若xe[0q],求)，=/*)的值域；

(3)在4A8C中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為久b、c,已知/(B)=α=2,?=√7,

求^ABC的面積.

【答案】⑴無

⑶述

2

【分析】(1)利用數(shù)量積、二倍角公式和輔助角公式化簡得到/(x)=6Sin∣2x-?

然后求最小正周期即可；

(2)利用換元法和三角函數(shù)單調(diào)性求值域即可；

(3)利用余弦定理得到c,然后利用三角形面積公式求面積即可.

【詳解】(1)

m?n=3sinXCOSX-y∣3cos2X=-sin2x-^~cos2x=y/3sin(2x-,

222V6√2

所以/(x)=GSin(2Xq)

最小正周期為).

/c、?r?C兀八兀TC5τr

(2)?,//=2%——,X∈0,—,——≤χ/≤,

6L2」66

TJsin〃在-U上嚴(yán)格增，在?,?上嚴(yán)格減，sin(-g)=-4，sin竽=!，

_OZJ[_Zoj?O√Z62

「√3'

Sing=I,所以y=F(X)的值域?yàn)楱D一,6.

(3)f(B)=?/??即Sin(28一看)=1,

因?yàn)?為三角形內(nèi)角，所以3=q.

4÷r2—71

cosB=------------=—?即c'-2c-3=0,解得c=3?

2×2×c2

所以△A3C的面積為LQCSin5=3χY^=2叵.

222

5.(2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模)已知向量α=(sinx,l+cos2x),〃=(COSX,g),/(x)=tz??.

(1)求函數(shù)y=∕(x)的最大值及相應(yīng)X的值；

7Ir

(2)在ABC中，角A為銳角，且A+B=F，/(A)=1,BC=2,求邊AC的長.

【答案】(1)最大值也土!■，此時(shí)x=g+Zπ,Ar∈Z≡

28

(2)AC=√6

【分析】(1)利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算、二倍角公式以及輔助角公式求得函數(shù)y=∕(χ)

的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；

(2)由(1)求出角A的值，再利用正弦定理求出AC邊的長作答.

【詳解】⑴依題意,

?,、cos2x+l1/.cc、16.,C兀、1

t(x)=CosxsinX+-----------=—(s?n2x+cos2x)+—=——sm(2x+—)+—

222242

當(dāng)2x+；=]+2E,即x=]+E,A∈Z時(shí)，y=∕(H取最大值與1.

(2)由(1)及/(A)=I得：4sin[2A+；]+，=l,即Sinl2A+；)=也,

因…%則KA+：哼因此,2嗚咚則A/

而A+8=詈，有B=,

?R2sin-

BC得，4c='CsmB=——1=@

在.4BC中，由正弦定理

sinAsinBsinASin'

、4

所以邊AC的長為指.

53

6.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）在ABC中，cosΛ=--,cosB=^.

（1）求SinC的值;

（2）若AB=4,求ASC的周長和面積.

【答案】（1）獸；

OD

（2）周長32,面積24.

【分析】（1）利用兩角和的正弦公式即可求得SinC的值;

（2）先利用正弦定理求得JlBC的。力的長，進(jìn)而求得二ΛBC的周長和面枳.

53

【詳解】(1)在ABC中,cosA=--,cosB=-,又A3∈(θ,π),

則sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosASin3=百、，+1一■JXW=函.

(2)C=AB=4,XsinA=—,sinB=-sinC=-

135t65

4

12一

?nA?B5

SL-m

-C13S?iCC-

則由正弦定理得。?C×4=15,Z?=×4=13,

S1n16

一sl16

in一

6565

則的周長為15+13+4=32

45C的面積為,"sinC=Jχl5χ13χ3=24.

2265

7.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）在ABC中，角A、B、C所對邊的邊長分別為a、氏c,

已知α=2√∑,C=45o.

⑴若SinA=√5sin8,求c；

(2)若B-A=15。,求.ABC的面積.

【答案】(I)C=2

(2)2+—

3

（分析】（1）根據(jù)正弦定理求邊長后再應(yīng)用余弦定理求解即可.

（2）先求出角，再求出邊長，最后應(yīng)用面積公式求解可得.

