第24練空間直線平面的平行與垂直-2023年高考數(shù)學一輪復習小題練習（新高考）（解析版）

專題07立體幾何初步

第24練空間直線、平面的平行與垂直

誰練基礎(chǔ)

1.（2022?浙江浙江?二模）已知直線/〃平面α,點Pe平面α,且P不在/上，那么過點尸且平行于直線/

的直線（）

A.有無數(shù)條，僅有一條在平面ɑ內(nèi)B.只有一條，且不在平面ɑ內(nèi)

C.有無數(shù)條，均不在平面α內(nèi)D.只有一條，且在平面ɑ內(nèi)

【答案】D

【解析】過直線/與點P的平面有且只有一個,記該平面為萬.

又因直線/〃平面α,點Pe平面α

所以過點P且平行于直線/的直線只有一條，且這條線為平面α與平面夕的相交線.

故選：D.

2.（2022?浙江杭州?二模）設(shè)為兩個不同的平面，則α〃夕的充要條件是（）

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.α,6垂直于同一平面

C.α,Z?平行于同一條直線D.4內(nèi)的任何直線都與萬平行

【答案】D

【解析】A選項，α內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行，α與夕可能相交，A選項錯誤.

B選項，a,77垂直于同一平面，”與夕可能相交，B選項錯誤.

C選項，//平行于同一條直線，α與尸可能相交，C選項錯誤.

D選項，α內(nèi)的任何直線都與A平行，則α∕/,D選項正確.

故選：D

3.（2022?廣東?模擬）在正方體A8C。-CA中，M是正方形ABeD的中心，則直線與直線與M所

成角大小為（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

【答案】A

【解析】設(shè)正方體的棱長為2α,連接BC,MC,MB,

因為4C//A。，故NCgM或其補角為直線A1Q與立線BIM所成角.

而與五，22∕22

C=2√5α,MC=aBiM=√B,B+BM=√4i+2tz=√60,

故SC?=8附2+。用2,所以Mq_LCM,

所以COSNC3∣Λ∕=且,

-^L-因為為銳角，故。,

ZCB1MZCB1M=30

2叵a2

故選：A.

（?山西?一模（文））如圖,正方體）中，若分別是棱。，的

4.202248Cf-ABIGBE,F,GACtC,BlCl

中點，則下列結(jié)論中正確的是（)

A.BEl平面。RGB.AE〃平面。FG

C.CE〃平面Z）FGD.平面AEB〃平面DFG

【答案】C

【解析】由Aβ8-A4G。為正方體，且尸，G分別是棱CC，8,G的中點，則FG〃A。，則平面DFG即

為平面AOFG,

A選項，如圖連接AG,由正方體可知RG〃BE,又AGj.&G不成立，所以BE,AG不成立，即A選項

錯誤；

B選項，由AEl平面AOFG=A，故AE與平面AOFG不平行，B選項錯誤;

C選項，連接CE,則CE//AQ,又AGU平面AOFG,CEEAQFG,所以CE〃平面A力尸G,C選項正確;

D選項，平面AEB與平面A。FG有公共點A，故D選項錯誤;

故選：C.

5.（2022?廣東?深圳市光明區(qū)高級中學模擬）如圖所示，ABCn_48/。。/是棱長為”的正方體，M,N分

別是下底面的棱4/氏，8/C/的中點，P是上底面的棱Ao上的一點，AP=∣^,過P，M,N的平面交上底面

于PQ,。在CD上，則PQ=.

【答案］迤L

3

【解析】=MAW平面488,平面PMNon平面ABCD=PQ,MNU平面尸QNM,

.,.MNHPQ,易知DP=OQ=,

_?

22

故PQ=y∣PD+DQ=CPD=-√2β.

2√2ɑ

故答案為:

3

6.（2022?河南?寶豐縣第一高級中學模擬（文））在矩形ABa）中，ΛB=2ΛT>=4,點E為8的中點（如

圖1）,沿AE將445E折起到△APEilii,使得平面尸AE_L平面ABCE（如圖2）,則直線PC與平面ABeE

所成角的正切值為.

【答案】（

【解析】取AE的中點F,連接CF,PF,

：AA=PE且E為C。的中點，ΛPFYAE.

又,/平面PAEJ?平面ABCE,平面PAE'平面ABCE=AE,P尸U平面PAE,

.*.PEj_平面ABCE,

則直線PC與平面ABCE所成角為ZPCF

AE=-JAD2+DE2=2√2>PF=EF=應

CF'=EF2+CE'-ZEFCE-cosNCEF=lθBPCF=√10，

所以tanZPCF=^==-.

