《5.7三角函數(shù)的應用》考點講解、同步練習與培優(yōu)

《5.7三角函數(shù)的應用》考點講解與同步練習【思維導圖】【常見考點】考點一模型y=Asin(wx+ψ)+B【例1】如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù).（1）求的值；（2）求這段時間水深（單位：）的最大值.【一隅三反】1．設是某港口水的深度（米）關于時間（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從時至時記錄的時間與水深的關系：時03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的函數(shù)是（）A．B．C．D．2．海水具有周期現(xiàn)象，某海濱浴場內(nèi)水位y（單位：m）是時間t（，單位：h）的函數(shù)，記作，下面是某天水深的數(shù)據(jù)：t03691215182124y21.511.521.511.52經(jīng)長期觀察，的曲線可近似的滿足函數(shù).（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)一個近似表達式；（2）一般情況下，水深超過1.25米該海濱浴場方可開放，另外，當水深超過1.75米時，由于安全原因，會被關閉，那么該海濱浴場在一天內(nèi)的上午7:00到晚上19:00，有多長時間可以開放?考點二圓周運用【例2】如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置.若初始位置為，當秒針從（注此時）正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系為A． B．C． D．【一隅三反】1．一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中O為輪軸的中心，距地面32m(即OM長)，巨輪的半徑長為30m，AM＝BP＝2m，巨輪逆時針旋轉且每12分鐘轉動一圈．若點M為吊艙P的初始位置，經(jīng)過t分鐘，該吊艙P距離地面的高度為h(t)m，則h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin2．隨著機動車數(shù)量的增加，對停車場所的需求越來越大.如圖，ABCD是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建一個邊落在BC和CD上的長方形停車場PQCR.（1）設，試寫出停車場PQCR的面積S與的函數(shù)關系式；（2）求長方形停車場PQCR面積的最大值和最小值（數(shù)據(jù)精確到個位）.（注：當時，）3．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，點在弧上（異于點)，過點做，垂足分別為，記，四邊形的周長為.（1）求關于的函數(shù)關系式；（2）當為何值時，有最大值，并求出的最大值.5.7三角函數(shù)的應用答案解析考點一模型y=Asin(wx+ψ)+B【例1】如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù).（1）求的值；（2）求這段時間水深（單位：）的最大值.【答案】（1）；（2）這段時間水深的最大值是.【解析】（1）圖知：，因為，所以，解得：.（2）.所以，這段時間水深的最大值是.【一隅三反】1．設是某港口水的深度（米）關于時間（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從時至時記錄的時間與水深的關系：時03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在給定的四個選項中，我們不妨代入及，容易看出最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的函數(shù)是選項A，故選A.2．海水具有周期現(xiàn)象，某海濱浴場內(nèi)水位y（單位：m）是時間t（，單位：h）的函數(shù)，記作，下面是某天水深的數(shù)據(jù)：t03691215182124y21.511.521.511.52經(jīng)長期觀察，的曲線可近似的滿足函數(shù).（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)一個近似表達式；（2）一般情況下，水深超過1.25米該海濱浴場方可開放，另外，當水深超過1.75米時，由于安全原因，會被關閉，那么該海濱浴場在一天內(nèi)的上午7:00到晚上19:00，有多長時間可以開放?【答案】（1）；（2）.【解析】（1），∴，，，過點，∴，則，∴，∴的一個解析式可以為.（2）由題意得：即，，或，解得或，又，解得，又∵∴，所以開放時間共4h.考點二圓周運用【例2】如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置.若初始位置為，當秒針從（注此時）正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系為A． B．C． D．【答案】C【解析】時刻，經(jīng)過的圓弧角度為，則以軸正方向為始邊，所在射線為終邊，對應的角度為，則對應的角度為，由可知在單位圓上，所以時刻的縱坐標，故選C【一隅三反】1．一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中O為輪軸的中心，距地面32m(即OM長)，巨輪的半徑長為30m，AM＝BP＝2m，巨輪逆時針旋轉且每12分鐘轉動一圈．若點M為吊艙P的初始位置，經(jīng)過t分鐘，該吊艙P距離地面的高度為h(t)m，則h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin【答案】B【解析】過點作地面平行線，過點作的垂線交于D點．點在上逆時針運動的角速度是，∴分鐘轉過的弧度數(shù)為，設，當時，，，當時，上述關系式也適合．故．2．隨著機動車數(shù)量的增加，對停車場所的需求越來越大.