《5.5.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換》課件與導(dǎo)學(xué)案

第5章

三角函數(shù)5.5.2

簡(jiǎn)單的三角恒等變換兩角差的余弦公式【嘗試】嘗試用和(差)角公式、二倍角公式兩個(gè)工具進(jìn)行三角恒等變換（1）試用cosα表示，,

解：在倍角公式中，用α代替2α，用代替α，得

所以

在倍角公式中，用α代替2α，用代替α，得

所以

作商，得

兩角差的余弦公式【半角公式】剛才的結(jié)果還可以表示為：

以上三個(gè)公式稱為半角公式，符號(hào)由α所在象限決定【記憶方法】半角公式帶根號(hào)，是正是負(fù)看半角；

1加或者減余弦，根號(hào)分母都是2.【問題】與之間有什么關(guān)系？

【解答】

兩角差的余弦公式【萬能公式】萬能公式是半角的正切與一倍角之間的互換公式：有了萬能公式，只需要知道一個(gè)角的正切，就可以求出二倍角的正弦余弦正切值.

不同的三角函數(shù)不僅有結(jié)構(gòu)形式的差異，而且還會(huì)存在所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，所以在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，首先要尋找各個(gè)式子里的角的關(guān)系，再來選取適當(dāng)?shù)墓?，這是三角恒等變換的特點(diǎn).(也就是要背)【例1】求證：【證明】(1)因?yàn)?/p>

(1)+(2)得

即

(2)由(1)有

設(shè)，則有

代入①中，有

換元法【例2】已知，且，求和的值.【解】∵，∴

∴

∴

【例3】已知一個(gè)等腰三角形的頂角的余弦等于，求這個(gè)三角形的底角的正切.【解】設(shè)等腰三角形的頂角為α，底角為β，則有

由題意知，

所以

所以【例4】求下列函數(shù)的周期、最大值和最小值.【解】輔助角公式

即周期為2π,最大值為2,最小值為-2.

令，則，所以

即，周期為2π，最大值為5，最小值為-5

積化和差公式與和差化積公式①積化和差公式

積化和差公式與和差化積公式②和差化積公式

【題】化簡(jiǎn)：①三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

【解】∵，∴

又∵，且

∴原式=

∵，∴，所以，原式=

常見題型匯總【題】已知α為鈍角，β為銳角，且，，求的值.②三角函數(shù)式的求值【解】因?yàn)棣翞殁g角，β為銳角，，，所以

所以

因?yàn)?所以，即

所以

常見題型匯總【題】已知,求證:③三角函數(shù)式的證明【解】由題意有

；②2-①2，得

常見題型匯總【題】已知在△ABC中，,求證：△ABC是直角三角形④在三角形中的應(yīng)用【證明】由題意有，∴常見題型匯總

利用和差化積公式，得

又∵，∴

∵，∴，兩邊平方，得

即，∴

∴，即或.A或者B有一個(gè)為直角

∴△ABC是直角三角形5.5三角恒等變換第五章三角函數(shù)《5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換》導(dǎo)學(xué)案16第一階段課前自學(xué)質(zhì)疑1718