【詳解】（1）由SiIlA=夜sinB,應(yīng)用正弦定理得“=啦匕=20,."=2.

2=8+4-2x2&x2x正=4,即得c=2.

2

B-A=I5°

（2）因?yàn)?/p>

β+A=135o

2√2c_J_

又由正弦定理得語=近‘°=耳’

TT

Sabc=?izcsinβ=-×2>j2×sin75?=?×2?∣2×-i?×=2+.

22?243

8.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）在銳角.ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊分別為。、b、c,

且2匕SinA=百〃.

（D求角B;

⑵求cosA+cos8+cosC的最大值.

【答案】（嗚

【分析】（1）根據(jù)正弦定理得2sinBsin4=石sin4,則SinB=也，結(jié)合角8的范圍即

2

可求出角8的大小.

（2）通過三角恒等變換得CoSA+cosB+cosC=sin（4+S）+g,結(jié)合角A的范圍即可得

到其最值.

【詳解】（1）由2。SinA=GQ結(jié)合正弦定理可得：2sinBsinA=GsinA,

因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以SinAW0,

所以SinB=?

2

BeM,故3吟

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論有:

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cos

2

=COSALSA+立sinA+l=^sinA÷icosA÷i

222222

=sinA÷-+?

62

0<2兀一A<Z

32rZMπ.π

山＜,可得:??<A<;,

0<ΜO2

π

當(dāng)A=1時(shí),sin(A+%I=1，

6max

即COSA+cosB+cosC的最大值是∣?.

9.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）在，ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、

已知SinA=Sin28,a=4,b-6.

⑴求CoSB的值；

（2）求A5C的面積.

【答案】（I）COSB=g

⑵80

【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合二倍角公式可得解.

（2）根據(jù)余弦定理可得c,由cos5可得sin5,進(jìn)而可得面積.

【詳解】（1）在ABC中，由正弦定理‘二=々，

sinAsinB

又SinA=sin2B=2sinBCoSB,

a

g、i?ππ46

2sinBcosBSinB2sinBcosθsinB

解得CoSB=g；

（2）由（1）得cos8=:,則sin8=述，

33

6

又由余弦定理COS8=M^~-==1,c>0,

Iac2X4c3

解得c=6,

所以S=LCSinB=JX4x6x2夜=8后.

223

10.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知X∈凡機(jī)=(2cosx,2百sinX),n=(cosx,cosx),

⑴設(shè)?(?)=加?〃，求函數(shù)y=/(x)的解析式及最大值;

⑵設(shè)AABC的三個(gè)內(nèi)角人民C的對邊分別為&Ac,當(dāng)%=A時(shí)，機(jī)=Q〃，且c=26，

求的面積.

【答案】(l)/(x)=2sin(2x+?)+l,最大值為3.

⑵石或

【分析】(1)利用向量數(shù)量積的運(yùn)算、降次公式、輔助角公式對f(x)的表達(dá)式進(jìn)行化

簡，進(jìn)而求得f(x)的最大值.

(2)利用向量共線求得4,A,利用余弦定理求得分,由此求得三角形ABC的面枳.

【詳解】(I)/(x)=2cos2X+2?∕3sinxcosX=?/?sin2x+cos2x+l

=2sin0x+,+l,f(x)的最大值為3.

(2)X=A時(shí)，m=an，

(2cosA,2√3sinA)=(acosA,acosA),

.A=acosA

=>a=2,tanA=—,

CsinA=acosA3

TT

由于OvAv乃，所以A=：,

6

由余弦定理得儲=從+/一CCoSA,

h

4=?2+12-2?×2√3×-,從一60+8=0,

2

解得匕=2或b=4.

當(dāng)6=2時(shí)，S^ABC=^?csinA=^×2×2>∕3×^=?/?,

當(dāng)方=4時(shí),5Az(C=gbcsinA=gχ4χ2√5xg=2√5.

11.(2023?上海崇明?統(tǒng)考二模)在4ABC中，a,b,C,分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,

機(jī)=(20+c,b),〃=(COS3,CoSC),帆〃=0.

