2023年河南省三門(mén)峽市普通高校對(duì)口單招數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

2023年河南省三門(mén)峽市普通高校對(duì)口單招

數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(10題)

1.在aABC中，角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,“A>B”是a>b的

O

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知王,而讓點(diǎn)P到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則它到另一個(gè)焦點(diǎn)

的距離為O

A.2B.3C.5D.7

3.已知函數(shù)f(x)=log2X,在區(qū)間［1,4］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,使得f(x)的值

介于-1到1之間的概率為

A.l/3B.3/4C.1/2D.2/3

4.有四名高中畢業(yè)生報(bào)考大學(xué)，有三所大學(xué)可供選擇，每人只能填報(bào)一

所大學(xué)，則報(bào)考的方案數(shù)為O

A.Y

BC

C.3*

D.43

.、(l-√χ.?≥0.

∕<fjr>?I

5.設(shè)1"?'',?則f(f(-2))=()

A.-lB.1∕4C.1∕2D.3∕2

6.在空間中垂直于同一條直線的兩條直線一定是()

A.平行B.相交C異面D.前三種情況都有可能

7.下列雙曲線中，漸近線方程為y=±2x的是()

A.x2-y2∕4=l

B.x2∕4-y2=l

C.x2-y2∕2=l

D.x2∕2-y2=l

8.已知a是函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn)，則a=()

A.-4B.-2C.4D.2

Q不等式∣x∣≥3的解集是

y.

此≤-3}

A.

MX≥3或C≤-3∣

)ψ≥3}

10.

若函數(shù)f(x)=oι2+l圖象上點(diǎn)(1,/(1))處的切線平行于直線y=2x+l,則α=

A.-lB.0C.2D.1

二、填空題(10題)

在等比數(shù)列?-1?=，-?，…中，a,產(chǎn)

11.

不等式X：-2工一8>0的解集為_(kāi)______

12.

13.口袋裝有大小相同的8個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任意摸出2個(gè)，則

兩球顏色相同的概率是.

雙曲線區(qū)!_匕=1的漸近線方程是y=_______。

14.94

fltoc

若^etb=e?^e,n∣jα,b,C由小到大的順序是

15.

16.已知(2,0)是雙曲線χ2-y2∕b2=l(b>0)的焦點(diǎn)，貝IJb=,

17.已知AABC中，NA,ZB,NC所對(duì)邊為a,b,c,C=3(T,a=c=2.

則b=.

18.等比數(shù)列&'中，a2=3,aβ=6,貝IJa4=.

AC

19.在銳角三角形ABC中，BC=I,B=2A,則嬴7=.

20.方程擴(kuò)4x-3×2x-4=0的根為.

三、計(jì)算題(5題)

1

f(×)+3f(—)=x.

21.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x∣x≠O},且滿(mǎn)足X

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

22.求焦點(diǎn)X軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)為4,且離心率為3/2的雙曲線方程.

23.某小組有6名男生與4名女生，任選3個(gè)人去參觀某展覽，求

(1)3個(gè)人都是男生的概率；

(2)至少有兩個(gè)男生的概率.

24.近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類(lèi)處理，將生活垃圾分為“廚余

垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四類(lèi)，并分別垛置

了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾的正確分類(lèi)投放情況，現(xiàn)隨機(jī)

抽取了該市四類(lèi)垃圾箱總計(jì)IOO噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：

噸)：

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)試估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率;

(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率。

25.有語(yǔ)文書(shū)3本，數(shù)學(xué)書(shū)4本，英語(yǔ)書(shū)5本，書(shū)都各不相同，要把這

些書(shū)隨機(jī)排在書(shū)架上.

(1)求三種書(shū)各自都必須排在一起的排法有多少種？

(2)求英語(yǔ)書(shū)不挨著排的概率P。

四、簡(jiǎn)答題(10題)

26.證明：函數(shù)Ig(Jx'+1+x)(xeR)是奇函數(shù)

27.若α,B是二次方程/-2≡+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，求當(dāng)m取什么值

時(shí)，+6取最小值，并求出此最小值

28.等差數(shù)列SJ的前n項(xiàng)和為Sn,已知aιo=3O,a2θ=50o

(1)求通項(xiàng)公式ano

(2)若Sn=242,求n。

29.已知平行四邊形ABCD中，A(-1,0),B(-1,-4),C(3,-

2),E是AD的中點(diǎn)，求詼詼。

30.己知邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD,PA_L底面ABCD,PA=a,求證,

PC1.BD

31.如圖四面體ABCD中，AB_L平面BCD,BD_LCD.求證:

(1)平面ABD_L平面ACD；

(2)若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的正弦值.

