第21講 拋物線定義及性質(zhì)常考5種題型（解析版）-2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型

第21講拋物線定義及性質(zhì)常考5種題型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：拋物線定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．考點(diǎn)二：拋物線焦點(diǎn)弦焦半徑公式圖1-3-1圖1-3-2焦半徑：，，． 焦點(diǎn)弦：．三角形面積：．【題型目錄】題型一：拋物線的定義及方程題型二：拋物線的性質(zhì)題型三：拋物線焦點(diǎn)弦焦半徑題型四：有關(guān)三角形面積問(wèn)題題型五：拋物線中的最值問(wèn)題【典型例題】題型一：拋物線的定義及方程【例1】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式列出方程，求出的值.【詳解】由拋物線定義知：，所以，解得：.故選：A【例2】拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可解出．【詳解】可化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B．【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的點(diǎn)，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知的外心的橫坐標(biāo)為，求出點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即為外接圓的半徑，再利用圓的面積公式可求得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，易知的外心的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，所以，的外接圓的半徑為，由題意可得，因?yàn)?，解?故選：D.【例4】數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，校門最高點(diǎn)到地面距離約為18米，則校門位于地面寬度最大約為（

）A．18米 B．21米 C．24米 D．27米【答案】C【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，即可得到拋物線方程，再令求出的值，即可得解.【詳解】解：拋物線，即，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，所以拋物線即為，令，則，解得，所以校門位于地面寬度最大約為米.故選：C【例5】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓C過(guò)點(diǎn)，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出圓心的縱坐標(biāo)，再結(jié)合圓過(guò)的點(diǎn)求解作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，設(shè)，令弦AB的中點(diǎn)為E，而圓心C是線段的中點(diǎn)，又，即有，，顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線，由消去x得：，則，，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，于是得圓C的半徑，圓心，而圓C過(guò)點(diǎn)，則有，即，解得，因此圓C的圓心，半徑，圓C的方程為.故選：B【題型專練】1.已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為1 B．焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為C．準(zhǔn)線l的方程為 D．對(duì)稱軸為x軸【答案】C【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線，即得答案.【詳解】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為，對(duì)稱軸為y軸故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程表示其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.2.拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】設(shè)，由拋物線的定義，即，即可求出答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：設(shè)，由拋物線的定義知：，即，即，所以M到y(tǒng)軸的距離是.故選：B.3.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，若，則(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】由題可得，利用拋物線的定義可得，利用三角形的面積公式結(jié)合條件即得，【詳解】由題可得，因?yàn)?，所以，，所以為坐?biāo)原點(diǎn))的面積是.故選：A.4．（2022·廣東廣州·高二期末）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】寫出拋物線的準(zhǔn)線方程，由圓的方程得圓心和半徑，由已知得圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，從而求出.【詳解】因?yàn)?，所以拋物線準(zhǔn)線為又，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為2由已知得：圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，則，所以故選：C.5.位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_____m．【答案】##3.6【分析】首先建立直角坐標(biāo)系，再根據(jù)拋物線所過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】以拋物線的最高點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為，，因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，可得，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故答案為：題型二：拋物線的性質(zhì)【例1】拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則（

）A．2 B． C．6 D．【答案】C【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，等邊三角形ABF中，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入雙曲線上方程可得答案．【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，如圖，在等邊三角形ABF中，，，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，又點(diǎn)B在雙曲線上，故，解得．故選：C．【例2】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在拋物線C上，垂直l于點(diǎn)Q，與y軸交于點(diǎn)T，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)直線交于點(diǎn)，則可得，從而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則可求出的橫坐標(biāo)，然后利用拋物線的定義可求得結(jié)果.【詳解】由，得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，設(shè)直線交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)椤?，，所以，因?yàn)榇怪眑于點(diǎn)Q，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，當(dāng)時(shí)，，得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)與F相同，所以，故選：B【例3】已知，是拋物線上位于不同象限的兩點(diǎn)，分別過(guò)，作的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】不妨令第二象限，Q在第一象限，根據(jù)拋物線的定義，可求得坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，從而得直線方程，聯(lián)立可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式即可求得的值.【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線對(duì)稱性，不妨令第二象限，Q在第一象限，根據(jù)拋物線的定義，可知所以的縱坐標(biāo)為1，的縱坐標(biāo)為4，則，．由得，得，所以拋物線在，兩點(diǎn)處的切線斜率分別為和2，得到兩條切線方程并聯(lián)立，解得，則，所以．故選：B【例4】已知點(diǎn)A是拋物線C：上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以點(diǎn)O為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，且，則的值是（

