2024年中考數(shù)學專題訓練 專題07 二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)問題（專項訓練）（原卷版+解析）

專題07二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)問題（專項訓練）1．（2023?徐州）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，它的對稱軸交x軸于點E．過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，連接DE并延長交y軸于點F，交拋物線于點G．直線AF交CD于點H，交拋物線于點K，連接HE、GK．（1）點E的坐標為：；（2）當△HEF是直角三角形時，求a的值；2．（2023?通遼）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．且直線y＝x﹣6過點B，與y軸交于點D，點C與點D關(guān)于x軸對稱，點P是線段OB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線BD于點N．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當△MDB的面積最大時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．3．（2023?廣元）如圖，直線y＝﹣2x+10分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點C為OB的中點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為拋物線上一點，若△APB是以AB為直角邊的直角三角形，求點P到拋物線的對稱軸的距離．4．（2022?南岸區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC，其中A（﹣2，0），C（0，6）．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BC上方拋物線上一點，過點P作PE∥y軸交BC于點E，作PF∥x軸交BC于點F，求CF+BE的最小值，及此時點P的坐標；（3）如圖2，x軸上有一點Q（﹣1，0），將拋物線向x軸正方向平移，使得拋物線恰好經(jīng)過點Q，得到新拋物線y1，點D是新拋物線y1與原拋物線的交點，點E是新拋物線y1上一動點，連接DQ，當△DQE是以DQ為直角邊的直角三角形時，直接寫出所有符合條件的點E的坐標．5．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點，與y軸交于點C（0，4），點D為x軸上方拋物線上的動點，射線OD交直線AC于點E，將射線OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點F，連接DF．（1）求拋物線的解析式；（2）當△ODF為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標．6．（2022?雁峰區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y＝x+1與x軸交于點E，與y軸交于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）M在直線DE上，當△CDM為直角三角形時，求出點M的坐標．7．（2022?平南縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的表達式；（2）直線l過點A與拋物線交于點P，當∠PAB＝45°時，求點P的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2022?滕州市二模）拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點．與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．（1）求A，B，C，D的坐標；（2）點P為拋物線上的動點，當△PAC是直角三角形時，求點P的坐標；9．（2022?市中區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）當以P，A，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及△PAC的周長；（3）若點Q是直線BC上方拋物線上一點，當△BCQ為直角三角形時，求出點Q的坐標．專題07二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)問題（專項訓練）1．（2023?徐州）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，它的對稱軸交x軸于點E．過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，連接DE并延長交y軸于點F，交拋物線于點G．直線AF交CD于點H，交拋物線于點K，連接HE、GK．（1）點E的坐標為：；（2）當△HEF是直角三角形時，求a的值；【解答】解：（1）對于拋物線y＝﹣ax2+2ax+3a，對稱軸x＝﹣＝1，∴E（1，0），故答案為（1，0）．（2）如圖，連接EC．對于拋物線y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y(tǒng)＝3a，令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），∵C，D關(guān)于對稱軸對稱，∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，當∠HEF＝90°時，∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC，∵∠DCF＝90°，∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF＝DE，∵EA∥DH，∴FA＝AH，∴AE＝DH，∵AE＝2，∴DH＝4，∵HE⊥DFEF＝ED，∴FH＝DH＝4，在Rt△CFH中，則有42＝22+（6a）2，解得a＝或﹣（不符合題意舍棄），∴a＝．