中職數(shù)學(xué)拓展模塊（高教版）4.4平面與平面的位置關(guān)系

4.4平面與平面的位置關(guān)系情境導(dǎo)入探索新知典型例題鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)觀察你所在教室的六個面,想一想,任兩個平面之間有幾種位置關(guān)系？典型例題鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)情境導(dǎo)入探索新知一般地,當(dāng)兩個平面有一條公共直線時,稱兩個平面相交;當(dāng)兩個平面沒有公共點時,稱兩個平面平行.

觀察發(fā)現(xiàn),兩個平面之間的位置關(guān)系有兩種:相交和平行.事實上,根據(jù)公理3可知,當(dāng)兩個平面有一個公共點時,這兩個平面相交于一條直線.典型例題鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)情境導(dǎo)入探索新知如圖(1)所示,平面α與平面β相交于直線l,記作α∩β=l.如圖(2)所示,平面α與平面β平行,記作α∥β,此時α∩β=畫兩個平面平行時,要使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.兩平面平行4.4.1情境導(dǎo)入探索新知典型例題鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)觀察教室,可以直觀感受到教室的天花板和地面所在平面是平行的.考慮到平面的無限展性,直接判斷這兩個平面是否有公共點是很難實現(xiàn)的.那么,如何判斷兩個平面是平行的呢？情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)

可以設(shè)想,如果一個平面內(nèi)的所有直線都與另一個平面平行.那么這兩個平面平行,但要判定所有直線都與平面平行也是比較困難的,考慮到兩條相交直線可以確定一個平面,是否可以通過平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行來判定兩個平面平行呢？

情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)如圖(1)所示,如果m?β,n?β,且m∩n=P,m∥α,n∥α,是否有β∥α呢？如圖(2)所示,假設(shè)平面β與α不平行,設(shè)α∩β=AB,則由m∥α可知m∥AB.同理可得,n//AB.根據(jù)直線平行的傳遞性,得m∥n

,這與已知條件m∩m=P矛盾,所以β∥α.

于是有以下結(jié)論：兩個平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面互相平行.例1

證明:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這兩個平面互相平行.證明情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題已知:m∩n=P,m?α,n?α,m'?β,n'?β,

且m∥m',n∥n',如圖所示.

求證:α∥β.因為m∥m',m'?β,m?β,所以m∥β.同理可證,

n∥β.

又m?α,n?α,m∩m=P，根據(jù)兩個平面平行的判定定理可知α∥β.情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題既然可以用直線與平面平行、直線與直線平行判定平面與平面平行,那么能否利用平面與平面的平行來判定直線與平面平行、直線與直線平行呢？如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.也就是說,如果α∥β,l?α,那么l∥β.情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)兩個平面平行的性質(zhì)定理

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么兩條交線互相平行.

已知:α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n,如圖所示.求證:m∥n.因為m?γ,n?γ,所以m、n共面.

又因為α∥β,m?α,n?β,

所以m、n沒有公共點,因此m∥n.證明例2證明：如果一條直線與兩個平行平面中的一個平面垂直，那么它也與另一個平面垂直.

已知:α//β,l⊥α,如圖所示.

求證:l⊥β.證明情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題

過直線l分別作平面γ、φ,

使γ∩α=m,γ∩β=m',φ∩α=n,φ∩β=n'.由α//β,得m//m',n//n'.

因為l⊥α,所以l⊥m,l⊥n,則l⊥m',l⊥n'.

顯然,m'與n'是β內(nèi)的相交直線.故l⊥β.情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題練習(xí)1.

在底面為矩形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面AD1與平面A1C1的位置關(guān)系是

,平面AB1與平面DC1的位置關(guān)系是

.情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題練習(xí)2.

判斷下列命題的真假.(1)如果平面α與β沒有公共點,那么α∥β；

(2)在圖中所示的三棱錐中,若A'C'∥AC,則平面A'B'C'∥平面ABC；(3)如果m?α,n?α,且m∥β,n∥β,那么α∥β；

(4)如果m?α,n?β,且α∥β,那么m∥n；(5)如果α∥β,β∥γ,那么α∥γ.情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題練習(xí)3.