√105

1.（2022?湖北省仙桃中學模擬）已知平面α,夕，7,直線。，b,c,下列說法正確的是（）

A.若alia,bHβ,a∕∕b,則allβ

B.若〃_1.2,a±β,則R//?

C.若a_La,blip,2〃尸，則:

D.若αcy=α,β?γ=b,a∕∕h,貝IJa%

【答案】C

【解析】若R∕α,bllβ,a∕∕b,則α與夕平行或相交，故A錯誤；

若a_La,aLβ,則W/夕或αu∕,故B錯誤；

若α,c,bllβ,α∕/,山血血平行與線血垂直的性質(zhì)定理可得，故C正確;

若αcy=",βγ=b,a∕∕h,則α與夕平行或相交，故D錯誤.

故選：C.

2.（2022?廣東?普寧市華僑中學二模）如圖，在四面體ABCO中，若截面PQMN是正方形且P?！ˋC,則

在下列說法中，錯誤的為（）

A.AC±BDB.AC〃截面PQMN

C.AC=BDD.異面直線PM與BO所成的角為45。

【答案】C

【解析】A：由題設(shè)，易知QMllBD,又PQ_LQW,PQ//AC,即有AC1.8Z）,正確;

B：由PQ//AC,PQU截面PQMN,AC<X截面PQMM則ACH截面PQMN,正確；

C：僅當只。為中點時AC=BD,故錯誤；

TT

D：由A知：異面直線PΛ∕與BO所成的角為∠PMQ=正確.

故選：C

3.（2022?浙江湖州?模擬）如圖，已知四邊形ABC。，45Co是以BO為斜邊的等腰直角三角形，AABD為

等邊三角形，BD=2,將△?￡）沿對角線BO翻折到APBD在翻折的過程中，下列結(jié)論中不E㈣的是（）

A.BDYPCB.。尸與BC可能垂直

C.直線OP與平面BCO所成角的最大值是45。D.四面體PBa）的體積的最大是立

3

【答案】C

【解析】如圖所示，取8。的中點/，連接PM,CM

ΛBCD是以B4為斜邊的等腰直角三角形,，BDJ.CM

△A8O為等邊三角形,二3￡>，PM

.?.8OJ?面PMC,.-.BDLPC,故A正確

對于B,假設(shè)QPL3C,又BCLCD

.?.BCJ>面PC。，.?.BC±PC,

又PB=2,8C=>^,PC=√^e[G-l,G+l],故。P與3C可能垂直，故B正確

當面PBOJ.面BC。時，此時PM_L面BCD,NPzM即為直線。尸與平面8C￡）所成角

此時,NPOB=60",故C錯誤

當面P8￡>_L面BCZ）時，此時四面體PBCz）的體積最大，此時的體積為：

V=-SBCD?PM=i×^×√2×√2）×√3=-，故D正確

3B3323

故選：C

4.（2022?山東師范大學附中模擬）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系

外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，如圖所示.已知某“鞠''的表面上

2

有四個點滿足尸，面AC±BC,則該“鞠”的體積的最小值為（）

RAK,A=LPAABC,^VP,ABC=-9

2599

A.—∏B.9兀C.-πD.-π

628

【答案】C

［解析】取AB中點為。,過O作ODHPA,且OD=BPA=?,因為PA，平面ABC,^Jf以O(shè)D，平面ABC.由于

AC_LBC,故ZM=OB=Z)C,進而可知OA=O3=OC=OP.所以。是球心.為球的半徑.

112

V222

由P-ABC=-×-ΛC?CBPA=-=>ACCB=4,又AB=AC+BC≥2AC?BC=S,當且僅當AC=Be=2,等

號成立,故此時AB=2√L所以球半徑R=OA=M+(A"≥Jtj+(√2)2=|,故"|,體積最小值

故選：C

5.（2022?江蘇淮安?模擬）周總理紀念館是由正方體和正四棱錐組合體建筑設(shè)計，如圖所示，若該組合體

接于半徑R的球0（即所有頂點都在球上），記正四棱錐側(cè)面PBc與正方體底面ABcR所成二面角為6,

貝（］tan9=.

【答案】√3-l

【解析】由正方體的性質(zhì)可知該組合體的外接球的球心為正方體的中心，

設(shè)正方體底面ABG。的中心為BC的中點為E,連接PO,O∣E,PE,

則PE_LBlG,0也_LsG,

則∕PEO∣=e,設(shè)正方體的棱長為。，則尸O=等”,PO∣=*

tanθ=尸°l=?/?—1

O1E

故答案為：√3-l?

