2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級下冊 28.2 解直角三角形及其應(yīng)用 同步練習

親愛的同學(xué)加油，給自己實現(xiàn)夢想的一個機會！第頁2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級下冊28.2解直角三角形及其應(yīng)用同步練習班級：姓名：親愛的同學(xué)，在做題時，一定要認真審題，完成題目后，記得審查，養(yǎng)成好習慣！祝你輕松完成本次練習。一、單選題1．如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，已知cos∠CDB＝45A．23 B．56 C．1 2．將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長度是（）A．5 B．53 C．10-53 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=35A．8 B．9 C．10 D．124．如圖是大壩的橫斷面，斜坡AB的坡度i1=1：2，背水坡CD的坡度i2=1：1，若坡面CD的長度為62A．43 B．63 C．65．已知一道斜坡的坡比為1：3，坡長為24米，那么坡高為（）米.A．83 B．12 C．436．如圖，滑雪場有一坡角為20°的滑道，滑雪道的長AC為100米，則BC的長為（）米．A．100cos20° B．100cos20° C．1007．圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若AB=BC=1，∠AOB=α，則OC2的值為（）A．sinB．1C．cosD．18．春節(jié)期間，某老師讀到《行路難》中“閑來垂釣碧溪上，忽復(fù)乘舟夢日邊.”邀約好友一起在江邊垂釣，如圖，河堤AB的坡度為1：2.4，AB長為5.2米，釣竿AC與水平線的夾角是60°，其長為6米，若釣竿AC與釣魚線CD的夾角也是60°，則浮漂D與河堤下端B之間的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：3＝1.732）A．2.33米 B．2.35米 C．2.36米 D．2.42米9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，則ABA．4 B．6 C．8 D．1010．如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角α為30°，看這棟樓底部C處的俯角β為60°，熱氣球與樓的水平距離AD為90米，則這棟樓的高度BC為（）A．40033米 B．903米 C．1203米二、填空題11．如圖，在一筆直的海岸線上有A、B兩個觀測站，A在B的正西方向，AB=2km，從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏西30°的方向，則船C離海岸線的距離是.12．如果一個正六邊形的邊心距的長度為3cm，那么它的半徑的長度為13．如圖，在⊙O中，弦AB的長為123，圓心到弦AB的距離為6，則∠BOC的度數(shù)為14．某通信公司準備逐步在山上建設(shè)5G基站.如圖，某處斜坡CB的坡角∠BCE的正切值為512，通訊塔AB垂直于水平地面，在C處測得塔頂A的仰角為45°，在D處測得塔頂A的仰角為53°，斜坡路段CD長26米則通訊塔AB的高度約為米.（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，15．如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A、C、E在同一直線上.則大樓AB的高度.（結(jié)果保留根號）三、解答題16．為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護區(qū)開展了尋找古樹活動.如圖，在一個坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD.測得古樹底端C到山腳點A的距離AC＝26米，在距山腳點A水平距離6米的點E處，測得古樹頂端D的仰角∠AED＝48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點E在同一平面上，古樹CD與直線AE垂直），則古樹CD的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）17．某數(shù)學(xué)興趣小組通過調(diào)查研究把“如何測量嵩岳寺塔的高度”作為一項課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間實地測量.課題測量嵩岳寺塔的高度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量方案 在點C處放置高為1.3米的測角儀CD，此時測得塔頂端A的仰角為45°，再沿BC方向走22米到達點E處，此時測得塔頂端A的仰角為32°. 說明：E、C、B三點在同一水平線上 請你根據(jù)表中信息結(jié)合示意圖幫助該數(shù)學(xué)興趣小組求嵩岳寺塔AB的高度.(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62)18．如圖，莽山五指峰景區(qū)新建了一座垂直觀光電梯．某測繪興趣小組為測算電梯AC的高度，測得斜坡AB=105米，坡度i=1：2，在B處測得電梯頂端C的仰角α=45°，求觀光電梯（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3四、綜合題19．為進一步加強疫情防控工作，避免在測溫過程中出現(xiàn)人員聚集現(xiàn)象，某學(xué)校決定安裝紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射能量對進入測溫區(qū)域的人員進行快速測溫（如圖1），其紅外線探測點O可以在垂直于地面的支桿OP上下調(diào)節(jié)（如圖2），已知探測最大角(∠OBC)為58.0°，探測最小角(∠OAC)為26.6°．（1）若該設(shè)備的安裝高度OC為1.6米時，求測溫區(qū)域的寬度AB．（2）該校要求測溫區(qū)域的寬度AB為2.53米，請你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度OC．(結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)20．為積極參與鄂州市全國文明城市創(chuàng)建活動，我市某校在教學(xué)樓頂部新建了一塊大型宣傳牌，如下圖．小明同學(xué)為測量宣傳牌的高度AB，他站在距離教學(xué)樓底部E處6米遠的地面C處，測得宣傳牌的底部B的仰角為60°，同時測得教學(xué)樓窗戶D處的仰角為30°（A、B、D、E在同一直線上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡從C走到F處，此時DF正好與地面CE平行．（1）求點F到直線CE的距離（結(jié)果保留根號）；（2）若小明在F處又測得宣傳牌頂部A的仰角為45°，求宣傳牌的高度AB（結(jié)果精確到0.1米，2≈1.41，3≈1.73）．21．在一次課外活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度.如圖所示，測得斜坡BE的坡度i＝1：4（即AB：AE＝1：4），坡底AE的長為8米，在B處測得樹CD頂部D的仰角為30°，在E處測得樹CD頂部D的仰角為60°.（1）求AB的高；（2）求樹高CD.（結(jié)果保留根號）22．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點F．點E在⊙O外，作直線AE，且∠EAC=∠D．（1）求證：直線AE是⊙O的切線．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=3423．如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，量得托板長AB=120mm，支撐板長CD=80mm，底座長DE=90mm，托板AB固定在支撐板頂端點C處，且CB=40mm，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cos40（1）若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求點（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把AB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在直線DE上即可，求