32.已知拋物線V=PMPA?)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線L的距離為2o

(1)求拋物線的方程及焦點(diǎn)下的坐標(biāo)。

(2)過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線交拋物線AB兩點(diǎn)，求益,萬(wàn)的值。

33.某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某種商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買(mǎi)，根

據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用一次性付款的概率是0.6,求3為顧客中至

少有1為采用一次性付款的概率。

tan(—l-a)=2,求SJn2(s-2cos2a

34.已知4的值

35.如圖：在長(zhǎng)方體從?S)中，愈=4=3."=向E,F分

別為和AB和4。中點(diǎn)。

(1)求證：AF//平面4&C。

(2)求4。與底面ABCD所成角的正切值。

五、解答題(10題)

36.給定橢圓C:x2/a2+y2/b2(a>b>0),稱(chēng)圓Cκχ2+y2=a2+b?為橢圓C的

“伴隨圓已知橢圓C的離心率為JW72,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求直線1:x—y+3=0被橢圓C的伴隨圓Cl所截得的弦長(zhǎng).

37.

設(shè)F和F分別是橢圓￥+'=I的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，A是該橢圓與y??負(fù)半軸的交點(diǎn)，

在楠圓上求點(diǎn)p，使得∕vη.CA.∣∕JG成等差數(shù)列。

38.

已知兩點(diǎn)。(0.()).A(6.0),mC以線段OA為直徑.

(1)求圖。的方程；

<2)若直線4的方程為x-2y+4=0,直線/,平行于/，，且被圓C截

得的弦，MN的長(zhǎng)是4,求直線/：的方程.

39.如圖，在正方體ABCD-AIBlClDl中，S是BIDI的中點(diǎn)，E,F,G

分別是BC,DC,SC的中點(diǎn)，求證：

(1)直線EG//平面BDDiBi;

(2)平面EFG//平面BDDiBi

40.

已知函數(shù)?(?)=SinX-acosX的一個(gè)零點(diǎn)是?.

4

(I)XX數(shù)。的值;

〔□〕^g(x)=∕(x)?∕(-Λ)+2√5sinxcosΛ-,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

41.已知等差數(shù)列｛atl｝的公差為2,其前n項(xiàng)和Sn=Pnn+2n,n∈N

(1)求P的值及an;

(2)在等比數(shù)列｛bn｝中,b3=aι,b4=a2+4,若｛bn｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求

證：數(shù)列｛Tn+l∕6｝為等比數(shù)列.

42.已知橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，離心率為2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

M(4,1),直線1：y=x+m交橢圓于異于M的不同兩點(diǎn)A,B直線

MA,MB與X軸分別交于點(diǎn)E,F.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求m的取值范圍.

43.數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,且===求

(1)a2,a3,a4的值及數(shù)列加:的通項(xiàng)公式

(2)a2+a4+a6++a2n的值

44.已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+π∕6)-1.

⑴求f(x)的最小正周期；

⑵求f(x)在區(qū)間"∕6,π∕4］上的最大值和最小值.

45.

設(shè)A是由〃個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記作：，4=(如生?∣∣∣M?∣∣Iq).其中q

(i=12∣∣∣,z?)稱(chēng)為數(shù)組A的"元.，，稱(chēng)為生的下標(biāo).如果數(shù)組S中的每個(gè)"元”都

是來(lái)自數(shù)組A中不同下標(biāo)的"元",則稱(chēng)S為A的子數(shù)組.定義兩個(gè)數(shù)組

A=(π∣.∏r∣∣∣?u,,),B=(印也*|||也)的關(guān)系數(shù)為C(A.8)="∣b∣+?仇+Q+α也.