當∠HFE＝90°時，∵OA＝OE，F(xiàn)O⊥AE，∴FA＝FE，∴OF＝OA＝OE＝1，∴3a＝1，∴a＝，綜上所述，滿足條件的a的值為或．2．（2023?通遼）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．且直線y＝x﹣6過點B，與y軸交于點D，點C與點D關(guān)于x軸對稱，點P是線段OB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線BD于點N．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當△MDB的面積最大時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵點C與點D關(guān)于x軸對稱，∴C（0，6），把B、C點坐標代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+5x+6；（2）設P（m，0），則M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），則MN＝﹣m2+4m+12，∴S△MDB＝＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，∵﹣3＜0，∴當m＝2時，△MDB的面積最大，此時，P點的坐標為（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），當∠QMN＝90°時，QM∥x軸，則Q（0，12）；當∠MNQ＝90°時，NQ∥x軸，則Q（0，﹣4）；當∠MQN＝90°時，設Q（0，n），則QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±2，∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．綜上，存在以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形．其Q點坐標為（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．3．（2023?廣元）如圖，直線y＝﹣2x+10分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點C為OB的中點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為拋物線上一點，若△APB是以AB為直角邊的直角三角形，求點P到拋物線的對稱軸的距離．【解答】解：（1）直線y＝﹣2x+10中，令x＝0，則y＝10，令y＝0，則x＝5，∴A（5，0），B（0，10），∵點C是OB中點，∴C（0，5），將A和C代入拋物線y＝x2+bx+c中，，解得：，∴拋物線表達式為：y＝x2﹣6x+5；（3）拋物線表達式為：y＝x2﹣6x+5，∵△APB是以AB為直角邊的直角三角形，設點P（n，n2﹣6n+5），∵A（5，0），B（0，10），∴AP2＝（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2，BP2＝n2+（n2﹣6n+5﹣10）2，AB2＝125，當點A為直角頂點時，BP2＝AB2+AP2，解得：n＝或5（舍），當點B為直角頂點時，AP2＝AB2+BP2，解得：n＝或，而拋物線對稱軸為直線x＝3，則3﹣＝，﹣3＝，3﹣＝，綜上：點P到拋物線對稱軸的距離為：或或．4．（2022?南岸區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC，其中A（﹣2，0），C（0，6）．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BC上方拋物線上一點，過點P作PE∥y軸交BC于點E，作PF∥x軸交BC于點F，求CF+BE的最小值，及此時點P的坐標；（3）如圖2，x軸上有一點Q（﹣1，0），將拋物線向x軸正方向平移，使得拋物線恰好經(jīng)過點Q，得到新拋物線y1，點D是新拋物線y1與原拋物線的交點，點E是新拋物線y1上一動點，連接DQ，當△DQE是以DQ為直角邊的直角三角形時，直接寫出所有符合條件的點E的坐標．【解答】解：（1）將A（﹣2，0），C（0，6）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+6；（2）令y＝0，則﹣x2+x+6＝0，解得x＝3或x＝﹣2，∴B（3，0），設直線BC的的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6，設P（m，﹣m2+m+6），則E（m，﹣2m+6），∴PE＝﹣m2+3m，∵PE∥y軸，PF∥x軸，∴∠PFE＝∠CBO，∠PEF＝∠BCO，∴△PEF∽△OBC，∴PF：PE：FE＝OB：OC：BC＝1：2：，∴EF＝PE×＝（﹣m2+3m），∵BE+CF＝CB﹣EF＝3﹣（﹣m2+3m）＝（m﹣）2+，∴當m＝時，BE+CF有最小值，此時P（，）；（3）∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，設平移后的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣﹣t）2+，∵平移后拋物線經(jīng)過Q（﹣1，0），∴﹣（﹣1﹣﹣t）2+＝0，解得t＝1或t＝﹣4（舍），∴平移后的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣）2+，聯(lián)立方程組，解得，∴D（1，6），設E（n，﹣n2+3n+4），∴DQ2＝40，DE2＝（n﹣1）2+（﹣n2+3n﹣2）2，QE2＝（n+1）2+（﹣n2+3n+4）2，①當EQ2＝DE2+DQ2時，（n+1）2+（﹣n2+3n+4）2＝（n﹣1）2+（﹣n2+3n﹣2）2+40，解得n＝1（舍）或n＝，∴E（，）；②當ED2＝EQ2+DQ2時，（n﹣1）2+（﹣n2+3n﹣2）2＝40+（n+1）2+（﹣n2+3n+4）2，解得n＝﹣1（舍）或n＝，∴E（，﹣）；綜上所述：E點坐標為（，）或（，﹣）．5．