答案解析部分1．答案：D解析：解：連接OD.∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，∴AB⊥CD，∴∠OHD＝∠BHD＝90°.∵cos∠CDB＝DHBD＝4∴DH＝4，∴BH＝DB設(shè)OH＝x，則OD＝OB＝x＋3.在Rt△ODH中，由勾股定理得x2＋42＝（x＋3）2，解得x＝76∴OH＝76故答案為：D.

連接OD，利用垂徑定理可證得AB⊥CD，利用垂直的定義可證得∠OHD＝∠BHD＝90°，利用解直角三角形求出DH的長，利用勾股定理求出BH的長；設(shè)OH＝x，可表示出OD的長，在Rt△ODH中，利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到OH的長.2．答案：D解析：解：過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝103∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝103×12＝CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝53∴CD＝CM-MD＝15-53故答案為：D．

過點B作BM⊥FD于點M，先利用解直角三角形的方法求出BM和CM的長，再利用線段的和差求出CD的長即可。3．答案：C解析：由題意得：sinA=BCAB∵BC=6，∴6AB∴AB=10，故答案為：C.

根據(jù)sinA=BCAB4．答案：C解析：解：如圖，過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于F，

∵tanA=BEAE=1：2，tanB=CFFD=1：2，

∴AE=2BE，CF=DF，

∵CF2+DF2=CD2，

∴CF2+CF2=（62）2，

∴CF=6米，

∵DC∥AB，

∴四邊形EFCD為矩形，

∴BE=CF=6米，

∴AE=12米，

∴AB=A故答案為：C.過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于F，根據(jù)題意求出CF=BE=6米，AE=12米，再根據(jù)勾股定理即可得出AB的長.5．答案：B解析：解：設(shè)坡度為α∴tan∴α=30°∴坡高=12故答案為：B由斜坡的坡比為1：3，可得坡度為30°，再利用30°角的直角邊等于斜邊的一半進行解答即可.6．答案：B解析：解：∵滑道坡角為20°，∴∠C=20°，∵AC為100米，∠B=90°，∴cos∠C=∴BC=AC·cos故答案為：B.根據(jù)坡角可得∠C=20°，然后根據(jù)∠C的余弦函數(shù)進行計算即可.7．答案：B解析：解：∵AB=BC=1，

在Rt△OAB中，sinα=ABOB

∴OB=1sinα

∵在Rt△BCO中，OB2+BC2=OC2

∴OC2=(1sinα)2+12=1sin2α+1

故答案為：B.