(I)若4，8=(-1.1.2.3),i殳S是8的含有兩個(gè)"元"的子數(shù)組，求

C(AS)的最大值;

(H)若4=,B=(0,α?c),且“~+"+C-=1,S為B的含有三

個(gè)“元”的子數(shù)組，求C(A.S)的最大值.

六、單選題(0題)

46.橢圓χ2∕4+y2∕2=l的焦距。

A.4

B.2

C.2

D.2

參考答案

LC

正弦定理的應(yīng)用，充要條件的判斷.大邊對(duì)大角，大角也就對(duì)應(yīng)大邊.

2.D

22

根據(jù)題意，橢圓的方程為：2+3=1，

2516

則有a=-√z25=5,即2α=10,

橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為10,

若尸到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則尸到另一

焦點(diǎn)的距離為10—3=7；

3.A

幾何概型的概率.由-IVIog2X≤1,得l<x<2;而[l,4]n[l∕2,2]=[1,2]區(qū)

間長(zhǎng)度為1,區(qū)間口，4]長(zhǎng)度為3,所求概率為1/3

4.C

5.C

函數(shù)的計(jì)算.f(-2尸2-2=l∕4>0,則f(f(-2))=f(l∕4)=l-了=1-1/2=1/2

6.D

在空間，垂直于同一條直線的兩條直線，有可

能平行，相交或者異面；如圖長(zhǎng)方體中

直線α,b都與C垂直，α,b相交；

直線a,d都與C垂直，a,d異面;

直線d,b都與C垂直，6,d平行。

故選，

7.A

雙曲線的漸近線方程.由雙曲線漸近線方程的求法知，雙曲線x2-y2∕4=l

的漸近線方程為y=±2x

8.D

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用?.?f(x)=χ3-12x,f(x)=3x2-12,令f(x)=O,則

xι=-2,X2=2.當(dāng)x∈(-oo,-2),(2,+∞)時(shí),f(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)*￡(—2,2)時(shí)，f(x)<O,則f(x)單調(diào)遞減，.?.f(x)的極小值點(diǎn)為a=2.

9.B

10.D

11.-1/16

12.(-∞,-2)U(4,+∞)

13.

17

33

解析：都是白色的概率為Pl=WL=Ii,都是

?33

紅色的概率為P2=C2^-=-，

4片33

故兩球顏色相同的概率為P1+P2=

143_17

33+33^33

14.

把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成O即得漸近線方

程，化簡(jiǎn)即可得到所求.

雙曲線方程為JJ=1的，則漸近線方程

94

為線J=0,即g=±2,

943

故答案為*±∣x.

15.a<c<b

16.

,二,雙曲線的性質(zhì).由題意：c=2,a=l,由c2=a?+b2.得b2=4-l=3,所以b=

√3.

17.三角形的余弦定理.a=c=2,所以A=C=3（Γ,B=120o,所以b2=a2+c2-

2accosB=12,所以b=2、'3

18.

3^/2,由等比數(shù)列性質(zhì)可得a2∕a4=a4∕a6,a42=a2a6=l8,所以34=

3√2.

19.2

20.2解方程.原方程即為（2x）-3.2x-4=θ,解得2x=4或2x=-l（舍去），解得

x=2.

21.

(1)依題意有

/(X)+3∕d)=X

X

∕d)+3∕(x)J

XX

解方程組可得：

3--

/(x)

Sx

(2)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋鹸∣x≠0｝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且

3-(T)23-X2

/(-X)==-f(χ)

8(r)8x

.?.函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

22.解：

實(shí)半軸長(zhǎng)為4

/.a=4

e=c∕a=3∕2,Λc=6

Λa2=16,b2=c2-a2=20

>1

E上=i

雙曲線方程為-0

23.

解：(1)3個(gè)人都是男生的選法：Cl

任意3個(gè)人的選法：

Ci1

3個(gè)人都是男生的概率：P=m=Z

GO6

(2)兩個(gè)男生一個(gè)女生的選法：ClC?

C+*=2

至少有兩個(gè)男生的概率P=

C.3o-3

24.