如圖，ABCD是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建一個邊落在BC和CD上的長方形停車場PQCR.（1）設，試寫出停車場PQCR的面積S與的函數(shù)關系式；（2）求長方形停車場PQCR面積的最大值和最小值（數(shù)據(jù)精確到個位）.（注：當時，）【答案】（1）（2）最大值是1322平方米，最小值是950平方米.【解析】（1）∵，延長RP交AB于M，則，，∴..故矩形PQCR的面積為：..（2）令，則.∴.故當時，，當時，.所以長方形停車場PQCR面積的最大值是1322平方米，最小值是950平方米.3．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，點在弧上（異于點)，過點做，垂足分別為，記，四邊形的周長為.（1）求關于的函數(shù)關系式；（2）當為何值時，有最大值，并求出的最大值.【答案】（1）；（2）時，.【解析】（1），，（2），，當時，，所以時，.《5.7三角函數(shù)的應用》同步練習【題組一模型y=Asin(wx+ψ)+B】1．如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則8時的溫度大約為________（精確到）．2．已知某海浴場的海浪高度是時間（其中，單位：時）的函數(shù)，記作，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，函數(shù)的解析式為________．3．電流強度隨時間變化的關系式是，則當時，電流強度為（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A4．某實驗室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關系：（1）求實驗室這一天的最大溫差；（2）若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？5．景區(qū)客棧的工作人員為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，合理安排入住游客的用餐，他們通過統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約600人；③2月份入住客棧的游客約為200人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.（1）若入住客棧的游客人數(shù)y與月份之間的關系可用函數(shù)（，，）近似描述，求該函數(shù)解析式；（2）請問哪幾個月份要準備多于650人的用餐？6．在自然條件下，對某種細菌在一天內(nèi)存活的時間進行了一年的統(tǒng)計與測量，得到10次測量結果（時間近似到0.1小時），結果如下表所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號15980117126172225263298355存活時間小時5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（1）試選用一個形如的函數(shù)來近似描述一年（按365天計）中該細菌一天內(nèi)存活的時間與日期位置序號之間的函數(shù)解析式．（2）用（1）中的結果估計該種細菌一年中大約有多少天的存活時間大于15.9小時．7．為了迎接旅游旺季的到來，遼陽湯河風景區(qū)內(nèi)供游客住宿的某賓館，工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準備的食物有些月份剩余不少，浪費很嚴重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，就想適時調(diào)整投入．為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，現(xiàn)每年各個月份來賓館入住的游客人數(shù)會呈現(xiàn)周期性的變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住賓館的游客人數(shù)基本相同；②入住賓館的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；③2月份入住賓館的游客約為100人，隨后逐月增加直到8月份達到最多．（1）若一年中入住賓館的游客人數(shù)與月份之間的關系為，且．試求出函數(shù)的解析式；（2）請問哪幾個月份要準備不少于400份的食物？8．如表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深關系．時刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深和時刻的關系可用函數(shù)（其中）來近似描述，則該港口在11:00的水深為________m．【題組二圓周運動】1．水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，則下列敘述正確的是（）A．B．當時，函數(shù)單調(diào)遞增C．當時，點到軸的距離的最大值為D．當時，2．達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點，測得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測量得到的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（）A． B． C． D．3．如圖,游樂場中的摩天輪勻速轉動,每轉動一圈需要分鐘,其中心距離地面米,半徑為米,如果你從最低處登上摩天輪,那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化,以你登上摩天輪的時刻開始計時,請回答下列問題:(1)求出你與地面的距離(米)與時間(分鐘)的函數(shù)解析式.(2)當你第次距離地面米時,用了多長時間?4．摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．位于濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米，設置有36個座艙．游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當?shù)竭_最高點時距離地面145米，勻速轉動一周大約需要30分鐘．當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．（1）經(jīng)過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關于t的函數(shù)關系式滿足（其中，，）求摩天輪轉動一周的解析式；（2）游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度第一次恰好達到52米？（3）若游客乙在游客甲之后進入座艙，且中間間隔5個座艙，在摩天輪轉動一周的過程中，記兩人距離地面的高度差為h米，求h的最大值．5.7三角函數(shù)的應用答案解析【題組一模型y=Asin(wx+ψ)+B】1．如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則8時的溫度大約為________（精確到）．【答案】13【解析】由圖像可得，，，∴，．∵最低點坐標為，∴，得，于是，∴，取，∴．當時，．故答案為：132．已知某海浴場的海浪高度是時間（其中，單位：時）的函數(shù)，記作，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，函數(shù)的解析式為________．【答案】【解析】由題意得，，，∴，．又，∴．從而．故答案為：3．電流強度隨時間變化的關系式是，則當時，電流強度為（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A【答案】B【解析】當時，.故選：.4．某實驗室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關系：（1）求實驗室這一天的最大溫差；（2）若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？【答案】（1）最大溫差為4℃；（2）在10時至18時實驗室需要降溫.【解析】（1）因為所以，當時，；當時，于是在[0，24)上的最大值為12，最小值為8.故實驗室這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃.（2）依題意，當時實驗室需要降溫.故有，即.又，因此，即.故在10時至18時實驗室需要降溫.5．景區(qū)客棧的工作人員為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，合理安排入住游客的用餐，他們通過統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約600人；③2月份入住客棧的游客約為200人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.（1）若入住客棧的游客人數(shù)y與月份之間的關系可用函數(shù)（，，）近似描述，求該函數(shù)解析式；（2）請問哪幾個月份要準備多于650人的用餐？【答案】（1）；（2）7，8，9三個月.【解析】（1）因為函數(shù)為，由①，周期，所以；由②，最小，最大，且，故；由③，在上遞增，且，所以，所以，解得，又最小，最大，所以，則，解得，由于，所以，所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關系式為.（2）由條件可知，，化簡得，所以，解得.因為，故.即只有7，8，9三個月份要準備多于650人的用餐.6．在自然條件下，對某種細菌在一天內(nèi)存活的時間進行了一年的統(tǒng)計與測量，得到10次測量結果（時間近似到0.1小時），結果如下表所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號15980117126172225263298355存活時間小時5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（1）試選用一個形如的函數(shù)來近似描述一年（按365天計）中該細菌一天內(nèi)存活的時間與日期位置序號之間的函數(shù)解析式．（2）用（1）中的結果估計該種細菌一年中大約有多少天的存活時間大于15.9小時．【答案】（1）；（2）有121天（或122天）.【解析】（1）細菌存活時間與日期位置序號之間的函數(shù)解析式滿足，由已知表可知函數(shù)的最大值為19.4，最小值為5.4，∴，故．又，故．又，∴．當時，，∴，∴．（2）由得，∴，可得．∴這種細菌一年中大約有121天（或122天）的存活時間大于15.9小時．7．為了迎接旅游旺季的到來，遼陽湯河風景區(qū)內(nèi)供游客住宿的某賓館，工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準備的食物有些月份剩余不少，浪費很嚴重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，就想適時調(diào)整投入．為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，現(xiàn)每年各個月份來賓館入住的游客人數(shù)會呈現(xiàn)周期性的變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住賓館的游客人數(shù)基本相同；②入住賓館的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；③2月份入住賓館的游客約為100人，隨后逐月增加直到8月份達到最多．（1）若一年中入住賓館的游客人數(shù)與月份之間的關系為，且．試求出函數(shù)的解析式；（2）請問哪幾個月份要準備不少于400份的食物？