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點，與y軸交于點C（0，4），點D為x軸上方拋物線上的動點，射線OD交直線AC于點E，將射線OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點F，連接DF．（1）求拋物線的解析式；（2）當△ODF為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標．【解答】解：（1）將點A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）設F（t，t+4），當∠FDO＝90°時，過點D作MN⊥y軸交于點N，過點F作FM⊥MN交于點M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D點縱坐標為2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D點坐標為（，2）或（，2）；當∠DFO＝90°時，過點F作KL⊥x軸交于L點，過點D作DK⊥KL交于點K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D點縱坐標為4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；綜上所述：D點坐標為（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．6．（2022?雁峰區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y＝x+1與x軸交于點E，與y軸交于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）M在直線DE上，當△CDM為直角三角形時，求出點M的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式是y＝﹣x2+2x+3；（3）令x＝0，則y＝﹣x2+2x+3＝3，∴OC＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2，設M（a，a+1），∴CM2＝a2+（3﹣a﹣1）2＝a2﹣2a+4，DM2＝a2+（a+1﹣1）2＝a2，①當∠CMD＝90°時，∴CD2＝CM2+DM2，∴22＝a2﹣2a+4+a2，解得：a1＝，a2＝0（舍去），當a＝時，a+1＝，∴M（，）；②當∠DCM＝90°時，∴CD2+CM2＝DM2，∴22+a2﹣2a+4＝a2，解得：a＝4，當a＝4時，a+1＝3，∴M（4，3）；解法二：∵∠DCM＝90°，∴CM∥x軸，∴a+1＝3，解得a＝4，∴M（4，3）；綜上所述：點M的坐標為（，）或（4，3）．7．（2022?平南縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的表達式；（2）直線l過點A與拋物線交于點P，當∠PAB＝45°時，求點P的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；（2）過點P作PM⊥x軸于點M，如圖：設P（m，m2﹣4m﹣5），則PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），當m2﹣4m﹣5＝m+1時，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合題意，舍去），當m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合題意，舍去），∴P的坐標是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由拋物線y＝x2﹣4x﹣5的對稱軸為直線x＝2，設Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，當BC為斜邊時，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此時Q坐標為（2，﹣6）或（2，1）；當BQ為斜邊時，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此時Q坐標為（2，﹣7）；當CQ為斜邊時，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此時Q坐標為（2，3）；綜上所述，Q的坐標為（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．8．（2022?滕州市二模）拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點．與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．（1）求A，B，C，D的坐標；（2）點P為拋物線上的動點，當△PAC是直角三角形時，求點P的坐標；【解答】解：（1）令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D（1，4）；（2）設P（t，﹣t2+2t+3），如圖1，當∠ACP＝90°時，過點C作EF∥x軸，過點A作AE⊥EF交于E點，過點P作PF⊥EF交于F點，∵∠FCP+∠ECA＝90°，∠ECA+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝∠FCP，∴△CEA∽△PFC，∴＝，∵EC＝1，EA＝3，PF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，CF＝t，∴＝，∴t＝0（舍）或t＝，∴P（，）；如圖2，當∠CAP＝90°時，過點A作GH∥y軸，過點C作CG⊥GH交于G點，過點P作PH⊥GH交于H點，∵∠GAC+∠HAP＝90°，∠GAC+∠GCA＝90°，∴∠HAP＝∠GCA，∴△GAC∽△HPA，∴＝，∵GC＝1，GA＝3，AH＝t2﹣2t﹣3，PH＝t+1，∴＝，解得t＝﹣1（舍）或t＝，∴P（，﹣）；當∠APC＝90°時，在拋物線上不存在點P；綜上所述：P點坐標為（，）或（，﹣）；9．（2022?市中區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+b