解，⑴依題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28（噸）

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19噸

19_19

所以，可估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率為：19+4+2+3—28

0據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，總共抽取了IOO噸生活垃圾，其中“廚余垃圾”,“可回收垃圾”,“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸，13噸。故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70噸，所以，生活拉圾投放錯(cuò)誤的總量為IOO-70=30噸，

100-（19+24+14÷13）_3

所以生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率：------ioδ-----------二To

25.

解：（1）利用捆綁法

先內(nèi)部排：語(yǔ)文書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)、英語(yǔ)書(shū)排法分別為W、4：、M

再把語(yǔ)文書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)、英語(yǔ)書(shū)看成三類(lèi)，排法為力；

排法為：MHZ：W=103680

（2）利用插空法

全排列：412

語(yǔ)文書(shū)3本，數(shù)學(xué)書(shū)4本排法為：H

插空：英語(yǔ)書(shū)需要8個(gè)空中5個(gè)：星

英語(yǔ)書(shū)不挨著排的概率：尸=4咨=_1

有99

26.證明：?.?∕(x)=?(J)+l+x)

；J(-x)=∣β(Vχa+1-χ)=-/W

則，此函數(shù)為奇函數(shù)

27.

解：因?yàn)槎畏匠逃袃蓚€(gè)根

Λa+b=2iM,AB=nt+2

則a2+b2=4(jM-?)2——

44

當(dāng)m=-l時(shí),最小值a，+lf=2

28.

(1)ɑn=α1+(w+?)d,al0=30,a20=50

,

..al+9d=30,a,÷19J=50得a∣=12,d=2

則a“=2n+10

(2)SM=?a,+d且Slt=242

.n(n-1)e“

12〃+—------×2=24

2

得n=ll或n=—22(舍去)

29.平行四邊形ABCD,CD為AB平移所得，從B點(diǎn)開(kāi)始平移，于是

C平移了(4,2),

所以，D(-l+4,0+2)=(3,2),E是AD中點(diǎn)，E[(-1+3)/2,

(0+2)/21=(1,1)

向量EC=(3-1,-2-1)=(2,-3),向量ED=(3-1,2-1)=(2,1)

向量ECX向量ED=2×2+(-3)×l=l。

30.證明：連接AC

PAL平面ABCD,PC是斜線，BD±AC

PC±BD（三垂線定理）

31.

解：(1)證明過(guò)程略

(2)解析：：平面ABDL面ACD，平ABD平而ACD=AD作BE

±APTE

貝UB￡L平面ACD作BF_LAC于F

連接EF：.EFJ.AC，BFE為所求角

設(shè)BD-a則AC=2√2aBT=√2a

PP

32.(1)拋物線焦點(diǎn)F(2f0),準(zhǔn)線L：x=-5,...焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距

離p=2

拋物線的方程為y2=4x,焦點(diǎn)為F(l,0)

(2)直線AB與X軸不平行，故可設(shè)它的方程為x=my+4,

X=可+4

.y'~4χ得y2-4m-16=0

由設(shè)A(xι,X2),B(yι,y2),則y1y2=-l6

.況麗=XlX2+必為=*3+>M=0

..44

33.

P=I-(1-0,6)3=1-0.064=0.936

34.

,n,、1÷tanαC

tan（—+ɑ）=----------=2

4]-tana

1.?

tana=-,s?na--cosa

/.33

、3C4

.SmZa=§,cos2a=—

則Sm2a-2cos2a=-1

35.

證明（1）取AC的中點(diǎn)0,連接OnoE

ll

??ACD∣.F,。分別為A1D1,AC的中點(diǎn)

.?ΓO∕∕DC,J].FO=-DC

2

則，F(xiàn)O//AE：.FO=AE,得四邊形AEof是平行四邊形

AE∕∕OΓ.

則AF〃平面A.EC

<2）連接AUAAl-L平面ABCD

AA3J15

在RtAC中，tanZACAj≡-^7=

因此角的IE切值為

36.

：】)記楠IMC的半焦距為c.rt1?β意,將〃

V=β-A"相α?≡2.6=1.所以

篇圓C的方程為1+∕=l.

(2)由(1)知,依IWC的方程］+y，=i.jβc,的

方程為/+/=5,留心到直級(jí)/的距寓d=

萬(wàn)、?6?所以出線/被留/+/-5所斂得

的弦長(zhǎng)為2√5-(√3)r=2√2.