由正弦函數(shù)的定義得sinα=AB8．答案：B解析：解：如圖，延長CA交DB延長線于點E，過點A作AF⊥BE于點F，則∠CED＝60°，∵AB的坡比為1：2.4，∴AFBF設(shè)AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2.解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由題意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝33AF＝233∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+43∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+433﹣即浮漂D與河堤下端B之間的距離約為2.35米，故答案為：B.延長CA交DB延長線于點E，過點A作AF⊥BE于點F，則∠CED＝60°，由坡比為1：2.4，可設(shè)AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理可得x的值，由題意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，則可求得EF、AE的值，推出△CDE是等邊三角形，得到DE的值，然后根據(jù)BD＝DE-EF-BF求解即可.9．答案：D解析：解：∵在Rt△ABC中

sinA=BCAB=35，

∴6AB=10．答案：C解析：解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，則∠BAD=α=30°,∠CAD=β=60°,AD=90m,在Rt△ABD中，由tan∴BD=AD·在Rt△ACD中，由tan∴CD=AD·∴BC=BD+CD=30故這棟樓的高度為1203故答案為：C．首先過點A作AD⊥BC于點D，根據(jù)題意得∠BAD=α=30°,∠CAD=β=60°,AD=90m,然后利用三角函數(shù)求解即可求得答案．11．答案：(3?解析：解：如圖所示，過C作AB的垂線交AB于D由題易知：∠CAD=45°，∠CBD=60°設(shè)BD=x在Rt△BCD中，∠CBD=60°sin60°=CD∴CD=3在Rt△ACD中，∠CAD=45°∴AD=CD=3∴3x+x解得：x=∴CD=3?故答案是：(3?3

過C作AB的垂線交AB于D，由題易知∠CAD=45°，∠CBD=60°，設(shè)BD=x，則CD=3x，AD=CD=312．答案：2解析：解：如圖：由題可知：ABCDEF是正六邊形，OG⊥ABOG=3∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△OAB為等邊三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG=30°，∵OG=3∴OA==OG故答案為：2．

由正六邊形的性質(zhì)可得△OAB為等邊三角形，由OG⊥AB，可得OG=3cm，13．答案：60°解析：解：∵OC⊥AB，AB=123∴AC=BC=63在Rt△OBC中，OC=6，∵tan∴∠BOC=60°.故答案為：60°.利用垂徑定理可求出BC的長，再利用解直角三角形求出∠BOC的度數(shù).14．答案：77解析：解：如圖，延長AB與水平線交于F，過D作DM⊥CF，M為垂足，過D作DG⊥AF，G為垂足，連接AC，AD，∵斜坡CB的坡角∠BCD的正切值為512∴DMCM設(shè)DM=5k米，則CM=12k米，在Rt△CDM中，CD=26米，由勾股定理得，CM2+DM2=CD2，即（5k）2+（12k）2=262，解得k=2，∴DM=10（米），CM=24（米），∵斜坡CB的坡角∠BCE的正切值為512設(shè)DG=12a米，則BG=5a米，∵∠ACF=45°，∴AF=CF=CM+MF=（24+12a）米，∴AG=AF-GF=24+12a-10=（14+12a）米，在Rt△ADG中，DG=12a米，AG=（14+12a）米，∵tan∠ADG=∴14+12a12a解得，a=∴DG=12a=42（米），AG=14+12a=56（米），BG=5a=352∴AB=AG-BG=56-352=772（米），