【答案】（1），且；（2）在6月、7月、8月、9月、10月5個月份要準備不少于400份的食物.【解析】（1）因為，且根據(jù)條件①，可知這個函數(shù)的周期是12；由②可知，最小，最大，且；由③可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以．根據(jù)上述分析可得，，故，且，解得根據(jù)分析可知，當時，取最小值，當時，取最大值．故，且，，又因為，故，所以入住賓館的游客人數(shù)與月份之間的關系式為：，且.（2）令，化簡得，即，解得．因為，且，所以，即在6月、7月、8月、9月、10月5個月份要準備不少于400份的食物．8．如表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深關系．時刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深和時刻的關系可用函數(shù)（其中）來近似描述，則該港口在11:00的水深為________m．【答案】4【解析】由題意得函數(shù)（其中，，的周期為，，解得，，，，該港口在的水深為．故答案為：4．【題組二圓周運動】1．水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，則下列敘述正確的是（）A．B．當時，函數(shù)單調(diào)遞增C．當時，點到軸的距離的最大值為D．當時，【答案】AD【解析】由題意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，當t＝0時，y＝f(t)＝，代入可得＝6sinφ，∵，∴φ＝－.故A正確；所以，當時，，所以函數(shù)在不是單調(diào)遞增的，故B不正確；因為，，所以點P到x軸的距離的最大值為6，故C不正確；當時，，此時，點，，故D正確，故選：AD．2．達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點，測得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測量得到的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，設．則．，．設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為．則，．故選：A．3．如圖,游樂場中的摩天輪勻速轉動,每轉動一圈需要分鐘,其中心距離地面米,半徑為米,如果你從最低處登上摩天輪,那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化,以你登上摩天輪的時刻開始計時,請回答下列問題:(1)求出你與地面的距離(米)與時間(分鐘)的函數(shù)解析式.(2)當你第次距離地面米時,用了多長時間?【答案】（1）（2）分鐘.【解析】(1)由已知可設,由周期為分鐘可知,當時,摩天輪第次到達最高點,即此函數(shù)第次取得最大值,,即.所求的函數(shù)關系式為.(2)設轉第圈時,第分鐘時距地面米,由,得,或,解得或,時,第次距地面米,故第次距離地面米時,用了(分鐘).4．摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．位于濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米，設置有36個座艙．游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當?shù)竭_最高點時距離地面145米，勻速轉動一周大約需要30分鐘．當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．（1）經(jīng)過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關于t的函數(shù)關系式滿足（其中，，）求摩天輪轉動一周的解析式；（2）游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度第一次恰好達到52米？（3）若游客乙在游客甲之后進入座艙，且中間間隔5個座艙，在摩天輪轉動一周的過程中，記兩人距離地面的高度差為h米，求h的最大值．【答案】（1），；（2）；（3）h取最大值為62米.【解析】（1）由題意，（其中，，）摩天輪的最高點距離地面為145米，最低點距離地面為米，，得，，又函數(shù)周期為30分鐘，所以，又，所以，．所以，．（2），所以，，所以（分鐘）．（3）經(jīng)過t分鐘后甲距離地面的高度為，乙與甲間隔的時間為分鐘，所以乙距離地面的高度為，，所以兩人離地面的高度差，當或時，即或25分鐘時，h取最大值為62米.《5.7三角函數(shù)的應用》培優(yōu)同步練習一、單選題1．彈簧振子的振幅為，在內(nèi)振子通過的路程是，由此可知該振子振動的（）A．頻率為1.5Hz B．周期為1.5sC．周期為6s D．頻率為6Hz2．如圖為一簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是（）A．該質點的振動周期為B．該質點的振幅為C．該質點在和時的振動速度最大D．該質點在和時的加速度為3．如圖，圓的半徑為1，是圓上的定點，是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示成的函數(shù)，則在上的圖象大致為（）A． B．C． D．4．電流強度隨時間變化的關系式是，則當時，電流強度為（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A5．如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置.若初始位置為，當秒針從（注此時）正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系為（）A． B．C． D．6．設是某港口水的深度（米）關于時間（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從時至時記錄的時間與水深的關系：時03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的函數(shù)是（）A．