(1)求角8大?。?/p>

/7t1兀2兀

(2)設(shè)/(x)=2CoSKSinx+--2sin2xsinB+2sinxcosxcos(A÷C),當(dāng)XE—,——時(shí),

k3√L63」

求/("的最小值及相應(yīng)的尤

【答案】(1)8=個(gè)9JT

7τr

(2)當(dāng)X=在時(shí)，/(x)有最小值一2.

【分析】（1）利用向量垂直的充要條件和正弦定理即可求解；

（2）先利用兩角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化簡，再用輔助角公式化為

“x）=2sin（2x+g）,最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最小值及其取得最小值時(shí)的X值.

【詳解】（1）由己知條件得a?〃=（24+c）cosB+Z?COSC=0,

由正弦定理得（2SinA+sinC）COSB+sinBCoSC=0,

即2sinAcosS+sinCcosB+sinBcosC=O,2sinAcosB÷sin(B+C)=0,

則2sinAcosB+sinA=0,

VsinA≠0,.'cosB=--,

2

?jr

又?.?3∈(0㈤,Λβ=y;

(2)/(?)=2cosxsin^x+^-2sin2XSin8+2SinXCOSJICoS(A+C)

?(?.?/?]∕τ.2,?

=2COSx-sιnx÷——cosx-√3smx÷Sinxcosx

122J

=2SinXCosx+bcos2?-?/?sin2x

=sin2x+>∕3cos2x=2sin∣2x+]J.

π2π~]CπΓ2π5π^l-,八.(C∕τ

*?*x∈—,—.2xH—∈—,—,—2≤2sin2xH—≤y∣3,

L63J3L33J(3J

則f(x)的最小值一2,其中2%+方=與，即當(dāng)X=^l時(shí)，“X)有最小值一2.

12.（2023?上海?高三專題練習(xí)）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C為AB上一點(diǎn)，D,E分別

sin2ZDCEsinZCDEsinΛCED3

為線段。4,0B上的點(diǎn),且COJ_OA,CE_L08,

sin2ZCDE+sin2ZCED-sin2ΛDCE4

(1)求/AOB的大??；

(2)若扇形的半徑為30,求ACDE面積的最大值.

【答案M嗚

力225√3

4

【分析】(1)在△口?￡中利用正弦定理進(jìn)行角化邊轉(zhuǎn)化，再結(jié)合余弦定理及同角的三

角函數(shù)關(guān)系式得到關(guān)于CoSNf>CE的一元二次方程，進(jìn)而得到∕Σ>CE,可知/AO5和

NoCE互補(bǔ)，可求得/AOB；

(2)連接0C,設(shè)NAOC=，(0<θ<^),利用銳角三角函數(shù)可得到8和CE,結(jié)合

三角形面積公式SAoC￡=；xC。XCEXSinNDCE,利用三角恒等變換化簡，由三角函數(shù)的圖

像及其值域即可求解.

【詳解】(1)在ADCE中，由正弦定理得：%咎E=Y，又由余弦定理得：

CE2+CD~-DE“4

2

CE?CD?sinZ.DCE3z.λ.2八C八八

?VLf------------------小左?化間得：2sm^Z.DCE÷3cos/DCE=0，

2義CE義CD×cosNDCE4

即20-c(√N(yùn)DCE)+38SZDCE=O=QCOSNDCE+l)(cosNDCE-2)=0,

]2TT

解得：COSNDCE=--，COSZDcE=2(舍去)，0<ZDCE<π,則NOCE=一，

23

TT

又CDLOA,CE工OB,.?.ZDCE+Z4QB=π,所以ZAoB=—.

3

TrTr

(2)連接。C,可得OC=30,設(shè)ZAoC=6(0<θ<-),則NBOC=5-9,

在氏。￡)(7中，8=30Sin氏在用OEC中，CE=30s陪旬,

所以，CDE的面積S=?×CD×CE×sinZDCE=?×30sinθ×3Osin-6,jχsin

=225GsinCoSO—;Sinθ[=225χ∕^[弓SinOcosO—?sin2θ)=2256(乎Sin21θ+?eos20—；

1?Ucc兀、11225√3.(CCπ}225√3

=225√3-sin20+-——=———sin2Θ+--------—,

_2I6)4」2Vej4,

_225>∕3.(CCπ?225G.八π

即hπS=———sin2<9+--------—(zr0<Θ<-),

2I6；43

因?yàn)?<0<三，所以m<29+[<?,則當(dāng)2。+?=1=。=]時(shí)，即C為AB中點(diǎn)時(shí)，

3666626

CDE的面積S取得最大值Sa=管@.