設(shè)點(diǎn)P(χ,y)設(shè)點(diǎn)P(χ,y)

由于H瑪+『勺=6,由于IP用+1Pq=6,

A(0.-2)

從而由PF?.?PA.?PF2成差數(shù)列可得從而由PE?.PΛ.PF：成差數(shù)列可得

Ipd=3,即x+(y<-2)=9ICT=3,即x+(y+2)=9

所以上二一<二。

94

解得y=4或尸一:4

解得尸4或尸一寫(xiě)

38.

(1)VO(O.0)>A(6?O).圖C以線段OA為直徑

.??圓心C(3，0).半徑r=3，

???圖C的方程為(χ-3)W=9.

(2)Q直線∕∣的方程是\一2y+4=O...直線/：的斜率為:

又Q/J〃…?.直線/：的斜率為:

設(shè)直線I：的方程為v?-??+〃.即A-2.v+》=().

QIMVl=4.半徑r=3.圓心C到直線的距離為/.

又Q圓心C(3.())到直繳”*一2〉+2〃=0的矩度4=與引.?

.?,L-ζ^l=√5.g3∣3+21)\=5.???∕>=I^/?=-4.

艮【直淺L的方程為κ一2y+2=O或X_2.v_8=0.

39.證明⑴連接SB,所以E,G分別是BC,SC的中點(diǎn)，所以EG//SB

又因?yàn)镾B包含于平面BDDlBl私，EG不包含于平面BDDIB所以

直線EG//平面BDDlDi

(2)連接SD??.?FG分別是DC、SC的中點(diǎn).

ΛFG//SD又YSDU平面3DD∣b.FG平面

BDDl…??FG〃平面BDDlB,且EGU平面

EFG?由(1)知直線EG〃平面BDDtBt,FGU

平面EFG?EG∩FG≈G,.,.平面EFG//平面

BDD1B1.

40.

〔I〕依題意，得/￠)=0,

4

.ππ√2√2i∕

gπ∏πsin-----∏cos—=---------------=0

4422'

解得。=1.

(∏]由〔I〕得/(x)=Sinx-COSX.

g(X)=/(-V)?/(-V)+2√3sinXCOS.v

=(sin.v-cos.v)(-sin?-cos.v)+sin2.v

=(cos2.v_sin`?)+6Sin2.v

=cos2.r+0sin2.v

=2sin(2x+-).

6

由2a∕≤2x+V≤2E+5,

彳導(dǎo)*幾一：≤XWAJI+:,k∈Z.

36

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為達(dá)兀-馬,a+N],k∈z.

36

41.

八、G1”(〃-1),/

(1)S≈f∣aIH--------------a≈na∣+ln(?

w乙

—l)=∕+(α∣-1)〃?又S11=立〃'+Zn."∈N

β

*??.P=Ifd]-l=2^α∣=3tαw=34-(n-1)

?2,??α.=3+(〃—1)X2=2zι+L

(2)*/63=a1=3tΛ6∣=。2+4=9,：?q=3,:?b0

=dq"7=3×3"^,=3"-*,.,.6,=—.,.T.=

e

T+?

3"-1.^,13"."6

I-0+不=W丁丁丁

1-3

/?τ+7~

0

3,

61

=HH3?)2)????數(shù)列｛。+：>為等比

36

^^6-

數(shù)列.

巨

42.(1)設(shè)橢圓的方程為χ24+y2∕b2=l因?yàn)閑=2,所以a2=4b?,又因?yàn)闄E

圓過(guò)點(diǎn)M(4,1),所以164+1/1)2=1,解得點(diǎn)=5,a2=20,故橢圓標(biāo)準(zhǔn)

方x2∕20+y2∕5=l

⑵將y=m+x：代入x2∕20+y2∕5=l并整理得5x2+8mx+4m2-20=0令■X

=(8m2)-20(4m2-20)>0,解得-5Vm<5.又由題意可知直線不過(guò)M(4,1),

所以4+m≠l,m≠-3,所以m的取值范圍是(-5,-3)U(-3,5).

43.

1Il416

(1)