B．C．D．7．已知某人的血壓滿足函數(shù)解析式，其中為血壓，為時間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為（）A．60 B．70 C．80 D．908．如圖所示為一質點做簡諧運動的圖象，則下列判斷中正確的是（）A．該質點的振動周期為 B．該質點的振幅為C．該質點在和時振動速度最大 D．該質點在和時的振動速度為09．一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中O為輪軸的中心，距地面32m(即OM長)，巨輪的半徑長為30m，AM＝BP＝2m，巨輪逆時針旋轉且每12分鐘轉動一圈．若點M為吊艙P的初始位置，經(jīng)過t分鐘，該吊艙P距離地面的高度為h(t)m，則h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin10．動點在圓上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉，12秒旋轉一周，已知時間時，點的坐標是，則當時，動點的縱坐標關于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．和二、多選題11．某時鐘的秒針端點A到時鐘的中心點O的距離為，秒針均勻地繞點O旋轉.當時間時，點A與鐘面上標“12”的點B重合，將A，B兩點的距離表示成的函數(shù)，則__________，其中.（）A． B． C．D． E.12．如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線C．該函數(shù)的解析式是D．這一天的函數(shù)關系式也適用于第二天E.該市這一天中午12時天氣的溫度大約是27℃13．如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（）A．該質點的運動周期為0.7sB．該質點的振幅為5C．該質點在0.1s和0.5s時運動速度為零D．該質點的運動周期為0.8sE.該質點在0.3s和0.7s時運動速度為零14．一半徑為4.8米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面2.4米，已知水輪每60秒逆時針轉動一圈，如果當水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則（）A．點第一次到達最高點需要10秒B．在水輪轉動的一圈內(nèi)，有20秒的時間，點距離水面的高度不低于4.8米C．點距離水面的高度（米）與（秒）的函數(shù)解析式為D．當水輪轉動50秒時，點在水面下方，距離水面1.2米三、填空題15．某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度與時間之間關系的一個三角函數(shù)為______．16．如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則8時的溫度大約為______（精確到）．17．如表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深關系．時刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深和時刻的關系可用函數(shù)（其中）來近似描述，則該港口在11:00的水深為________m．四、雙空題18．用作調(diào)頻無線電信號的載波以為模型，其中的單位是秒，則此載波的周期為________秒，頻率為________．19．一半徑為的水輪,水輪圓心距離水面2,已知水輪每分鐘轉動(按逆時針方向)3圈,當水輪上點從水中浮現(xiàn)時開始計時,即從圖中點開始計算時間.(1)當秒時點離水面的高度_________；(2)將點距離水面的高度(單位:)表示為時間(單位:)的函數(shù)，則此函數(shù)表達式為_______________.20．去年某地的月平均氣溫與月份（月）近似地滿足函數(shù).（為常數(shù),）.其中三個月份的月平均氣溫如表所示,則該地2月份的月平均氣溫約為____________________________.21．用作調(diào)頻無線電信號的載波以為模型，其中的單位是，則此載波的周期約為_________（保留位有效數(shù)字），頻率為__________．五、解答題22．如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù).（1）求的值；（2）求這段時間水深（單位：）的最大值.23．如圖，摩天輪上一點P在時刻t（單位:分鐘)距離地面的高度y(單位:米)滿足，已知該摩天輪的半徑為50米，圓心O距地面的高度為60米，摩天輪做勻速轉動，每3分鐘轉一圈，點P的起始位置在摩天輪的最低點處.（1）根據(jù)條件寫出y關于t的函數(shù)解析式；（2）在摩天輪轉動的一圈內(nèi)，有多長時間點P距離地面的高度超過85米?24．已知某海濱浴場海浪的高度y（米）是時間t的（0≤t≤24，單位：小時）函數(shù)，記作y=f（t），下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t（h）03691215182124y（m）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y=f（t）的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt＋b的圖象．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式；（2）依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結論，判斷一天內(nèi)的上午8時到晚上20時之間，有多長時間可供沖浪者進行運動？25．