4

13.(2023?上海?高三專題練習(xí))如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，cosB=-5，A。=BC=3,

CD=5.

(1)求邊AC的長；

(2)設(shè)∕84C=α,ΛACB=β,求sin(2α+Q)的值.

【答案】(1)回；

⑵迎

10

【分析】(1)利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理計(jì)算作答.

(2)在中，利用正弦定理求出Sinα,再利用誘導(dǎo)公式、差角的正弦公式計(jì)算作

答.

(1)

4

圓內(nèi)接四邊形43Cf)中，3+。=%,cosO=-CosB=M,

4

??ACDψ,由余弦定理得AC?=%。?+。。?一2AQ?CZ)COsO=9+25-2χ3x5XW=I0,

所以邊AC的長是Ji6.

(2)

2

依題意，sinB=Vl-cosB=?,在AABC中，a+β=π-B18為鈍角,

3

3x

由正弦定理得：∕?=旦，W..：n.T_gCsinB_5_97i0,

sιn8sιnaSma-二^一前一寸

而α為銳角，則COSa=更運(yùn)

50

所以Sin(2α+分)=sin(萬一8+α)=sin(8-α)=sin8cosα-cos8sina

313√IO49√IO3√IO

=-X----------------1-----X-------------=-------------.

55055010

14.(2023?上海?高三專題練習(xí))在，ABC中，角A,B,C所對的邊分別為小b,0且

cos(B+C)a

cosC2b+c

⑴求角4；

(2)若b=l,cosC=,求α,

7

■依心、〃.2π

【答案】（1）4=7

(2)a=H,c=2.

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡即得解;

（2）求出SinB,再利用正弦定理得解.

(1)

解：因?yàn)閏°s(B+C)a匚匚“cosAa

-----,所以------=———

cosC2b+ccosC2?+c

CoSAsinA

由正弦定理得-

cosC2sinB+sinC

所以2sinβ∞sA+sinCcosΛ=-cosCsinΛ,

所以2sinBCOSA=—(cosCsinA+sinCcosA),

即2sinBcosA=-sin(A+C)=-sinB.

因?yàn)閟in6wθ,所以CoSA=-g

因?yàn)锳e（O,乃），所以A=

(2)

r2√7?而

解：若cosC=---γ-?C∈(θ,τr),則SinC=1-

7

~7~7

SinACoSC+coSASinC=迫Xm+J4x叵=蟲

則sin6=sin(A+C)=

27V2j714

b

由正弦定理得√ΣT-G一⑨，

sinBsinAsinC

1427

解得α=>∕7.c=2.

15.（2023?上海?高三專題練習(xí)）第十屆中國花博會于2021年5月21日在崇明舉辦，其

標(biāo)志建筑——世紀(jì)館以“蝶戀花”為設(shè)計(jì)理念，擁有全國跨度最大的自由曲面混凝土殼體,

屋頂跨度280米，屋面板只有250毫米，相當(dāng)于一張2米長的桌子，其桌面板的厚度不

到2毫米.

圖1為館建成后的世紀(jì)館圖：圖2是建設(shè)中的世紀(jì)館；圖3是場館的簡化圖.

圖1圖2

圖3

如（圖3）是由兩個(gè)半圓及中間的陰影區(qū)域構(gòu)成的一個(gè)軸對稱圖形，AA'∕∕PP,∕∕θσ∕∕BB',

其中A4'=280米；圓心距OO'=160米：半徑R=75米：橢圓中心P與圓心。的距離

PO=40米，C、C'為直線PP與半圓的交點(diǎn)，NCoB=60。.

（1）設(shè)α=∕4'AB,計(jì)算Sina的值；

（2）計(jì)算NCoP的大?。ň_到1°）.

3

【答案】（1）（2）24.

【分析】（1）由。。'為等腰梯形WA'中位線，根據(jù)對稱性易知CoSa="二?,進(jìn)

2OA

而可求sine.