）A． B．6 C． D．7【答案】C【分析】，由題意確定為等邊三角形，進(jìn)而表示A點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，求得a的值，結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可求得答案.【詳解】由知：；設(shè)，結(jié)合圓和拋物線的對(duì)稱性可得，結(jié)合，得為等邊三角形，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則A的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)A是拋物線C：上一點(diǎn)，所以，所以，得A的坐標(biāo)為，故，故選：C【例5】（2022·全國(guó)·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；對(duì)于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.【題型專練】1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與拋物線交于點(diǎn)A、，與直線交于點(diǎn)，若，，則（

）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】B【分析】作出輔助線，由拋物線定義得到，，設(shè)，則，根據(jù)，求出，進(jìn)而根據(jù)求出，得到答案.【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，，垂足分別為，則．根據(jù)拋物線定義知，，又，，所以，，設(shè)，因?yàn)椋?，則．所以，又，可得，所以，所以，可得，即．故選：B2.已知拋物線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，若為焦點(diǎn)，直線，分別交拋物線于，兩點(diǎn)，則（

）A． B．C．A，，三點(diǎn)共線 D．【答案】AC【分析】設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程消參，利用定義表示出，然后由韋達(dá)定理和解不等式可判斷A；用坐標(biāo)表示出，利用韋達(dá)定理表示后，由m的范圍可判斷B；設(shè)直線NF，借助韋達(dá)定理表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后由斜率是否相等可判斷C；根據(jù)M和P的橫坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合AN斜率可判斷D.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，所以拋物線方程為設(shè)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入整理得：則，，即或又由定義可知，，所以，故A正確；所以又，故B錯(cuò)誤；記設(shè)直線NF方程為，代入整理得：則，，同理可得因?yàn)?，，所以A，，三點(diǎn)共線，C正確；因?yàn)?，，所以由上可知，直線AM的斜率，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC3.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上，O為原點(diǎn)，若為等腰三角形，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)可能為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，分別表示出，，再分類討論即可求解.【詳解】由拋物線的解析式，可知，準(zhǔn)線，設(shè)，由拋物線的定義可知，又，.當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即，解得或（舍），此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.只有選項(xiàng)C符合題意.故選：C4.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，若，且的面積為，則（

）A． B．是等邊三角形C．點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線的方程為【答案】BC【分析】根據(jù)題意，作出示意圖，結(jié)合拋物線的定義，焦半徑公式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇.【詳解】根據(jù)題意，作出示意圖,因?yàn)橐訤為圓心，|FA|為半徑的圓交于B，D兩點(diǎn)，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以是等邊三角形，故B正確；所以∠FBD＝30°.因?yàn)榈拿娣e為|BF|2＝9，所以|BF|＝6.故A錯(cuò)誤；又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin30°＝3＝p，故C正確；則該拋物線的方程為y2＝6x.故D錯(cuò)誤.故選：BC.5.已知：的焦點(diǎn)為，斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（

）A． B．為線段的中點(diǎn)C． D．【答案】AB【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程得到，．求出的值，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，得到為線段的中點(diǎn)即得解.【詳解】解：易知，由題意可得直線的方程為．由，消去并整理，得，解得，．由，得，∴．過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，易知，∴，∴．.∵，∴為線段的中點(diǎn)．故選：AB．6.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為E上三點(diǎn)，且，則___________．【答案】12【分析】根據(jù)題意可得F為△ABC的重心，根據(jù)重心坐標(biāo)公式解得，再結(jié)合拋物線定義代入整理計(jì)算．【詳解】由題意知，設(shè)，，，，F(xiàn)為△ABC的重心，即，則．故答案為：12．題型三：拋物線焦點(diǎn)弦焦半徑【例1】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于點(diǎn)A，B，若若直線l的斜率為k，則k=（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由條件結(jié)合拋物線的定義，解三角形求直線l的斜率.【詳解】當(dāng)在軸上方時(shí)，過(guò)分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過(guò)作于，設(shè)，則，所以，所以，同理可得當(dāng)在軸下方時(shí)，的值為，故選：C.【例2】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，分別為在上的射影，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的傾斜角為，則B．若，則直線的斜率為C．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三點(diǎn)共線D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，求出直線的方程，代入拋物線方程中，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后利用弦長(zhǎng)公式可求出，對(duì)于B，設(shè)1，代入拋物線方程，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由，得，從而可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線的斜率，對(duì)于C，同選項(xiàng)B，利用根與系數(shù)關(guān)系后，計(jì)算即可，對(duì)于D，同選項(xiàng)B，利用根與系數(shù)關(guān)系后，計(jì)算即可【詳解】若直線的傾斜角為，則，令，由消可得，所以，故正確；設(shè)1，令，由，消可得，，所以，所以，所以或所以.即，故錯(cuò)誤；設(shè)，令，，消可得，所以，即三點(diǎn)共線，故C正確；設(shè)，令，由消可得，，所以，即，故正確.故選：ACD.【例3】已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作軸的垂線，垂足分別為C，D，則的最小值為（