景區(qū)客棧的工作人員為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，合理安排入住游客的用餐，他們通過統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約600人；③2月份入住客棧的游客約為200人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.（1）若入住客棧的游客人數(shù)y與月份之間的關系可用函數(shù)（，，）近似描述，求該函數(shù)解析式；（2）請問哪幾個月份要準備多于650人的用餐？26．海水具有周期現(xiàn)象，某海濱浴場內(nèi)水位y（單位：m）是時間t（，單位：h）的函數(shù)，記作，下面是某天水深的數(shù)據(jù)：t03691215182124y21.511.521.511.52經(jīng)長期觀察，的曲線可近似的滿足函數(shù).（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)一個近似表達式；（2）一般情況下，水深超過1.25米該海濱浴場方可開放，另外，當水深超過1.75米時，由于安全原因，會被關閉，那么該海濱浴場在一天內(nèi)的上午7:00到晚上19:00，有多長時間可以開放?27．一根細線的一端固定，另一端懸掛一個小球，當小球來回擺動時，離開平衡位置的位移S(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數(shù)關系是S＝6sin.（1）畫出它的圖象；（2）回答以下問題：①小球開始擺動(即t＝0)，離開平衡位置是多少？②小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少？③小球來回擺動一次需要多少時間？5.7三角函數(shù)的應用答案解析一、單選題1．彈簧振子的振幅為，在內(nèi)振子通過的路程是，由此可知該振子振動的（）A．頻率為1.5Hz B．周期為1.5sC．周期為6s D．頻率為6Hz【答案】B【解析】振幅為，振子在一個周期內(nèi)通過的路程為，易知在內(nèi)振動了4個周期，所以，頻率.故選：.2．如圖為一簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是（）A．該質點的振動周期為B．該質點的振幅為C．該質點在和時的振動速度最大D．該質點在和時的加速度為【答案】D【解析】對于A、B選項，由圖可得知振幅為，周期為，A、B選項錯誤；對于C選項，質點在和時刻，質點的位移為最大值，可知速度為零，C選項錯誤；對于D選項，質點在和時刻，質點的位移為，則質點受到的回復力為，所以加速度為，D選項正確.故選D.3．如圖，圓的半徑為1，是圓上的定點，是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示成的函數(shù)，則在上的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意知：到直線的距離為：對應圖像為B故答案選B4．電流強度隨時間變化的關系式是，則當時，電流強度為（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A【答案】B【解析】當時，.故選：.5．如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置.若初始位置為，當秒針從（注此時）正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】時刻，經(jīng)過的圓弧角度為，則以軸正方向為始邊，所在射線為終邊，對應的角度為，則對應的角度為，由可知在單位圓上，所以時刻的縱坐標，故選C6．設是某港口水的深度（米）關于時間（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從時至時記錄的時間與水深的關系：時03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在給定的四個選項中，我們不妨代入及，容易看出最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的函數(shù)是選項A，故選A.7．已知某人的血壓滿足函數(shù)解析式，其中為血壓，為時間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為（）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】C【解析】由題意得函數(shù)的周期為，所以頻率，所以此人每分鐘心跳的次數(shù)為80．故選：C8．如圖所示為一質點做簡諧運動的圖象，則下列判斷中正確的是（）A．該質點的振動周期為 B．該質點的振幅為C．該質點在和時振動速度最大 D．該質點在和時的振動速度為0【答案】B【解析】由圖象可知周期是，A錯，振幅為，B正確；曲線上各點處的切線的斜率（導數(shù)值）才是相應的速度，質點在和時振動速度為0，C錯，質點在和時的振動速度不為0，D錯．故選：B．9．一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中O為輪軸的中心，距地面32m(即OM長)，巨輪的半徑長為30m，AM＝BP＝2m，巨輪逆時針旋轉且每12分鐘轉動一圈．若點M為吊艙P的初始位置，經(jīng)過t分鐘，該吊艙P距離地面的高度為h(t)m，則h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin【答案】B【解析】過點作地面平行線，過點作的垂線交于D點．點在上逆時針運動的角速度是，∴分鐘轉過的弧度數(shù)為，設，當時，，，當時，上述關系式也適合．故．10．動點在圓上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉，12秒旋轉一周，已知時間時，點的坐標是，則當時，動點的縱坐標關于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．