（2）結(jié)合（1）可得α的大小，由正弦定理有SinP=空駕”二，即可求一尸，在

△CPO中即可求NCoP.

【詳解】（1）由。0'為等腰梯形ABffA;中位線,

280—160

???根據(jù)對稱性有--2__4，

755

??3

?.sιnα=一.

5

(2)由Λ47∕Ocr由(1)知⑷。3=Z4'AB=α,則ZPCO=400'=60。一ɑ.

OCOP

???在Ab。中，由正弦定理嬴7=sin(60。-0，即

ooo

.,,OC?sin(60-a)75(sin60cosa-cos60sina)l,ll12百-9

s?nP=---------------=--------------------------,則SinP=-------------，

OP4016

結(jié)合(1)可得：/P=132.56°,α=36.87°

NCoP*24。.

16.(2023?上海?高三專題練習(xí))某公園要建造如圖所示的綠地OABC,OA,OC為互

相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄AB與BC的總長度為12米，且

π

/BAO=/BCO,設(shè)NBAO=α(0<a<-).

2

JT

（1）當(dāng)A5=4,a=§時(shí)，求AC的長；（結(jié)果精確到0.1米）

（2）當(dāng)AB=6時(shí)，求。4BC面積S的最大值及此時(shí)ɑ的值.

【答案】（1）11?6米

（2）當(dāng)α=小時(shí)，養(yǎng)殖場OABC最大的面枳為180+18平方米

O

【分析】（1）在ASC中，根據(jù)余弦定理求解即可；

（2）當(dāng)48=6時(shí)，可得5=2*308*84*$治（,一&）,再化簡可得5=18&$也（2&-：1+18,

再根據(jù)正弦函數(shù)的最值分析即可

yrTi7iSTT

【詳解】（1）在一ABC中，AB=4,BC=8,ZABC=2π----------=一，由余弦定

3326

理，AC1=AB2+BC2-IABBC-cosZABC=80+32√3-?AC=√80+32√3≈11.6?

因此AC的長約為11.6米.

C

B

■TTΛ7Γ

（2）連接08.由題意，AB=BC=6,ZABO=ZCBO=π---a=--a,

44

由正弦定理BC

在^OBC中,0~=得06=6&sina.

smaSinZBOC

于是S=2x；O8x8AXSin（，一α）=36λ∕∑sinasin（？-α）=36>∕2sina^-^-cosa+?-sinɑ

=36SinaCoSa+36si∏2a=18sin2α+18（1-cos2a）=18\/5sin（2a-；）+18,0<<z<?.'?

2α-g=g,即α=肆?xí)r，S取到最大值，最大值為18√∑+18?因此，當(dāng)C=理時(shí),

428o

養(yǎng)殖場QRC最大的面積為18√∑+18平方米

17.（2023?上海?高三專題練習(xí)）在ΛBC中，角A、8、C所對的邊分別為。、b、J

已知2戾inA-石α=0,且8為銳角.

（1）求角B的大??；

（2）若3c=3α+麻，證明：ΛBC是直角三角形.

【答案】（嗚

⑵證明見解析

【分析】（1）利用正弦定理邊化角可解得SinB=電，再由B為銳角即可求解（2）利用

2

正弦定理邊化角之后再消元，可得Sin（C-5）=；,再結(jié)合C的范圍即可得證

【詳解】（1）由正弦定理可知，號=上，

SinASinB

2〃SinA-?∣3a=O,.,.2sinBsinA=GSirL4

又在一ABC中，SinA>0,.?.2SinB=百，即SinB=3，

5為銳角，.?.8=q

(2)3c=3a+?∣3b

n1

所以由正弦定理得：SinC=sinA+sinθ=SinA+—，

32

+L/C+?nC+L

又A=τr-(B+C),.?.SinC=Sin+C

2222

即?sinɑ——cosCsinfC-q］二，?

222{3)2

C6沙Tdga

故可得C-J=B,

36

即C=f

二.ABC為直角三角形.

18.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)已知向量m二(2GCOSj-2s嗚)，∕?=^cos∣?,cos∣^∣,

函數(shù)y=f(x)=fn?n.

(1)設(shè)夕￡,且/(e)=6+ι,求e的值；

⑵在ABC中，AB=l,/(C)=√3+1,且ABC的面積為乎，求SinA+sin5的值.