6.（2022?海南?模擬）如圖，在長方體ABCO-ABCQl中，A3=3cm,AD=2cm,AAi=Icm,則點用到

平面ABQ的距離為Cm

【答案】?

【解析】在長方體ABC。-ABCR中，ABL平面AORA,則有ABL4R,

又45=3Cm,AD=2cm,AAl=ICm,于是有49=石，s,.=-AB?AD=,

*八“a5h21γ2

,13

而A8_L84，AAJ平面A8B,,SAB及=；ABBB、=7,

設(shè)點用到平面ABD1的距離為h,由VBLABD,=?-λbb,f導：3SAB[)∣■‘7-3SABBj^?t，

即偵〃=3.2,解得〃=氈，

225

所以點Bl到平面ABDt的距離為W.

故答案為：亭

7.(2022?江西省豐城中學模擬(文))在三棱錐A-BcD中，底面BC。為直角三角形，且BCLCZ),斜邊

B。上的高為1,三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AB.若該外接球的表面積為16肛則當三棱錐A-88的

體積最大時，z?88的外接圓半徑為.

【答案】√2

【解析】設(shè)Ao=X，過C作CE_LBQ交8。于E,則CE=L

因為外接球的表面積為16肛故外接球的半徑為2,故AB=4.

因為AB為球的直徑，故NAQ仇NBCA均為直角，故A0_LB。，BCLAC,

而BC_LCnACCCO=C,故5C，平面AC。，

而ΛL>u平面ACQ,故8C_LAf),而53CBC=8,

故ADl.平面BCD,故VΛ,KCD=^×AD×SBCD,

又2

S0s=JxlxJ16-0,j?VABCD=1×Λ×1√I6-X≤?l=p

當且僅當X=2√2時等號成立，此時BD=2√2即ABCD的外接圓半徑收.

故答案為：y∣2-

8.(2022?廣西桂林?二模(理))在三棱錐ABCD中，對棱AB=CO=石，AD=BC=岳,AC=BD=yftO,

當平面α與三棱錐ABCD的某組對棱均平行時，則三棱錐ABCD被平面a所截得的截面面積最大值為

【答案】3

【解析】因為每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCQ放入長方體中，設(shè)長寬高分別為X,y,z,則

22222

y∣x+y=√5,√X+Z=√iθ,7√+z=√13，則X=Ly=2,z=3.

當平面α與三棱錐ABCO的對棱A8,C。均平行時，截而為四邊形EFG”，ABHFGHEH,CDHEFHHG,

設(shè)空=r(0<f<1),則變=四=f,所=18,同理=(1T)A8,NHEF(或其補角)是異面直線AB,CD

ACCDAC

所成的角，

SEKH=EF-EHsinZHEF=t(l-t)AB-CDsinZHEF,其中ABCDsinZHEF為定值，

t(?-t)=-t'+t=-[t--)^+^r>f=77時，f(lτ)取得最大值，即截面EFGH血積最大，此時E,F,G,H是所

242

在棱中點，

山長方體性知最大面積為長方體上下底面面積的一半;孫=1,

13

同樣地，當平面。與三棱錐ABs的對棱AC,BO均平行時，截面最大面積為EXZ=]；當平面α與三棱

錐ABCD的對棱AQ,BC均平行時，截面最大面積為g*=3.

故答案為：3.

3維練素養(yǎng)Ml

1.（2022?廣東廣州?三模）一幾何體的平面展開圖如圖所示，其中四邊形ABa）為正方形，EF分別為P&PC

的中點，在此幾何體中，下面結(jié)論錯誤的是（）

A.直線A￡：與直線8尸異面B.直線AE與直線。尸異面

C.直線EF，平面∕?OD.直線E尸.平面ABCz）

【答案】B

由題意知：該幾何體是底面為正方形的四棱錐，如圖所示，AE,EF,BF,DF,易得EFBC,BCAD,

則EF//AD.

故E￡4D共面，則AE,￡＞尸共面，故B錯誤；又FW面AEFD,8任面AEFr）,歹不在直線AE上，則直線

AE與直線8尸異面，A正確；

由所〃Ar）,EFeZ平面PAO,ADU平面RW,則直線E/，平面PAZ）,C正確；

EF（Z平面458，ADu平面A6C3,則宜線E/平面ABC。，D正確.

故選：B.