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是A1B1、AB、AD、A1D1的中點,求證:平面EFGH∥平面BB1D1D.情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題練習(xí)4.

已知平面α∥β,ΔABC在β內(nèi),

AB、AC分別與平面α相交于D、E兩點,如圖所示,求證：情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題練習(xí)5.

工程人員具有一絲不茍、精益求精的工匠精神是工程質(zhì)量的基本保障.為檢驗所鋪設(shè)的地板是否達到水平要求,工程人員將水平儀(如圖)分兩次交叉放置在地板上,如果氣泡兩次都在正中間,則說明地板與水平面平行,達到要求.你知道其中的原理嗎？二面角4.4.2情境導(dǎo)入探索新知典型例題鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)打開筆記本計算機時,顯示屏的開合程度不同,鍵盤與屏幕所在平面的相對位置就不同,如圖所示.怎樣來描述這種不同呢？情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)觀察可知,顯示屏的開合程度可以用角度來描述.

平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱,這兩個半平面稱為二面角的面.情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)根據(jù)二面角的不同擺放位置,常常把二面角畫成圖所示圖形.當(dāng)二面角的棱為l,兩個面分別為α、β時,二面角記為α-l-β.圖(4)所示的二面角也可記為A-BD-C.

情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)

如圖,平面角∠AOB的大小就是二面角α-l-β的大小.

如圖所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,分別在兩個面內(nèi)作垂直于校的射線OA、OB,射線

OA、OB

所成的最小正角稱為這個二面角的平面角.

可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)規(guī)定,當(dāng)二面角的兩個半平面重合時,二面角為零角;當(dāng)二面角的兩個半平面構(gòu)成一個面時,二面角為平角.于是,二面角的取值范圍是[0,π].當(dāng)二面角的平面角為直角時,稱為直二面角.情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題例3

已知二面角α-l-β是銳角,其面α內(nèi)一點A到棱l的距離為2,到面的距離為l,求這個二面角的大小.解如圖所示,過點A作AB⊥l,垂足為B;

再作AC⊥β,垂足為C,連接.

由題意可知AB=2,AC=1.因為AC⊥β,l?β,所以AC⊥l,又因為AB⊥l,AB交AC于點A,所以l⊥平面ABC.

又因為

BC?平面ABC,所以l⊥BC,從而∠ABC

是二面角α-l-β的一個平面角.

因為AB=2，AC=1，ΔACB是直角三角形，所以

因此,二面角α-l-β的大小是

情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題例4

求證:如果一個平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l,O為垂

足,且與兩半平面的交線分別為

OA、OB,如圖所示.那么∠AOB

是二面角α-l-β的平面角

.

證明因為γ∩α=OA,γ∩α=OB,所以O(shè)A?γ,OB?γ.

又因為l⊥γ,所以l⊥OA,l⊥OB.

因此,∠AOB

是二面角α-l-β的一個平面角.

例4中,垂直于棱l的平面,與二面角α-l-β的交線

OA、OB構(gòu)成了二面角的平面角∠AOB,這又為我們提供了一種尋找二面角的平面角的方法.我們己經(jīng)知道了兩條直線所成的角和直線與平面所成的角的定義,那么,兩個平面所成的角怎樣定義呢？情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)

在兩個相交平面形成的四個二面角中,至少有一個不大于,這個二面角稱為兩個相交平面所成的角.

于是,兩個相交平面所成角的范圍是

這樣的角有兩個.情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題例5

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面

AB1C1D與平面ABCD

所成的角的大小.解因為正方體ABCD-A1B1C1D1的各個面均是正方形,所以

AD⊥AA1,AD⊥AB.

又因為

AA1與AB

相交,所以AD⊥平面AA1B1B.