【答案】(1)-9或!

26

(2)1+3

2

【分析】(1)化簡得至∣]∕(x)=2COS(X+宗)+石，代入數(shù)據(jù)得到CoSB+e)=；,得到

0+-TJT=2?π+J^T(?∈Z),根據(jù)范圍得到答案.

63

(2)確定C=￡,根據(jù)面積公式得到"=26,根據(jù)余弦定理得到/+〃=7,得到

6

a+b=2+6,再根據(jù)正弦定理得到答案.

【詳解】(I)/(?)=2?∕3cos2--2sin—cos—=^/?(1+cosx)-sinx=2cos∣x+&)+G.

222I6J

/(0)=2cos^+^+√3=^+l,得cos,+R=g,

故e+m=2fat±g(ZGZ),θej-g,g］,故，=_?或［.

632226

π

(2)C∈(O,π),由(1)知C=一,

6

在《ABC中，設(shè)內(nèi)角A、3的對邊分別是α,h,則S=?^=1出?Sin工，故ab=.

226

2222

由余弦定理得1=/+?-2tz?cos^=tz+?-6,故/+?=7.

6

〃=2Q=?∕3L

解得「或，于是α+人=2+6，

b=yJ3[b=2

-TE,口sinAsinBsinC1,,1J3

由正弦定理得----=---=---=—,?sinA+sinB=-(?÷?)=1+—.

ab\222

19.(2023?上海?高三專題練習(xí))ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、氏c,滿

^b2=a2+c2-ac?

（1）當(dāng)A為何值時(shí)，函數(shù)y=2sin2A+cos（與絲）取到最大值，最大值是多少？

⑵若…等于邊AC上的高人，求Sin（CU）的值.

【答案】（I）A=5時(shí)，y=2sin2A+cos（C券）取得最大值，最大值為2；

（2）y.

【分析】（1）由余弦定理求出B=1,對丫=25也24+8“^^）恒等變形得到

y=1+sin（2A-J利用整體法求解出最大值：

（2）先利用三角形面積公式和正弦定理得到SinASinC=SinC-SinA,再使用和差化積

C-A3C-AC-A13

等得到Sin三2==-sin?,解方程求出：sin三C=;或舍去不合要求的解，

242222

求出答案.

【詳解】（1）由〃=/+/—“C得：COSB="C"^^J

2ac2ac2

因?yàn)锽e（0,π）,所以B=T，

,兀?

π------A-3A

y=2sin2A+cos(———I=l-cos2A+cos3

2

(π\(zhòng)ππ

=1-cos2A÷cos——2A=1-cos2A+cos—cos2A+sin-sin2A

13)33

=IH-----si∏2A——cos2A=1÷sin∣2Λ--I,

22I6J

因?yàn)?e(θ,胃所以2A=｛一亮)

所以當(dāng)2A-2=2,即A=E時(shí)，y=2sin2*7A+cosC-3A=l+sin（2A用取得最大值,

6232

最大值為2；

(2)由(1)知:5=

由三角形面積公式得：?ɑesinB=gbh=∣?（c-a）,

從而。CSinB=b(c-Q),由正弦定理得：sinAsinCSinB=Sinβ(sinC-sinA),

因?yàn)镾inB=立，所以SinASinC=SinC-sinA,

2

沁in22c。Sxin4=s3

由和差化積得：SinC—SinA=2cos

22222

ras..?C+A,^C-AI-cos(C+Λ)1—cos(C—A)

因?yàn)閟in-----------sιn^--------=-----------------L------------------------

2222

cos(C-Λ)cos(C+A)cosCcosΛ+sinCsinΛ-cosCcosΛ+sinCsinA..,

---------------------------------------------------------------=sinCsinA,

222

U匚?z??A.20*+A.2C—A.2冗―B.2C-A3.2C-A

所以SIneSInA=SIn---------sin--------=sin----------sin-------=——sin--------

222242

I.；.C-A3.2C-A缶9俎.C-AIT3

故SIn-------=--sm--------,解得：sin--------=一或一一，

242222

因?yàn)閟inC^4?e(-l,l),

所以SinCd="

22

20.