）A． B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，直線與拋物線聯(lián)立求出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，討論最值求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€為，所以，焦點(diǎn)設(shè)，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以，所以,即因?yàn)檫^(guò)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，所以直線的斜率不等于0，設(shè)為，聯(lián)立，得，所以，，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為4，則有最小值為2.故選:B.【題型專練】1.（2022·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B2.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．8 C．12 D．【答案】B【分析】由題意得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式可得出答案.【詳解】依題意可知拋物線焦點(diǎn)為，直線AB的方程為，代入拋物線方程得，可得，根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長(zhǎng)為．故選：B．3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過(guò)的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以，而，故D正確.故選：BCD4.已知拋物線的焦點(diǎn)F，過(guò)F分別作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，作直線與C交于D，E兩點(diǎn)，若直線與的斜率的平方和為1，則的最小值為_(kāi)________【答案】24【分析】根據(jù)給定條件，將直線、的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出、，再借助均值不等式求解作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)直線與的斜率分別為，，有，直線：，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，直線：，同理，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最小值為24.故答案為：24【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．題型四：有關(guān)三角形面積問(wèn)題【例1】經(jīng)過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線l的斜率為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)直線斜率為，直線方程為，設(shè)，直線方程代入拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后由弦長(zhǎng)公式得弦長(zhǎng)，再求得原點(diǎn)到直線的距離，求出面積后可得值．【詳解】由已知，設(shè)直線斜率為，直線方程為，設(shè)，由得，，，，又到直線的距離為，所以，．故答案為：．【例2】拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)?在第一象限），則的值等于________.【答案】【分析】由題意可知直線過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為，設(shè)，則，，求出，結(jié)合三角形面積公式即可求解【詳解】因?yàn)橹本€可化為，所以過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為，設(shè)，則，，解得，，代入得，，所以，故答案為：【題型專練】1.斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則三角形的面積是（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)，再求出原點(diǎn)到直線距離，求出三角形面積.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則斜率為的直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：，設(shè)，不妨設(shè)，，則，點(diǎn)O到直線AB的距離為，所以△AOB的面積為故選：B2.已知斜率為的直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為2，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)與的面積之比為2，利用拋物線定義得到，再結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】解：如圖所示：由拋物線：，得，設(shè)直線：，，，由得，所以，，由已知和拋物線定義知：，則有，即，所以解得，，.故選：D題型五：拋物線中的最值問(wèn)題【例1】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出，P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)及拋物線方程，得到，從而表達(dá)出直線OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則要想求解直線OM的斜率的最大值，此時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故直線OM的斜率的最大值為.故選：C【例2】已知P為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，為平面內(nèi)一定點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】5【分析】利用拋物線的定義，將轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再由三點(diǎn)共線求最小值.【詳解】由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)共線時(shí)，和最?。贿^(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，所以最小值為5.故答案為：5.【例3】已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的最小值為1 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷A，根據(jù)圓的性質(zhì)判斷B，結(jié)合拋物線的定義判斷C，D.【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，作出圖象，對(duì)選項(xiàng)A：由拋物線的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：注意到F是定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)CD：過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由拋物線定義可知，故，的最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，故最小值為4，從而選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC.【例4】已知拋物線及圓，過(guò)的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】13【分析】根據(jù)圓心即為拋物線C的焦點(diǎn)F，利用拋物線的定義，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：圓心即為拋物線C的焦點(diǎn)F.所以，由拋物線的定義，，所以，又易知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

所以的最小值為13，故答案為：13【題型專練】1.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)作直線的垂線，此時(shí)最小，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)作直線的垂線，如下圖所示，此時(shí)最小，為點(diǎn)到直線的距離.，則．故選：B．【點(diǎn)睛】拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對(duì)解題非常有益．2.已知