2.（2022?北京四中三模）如圖，在正方體ABC。-ABCA中，E是棱CG的中點，尸是側(cè)面8CC￡內(nèi)的

動點，且A尸與平面RAE的垂線垂直，則下列說法不正確的是（）

A.AF與。E不可能平行B.AF與BE是異面直線

C.點尸的軌跡是一條線段D.三棱錐F-ABR的體積為定值

【答案】A

【解析】解：設(shè)平面RAE與直線BC交于G,連接AG,EG,

則G為BC的中點，分別取用B,BC的中點用，N,

連接AM,MN,AiN,

如圖，VAiM/∕DiE,AME平面AAE,AEU平面AAE,

/.AiM//平面D1AE,同理可得MNH平面D1AE,

又A/、MN是平面AMN內(nèi)的兩條相交直線，

.?.平面AMN〃平面R4E,而AF〃平面AAE,.?.ΛIFU平面AMN,

得點F的軌跡為一條線段，故C正確；

并由此可知，當產(chǎn)與“重合時，AF與AE平行，故A錯誤；

?；平面AMN//平面〃AE,和平面AAE相交，.?.A/與BE是異面直線，故B正確；

'：MNHEG,則點F到平面RAE的距離為定值，.?.三棱錐尸-ABq的體積為定值，故D正確.

故選：A.

3.（2022?浙江紹興?模擬）正方體ABC。-ABC。中，。為正方體的中心，P為正方體表面上的一個動點,

若直線OP與平面4旦。、平面ACA所成的角都是30%則這樣的點P的個數(shù)為（）

A.4B.6C.8D.無數(shù)個

【答案】C

【解析】?；AAQD為正方形，則AA±A1D

又YCQ，平面AAyDlD,則ADt±CD

A1DCD=D,則AOj?平面A4C。

/.AD1IB1D

同理可得：ACIB1D,AClADi=A

：.BQ_L平面ACq

如圖，取AR的中點E,連接CE交瓦。丁點G,若平面EeR（即平面ACR）存在點“，使得OM與平面

ABQ、平面4C"所成的角都是30。，連接"G,過M作MNLCE,垂足為N,連接CW,則MW〃RE

設(shè)正方體的邊長為6,則。G=后,NOMG=NMON=P

6

：.Mo=2瓜MG=NO=3,MN=瓜NG=瓜

即在線段CE作NG=卡確定點N,再過點N作MN〃AR,且MN=拒,連接OM,則宜線OM即為滿足

題意的直線。P

根據(jù)對稱可知滿足條件的直線OP共有4條，則這些直線與正方體表面的交點共有8個

4.

場

4.（2022?廣東?模擬）在三棱錐P-ABC中，A8C為等腰直角三角形，AB=AC=2,ZXPAC為正三角形,

且二面角P-AC-區(qū)的平面角為則三棱錐尸-ABC的外接球表面積為（）

O

A.一C28n32

bC.---71D.—π

9?139

【答案】C

【解析】如圖所示，-ABC為直角三角形，又AB=AC=2,

所以BC=2√Σ,

因為aPAC為正三角形，所以PA=PC=AC=2,

連接PC,OE,。為AC的中點，E為BC中點,

則PDA.AC,DEIAC,所以NPOE為二面角P—AC-8的平面角

所以NPr>E=30。.

因為.,ABC為直角三角形，E為BC中點,

所以點E為ABC的外接圓的圓心,

設(shè)G為的中心，則G為aPAC的外接圓圓心.過E作面A8C的垂線，過G作面PAC的垂線，設(shè)兩

垂線交于O.

則。即為三棱錐P-ABC的外接球球心.設(shè)GO與DE交于點H,

1萬

所以“E=OE-OH=OE="Extan60=苧

17

??.R2=CO2=CE2+EO2=2+-=-.

33

所以S=4TR2=,L,

3

故選：C.

5.（2022?山東青島?二模）己知正方體ABCo-A4GA，動點尸在線段3。上，則下述正確的是（）

PC//AD

A.tiB.PC1IA1C

C.PGj■平面AB。D.PG〃平面ABQ

【答案】BD

【解析】對A,如圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)有4B〃QCFLAB=QG,故平行四邊形48GR,故

故當且僅當P在B點時才有PG〃A。，故A錯誤；

對如圖，由正方體的性質(zhì)可得平面故∣又∣

B,AC,B￡,AA,2BCC,A8L8G,ACCAB,BlC,Alβ,?