故答案為：延長AB與水平線交于F，過D作DM⊥CF，M為垂足，過D作DG⊥AF，G為垂足，連接AC，AD，由題意知tan∠BCE=DMCM=512，可設(shè)DM=5k米，則CM=12k米，利用勾股定理得CM2+DM2=CD2，據(jù)此建立方程求出k值，即得DM、CM的長，由tan∠BCE=tan∠BDG=15．答案：（6+43）米解析：解：在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，∴DE=1過D作DF⊥AB，交AB于點F，∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，∴∠FBD＝45°，即△BFD為等腰直角三角形，設(shè)BF＝DF＝x米，∵四邊形DEAF為矩形，∴AF＝DE＝2米，即AB＝（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴BC=ABBD=2BF=∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：2x2解得：x＝4+43，則AB＝（6+43）米.故答案為：（6+43）米.根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE=1216．答案：解：延長DC交EA的延長線于點F，則CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，∴令CF＝km，則AF＝2.4km，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴k2+（2.4k）2＝262，解得k＝10，∴AF＝24m，CF＝10m，∴EF＝30m，在Rt△DEF中，tanE＝DFEF∴DF＝EF?tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3（m），∴CD＝DF-CF＝23.3m，因此，古樹CD的高度約為23.3m.解析：延長DC交EA的延長線于點F，則CF⊥EF，根據(jù)山坡AC的坡度可設(shè)CF＝km，則AF＝2.4km，在Rt△ACF中，由勾股定理可得k的值，據(jù)此可得AF、CF、EF的值，由三角函數(shù)的概念可求出DF的值，然后根據(jù)CD＝DF-CF進行計算.17．答案： 解：延長FD交AB于點G， 則FG⊥AB，CD=GB=1.3米，DF=CE=22米， 設(shè)AG=x米， 在Rt△AGD中，∠ADG=45°，∴GD=AGtan45∴GF=GD+DF=(x+22)米， 在Rt△AGF中，∠AFG=32°，∴tan32°=AG∴x≈35.89， 經(jīng)檢驗，x≈35.89是原方程的根，∴AG≈35.89米，∴AB=AG+BG=35.89+1.3≈37.2(米)，∴嵩岳寺塔AB的高度約為37.2米.解析：延長FD交AB于點G，則CD=GB=1.3米，DF=CE=22米，設(shè)AG=x，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得GD=x，則GF=GD+DF=(x+22)米，根據(jù)三角函數(shù)的概念求出x，然后根據(jù)AB=AG+BG進行計算.18．答案：解：過點B作BE⊥AC于點E，如圖，在Rt△ABE中，AB=105（米），坡度i=1：2設(shè)AE=x（米），則BE=2x（米）由勾股定理得，A∴x解得，x=215∴AE=215（米），BE=42∵α=45°∴△BEC是等腰直角三角形∴CE=BE=425∴AC=AE+CE=215答：觀光電梯AC的高度為141.1米。解析：過點B作BE⊥AC于點E，設(shè)AE=x（米），則BE=2x（米），利用勾股定理可得x2+(2x)19．答案：（1）解：根據(jù)題意可知：OC⊥AC，∠OBC=58.0°，∠OAC=26.6°，OC=1.6米，在Rt△OBC中，BC=OC在Rt△OAC中，AC=OC∴AB=AC?BC=3.2?1=2.20米．答：測溫區(qū)域的寬度AB為2.2米；（2）解：根據(jù)題意可知：AC=AB+BC=2.53+BC，在Rt△OBC中，BC=OC∴OC=1.60BC，在Rt△OAC中，OC=AC?tan∠OAC≈(2.53+BC)×0.50，∴1.60BC=(2.53+BC)×0.50，解得BC=1.15米，∴OC=1.60BC=1.84米．答：該設(shè)備的安裝高度OC約為1.84米．解析：（1）在Rt△OBC中，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義得BC=OCtan∠OBC，據(jù)此算出BC，在Rt△OAC中，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義得AC=OCtan∠OAC，據(jù)此算出AC，進而根據(jù)AB=AC-BC算出答案；

（2）由題意得AC=AB+BC=2.53+BC，在Rt△OBC中，由正切三角函數(shù)的定義得20．答案：（1）解：過點F作FG⊥EC于G，依題意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四邊形DEGF是矩形，∴FG＝DE，在Rt△CDE中，DE＝CE?tan∠DCE＝6×tan30o＝23（米），∴點F到地面的距離為23米；（2）解：∵斜坡CF的坡度為i＝1：1.5．∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝23×1.5＝33（米），∴FD＝EG＝（33+6）（米）．在Rt△BCE中，BE＝CE?tan∠BCE＝6×tan60o＝63（米），∴AB＝AD+DE-BE＝33+6+23-63＝6-3≈4.3（米）．答：宣傳牌的高度約為4.3米．解析：（1）過點F作FG⊥EC于G，易得四邊形DEGF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得FG＝DE，在Rt△CDE中，根據(jù)正切函數(shù)的定義，由DE＝CE?tan∠DCE即可算出答案；

（2）根據(jù)坡比的定義，Rt△CFG中，可得CG＝1.5FG，進而可得FD＝EG＝（33+6）（米），在Rt△BCE中，根據(jù)正切函數(shù)的定義，由BE＝CE?tan∠BCE求出BE，最后根據(jù)AB＝AD+DE-BE算出答案.21．答案：（1）解：作BF⊥CD于點F，根據(jù)題意可得ABCF是矩形，∴CF=AB，∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的長為8米，∴AB=2（米），（2）解：∵AB=2，∴CF=2，設(shè)DF=x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=則BF=DF在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，在直角△DCE中，tan∴EC=3∵BF-CE=AE，即3x?解得：x=43+1，則CD=43答：CD的高度是（(4解析：（1）作BF⊥CD于點F，則四邊形ABCF是矩形，CF=AB，然后根據(jù)斜坡BE的坡度就可求出AB的值；

（2）根據(jù)AB的值可得CF，設(shè)DF=x米，利用三角函數(shù)的概念可得BF、EC，根據(jù)BF-CE=AE求