和【答案】D【解析】試題分析：時，點的坐標是，所以點的初始角為，當點轉過的角度在或時，動點的縱坐標關于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增，因為12秒旋轉一周，所以每秒轉過的角度是，，則當時，動點的縱坐標關于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，故選D．二、多選題11．某時鐘的秒針端點A到時鐘的中心點O的距離為，秒針均勻地繞點O旋轉.當時間時，點A與鐘面上標“12”的點B重合，將A，B兩點的距離表示成的函數(shù)，則__________，其中.（）A． B． C． D． E.【答案】CE【解析】依題作出圖形，如圖：因為，所以經(jīng)過秒針轉了，連接，過點作于點，，在中得：，所以或，其中，所以CE正確.故選：CE.12．如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線C．該函數(shù)的解析式是D．這一天的函數(shù)關系式也適用于第二天E.該市這一天中午12時天氣的溫度大約是27℃【答案】ABE【解析】由題意以及函數(shù)的圖象可知，，，∴，.∵，∴，A正確；∵，∴，∴，∵圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴可以取，∴，B正確，C錯；這一天的函效關系式只適用于當天，第二天這個關系式不一定適用，∴D錯；當時，，故E正確.綜上，ABE正確.故選：ABE13．如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（）A．該質點的運動周期為0.7sB．該質點的振幅為5C．該質點在0.1s和0.5s時運動速度為零D．該質點的運動周期為0.8sE.該質點在0.3s和0.7s時運動速度為零【答案】BCD【解析】由題圖可知，振動周期為，故A錯，D正確；該質點的振幅為5，B正確；由簡諧運動的特點知，質點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3s和0.7s時運動速度最大，在0.1s和0.5s時運動速度為零，故C正確，E錯.綜上，BCD正確.故選：BCD14．一半徑為4.8米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面2.4米，已知水輪每60秒逆時針轉動一圈，如果當水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則（）A．點第一次到達最高點需要10秒B．在水輪轉動的一圈內(nèi)，有20秒的時間，點距離水面的高度不低于4.8米C．點距離水面的高度（米）與（秒）的函數(shù)解析式為D．當水輪轉動50秒時，點在水面下方，距離水面1.2米【答案】BC【解析】對于選項C，由題意可得：點距離水面的高度（米）與（秒）的函數(shù)解析式為，即選項C正確；對于選項A，令，解得：，即點第一次到達最高點需要20秒，即選項A錯誤；對于選項B，令，解得，即在水輪轉動的一圈內(nèi)，有20秒的時間，點距離水面的高度不低于4.8米，即B正確；對于選項D,因為，即點在水面下方，距離水面2.4米,所以D錯誤，綜上可得選項B,C正確，故選：BC.三、填空題15．某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度與時間之間關系的一個三角函數(shù)為________．【答案】【解析】設所求函數(shù)為，由題意得，即，，，故．故答案為：16．如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則8時的溫度大約為________（精確到）．【答案】13【解析】由圖像可得，，，∴，．∵最低點坐標為，∴，得，于是，∴，取，∴．當時，．故答案為：1317．如表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深關系．時刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深和時刻的關系可用函數(shù)（其中）來近似描述，則該港口在11:00的水深為________m．【答案】4【解析】由題意得函數(shù)（其中，，的周期為，，解得，，，，該港口在的水深為．故答案為：4．四、雙空題18．用作調(diào)頻無線電信號的載波以為模型，其中的單位是秒，則此載波的周期為________秒，頻率為________．【答案】【解析】由題意可得，該載波的周期為，頻率為.故答案為：；.19．一半徑為的水輪,水輪圓心距離水面2,已知水輪每分鐘轉動(按逆時針方向)3圈,當水輪上點從水中浮現(xiàn)時開始計時,即從圖中點開始計算時間.(1)當秒時點離水面的高度_________；(2)將點距離水面的高度(單位:)表示為時間(單位:)的函數(shù)，則此函數(shù)表達式為____________.【答案】【解析】1秒時，水輪轉過角度為，在中，，；在中，，，此時點離開水面的高度為；2由題意可知，，設角是以Ox為始邊，為終邊的角，由條件得，其中；將，代入，得，；所求函數(shù)的解析式為．故答案為1，2．20．去年某地的月平均氣溫與月份（月）近似地滿足函數(shù).（為常數(shù),）.其中三個月份的月平均氣溫如表所示,則該地2月份的月平均氣溫約為____________________________.【答案】【解析】由題意，得當時，，又因為，所以，即，，即，則，即，即，當時，.21．（用作調(diào)頻無線電信號的載波以為模型，其中的單位是，則此載波的周期約為_________（保留位有效數(shù)字），頻率為__________．【答案】【解析】由題意可得，該載波的周期為，頻率為.五、解答題22．如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù).（1）求的值；（2）求這段時間水深（單位：）的最大值.【答案】（1）；（2）這段時間水深的最大值是.【解析】（1）圖知：，因為，所以，解得：.（2）.所以，這段時間水深的最大值是.23．如圖，摩天輪上一點P在時刻t（單位:分鐘)距離地面的高度y(單位:米)滿足，已知該摩天輪的半徑為50米，圓心O距地面的高度為60米，摩天輪做勻速轉動，每