平面ABC。，故平面A4CO,故BGAAC，同理。CAC,故AC,平面Bc￠,故尸c∣,AC,

故B正確;

對當尸在時，故尸，平面不成立，故錯誤；

C,8ZC1BA=60.GABoC

對D,同B有AC，平面ABQ,故平面BG?！ㄆ矫鍭sR,故PG〃平面ABQ成立，故D正確;

故選：BD

6.（2022?湖北?模擬）棱長為1的正方體ABC?！狝gGR中，A。分別在棱8C、CG上，CP=x,CQ=y,

x∈[0,1],ye[0,1]且/+>2/0,過4、p、Q三點的平面截正方體ABCD-A,BlClDl得到截面多邊形,則（）

A.尢='時?，截面一定為等腰梯形B.x=l時，截面一定為矩形且面積最大值為近

C.存在X,y使截面為六邊形D.存在X,y使8R與截面平行

【答案】BD

【解析】對A,x=y=l時，截面為矩形，故A錯;

對B,當X=I時，點尸與點B重合,設(shè)過A、P、Q三點的平面交。。于M,則因為平面Λ4Q?！ㄆ矫娼蠫C,

故尸Q〃AM,?±ABLPQ,此時截面為矩形，當點。與點、-幣；）時面積最大,此時截面枳S=lxj∑=√∑,

B正確;

對C,截面只能為四邊形、五邊形，故C錯；

對D,當X=y=g時，延長8/交0P延長線于N,畫出截面AP0M如圖所示.此時因為BP=CP,

BN//CQ,故RrVBPN=RfVCPQ,則BN=CQ=；.由面面平行的截面性質(zhì)可得VAZW:VPCQ,

2I

AD=ZPC,故MQ=2QC=：,此時MA=故MD、=BN鳧MD、〃BN,故平行四邊形MRBN,故

MN//DtB,根據(jù)線面平行的判定可知BA與截面平行，故。正確.

N

故選：BD

7.（2022?福建省廈門集美中學模擬）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊

形為面圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三

棱錐，共截去八個三棱錐，得到的半正多面體的表面積為12+46,則關(guān)于該半正多面體的下列說法中正確

的是（）

?-A3與平面Bs所成的角町

C.與AB所成的角是（的棱共有16條D.該半正多面體的外接球的表面積為6萬

【答案】AC

【解析】補全該半正多面體得到一正方體,設(shè)正方體的棱長為

由題意知，該半正多面體由6個全等的正方形和8個全等的正三角形構(gòu)成.

則由半正多面體的表面積為I2+4√J,

2

得8χ手X

=12+4√3,解得a=2,

"：a=2,

因為AE_L平面BCE>,NABE為AB與平面BCO的夾角,

Tr

因為aAEB為直角三角形，且AE=5E,所以∕Λ3E=:

4

TT

所以A3與平面38所成的角為NABE=:，故A正確；

4

?AB-y∣AE2+BE2=√2-故B錯誤：

TT

在與AB相交的6條棱中，LVAB所成的角是不的棱有4條，又這4條棱中，每一條棱都有3條平行的棱，

故與AB所成的角是?的棱共有16條，故C正確；

由半正多面體的對稱性可知，其對稱中心與相應的正方體的對稱中心是同一點，其對稱中心為正方體的體

對角線的中點。，點。在平面ABE的投影點為α,

則有OOl=1,Aq=I,所以Ao=JOq°+A。”"

故該半正多面體的外接球的半徑為亞，面積為4τrx（0）2=8π,故D錯誤；

故選：AC.

8.（2022?重慶?一模）如圖，在棱長為2的正方體ABCo-A與GR中，點M在線段BG（不包含端點）上

運動，則下列結(jié)論正確的是.（填序號）

①正方體ABC。-AgG〃的外接球表面積為48〃；②異面直線A例與AA所成角的取值范圍是；③

直線AM〃平面ACD1.④三棱錐D1-AMC的體積隨著點M的運動而變化.

【答案】②③

【解析】正方體對角線長為2石，即這外接球直徑，因此球半徑為r=6,球表面積為S=4萬產(chǎn)=12萬，①

錯；

正方體中48與CQl平行且相等，ABG。是平行四邊形，AD?HBC?,是正三角形，AMHBa的

夾角（銳角或直角）的范圍是弓,因此②正確；

由②上知BCJ/AR,而BC"平面ACR,AD1U平面ACR,所以8C∣//平面ACR,同理A1B//平面ACDt,

又A8CBG=8,Λ18,BQu平面ABG，所以平面ABG〃平面AC。，而AMU平面ABe∣,所以4例//

平