因為AB1?平面AA1B1B,所以

AD⊥AB1,從而∠B1AB是二面角B1-AD-B的一個平面角.

因為AB1是正方形

AA1B1B的對角線,所以∠B1AB=因此,平面AB1C1D與平面ABCD所成的角的大小是情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題練習(xí)1.

己知二面角α-l-β,C∈α,D∈β,AC⊥AB,AD⊥AB,垂足均為A,則二面角α-AB-β的平面角是

.

2.

已知正方體

ABCD-A1B1C1D1,試找出二面角A1-BD-A

與二面角A1-BD-C

的一個平面角,并分析二者之間的大小關(guān)系.

情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題練習(xí)3.判斷下列說法是否正確.（1）兩個相交平面所成的角的取值范圍是而二面角的取值范圍是[0,π]；

（2）在正方體

ABCD-A1B1C1D1中,∠D1AB1是二面角D1-AA1-B1的平面角；

（3）分別在二面角的兩個面內(nèi)取一條直線,使兩條直線相交,則相交直線所成的角是二面角的平面角.

情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題練習(xí)4.

己知等腰ΔABC的腰長為5cm,底邊長為8cm.現(xiàn)沿著底邊上的高AD

對折,折后求二面角B-AD-C的大小.5.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1-CD-A的大小.情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題練習(xí)5.

我國水利建設(shè)具有悠久的歷史,尤其中華人民共和國成立后,修建了許多水車,在防洪、用水、供電、灌溉等方面發(fā)揮了巨大作用.如圖所示,某水庫大壩高85m,斜坡面與水平面成45°角,則斜坡面有多長？兩平面垂直4.4.3情境導(dǎo)入探索新知典型例題鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)觀察教室,可以直觀感受到教室的墻面和底面是相互垂直的.如何檢驗這一結(jié)論的正確性呢？情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)

當(dāng)兩個平面所成的角是時,稱這兩個平面互相垂直.此時兩個平面相交形成的四個二面角都是.平面α與平面β垂直,記作α⊥β.

情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)

要檢驗墻面和地面所成的二面角是否為直二面角,可以作出它們構(gòu)成的二面角的平面角,并測量其大小是否為除此之外,還有什么方法呢？情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)我們知道,利用直線與直線垂直可以判定直線與平面垂直.類似地,也可以利用直線與平面垂直來判定平面與平面垂直.

如圖所示,直線

AB⊥平面β,垂足為

B,AB?平面α.

設(shè)α∩β=CD,則B∈CD.在β內(nèi)過點B作BE⊥CD.

由

AB⊥β可知AB

⊥

CD,AB⊥BE.

于是,∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,且∠ABE是直角.因此,α與β所成的角是,即α⊥β.

兩個平面垂直的判定定理

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的條垂線,那么這兩個平面互相垂直.例6

如圖所示,己知∠ACB=90°,P是平面ABC

外一點,且

PA⊥平面ABC,求證:平面PAC⊥平面PBC.

情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題證明

因為∠ACB=90°,所以

AC⊥BC.

因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.

因為PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.

因為BC?平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.

利用直線與平面的垂直可以判定平面與平面垂直.反過來,也可以借助于兩個平面的垂直來判定直線與平面垂直.情境導(dǎo)入典型例題鞏固練習(xí)探索新知歸納總結(jié)布置作業(yè)兩平面垂直的性質(zhì)定理

如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面

.已知:α⊥β,α∩β=CD,AB?α,AB⊥CD,垂足為B,如圖所示.求證:AB⊥β.

證明在平面β內(nèi)過點B作BE⊥CD,則由AB⊥CD可知∠ABE是二面角α-CD-β的平面角.

因為α⊥β,所以∠ABE=

即

AB⊥BE.

則AB

與兩條相交直線

BE、CD

都垂直,故AB⊥β.

例7

己知平面α⊥平面β,點A∈α,且AB⊥β,垂足是B.求證:AB

?α.

情境導(dǎo)入鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知典型例題證明